Exercise 1.4
Question 1
बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया किए बताएँ कि नीचे दी गयी परिमिय संख्याओ के दशमलव
प्रसार सांत है या असांत ।
[जब हर मे 2 या 5 के आलाव कोई गुणनखंड नही होगा तो वह सांत होगा]
(i) \frac{17}{8}
Sol :
\frac{17}{2 \times 2 \times 2}=\frac{17}{2^{3}}=सांत
(क्योकि यहां हर मे 2 के अलावा कोई दूसरा गुणनखंड नही है)
(ii) \frac{3}{8}
Sol :
=\frac{3}{2\times 2\times 2}=\frac{3}{2^3}=सांत
(क्योकि यहां हर मे 2 के अलावा कोई दूसरा गुणनखंड नही है)
(iii) \frac{29}{343}
Sol :
=\frac{29}{7\times 7\times 7}=\frac{29}{7^3}=असांत
[यहाँ हर मे 2 या 5 के आलाव कोई गुणनखंड नही होना चाहिए लेकिन यहाँ 7 है , तो यह असांत है]
(iv) \frac{13}{125}
Sol :
=\frac{13}{5 \times 5 \times 5}=\frac{13}{5^{3}}
=सांत
(क्योकि हर मे 5 गुणनखंड है)
(v) \frac{27}{8}
Sol :
=\frac{27}{2 \times 2 \times 2}=\frac{27}{2^3}
=सांत
(क्योकि हर मे 2 गुणनखंड है)
(vi) \frac{7}{80}
Sol :
=\frac{7}{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5}=\frac{7}{2^{4} \times 5}
=सांत
(क्योकि हर मे 2 और 5 गुणनखंड है)
(viii) \frac{64}{455}
Sol :
=\frac{64}{5 \times 13 \times 7}
=असांत
(क्याकि यहाँ 2 और 5 के अलावा दूसरा गुणनाखंड 13 और 7 है।)
(viii) \frac{6}{15}
Sol :
=\frac{6}{3 \times 5}
=असांत
(क्याकि यहाँ 2 और 5 के अलावा दूसरा गुणनाखंड 3 और 5 है।)
(ix) \frac{35}{50}
Sol :
=\frac{35}{2 \times 5 \times 5}=\frac{35}{2\times 5^2}
=सांत
(क्योकि हर मे 2 और 5 गुणनखंड है)
(x) \frac{129}{2^{2} \cdot 5^{7} \cdot 7^3}
Sol :
=असांत
(क्याकि यहाँ 2 और 5 के अलावा दूसरा गुणनाखंड 7 है।)
(xi) \frac{2^{2} \times 7}{5^{4}}
Sol :
=\frac{2^{2} \times 7}{5^4}=\frac{2^{2} \times 7}{5^{4}}
=सांत
(क्योकि हर मे 5 गुणनखंड है)
(xii) \frac{29}{243}
Sol :
=\frac{29}{3 \times 3\times 3\times 3\times 3}=\frac{29}{3^5}
=असांत
(क्याकि यहाँ 2 और 5 के अलावा दूसरा गुणनाखंड 3 है।)
Question 2
निम्नांकित संख्याओ मे जिनके दशमलव विस्तार सांत है, उनके दशमलव प्रसार लिखे।
(i) \frac{17}{8}
Sol :
\frac{17}{8}=\frac{17}{2^{3} \times 5^{0}}
53 से गुणा और भाग करना
53 से गुणा और भाग करना
=\frac{17 \times 5^{3}}{2^{3} \times 5^{0} \times 5^{3}}
=\frac{17 \times 125}{2^{3} \times 1 \times 5^{3}}
=\frac{2125}{(2 \times 5)^{3}}
=\frac{2125}{(10)^{3}}
=\frac{2125}{1000}
= 2.125
=\frac{17 \times 125}{2^{3} \times 1 \times 5^{3}}
=\frac{2125}{(2 \times 5)^{3}}
=\frac{2125}{(10)^{3}}
=\frac{2125}{1000}
= 2.125
(ii) \frac{3}{8}
Sol :
\frac{3}{8}=\frac{3}{2^{3} \times 5^{0}}
=\frac{3 \times 125}{2^{3} \times 1 \times 5^{3}}
=\frac{375}{(2 \times 5)^{3}}
=\frac{375}{(10)^{3}}
=\frac{375}{1000}
= 0.375
53 से गुणा और भाग करना
\frac{3 \times 5^{3}}{2^{3} \times 5^{0} \times 5^{3}}=\frac{3 \times 125}{2^{3} \times 1 \times 5^{3}}
=\frac{375}{(2 \times 5)^{3}}
=\frac{375}{(10)^{3}}
=\frac{375}{1000}
= 0.375
(iii) \frac{169}{2000}
Sol :
=\frac{169}{2^{4} \times 5^{3}}
=सांत
=\frac{845}{10^{4}}
=0.0845
(iv) \frac{13}{125}
Sol :
\frac{13}{125}=\frac{13}{2^{0} \times 5^{3}}
=\frac{13 \times 8}{1 \times 2^{3} \times 5^{3}}
=\frac{104}{(2 \times 5)^{3}}
\frac{104}{(10)^{3}}
=\frac{104}{1000}
= 0.104
53 से गुणा और भाग करना
=\frac{13 \times 2^{3}}{2^{0} \times 5^{3} \times 2^{3}}=\frac{13 \times 8}{1 \times 2^{3} \times 5^{3}}
=\frac{104}{(2 \times 5)^{3}}
\frac{104}{(10)^{3}}
=\frac{104}{1000}
= 0.104
(v) \frac{27}{8}
Sol :
\frac{27}{8}=\frac{3^{3}}{2^{3} \times 5^{0}}
=\frac{27 \times 125}{1 \times 2^{3} \times 5^{3}}
=\frac{3375}{(2 \times 5)^{3}}
\frac{3375}{(10)^{3}}
=\frac{3375}{1000}
= 3.375
53 से गुणा और भाग करना
\frac{27 \times 5^{3}}{2^{0} \times 2^{3} \times 5^{3}}=\frac{27 \times 125}{1 \times 2^{3} \times 5^{3}}
=\frac{3375}{(2 \times 5)^{3}}
\frac{3375}{(10)^{3}}
=\frac{3375}{1000}
= 3.375
(vi) \frac{7}{80}
Sol :
\frac{7}{80}=\frac{7}{2^{4} \times 5^{1}}
=\frac{7 \times 125}{2^{4} \times 5^{4}}
=\frac{875}{(2 \times 5)^{4}}
=\frac{875}{(10)^{4}}
=\frac{875}{10000}
= 0.0875
53 से गुणा और भाग करना
=\frac{7 \times 5^{3}}{2^{4} \times 5^{1} \times 5^{3}}=\frac{7 \times 125}{2^{4} \times 5^{4}}
=\frac{875}{(2 \times 5)^{4}}
=\frac{875}{(10)^{4}}
=\frac{875}{10000}
= 0.0875
(vii) \frac{64}{455}
Sol :
\frac{64}{455}=\frac{2^{6}}{5 \times 7 \times 13}
[यहाँ हर मे 2 या 5 के आलाव कोई गुणनखंड नही होना चाहिए लेकिन यहाँ 7 है , तो यह असांत है]
(viii) \frac{6}{15}
Sol :
\frac{6}{15}=\frac{2}{5}=\frac{2}{2^{0} \times 5}
21 से गुणा और भाग करना
=\frac{2 \times 2}{2^{0} \times 5^{1} \times 2}
=\frac{4}{1 \times 10}
=\frac{4}{10}
= 0.4
=\frac{4}{1 \times 10}
=\frac{4}{10}
= 0.4
(ix) \frac{35}{50}
Sol :
\frac{35}{50}
=\frac{7}{10}
=\frac{7}{2 \times 5}
=\frac{7}{10}
= 0.7
=\frac{7}{10}
=\frac{7}{2 \times 5}
=\frac{7}{10}
= 0.7
(x) \frac{129}{2^{2} \cdot 5^{7} \cdot 7^{5}}
Sol :
\frac{129}{2^{2} \times 5^{7} \times 7^{5}}
[यहाँ हर मे 2 या 5 के आलाव कोई गुणनखंड नही होना चाहिए लेकिन यहाँ 7 है , तो यह असांत है]
(xi) \frac{2^{2} \times 7}{5^{4}}
So :
\frac{2^{2} \times 7}{5^{4}}=\frac{2^{2} \times 7}{2^{0} \times 5^{4}}
26 से गुणा और भाग करना
26 से गुणा और भाग करना
\frac{2^{2} \times 7 \times 2^{6}}{2^{0} \times 5^{4} \times 2^{6}}
=\frac{2^{2} \times 7 \times 2^{6}}{1 \times 5^{4} \times 2^{6}}
=\frac{7 \times 2^{6}}{(2 \times 5)^{4}}
=\frac{448}{(10)^{4}}
=\frac{448}{10000}
= 0.0448
=\frac{2^{2} \times 7 \times 2^{6}}{1 \times 5^{4} \times 2^{6}}
=\frac{7 \times 2^{6}}{(2 \times 5)^{4}}
=\frac{448}{(10)^{4}}
=\frac{448}{10000}
= 0.0448
(xii) \frac{29}{243}
Sol :
\frac{29}{243}
\frac{29}{243}=\frac{29}{3^{5}}
\frac{29}{243}=\frac{29}{3^{5}}
[यहाँ हर मे 2 या 5 के आलाव कोई गुणनखंड नही होना चाहिए लेकिन यहाँ 3 है , तो यह असांत है]
Question 3
कुछ वास्तविक संख्याओ के दशमलव प्रसार नीचे दिए गए है। प्रत्येक स्थिति के लिए निर्धारित करे कि यह परिमेय संख्या है या नही । यदि यह परिमेय संख्या है और \frac{p}{q} के रूप का है तो q के सम्बन्ध मे क्या कहा जा सकता है?
(i) 7.2354
Sol :
परिमेय है।
q=104
q=23×53, जहाँ m तथा n पूर्ण संख्या है।
(ii) 5 \cdot \overline{234}
Sol :
परिमेय है।
q≠2m×5n, जहाँ m तथा n पूर्ण संख्या है।
(iii) 23.245789
Sol :
=\frac{23.245789}{1000000}=\frac{p}{q}
q = 106, those factors are 25 × 55
q=2m×5n, जहाँ m तथा n पूर्ण संख्या है।
(iv) 7 \cdot 3427
Sol :
q≠2m×5n, जहाँ m तथा n पूर्ण संख्या है।
(v) 0.120120012000120000...
Sol :
q≠2m×5n, जहाँ m तथा n पूर्ण संख्या है।
(vi) 23.142857
Sol :
q=2m×5n, जहाँ m तथा n पूर्ण संख्या है।
q = 106
=25 × 55
(vii) 2.31331331313...
Sol :
q≠2m×5n, जहाँ m तथा n पूर्ण संख्या है।
(viii) 0.02002000200002...
Sol :
q≠2m×5n, जहाँ m तथा n पूर्ण संख्या है।
(ix) 3.3000 30000 3000003..
Sol :
q≠2m×5n, जहाँ m तथा n पूर्ण संख्या है।
(x) 1.7320508....
Sol :
q≠2m×5n, जहाँ m तथा n पूर्ण संख्या है।
(xi) 2.645713....
Sol :
q=2m×5n, जहाँ m तथा n पूर्ण संख्या है।
(xii) 2.8284271...
Sol :
q≠2m×5n, जहाँ m तथा n पूर्ण संख्या है।
Nice
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