KC Sinha Mathematics Solution Class 10 Chapter 1वास्तविक संख्याए ( Real Numbers) Exercise 1.4

Exercise 1.4

Question 1

बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया किए बताएँ कि नीचे दी गयी परिमिय संख्याओ के दशमलव प्रसार सांत है या असांत ।

[जब हर मे 2 या 5 के आलाव कोई गुणनखंड नही होगा तो वह सांत होगा]

(i) $\frac{17}{8}$

Sol :

$\frac{17}{2 \times 2 \times 2}=\frac{17}{2^{3}}$=सांत

(क्योकि यहां हर मे 2 के अलावा कोई दूसरा गुणनखंड नही है)

(ii) $\frac{3}{8}$

Sol :

$=\frac{3}{2\times 2\times 2}=\frac{3}{2^3}$=सांत

(क्योकि यहां हर मे 2 के अलावा कोई दूसरा गुणनखंड नही है)

(iii) $\frac{29}{343}$

Sol :

$=\frac{29}{7\times 7\times 7}=\frac{29}{7^3}$=असांत

[यहाँ हर मे 2 या 5 के आलाव कोई गुणनखंड नही होना चाहिए लेकिन यहाँ 7 है , तो यह असांत है]

(iv) $\frac{13}{125}$

Sol :

$=\frac{13}{5 \times 5 \times 5}=\frac{13}{5^{3}}$

=सांत

(क्योकि हर मे 5 गुणनखंड है)

(v) $\frac{27}{8}$

Sol :

$=\frac{27}{2 \times 2 \times 2}=\frac{27}{2^3}$

=सांत

(क्योकि हर मे 2 गुणनखंड है)

(vi) $\frac{7}{80}$

Sol :

$=\frac{7}{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5}=\frac{7}{2^{4} \times 5}$

=सांत

(क्योकि हर मे 2 और 5 गुणनखंड है)

(viii) $\frac{64}{455}$

Sol :

$=\frac{64}{5 \times 13 \times 7}$

=असांत

(क्याकि यहाँ 2 और 5 के अलावा दूसरा गुणनाखंड 13 और 7 है।)

(viii) $\frac{6}{15}$

Sol :

$=\frac{6}{3 \times 5}$

=असांत

(क्याकि यहाँ 2 और 5 के अलावा दूसरा गुणनाखंड 3 और 5 है।)

(ix) $\frac{35}{50}$

Sol :

$=\frac{35}{2 \times 5 \times 5}=\frac{35}{2\times 5^2}$

=सांत

(क्योकि हर मे 2 और 5 गुणनखंड है)

(x) $\frac{129}{2^{2} \cdot 5^{7} \cdot 7^3}$

Sol :

=असांत

(क्याकि यहाँ 2 और 5 के अलावा दूसरा गुणनाखंड 7 है।)

(xi) $\frac{2^{2} \times 7}{5^{4}}$

Sol :

$=\frac{2^{2} \times 7}{5^4}=\frac{2^{2} \times 7}{5^{4}}$

=सांत

(क्योकि हर मे 5 गुणनखंड है)

(xii) $\frac{29}{243}$

Sol :

$=\frac{29}{3 \times 3\times 3\times 3\times 3}=\frac{29}{3^5}$

=असांत

(क्याकि यहाँ 2 और 5 के अलावा दूसरा गुणनाखंड 3 है।)

Question 2

निम्नांकित संख्याओ मे जिनके दशमलव विस्तार सांत है, उनके दशमलव प्रसार लिखे।

(i) $\frac{17}{8}$

Sol :

$\frac{17}{8}=\frac{17}{2^{3} \times 5^{0}}$
5³ से गुणा और भाग करना

$=\frac{17 \times 5^{3}}{2^{3} \times 5^{0} \times 5^{3}}$
$=\frac{17 \times 125}{2^{3} \times 1 \times 5^{3}}$
$=\frac{2125}{(2 \times 5)^{3}}$
$=\frac{2125}{(10)^{3}}$
$=\frac{2125}{1000}$
= 2.125

(ii) $\frac{3}{8}$

Sol :

$\frac{3}{8}=\frac{3}{2^{3} \times 5^{0}}$

5³ से गुणा और भाग करना

$\frac{3 \times 5^{3}}{2^{3} \times 5^{0} \times 5^{3}}$
$=\frac{3 \times 125}{2^{3} \times 1 \times 5^{3}}$
$=\frac{375}{(2 \times 5)^{3}}$
$=\frac{375}{(10)^{3}}$
$=\frac{375}{1000}$
= 0.375

(iii) $\frac{169}{2000}$

Sol :

$=\frac{169}{2^{4} \times 5^{3}}$

=सांत

$=\frac{845}{10^{4}}$

=0.0845

(iv) $\frac{13}{125}$

Sol :

$\frac{13}{125}=\frac{13}{2^{0} \times 5^{3}}$

5³ से गुणा और भाग करना

$=\frac{13 \times 2^{3}}{2^{0} \times 5^{3} \times 2^{3}}$
$=\frac{13 \times 8}{1 \times 2^{3} \times 5^{3}}$
$=\frac{104}{(2 \times 5)^{3}}$
$\frac{104}{(10)^{3}}$
$=\frac{104}{1000}$
= 0.104

(v) $\frac{27}{8}$

Sol :

$\frac{27}{8}=\frac{3^{3}}{2^{3} \times 5^{0}}$

5³ से गुणा और भाग करना

$\frac{27 \times 5^{3}}{2^{0} \times 2^{3} \times 5^{3}}$
$=\frac{27 \times 125}{1 \times 2^{3} \times 5^{3}}$
$=\frac{3375}{(2 \times 5)^{3}}$
$\frac{3375}{(10)^{3}}$
$=\frac{3375}{1000}$
= 3.375

(vi) $\frac{7}{80}$

Sol :

$\frac{7}{80}=\frac{7}{2^{4} \times 5^{1}}$

5³ से गुणा और भाग करना

$=\frac{7 \times 5^{3}}{2^{4} \times 5^{1} \times 5^{3}}$
$=\frac{7 \times 125}{2^{4} \times 5^{4}}$
$=\frac{875}{(2 \times 5)^{4}}$
$=\frac{875}{(10)^{4}}$
$=\frac{875}{10000}$
= 0.0875

(vii) $\frac{64}{455}$

Sol :

$\frac{64}{455}=\frac{2^{6}}{5 \times 7 \times 13}$

[यहाँ हर मे 2 या 5 के आलाव कोई गुणनखंड नही होना चाहिए लेकिन यहाँ 7 है , तो यह असांत है]

(viii) $\frac{6}{15}$

Sol :

$\frac{6}{15}=\frac{2}{5}=\frac{2}{2^{0} \times 5}$

2¹ से गुणा और भाग करना

$=\frac{2 \times 2}{2^{0} \times 5^{1} \times 2}$
$=\frac{4}{1 \times 10}$
$=\frac{4}{10}$
= 0.4

(ix) $\frac{35}{50}$

Sol :

$\frac{35}{50}$
$=\frac{7}{10}$
$=\frac{7}{2 \times 5}$
$=\frac{7}{10}$
= 0.7

(x) $\frac{129}{2^{2} \cdot 5^{7} \cdot 7^{5}}$

Sol :

$\frac{129}{2^{2} \times 5^{7} \times 7^{5}}$

[यहाँ हर मे 2 या 5 के आलाव कोई गुणनखंड नही होना चाहिए लेकिन यहाँ 7 है , तो यह असांत है]

(xi) $\frac{2^{2} \times 7}{5^{4}}$

So :

$\frac{2^{2} \times 7}{5^{4}}=\frac{2^{2} \times 7}{2^{0} \times 5^{4}}$
2⁶ से गुणा और भाग करना

$\frac{2^{2} \times 7 \times 2^{6}}{2^{0} \times 5^{4} \times 2^{6}}$
$=\frac{2^{2} \times 7 \times 2^{6}}{1 \times 5^{4} \times 2^{6}}$
$=\frac{7 \times 2^{6}}{(2 \times 5)^{4}}$
$=\frac{448}{(10)^{4}}$
$=\frac{448}{10000}$
= 0.0448

(xii) $\frac{29}{243}$

Sol :

$\frac{29}{243}$
$\frac{29}{243}=\frac{29}{3^{5}}$

[यहाँ हर मे 2 या 5 के आलाव कोई गुणनखंड नही होना चाहिए लेकिन यहाँ 3 है , तो यह असांत है]

Question 3

कुछ वास्तविक संख्याओ के दशमलव प्रसार नीचे दिए गए है। प्रत्येक स्थिति के लिए निर्धारित करे कि यह परिमेय संख्या है या नही । यदि यह परिमेय संख्या है और $\frac{p}{q}$ के रूप का है तो q के सम्बन्ध मे क्या कहा जा सकता है?

(i) 7.2354

Sol :

परिमेय है।

q=10⁴

q=2³×5³, जहाँ m तथा n पूर्ण संख्या है।

(ii) $5 \cdot \overline{234}$

Sol :

परिमेय है।

q≠2^m×5ⁿ, जहाँ m तथा n पूर्ण संख्या है।

(iii) 23.245789

Sol :

$=\frac{23.245789}{1000000}=\frac{p}{q}$

q = 10⁶, those factors are 2⁵ × 5⁵

q=2^m×5ⁿ, जहाँ m तथा n पूर्ण संख्या है।

(iv) $7 \cdot 3427$

Sol :

q≠2^m×5ⁿ, जहाँ m तथा n पूर्ण संख्या है।

(v) 0.120120012000120000...

Sol :

q≠2^m×5ⁿ, जहाँ m तथा n पूर्ण संख्या है।

(vi) 23.142857

Sol :

q=2^m×5ⁿ, जहाँ m तथा n पूर्ण संख्या है।

q = 10⁶

=2⁵ × 5⁵

(vii) 2.31331331313...

Sol :

q≠2^m×5ⁿ, जहाँ m तथा n पूर्ण संख्या है।

(viii) 0.02002000200002...

Sol :

q≠2^m×5ⁿ, जहाँ m तथा n पूर्ण संख्या है।

(ix) 3.3000 30000 3000003..

Sol :

q≠2^m×5ⁿ, जहाँ m तथा n पूर्ण संख्या है।

(x) 1.7320508....

Sol :

q≠2^m×5ⁿ, जहाँ m तथा n पूर्ण संख्या है।

(xi) 2.645713....

Sol :

q=2^m×5ⁿ, जहाँ m तथा n पूर्ण संख्या है।

(xii) 2.8284271...

Sol :

q≠2^m×5ⁿ, जहाँ m तथा n पूर्ण संख्या है।