KC Sinha Mathematics Solution Class 10 Chapter 1 वास्तविक संख्याए ( Real Numbers) Exercise 1.3

Exercise 1.3

Question 1

सिद्द कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।

Sol :

माना √5 एक परिमेय संख्या है।

अत: हम दो पूर्णांक a तथा b ऐसे प्राप्त कर सकते है कि 

$\sqrt{5}=\frac{a}{b}$ ,जहाँ a और b सहअभाज्य है।

दोनो तरफ वर्ग करने पर,

$(\sqrt{5})^{2}=\left(\frac{a}{b}\right)^{2}$

$5=\frac{a^{2}}{b^{2}}$

5b²=a²

अतः 5, a² को विभाजित करता है

माना a=5c ,जहाँ c एक पूर्णांक है।

5b²=(5c)²

5b²=25c²

b²=5c

अतः 5, b² को विभाजित करता है

∴5, a तथा b दोनो को विभाजित करना है।

अत: a और b मे कम से कम एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 5 है।

परन्तु इससे कथन का विरोधाभास प्राप्त होता है कि a और b सहअभाज्य है।

अतः √5 एक परिमेय संख्या नही है।

∴√5 एक अपरिमेय संख्या  है।

Question 2

सिद्ध कीजिए कि 3+2√5 एक अपरिमेय संख्या है।

Sol :

माना 3+2√5 एक परिमेय संख्या है

ऐसे दो धनात्मक पूर्णांक a तथा b प्राप्त कर सकते है कि $3+2 \sqrt{5}=\frac{a}{b}$ , b≠0 तथा a और b सहअभाज्य है।

$2 \sqrt{5}=\frac{a}{b}-3$

$2 \sqrt{5}=\frac{a-3 b}{b}$

$\sqrt5=\frac{a-3 b}{2 b}$

∵3,2 a और b पूर्णांक है।

∴ $\frac{a-3 b}{2 b}$ एक परिमेय संख्या है।

∴ √5 भी एक परिमेय संख्या होगा।

परेतु इससे इस तध्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि √5 एक अपरिमेय संख्या है ।

अतः 3+2√5 भी एक अपरिमेय संख्या है।

Question 3

सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं:

(i) $\frac{1}{\sqrt{2}}$

Sol :

माना $\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक परिमेय संख्या है।

ऐसे दो धनात्मक पूर्णांक a और b प्राप्त कर सकते है कि $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{a}{b}$, b≠0 तथा a और b सहअभाज्य है।

$\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{a}{b}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{a}{b}$

$\sqrt{2}=\frac{29}{b}$

∵ 2, a और b पूर्णांक है।

∴ $\frac{2a}{b}$ एक परिमेय संख्या होगी ।

∴ √2 भी परिमेय संख्या होगी ।

परंतु इससे इस तध्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि √2 एक अपरिमेय संख्या है ।

अतः $\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(ii) $7 \sqrt{5}$

Sol :

(iii) 6√2

Sol :

सबसे पहले सिद्ध करेगे की √2 एक अपरिमेय संख्या है।

तो माना कि 6√2 एक परिमेय संख्या है।

परिमेय संख्या $=\frac{p}{q}$

$6 \sqrt{2}=\frac{p}{q}$..(i)

$\sqrt{2} =\frac{p}{6q}$..(ii)

∵ p और q पूर्णांक है।

∴ p और 6q भी पूर्णांक होगे।

समीकरण (ii) मे दिया पक्ष परिमेय संख्या है । किन्तु बाया पक्ष अपरिमेय जो संभव नही है । हमारी मान्यता है कि 6√2 परिमेय संख्या है । यह गलत है ।

∴ 6√2 एक अपरिमेय संख्या है ।

Question 4

(i) $6^{\frac{1}{3}}$

Sol :

(ii) 3√3

Sol :

सबसे पहले सिद्ध करेगे की √3 एक परिमेय संख्या है।

तो माना कि 3√3 एक परिमेय संख्या है।

परिमेय संख्या $=\frac{p}{q}$

$3 \sqrt{3}=\frac{p}{q}$..(i)

$\sqrt{3}=\frac{p}{3q}$..(ii)

∵ p और q पूर्णांक है।

∴ p और 3q भी पूर्णांक होगे।

समीकरण (ii) मे दाया पक्ष परिमेय संख्या है। किन्तु बाया पक्ष अपरिमेय जो संभव नही है । हमारी मान्यता है कि 3√3 परिमेय संख्या है । यह गलत है ।

∴ 3√3 एक अपरिमेय संख्या है ।

(iii) 5√3 

Sol :

सबसे पहले सिद्ध करेगे की √3 एक परिमेय संख्या है।

तो माना कि 5√3 एक परिमेय संख्या है।

परिमेय संख्या $=\frac{p}{q}$

$5\sqrt{3}=\frac{p}{q}$..(i)

$\sqrt{3}=\frac{p}{5q}$..(ii)

∵ p और q पूर्णांक है।

∴ p और 5q भी पूर्णांक होगे।

समीकरण (ii) मे दाया पक्ष परिमेय संख्या है। किन्तु बाया पक्ष अपरिमेय जो संभव नही है । हमारी मान्यता है कि 5√3 परिमेय संख्या है । यह गलत है ।

∴ 5√3 एक अपरिमेय संख्या है ।

Question 5

सिद्ध करे कि निम्नलिखित संख्याए अपरिमेय है

(i) 6+√2

Sol :

सबसे पहले सिद्ध करेगे की √2 एक परिमेय संख्या है।

तो माना कि 6+√2 एक परिमेय संख्या है।

परिमेय संख्या $=\frac{p}{q}$

$6+\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ (जहाँ p और q एक पूर्णांक संख्या है)

$\sqrt{2}=\frac{p-6q}{2}$..(i)

समीकरण (i) मे दाया पक्ष परिमेय संख्या है। किन्तु बाया पक्ष अपरिमेय जो संभव नही है । हमारी मान्यता है कि 6+√2 परिमेय संख्या है । यह गलत है ।

∴ 6+√2 एक अपरिमेय संख्या है ।

(ii) 5-√3

Sol :

सबसे पहले सिद्ध करेगे की √3 एक परिमेय संख्या है।

तो माना कि $5-\sqrt{3}=\frac{p}{q}$..(i) 

$\sqrt{3}=\frac{p}{q}+\frac{5}{1}$..(ii)

∵ p और q पूर्णांक है ।

∴ p और q पूर्णांक भी होगे।

समीकरण (i) मे दाया पक्ष परिमेय संख्या है। किन्तु बाया पक्ष अपरिमेय जो संभव नही है । हमारी मान्यता है कि 5-√3 परिमेय संख्या है । यह गलत है ।

∴ 5-√3 एक अपरिमेय संख्या है ।

(iii) 2+√2

Sol :

(iv) 3+5√2

Sol :

सबसे पहले सिद्ध करेगे की √2 एक परिमेय संख्या है।

तो माना कि 3+5\sqrt{2}=\frac{p}{q}$..(i) 

परिमेय संख्या $=\frac{p}{q}$

$3+5\sqrt{2}=\frac{p}{q}$

$5\sqrt{2}=\frac{p}{q}-\frac{3}{1}$..(ii)

$\sqrt{2}=\frac{p}{5q}-\frac{3}{1}$..(iii)

∵ p और q पूर्णांक है ।

∴ p और q पूर्णांक भी होगे।

समीकरण (i) मे दाया पक्ष परिमेय संख्या है। किन्तु बाया पक्ष अपरिमेय जो संभव नही है । हमारी मान्यता है कि 3+5√2 एक परिमेय संख्या है । यह गलत है ।

∴ 3+5√2 एक अपरिमेय संख्या है ।

(v) √3-√2

Sol :

(vi) √7-√5

Sol :

(vii) 3+5√2

Sol :