KC Sinha Mathematics Solution Class 10 Chapter 2 बहुपद (polynomial) Exercise 2.2

Exercise 2.2

Question 1

निम्न द्विघात बहुपदो के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यको तथा गुणांको के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए:

(i)

$x^{2}-2 x-8$

Sol :

$x^{2}-2 x-8=0$

$x^{2}-4 x+2 x-8=0$

x(x-4)+2(x-4)=0

(x-4)(x+2)=0

तुलना करने पर,

$\begin{array}{l|l}x-4=0&x+2=0\\x=4 &x=-2\end{array}$

माना α=4, β=-2

a=1, b=-2, c=-8

$\begin{array}{l|l}\alpha \beta=-\frac{b}{a}&\alpha \beta =\frac{c}{a}\\4+(-2)=\frac{-2}{1}&4\times (-2)=\frac{-8}{1}\\2=2&-8=-8\end{array}$

(ii)

$4 s^{2}-4 s+1$

Sol :

दिया गया बहुपद

$4 s^{2}-4 s+1$

$4 s^{2}-2s-2s+1$

2s(2s-1)-1(2s-1)

(2s-1)(2s-1)

2s-1=0

2s=1

$s=\frac{1}{2}$

तथा 2s=1

$s=\frac{1}{2}$

मूलो का गुणनफल

$(\alpha +1^3)=\frac{b}{a}$

L.H.S

α+β

$=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$

$\frac{1+1}{2}=\frac{2}{2}=1$

R.H.S

$=\frac{-b}{a}=-\frac{(-4)}{4}$

मूलो का गुणनफल

$(\alpha .\beta)=\frac{c}{a}$

L.H.S (α.β)

$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

R.H.S

$=\frac{1}{4}$

L.H.S=R.H.S

(iii)

$6 x^{2}-3-7 x$

Sol :

$6 x^{2}-7 x-3=0$

3x(2x-3)+1(2x-3)=0

(2x-3)(3x+1)=0

$\begin{array}{l|l}2 x-3=0&3 x+1=0 \\2 x=3& 3 x=-1\\x=\frac{3}{2}&x=-\frac{1}{3}\end{array}$

माना

$\alpha=\frac{3}{2}, \beta=\frac{-1}{3}$

a=6, b=7, c=-3

$\begin{array}{l|l}\alpha+\beta=\frac{-b}{a}& \alpha \beta=\frac{c}{a}\\\frac{3}{2}+\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{-(-7)}{6}&\frac{3}{2}\times \left(\frac{1}{3}\right)=\frac{3}{6}\\\frac{9-2}{6}=\frac{7}{6}&-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\\\frac{7}{6}=\frac{7}{6}&\end{array}$

(iv)

$4 u^{2}+8 u$

Sol :

$4 u^{2}+8 u=0$

4u(u+2)=0

$\begin{array}{l|l}4 u=0 &u+2=0\\ u=\frac{0}{4}&u=-2\\u=0& \end{array}$

माना α=0, β=-2

a=4, b=8, c=0

$\begin{array}{l|l}\alpha+\beta=-\frac{b}{a} & \alpha \beta=\frac{c}{a}\\0+(-2)=\frac{-8}{4}& 0\times (-2)=\frac{0}{4}\\-2=-2&0=0\end{array}$

(v)

$t^{2}-15$

Sol :

$t^{2}-15=0$

$t^{2}=15$

$t=\pm \sqrt{15}$

$t=-\sqrt{15}, \sqrt{15}$

माना α=-√15, β=√15

a=1, b=0, c=-15

$\begin{array}{l|l}\alpha+\beta=-\frac{b}{a}&\alpha \beta=\frac{c}{a}\\-\sqrt{15}+\sqrt{15}=\frac{-0}{1}&-\sqrt{15}\times \sqrt{15}=\frac{-15}{1}\\0=0& -15=-15\end{array}$

(vi)

$3 x^{2}-x-4$

Sol :

Question 2

एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ हैं:

(i)

$\frac{1}{4},-1$

Sol :

माना द्विघात बहुपद के शून्यक α तथा β है।

$\alpha+\beta=\frac{1}{4}, \alpha \beta=-1$

द्विघात बहुपदः

$p(x)=k\left[x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta\right]$

$=k\left[x^{2}-\frac{1}{4} x-1\right]$

$=k\left[\frac{4 x^{2}-x-4}{4}\right]$

∴अभिष्ट बहुपदः

$4 x^{2}-x-4$

(ii)

$\sqrt{2}, \frac{1}{3}$

Sol :

माना द्विघात बहुपद के शून्यक α तथा β है।

$\alpha+\beta=\sqrt{2},\alpha \beta=\frac{1}{3}$

द्विघात बहुपदः

$p(x)=k\left[x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta\right]$

$=k\left[x^{2}-\sqrt{2} x+\frac{1}{3}\right]$

$=k\left[\frac{3 x^{2}-3 \sqrt{2} x+1}{3}\right]$

∴अभिष्ट बहुपदः

$3 x^{2}-3 \sqrt{2} x+1$

(iii)

$0, \sqrt{5}$

Sol :

माना द्विघात बहुपद के शून्यक α तथा β है।

$\alpha+\beta=0, \alpha \beta=\sqrt{5}$

द्विघात बहुपद

$p(x)=k\left[x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta\right]$

$=k\left[x^{2}-0 . x+\sqrt{5}\right]$

$=k\left[x^{2}+\sqrt{5}\right]$

∴अभिष्ट बहुपदः

$x^{2}+\sqrt{5}$

(iv) 1,1

Sol :

(v)

$-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}$

Sol :

(vi) 4,1

Sol :

Question 3

(i) द्विघात बहुुद $5x^{2}-4-8x$ के शून्यको को ज्ञात करे तथा शून्यको तथा गुणांको के बीच के सम्बंध की सत्यता की जाँच करे ।

Sol :

दिया गया बहुपद

$5x^{2}-8x-4$

$5 x^{2}-10 x+2 x-4$

5x(x-2)+2(x-2)

(x-2)(5x+2)=0

x-2=0

x=2

तथा

5x+2=0

5x=2

$x=\frac{2}{5}$

जांच, अब

$5x^{2}-8x-4$

यहाँ a=5, b=8, c=-4

मूलो का योग

$(\alpha+ \beta)=\frac{-b}{a}$

L.H.S=α+β

$=2+\frac{(-2)}{5}=-\frac{2}{1}-\frac{2}{3}=\frac{10-2}{5}=\frac{8}{5}$

R.H.S

$=\frac{-b}{a}=\frac{-(-8)}{5}=\frac{8}{5}$

L.H.S=R.H.S

मूलो का गुणनफल

$(\alpha, \beta)=\frac{c}{a}$

L.H.S =α.β

$2\times -\frac{2}{5}=\frac{4}{5}$

R.H.S

$\frac{c}{a}=\frac{-4}{5}$

L.H.S=R.H.S

(ii) द्विघात बहुुद $4x^{2}-4x-3$ के शून्यको को ज्ञात करे तथा शून्यको तथा गुणांको के बीच के सम्बंध की सत्यता की जाँच करे ।

Sol :

दिया गया बहुपद

$4x^{2}-4x-3$

$4x^{2}-6x+2x-3$

2x(2x-3)+1(2x-3)

(x-3)(2x+1)

2x-3=0

2x=3,

$x=\frac{3}{2}$

तथा 2x+1=0

2x=-1

$x=\frac{-1}{2}$

जाँच,अब

$4x^{2}-4x-3$

यहाँ a=4, b=-4, c=-3

मूलो का योग

$(\alpha+\beta)=-\frac{b}{a}$

L.H.S=α+β

$=\frac{3}{2}+\frac{-1}{2}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}$

$=\frac{3-2}{2}=\frac{2}{2}=1$

R.H.S

$=\frac{-b}{a}=\frac{-4}{4}$

=-1

L.H.S=R.H.S

मूलो का गुणनफल

$(\alpha+\beta)=\frac{c}{a}$

$\frac{3}{2} \times -\frac{1}{2}=-\frac{3}{4}$

R.H.S

$=\frac{c}{a}=\frac{-3}{4}$

∴L.H.S=R.H.S

(iii) द्विघात बहुपद $\sqrt{3} x^{2}-8 x+4 \sqrt{3}$ के शून्यक ज्ञात करें।

Sol :

$\sqrt{3} x^{2}-8 x+4 \sqrt{3}=0$

$\sqrt{3 x^{2}}-6 x-2 x+4 \sqrt{3}=0$

$\sqrt{3} x(x-2 \sqrt{3})-2(x-2 \sqrt{3})=0$

$(x-2 \sqrt{3})(\sqrt{3} x-2)=0$

$\begin{array}{c|c}x-2 \sqrt{3}=0 &\sqrt{3} x-2=0 \\ x=2 \sqrt{3} & \sqrt{3} x=2 \\ & x=\frac{2}{\sqrt{3}} \end{array}$

Question 4

यदि 𝛼 और β बहुपद $2 x^{2}+3 x-6$ के शून्यक हों, तब निम्नाँकित का मान ज्ञात करें।

(i) $\alpha^{2}+\beta^{2}$

Sol :

$\alpha+\beta=\frac{-3}{2}$ ,

$\alpha \beta=-\frac{6}{2}=-3$

$\alpha^{2}+\beta^{2}=(\alpha+\beta)^{2}-2 \alpha \beta$

$=\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}-2(-3)$

$=\frac{9}{4}+6$

$=\frac{9+24}{4}=\frac{33}{4}$

(ii) $\alpha^{2}+\beta^{2}+\alpha \beta$

Sol :

(iii) $\alpha^{2} \beta+\alpha \beta^{2}$

Sol :

(iv) $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$

Sol :

(v) $\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}$

Sol :

(vi) $\alpha-\beta$

Sol :

(vii) $\alpha^{3}+\beta^{3}$

Sol :

(viii) $\frac{\alpha^{2}}{\beta}+\frac{\beta^{2}}{\alpha}$

Sol :

Question 5

यदि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात बहुपद $a x^{2}+b x+c$ . के शून्यांक हैं, तब निम्नांकित का मान ज्ञात करें।

(i)

$\alpha^{2}+\beta^{2}$

Sol :

(ii)

$\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}$

Sol :

(iii)

$\alpha^{3}+\beta^{3}$

Sol :

Question 6

यदि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात बहुपद $x^{2}+k x+12$ के शून्यक हैं और $\alpha-\beta=1$ , तो k का मान ज्ञात करें

Sol :

Question 7

यदि द्विघात-बहुपद $x^{2}-8 x+k$ के शून्यकों के वर्गों का योग 40 हो, तो k का मान ज्ञात करें।

Sol :

Question 8

(i) यदि बहुपद $\left(a^{2}+9\right) x^{2}+13 x+6 a$ का एक शून्यक दूसरे शून्यक का व्युत्क्रम है, तब a का मान ज्ञात करे।

Sol :

(ii) यदि बहुपद $a x^{2}-6 x-6$ के शून्यकों का गुणनफल 4 हो तो a का मान ज्ञात करें।

Sol :

(iii) यदि (x+a), बहुपद $2 x^{2}+2 a x+5 x+10$ का एक गुणनखण्ड हो, तो a का मान ज्ञात करें।

Sol :

Question 9

नीचे दी गई संख्याएँ द्विघात बहुपदों के शून्यकों के क्रमशः योग और गुणनफल के मान हैं, उनमें से प्रत्येक के लिए एक द्विघात बहुपद को ज्ञात करें ।

(i) 1 , 1

(ii) 0 , -3

(iii)

$\frac{1}{4},-1$

(iv) 4 , 1

(v)

$\frac{10}{3}, 1$

(vi)

$-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}$

(vii) 3 , -3

Question 10

एक द्विघात बहुपद ज्ञात करें जिसके शून्यक नोचे दिए गये हैं।

(i)

$\frac{2+\sqrt{5}}{2}, \frac{2-\sqrt{5}}{2}$

(ii)

$3+\sqrt{7}, 3-\sqrt{7}$

(iii)

$1+2 \sqrt{3}, 1-2 \sqrt{3}$

(iv)

$\frac{2-\sqrt{3}}{3}, \frac{2+\sqrt{3}}{3}$

(v)

$\sqrt{2}, 2 \sqrt{2}$

Question 11

एक द्विघात बहुपद को ज्ञात करें जिसके शून्यक बहुपद $x^{2}-x-1$ के शून्यकों के वर्ग हैं।

Sol :

Question 12

(i) यदि बहुपद $x^{2}+10 x+30$ , के शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हों, तो उस द्विघात बहुंपद को ज्ञात करें जिसके शून्यक $\alpha+2 \beta$ और $2 \alpha+\beta$ हैं।

Sol :

(ii) यदि $\alpha$ और $\beta$ बहुपद $x^{2}+4 x+3$ , के शून्यक हैं, तब एक बहुपद को ज्ञात करें जिसके शून्यक $1+\frac{\alpha}{\beta}$ और $1+\frac{\beta}{\alpha}$ हैं।
Sol :

Question 13

(i) उस द्विघात बहुपद को ज्ञात करें जिसके शुन्यक 1 और -3 हैं। बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच करें।

Sol :

(ii) उस द्विघात बहुपद को ज्ञात करें जिसके शून्यकों का योग 8 एवं गुणनफल 12 है।

Sol :