KC Sinha Mathematics Solution Class 10 Chapter 4 द्विघात समीकरण ( Quadratic) Exercise 4.4

Question 51 

If a cos θ – b sinθ = x and a sinθ + b cosθ = y that a² + b² = x² + y².

Sol :
Taking RHS =x² + y²
Putting the values of x and y, we get
(a cos θ – b sin θ)² + (a sin θ + b cos θ)²
= a²cos²θ + b² sin²θ – 2ab cos θ sin θ + a²sin²θ + b² cos²θ + 2ab cos θ sin θ
= a² (cos² θ + sin² θ) + b² (cos² θ + sin² θ)
= a² + b² [∵ cos² θ + sin² θ = 1]
=RHS
Hence Proved

---

Question 52 

If x = a sec θ + b tan θ a and y = a tan θ + b sec θ, then prove that x² – y² = a² – b².

Sol :
Taking LHS =x² – y²
Putting the values of x and y, we get
(a sec θ + b tan θ)² – (a tan θ + b sec θ)²
= a² sec²θ + b² tan²θ + 2ab sec θ tan θ – a²tan²θ – b² sec²θ – 2ab sec θ tan θ
= a² (sec²θ – tan²θ) – b² (sec²θ – tan²θ)
= a² – b² [∵ 1+ tan² θ = sec² θ]
=RHS
Hence Proved

---

Question 53 

If (a² – b²) sin θ + 2ab cosθ = a² + b², then prove that .

Sol :
Taking (a² – b²) sin θ + 2ab cos θ = a² + b²
We know that 
Then, substituting the above values in the given equation, we get

Now, substituting, , we hwve

⇒ ( a² – b²)2t – 2ab(1 – t²) = (a² + b²)(1+t²)
Simplify, we get
(a² + 2ab + b²)t² – 2(a² – b²)t + (a² –2ab +b²)=0
⇒ (a+b)² t² – 2(a² – b²)t + (a – b)² = 0
⇒ (a+b)² t² –2 (a – b)(a+b)t + (a – b)² =0
⇒ [(a+b)t – (a – b)]² = 0 [∵ (a – b)² = (a² + b² – 2ab)]
⇒ [(a+b)t – (a – b)] = 0
⇒ (a+b)t = (a – b)


We know that, 



Hence Proved