KC Sinha Mathematics Solution Class 10 Chapter 2 बहुपद (polynomial) Exercise 2.3

Exercise 2.3

Question 1

p(x)=2x³+3x+1 को q(x)=x+2 से भाग दे तो भागफल एवं शेषफल ज्ञात करे । क्या q(x),x³+3+1 एक गुणनखण्ड है?

Sol :

भागफल=2x³+3x+1 

शेषफल=-21

q(x), p(x) गुणनखण्ड नही है।

Question 2

3x³ + x² + 2x + 5 को1 + 2x + x² से भाग दे और भागफल तथा शेषफल ज्ञात करे क्या 1 + 2x + x²,3x³ + x² + 2x + 5 का एक गुणनखण्ड है?

Sol :

भागफल=3x-5

शेषफल=9x+10

q(x), p(x) गुणनखण्ड नही है।

Question 3

बहुपद p(x) को बहुपद g(x) से भाग दें तथा भागफल q(x) और शेषफल r(x) को प्रत्येक स्थिति में ज्ञात करें ।

(i) p(x) = x³ – 3x² + 4x + 2 , g(x) = x – 1

Sol :

भागफल [q(x)]= x² – 2x + 2
शेषफल [r(x)]= 4

(ii) p(x) = x⁴ + 2x³ – 3x² + x – 1, g(x) = x – 2

Sol :

भागफल [q(x)]=x³+4x²+5x+11
शेषफल [r(x)]=21

(iii) $p(x)=2 x^{4}+3 x^{3}+4 x^{2}+19 x+45, g(x)=x-2$

Sol :

(iv) $p(x)=x^{4}+2 x^{3}-3 x^{2}+x-1, g(x)=x-2$

Sol :

(v) p(x) = x³ – 3x²– x + 3, g(x) = x² – 4x + 3

Sol :

भागफल [q(x)]= x + 1
शेषफल [r(x)]= 0

(vi) p(x) = x⁶ + x⁴ + x³ + x² + 2x + 2, g(x) = x³ + 1

Sol :

भागफल [q(x)]=x³ + x
शेषफल [r(x)]=x² + x + 2

(vii) p(x) = x⁶ + 3x² + 10 and g(x) = x³ + 1

Sol :

भागफल [q(x)]= x³ – 1
शेषफल [r(x)]= 3x² + 11

(viii) p(x) = x⁴ + 1, g(x) = x + 1

Sol :

भागफल [q(x)]= x³ – x² + x – 1
शेषफल [r(x)]= 0

Question 4

(i) विभाजन विधि द्नारा k का मान ज्ञात करें जिसके लिये $x-1, x^{3}-6 x^{2}+11 x+k$ का एक गुणनखण्ड हो ।

Sol :

→ 6 x + k = 0
→ k = – 6x

(ii) विभाजन विधि से c का मान ज्ञात करें जिसके लिये $4 x^{4}-3 x^{2}+3 x+c$ का एक गुणनखण्ड 2 x+1 हो ।

Sol :

Question 5

बहुपद $6 x^{4}+8 x^{3}+17 x^{2}+21 x+7$ को बहुपद $3 x^{2}+4 x+1$ से विभाजित करने पर शेष a x+b है, तो a और b ज्ञात करें ।

Sol :

Question 7

विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके यह जाँच करें कि क्या प्रथम बहुपद, दूसरे बहुपद का एक गुणनखण्ड है ?

(i) x – 2, x³ + 3x³ – 12x + 4

Sol :

∴x – 2, x³ + 3x³ – 12x + 4 का गुणनखंण्ड है।

(ii) x² + 3x + 1,3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2

Sol :

∴ x² + 3x + 1,3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2 का गुणनखंड है।

(iii) x² – 3x + 4,2x⁴ – 11x³ + 29x² – 30x + 29

Sol :

∴x² – 3x + 4,2x⁴ – 11x³ + 29x² – 30x + 29  का गुणनखंड नही है।

(iv) x² – 4x + 3,x³ – x³ – 3x⁴ – x + 3

Sol :

∴x² – 4x + 3,x³ – x³ – 3x⁴ – x + 3 का गुणनखंड है।

(v) t – 1, t³ + t² – 2t + 1

Sol :

∴t – 1, t³ + t² – 2t + 1

(vi) t² – 5t + 6,t² + 11t – 6

Sol :

∴t² – 5t + 6,t² + 11t – 6  का गुणनखंड है।

Question 8

बहुपदों p(x), g(x), q(x) और r(x) के उदाहरण दें जो विभाजन एलोरिथ्य

p(x)=g(x).q(x)+r(x), घात r(x)<घात g(x) को संतुष्ट करते हो:

और निम्नलिखित शर्तो को भी संतुष्ट करते है:

(i) घात p(x)=घात q(x)+1

(ii) घात q(x)=1

(iii) घात q(x)=घात r(x)+1

Sol :

(i) p(x) = 12x² + 8x + 25,

g(x) = 4,

q(x) = 3x² + 2x + 6 , r(x) = 0

g(x).q(x) + r(x) = (3x² + 2x + 6)×4 + 1
= 12x² + 8x + 24 + 1
= 12x² + 8x + 25

Sol :

(ii) 

p(x) = t³ + t² – 2t, g(x) = t² + 2t,
q(x) = t – 1 , r(x) = 0

q(x) = 1

g(x).q(x) + r(x) = (t² + 2t)×(t – 1) + 0
= t³ – t² + 2t² – 2t
= t³ + t² – 2t

Sol :

(iii)

p(x) = x³ + x² + x + 1 , g(x) = x² – 1,
q(x) = x + 1 , r(x) = 2x + 2

g(x).q(x) + r(x) = (x² – 1)×(x + 1) + 2x + 2
= x³ + x² – x – 1 + 2x + 2
= x³ + x² + x + 1

Question 9

नीचे दिए गये बहुपदी के सभी शून्यकों को ज्ञात करे यदि दी गई संख्यायें उनके शून्यक हैं।

(i) x³ – 6x² + 11x – 6;3

Sol :
p(x)=x³ – 6x² + 11x – 6

x=3

x-3=0

x²–3x+2=0

x²–2x-x+2=0

x(x-2)-1(x-2)=0

(x-2)(x-1)=0

\begin{array}{l|l}

x-2=0 &x=2

\\x-1=0 &

x=1

\end{array}

∴ अभिष्ट शून्यक ;1, 2 तथा 3

(ii) x⁴ – 8x³ + 23x² – 28x + 12;1,2

Sol :

p(x)=x⁴-8x³+23x²-28x+12

x=1, x=2

x-1=0, x-2=0

(x-1)(x-2)=0

x²-2x-x+2=0

x²-3x+2=0

x²-5x+6=0

x²-3x-2x+6=0

x(x-3)-2(x-3)=0

(x-3)(x-2)=0

$\begin{array}{l|l}x-3=0&x-2=0 \\ x=3&x=2\end{array}$

∴ अभिष्ट शून्यक :1, 2,2 तथा 3

(iii) x³ + 2x² – 2; – 2

Sol :

= x² – 1
= (x – 1)(x + 1)

∴ अभिष्ट शून्यक : -1,-2 तथा 1

(iv) x³ + 5x² + 7x + 3; – 3

Sol :

= x² + 2x + 1
= (x + 1)²

∴ अभिष्ट शून्यक : -1,-1 तथा -3

(v) x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35;2±√3

Sol :

p(x)=x⁴– 6x³ – 26x² + 138x – 35

x=2+√3,x= 2-√3

x-2-√3=0, x-2+√3=0

(x-2-√3)(x-2+√3)=0

(x-2)x²-(√3)²=0

x²-2.x.2.+2²-3=0

x²-4x+1=0

= x² – 2x – 35
= x² – 7x + 5x – 35
= x(x – 7) + 5(x – 7)
= (x + 5)(x – 7)

$\begin{array}{l|l} x-7=0 &x+5=0 \\ x=7&x=-5 \end{array}$

∴ अभिष्ट शून्यक : -5, 7, 2+√3 तथा 2-√3

(vi) x⁴ + x³ – 34x² – 4x + 120;2, – 2.

Sol :

p(x)=x⁴ + x³ – 34x² – 4x + 120

⟹ (x + 2)(x – 2) = x² – 4

=x² + x – 30
= x² + 6x – 5x – 30
= x(x + 6) – 5(x + 6)
= (x + 6)(x – 5)

∴ अभिष्ट शून्यक : –2 ,– 6, 2 तथा 5

(vii) 2x⁴ + 7x³ – 19x² – 14x + 30;√2, – √2

Sol :

p(x)=2x⁴ + 7x³ – 19x² – 14x + 30

⟹ (x – √2)(x + √2) = x² – 2 

=2x² + 7x – 15
= 2x² + 10x – 3x – 15
= 2x(x + 5) – 3(x + 5)
= (2x – 3)(x + 5)

∴ अभिष्ट शून्यक : – 5, – √2, √2 तथा $\frac{3}{2}$

Question 10

सत्यापित करें कि $3,-1,-\frac{1}{3}$ त्रिघाती बहुपद $p(x)=3 x^{3}-5 x^{2}-11 x-3$ के शून्यक हैं और शून्यकों एवं गुणांको के बीच के सम्बन्ध को बी सत्यापित करे ।

Sol :

$p(x)=3 x^{3}-5 x^{2}-11 x-3$

x=3 पर

$p(3)=3(3)^{3}-5(3)^{2}-11(3)-3$

=81-45-33-3

=81-81

=0

∴x=3, p(x) का शून्यक है।

$p(x)=3 x^{3}-5 x^{2}-11 x-3$

x=1 पर,

$P(-1)=3(-1)^{3}-5(-1)^{2}-11(-1)-3$

=-3-5+11-3

=-11+11

=0

x=-1, p(x) का शुन्यक है।

$p(x)=3 x^{3}-5 x^{2}-11 x-3$

$x=-\frac{1}{3}$ पर,

$P\left(-\frac{1}{3}\right)=3\left(-\frac{1}{3}\right)^{3}-5\left(\frac{-1}{3}\right)^{2}-11\left(\frac{-1}{3}\right)-3$

$=3\left(\frac{-1}{27}\right)-5\left(\frac{1}{9}\right)+\frac{11}{3}-3$

$=-\frac{1}{9}-\frac{5}{9}+\frac{11}{3}-\frac{3}{1}$

$=\frac{-1-5+33-27}{9}$

$=\frac{-33+33}{9}=\frac{0}{9}$

=0

$x=-\frac{1}{3}$, p(x) का शून्यक है।

$p(x)=3 x^{3}-5 x^{2}-11 x-3$

a=3, b=-5, c=-11, d=-3

माना $\alpha=3, \beta=-1, \gamma =-\frac{1}{3}$

(i) $\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}$

$3+(-1)+\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{-(-5)}{3}$

$2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$

$\frac{6-1}{3}=\frac{5}{3}$

$\frac{5}{3}=\frac{5}{3}$

(ii) $\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma {\alpha}=\frac{c}{a}$

$3(-1)+(-1)\left(-\frac{1}{3}\right)+\left(-\frac{1}{3}\right) \times 3=\frac{-11}{3}$

$-3+\frac{1}{3}-1 \quad=-\frac{11}{3}$

$-4+\frac{1}{3}=-\frac{11}{3}$

$\frac{-12+1}{3}=\frac{-11}{3}$

$\frac{-11}{3}=-\frac{11}{3}$

(iii) $\alpha \beta \gamma=\frac{-d}{a}$

$3\times (-1) \times\left(\frac{-1}{3}\right)=-\frac{(-3)}{3}$

1=1

Question 11

सत्यापित करें कि त्रिघाती बहुपद के के बगल में दी गई संख्यायें। उनके शून्यक है । उनके शून्यकों एवं गुणांको के बीच के सम्बन्ध को भी सत्यापित करें।

(i) $x^{3}-4 x^{2}+5 x-2 ; 2,1,1$

(ii) $x^{3}-6 x^{2}+11 x-6 ; 1,2,3$

(iii) $x^{3}+2 x^{2}-x-2 ;-2,-1,1$

(iv) $x^{3}+5 x^{2}+7 x+3 ;-3,-1,-1$

Sol :

Question 12

1,2,3 शून्यांक वाले त्रिघातीय बहुपद ज्ञात करे।

Sol :

माना त्रिघात बहुपद के शून्यांक α ,β,तथा γ है।

α = 1, β = 2 and γ = 3

α + β + γ = 1 + 2 + 3 = 6
αβ + βγ + γα = (1)(2) + (2)(3) + (3)(1)
= 2 + 6 + 3
= 11

और αβγ = 1 × 2 × 3
= 6

त्रिघात बहुपद:

= x³ – (α + β + γ) x² + (αβ + βγ + γα)x – αβγ
= x³ – (6) x² + (11)x – 6
= x³ – 6 x² + 11x – 6

∴ अभिष्ठ बहुपद: $x^{3}-6 x^{2}+11 x-6$

Question 13

-3-2,2 शून्यांक वाले त्रिघातीय बहुपद ज्ञात करें।

Sol :

Question 14

उस त्रिषातीय बहुपद को ज्ञात करें जिसके शून्यकों का योग, दो-दो करके शून्यकों के गुणनफल का योग तथा उसके तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 0,-7 और - 6 हैं ।

Sol :

माना त्रिघात बहुपद के शून्यक α,β तथा γ है।

α+β+γ=0

αβ+βγ+γα=-7

αβγ=-6

त्रिघात बहुपद:

$p(x)=k\left[x^{3}-(x+\beta+\gamma) x^{2}+(\alpha\beta+\beta \gamma+\gamma\alpha)-\alpha \beta \gamma\right]$

$=k\left[x^{3}-0 \cdot x^{2}-7 x-(-6)\right]$

$=k\left(x^{3}-7 x+6\right)$

∴अभिष्ट बहुपद $x^{3}+7 x+6$

Question 15

एक त्रिघातीय बहुपद को ज्ञात करें जिनके शून्यकों का योग, दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग तथा इसके तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः नीचे दी गई संख्याएँ हैं।

(i) 2,-7,-14

(ii) $-4, \frac{1}{2},-\frac{1}{3}$

(iii) $\frac{5}{7}, \frac{1}{7}, \frac{1}{7}$

(iv) $\frac{2}{5}, \frac{1}{10}, \frac{1}{2}$

Sol :