Exercise 2.3
Question 1
p(x)=2x3+3x+1 को q(x)=x+2 से भाग दे तो भागफल एवं शेषफल ज्ञात करे । क्या q(x),x3+3+1 एक गुणनखण्ड है?
Sol :
भागफल=2x3+3x+1
शेषफल=-21
q(x), p(x) गुणनखण्ड नही है।
Question 2
3x3 + x2 + 2x + 5 को1 + 2x + x2 से भाग दे और भागफल तथा शेषफल ज्ञात करे क्या 1 + 2x + x2,3x3 + x2 + 2x + 5 का एक गुणनखण्ड है?
Sol :
भागफल=3x-5
शेषफल=9x+10
q(x), p(x) गुणनखण्ड नही है।
Question 3
बहुपद p(x) को बहुपद g(x) से भाग दें तथा भागफल q(x) और शेषफल r(x) को प्रत्येक स्थिति में ज्ञात करें ।
(i) p(x) = x3 – 3x2 + 4x + 2 , g(x) = x – 1
Sol :
भागफल [q(x)]= x2 – 2x + 2
शेषफल [r(x)]= 4
शेषफल [r(x)]= 4
(ii) p(x) = x4 + 2x3 – 3x2 + x – 1, g(x) = x – 2
Sol :
भागफल [q(x)]=x3+4x2+5x+11
शेषफल [r(x)]=21
शेषफल [r(x)]=21
(iii) $p(x)=2 x^{4}+3 x^{3}+4 x^{2}+19 x+45, g(x)=x-2$
Sol :
(iv) $p(x)=x^{4}+2 x^{3}-3 x^{2}+x-1, g(x)=x-2$
Sol :
(v) p(x) = x3 – 3x2– x + 3, g(x) = x2 – 4x + 3
Sol :
भागफल [q(x)]= x + 1
शेषफल [r(x)]= 0
शेषफल [r(x)]= 0
(vi) p(x) = x6 + x4 + x3 + x2 + 2x + 2, g(x) = x3 + 1
Sol :
भागफल [q(x)]=x3 + x
शेषफल [r(x)]=x2 + x + 2
शेषफल [r(x)]=x2 + x + 2
(vii) p(x) = x6 + 3x2 + 10 and g(x) = x3 + 1
Sol :
भागफल [q(x)]= x3 – 1
शेषफल [r(x)]= 3x2 + 11
शेषफल [r(x)]= 3x2 + 11
(viii) p(x) = x4 + 1, g(x) = x + 1
Sol :
भागफल [q(x)]= x3 – x2 + x – 1
शेषफल [r(x)]= 0
शेषफल [r(x)]= 0
Question 4
(i) विभाजन विधि द्नारा k का मान ज्ञात करें जिसके लिये $x-1, x^{3}-6 x^{2}+11 x+k$ का एक गुणनखण्ड हो ।
Sol :
→ 6 x + k = 0
→ k = – 6x
→ k = – 6x
(ii) विभाजन विधि से c का मान ज्ञात करें जिसके लिये $4 x^{4}-3 x^{2}+3 x+c$ का एक गुणनखण्ड 2 x+1 हो ।
Sol :
Question 5
बहुपद $6 x^{4}+8 x^{3}+17 x^{2}+21 x+7$ को बहुपद $3 x^{2}+4 x+1$ से विभाजित करने पर शेष a x+b है, तो a और b ज्ञात करें ।
Sol :
Question 7
विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके यह जाँच करें कि क्या प्रथम बहुपद, दूसरे बहुपद का एक गुणनखण्ड है ?
(i) x – 2, x3 + 3x3 – 12x + 4
Sol :
∴x – 2, x3 + 3x3 – 12x + 4 का गुणनखंण्ड है।
(ii) x2 + 3x + 1,3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2
Sol :
∴ x2 + 3x + 1,3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2 का गुणनखंड है।
(iii) x2 – 3x + 4,2x4 – 11x3 + 29x2 – 30x + 29
Sol :
∴x2 – 3x + 4,2x4 – 11x3 + 29x2 – 30x + 29 का गुणनखंड नही है।
(iv) x2 – 4x + 3,x3 – x3 – 3x4 – x + 3
Sol :
∴x2 – 4x + 3,x3 – x3 – 3x4 – x + 3 का गुणनखंड है।
(v) t – 1, t3 + t2 – 2t + 1
Sol :
∴t – 1, t3 + t2 – 2t + 1
(vi) t2 – 5t + 6,t2 + 11t – 6
Sol :
∴t2 – 5t + 6,t2 + 11t – 6 का गुणनखंड है।
Question 8
बहुपदों p(x), g(x), q(x) और r(x) के उदाहरण दें जो विभाजन एलोरिथ्य
p(x)=g(x).q(x)+r(x), घात r(x)<घात g(x) को संतुष्ट करते हो:
और निम्नलिखित शर्तो को भी संतुष्ट करते है:
(i) घात p(x)=घात q(x)+1
(ii) घात q(x)=1
(iii) घात q(x)=घात r(x)+1
Sol :
(i) p(x) = 12x2 + 8x + 25,
g(x) = 4,
q(x) = 3x2 + 2x + 6 , r(x) = 0
g(x).q(x) + r(x) = (3x2 + 2x + 6)×4 + 1
= 12x2 + 8x + 24 + 1
= 12x2 + 8x + 25
= 12x2 + 8x + 24 + 1
= 12x2 + 8x + 25
Sol :
(ii)
p(x) = t3 + t2 – 2t, g(x) = t2 + 2t,
q(x) = t – 1 , r(x) = 0
q(x) = t – 1 , r(x) = 0
q(x) = 1
g(x).q(x) + r(x) = (t2 + 2t)×(t – 1) + 0
= t3 – t2 + 2t2 – 2t
= t3 + t2 – 2t
= t3 – t2 + 2t2 – 2t
= t3 + t2 – 2t
Sol :
(iii)
p(x) = x3 + x2 + x + 1 , g(x) = x2 – 1,
q(x) = x + 1 , r(x) = 2x + 2
q(x) = x + 1 , r(x) = 2x + 2
g(x).q(x) + r(x) = (x2 – 1)×(x + 1) + 2x + 2
= x3 + x2 – x – 1 + 2x + 2
= x3 + x2 + x + 1
= x3 + x2 – x – 1 + 2x + 2
= x3 + x2 + x + 1
Question 9
नीचे दिए गये बहुपदी के सभी शून्यकों को ज्ञात करे यदि दी गई संख्यायें उनके शून्यक हैं।
(i) x3 – 6x2 + 11x – 6;3
Sol :
p(x)=x3 – 6x2 + 11x – 6
p(x)=x3 – 6x2 + 11x – 6
x=3
x-3=0
x2–3x+2=0
x2–2x-x+2=0
x(x-2)-1(x-2)=0
(x-2)(x-1)=0
\begin{array}{l|l}
x-2=0 &x=2
\\x-1=0 &
x=1
\end{array}
∴ अभिष्ट शून्यक ;1, 2 तथा 3
(ii) x4 – 8x3 + 23x2 – 28x + 12;1,2
Sol :
p(x)=x4-8x3+23x2-28x+12
x=1, x=2
x-1=0, x-2=0
(x-1)(x-2)=0
x2-2x-x+2=0
x2-3x+2=0
x2-5x+6=0
x2-3x-2x+6=0
x(x-3)-2(x-3)=0
(x-3)(x-2)=0
$\begin{array}{l|l}x-3=0&x-2=0 \\ x=3&x=2\end{array}$
∴ अभिष्ट शून्यक :1, 2,2 तथा 3
(iii) x3 + 2x2 – 2; – 2
Sol :
= x2 – 1
= (x – 1)(x + 1)
= (x – 1)(x + 1)
∴ अभिष्ट शून्यक : -1,-2 तथा 1
(iv) x3 + 5x2 + 7x + 3; – 3
Sol :
= x2 + 2x + 1
= (x + 1)2
= (x + 1)2
∴ अभिष्ट शून्यक : -1,-1 तथा -3
(v) x4 – 6x3 – 26x2 + 138x – 35;2±√3
Sol :
p(x)=x4– 6x3 – 26x2 + 138x – 35
x=2+√3,x= 2-√3
x-2-√3=0, x-2+√3=0
(x-2-√3)(x-2+√3)=0
(x-2)x2-(√3)2=0
x2-2.x.2.+22-3=0
x2-4x+1=0
= x2 – 2x – 35
= x2 – 7x + 5x – 35
= x(x – 7) + 5(x – 7)
= (x + 5)(x – 7)
= x2 – 7x + 5x – 35
= x(x – 7) + 5(x – 7)
= (x + 5)(x – 7)
$\begin{array}{l|l} x-7=0 &x+5=0 \\ x=7&x=-5 \end{array}$
∴ अभिष्ट शून्यक : -5, 7, 2+√3 तथा 2-√3
(vi) x4 + x3 – 34x2 – 4x + 120;2, – 2.
Sol :
p(x)=x4 + x3 – 34x2 – 4x + 120
⟹ (x + 2)(x – 2) = x2 – 4
=x2 + x – 30
= x2 + 6x – 5x – 30
= x(x + 6) – 5(x + 6)
= (x + 6)(x – 5)
= x2 + 6x – 5x – 30
= x(x + 6) – 5(x + 6)
= (x + 6)(x – 5)
∴ अभिष्ट शून्यक : –2 ,– 6, 2 तथा 5
(vii) 2x4 + 7x3 – 19x2 – 14x + 30;√2, – √2
Sol :
p(x)=2x4 + 7x3 – 19x2 – 14x + 30
⟹ (x – √2)(x + √2) = x2 – 2
=2x2 + 7x – 15
= 2x2 + 10x – 3x – 15
= 2x(x + 5) – 3(x + 5)
= (2x – 3)(x + 5)
= 2x2 + 10x – 3x – 15
= 2x(x + 5) – 3(x + 5)
= (2x – 3)(x + 5)
∴ अभिष्ट शून्यक : – 5, – √2, √2 तथा $\frac{3}{2}$
Question 10
सत्यापित करें कि $3,-1,-\frac{1}{3}$ त्रिघाती बहुपद $p(x)=3 x^{3}-5 x^{2}-11 x-3$ के शून्यक हैं और शून्यकों एवं गुणांको के बीच के सम्बन्ध को बी सत्यापित करे ।
Sol :
$p(x)=3 x^{3}-5 x^{2}-11 x-3$
x=3 पर
$p(3)=3(3)^{3}-5(3)^{2}-11(3)-3$
=81-45-33-3
=81-81
=0
∴x=3, p(x) का शून्यक है।
$p(x)=3 x^{3}-5 x^{2}-11 x-3$
x=1 पर,
$P(-1)=3(-1)^{3}-5(-1)^{2}-11(-1)-3$
=-3-5+11-3
=-11+11
=0
x=-1, p(x) का शुन्यक है।
$p(x)=3 x^{3}-5 x^{2}-11 x-3$
$x=-\frac{1}{3}$ पर,
$P\left(-\frac{1}{3}\right)=3\left(-\frac{1}{3}\right)^{3}-5\left(\frac{-1}{3}\right)^{2}-11\left(\frac{-1}{3}\right)-3$
$=3\left(\frac{-1}{27}\right)-5\left(\frac{1}{9}\right)+\frac{11}{3}-3$
$=-\frac{1}{9}-\frac{5}{9}+\frac{11}{3}-\frac{3}{1}$
$=\frac{-1-5+33-27}{9}$
$=\frac{-33+33}{9}=\frac{0}{9}$
=0
$x=-\frac{1}{3}$, p(x) का शून्यक है।
$p(x)=3 x^{3}-5 x^{2}-11 x-3$
a=3, b=-5, c=-11, d=-3
माना $\alpha=3, \beta=-1, \gamma =-\frac{1}{3}$
(i) $\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}$
$3+(-1)+\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{-(-5)}{3}$
$2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$
$\frac{6-1}{3}=\frac{5}{3}$
$\frac{5}{3}=\frac{5}{3}$
(ii) $\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma {\alpha}=\frac{c}{a}$
$3(-1)+(-1)\left(-\frac{1}{3}\right)+\left(-\frac{1}{3}\right) \times 3=\frac{-11}{3}$
$-3+\frac{1}{3}-1 \quad=-\frac{11}{3}$
$-4+\frac{1}{3}=-\frac{11}{3}$
$\frac{-12+1}{3}=\frac{-11}{3}$
$\frac{-11}{3}=-\frac{11}{3}$
(iii) $\alpha \beta \gamma=\frac{-d}{a}$
$3\times (-1) \times\left(\frac{-1}{3}\right)=-\frac{(-3)}{3}$
1=1
Question 11
सत्यापित करें कि त्रिघाती बहुपद के के बगल में दी गई संख्यायें। उनके शून्यक है । उनके शून्यकों एवं गुणांको के बीच के सम्बन्ध को भी सत्यापित करें।
(i) $x^{3}-4 x^{2}+5 x-2 ; 2,1,1$
(ii) $x^{3}-6 x^{2}+11 x-6 ; 1,2,3$
(iii) $x^{3}+2 x^{2}-x-2 ;-2,-1,1$
(iv) $x^{3}+5 x^{2}+7 x+3 ;-3,-1,-1$
Sol :
Question 12
1,2,3 शून्यांक वाले त्रिघातीय बहुपद ज्ञात करे।
Sol :
माना त्रिघात बहुपद के शून्यांक α ,β,तथा γ है।
α = 1, β = 2 and γ = 3
α + β + γ = 1 + 2 + 3 = 6
αβ + βγ + γα = (1)(2) + (2)(3) + (3)(1)
= 2 + 6 + 3
= 11
αβ + βγ + γα = (1)(2) + (2)(3) + (3)(1)
= 2 + 6 + 3
= 11
और αβγ = 1 × 2 × 3
= 6
= 6
त्रिघात बहुपद:
= x3 – (α + β + γ) x2 + (αβ + βγ + γα)x – αβγ
= x3 – (6) x2 + (11)x – 6
= x3 – 6 x2 + 11x – 6
= x3 – (6) x2 + (11)x – 6
= x3 – 6 x2 + 11x – 6
∴ अभिष्ठ बहुपद: $x^{3}-6 x^{2}+11 x-6$
Question 13
-3-2,2 शून्यांक वाले त्रिघातीय बहुपद ज्ञात करें।
Sol :
Question 14
उस त्रिषातीय बहुपद को ज्ञात करें जिसके शून्यकों का योग, दो-दो करके शून्यकों के गुणनफल का योग तथा उसके तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 0,-7 और - 6 हैं ।
Sol :
माना त्रिघात बहुपद के शून्यक α,β तथा γ है।
α+β+γ=0
αβ+βγ+γα=-7
αβγ=-6
त्रिघात बहुपद:
$p(x)=k\left[x^{3}-(x+\beta+\gamma) x^{2}+(\alpha\beta+\beta \gamma+\gamma\alpha)-\alpha \beta \gamma\right]$
$=k\left[x^{3}-0 \cdot x^{2}-7 x-(-6)\right]$
$=k\left(x^{3}-7 x+6\right)$
∴अभिष्ट बहुपद $x^{3}+7 x+6$
Question 15
एक त्रिघातीय बहुपद को ज्ञात करें जिनके शून्यकों का योग, दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग तथा इसके तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः नीचे दी गई संख्याएँ हैं।
(i) 2,-7,-14
(ii) $-4, \frac{1}{2},-\frac{1}{3}$
(iii) $\frac{5}{7}, \frac{1}{7}, \frac{1}{7}$
(iv) $\frac{2}{5}, \frac{1}{10}, \frac{1}{2}$
Sol :
Objective sir ji
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