KC Sinha Mathematics Solution Class 10 Chapter 2 बहुपद (polynomial) Exercise 2.3

Exercise 2.3

Question 1

p(x)=2x3+3x+1 को q(x)=x+2 से भाग दे तो भागफल एवं शेषफल ज्ञात करे । क्या q(x),x3+3+1 एक गुणनखण्ड है?
Sol :
भागफल=2x3+3x+1 
शेषफल=-21
q(x), p(x) गुणनखण्ड नही है।

Question 2

3x3 + x2 + 2x + 5 को1 + 2x + x2 से भाग दे और भागफल तथा शेषफल ज्ञात करे क्या 1 + 2x + x2,3x3 + x2 + 2x + 5 का एक गुणनखण्ड है?
Sol :
भागफल=3x-5
शेषफल=9x+10
q(x), p(x) गुणनखण्ड नही है।

Question 3

बहुपद p(x) को बहुपद g(x) से भाग दें तथा भागफल q(x) और शेषफल r(x) को प्रत्येक स्थिति में ज्ञात करें ।

(i) p(x) = x3 – 3x2 + 4x + 2 , g(x) = x – 1
Sol :
भागफल [q(x)]= x2 – 2x + 2
शेषफल [r(x)]= 4

(ii) p(x) = x4 + 2x3 – 3x2 + x – 1, g(x) = x – 2
Sol :
भागफल [q(x)]=x3+4x2+5x+11
शेषफल [r(x)]=21

(iii) $p(x)=2 x^{4}+3 x^{3}+4 x^{2}+19 x+45, g(x)=x-2$
Sol :

(iv) $p(x)=x^{4}+2 x^{3}-3 x^{2}+x-1, g(x)=x-2$
Sol :

(v) p(x) = x3 – 3x2– x + 3, g(x) = x2 – 4x + 3
Sol :
भागफल [q(x)]= x + 1
शेषफल [r(x)]= 0

(vi) p(x) = x6 + x4 + x3 + x2 + 2x + 2, g(x) = x3 + 1
Sol :
भागफल [q(x)]=x3 + x
शेषफल [r(x)]=x2 + x + 2

(vii) p(x) = x6 + 3x2 + 10 and g(x) = x3 + 1
Sol :
भागफल [q(x)]= x3 – 1
शेषफल [r(x)]= 3x2 + 11

(viii) p(x) = x4 + 1, g(x) = x + 1
Sol :
भागफल [q(x)]= x3 – x2 + x – 1
शेषफल [r(x)]= 0

Question 4

(i) विभाजन विधि द्नारा k का मान ज्ञात करें जिसके लिये $x-1, x^{3}-6 x^{2}+11 x+k$ का एक गुणनखण्ड हो ।
Sol :
 6 x + k = 0
 k = – 6x

(ii) विभाजन विधि से c का मान ज्ञात करें जिसके लिये $4 x^{4}-3 x^{2}+3 x+c$ का एक गुणनखण्ड 2 x+1 हो ।
Sol :

Question 5

बहुपद $6 x^{4}+8 x^{3}+17 x^{2}+21 x+7$ को बहुपद $3 x^{2}+4 x+1$ से विभाजित करने पर शेष a x+b है, तो a और b ज्ञात करें ।
Sol :



Question 7

विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके यह जाँच करें कि क्या प्रथम बहुपद, दूसरे बहुपद का एक गुणनखण्ड है ?

(i) x – 2, x3 + 3x3 – 12x + 4
Sol :
∴x – 2, x3 + 3x3 – 12x + 4 का गुणनखंण्ड है।


(ii) x2 + 3x + 1,3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2
Sol :
∴ x2 + 3x + 1,3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2 का गुणनखंड है।


(iii) x2 – 3x + 4,2x4 – 11x3 + 29x2 – 30x + 29
Sol :
∴x2 – 3x + 4,2x4 – 11x3 + 29x2 – 30x + 29  का गुणनखंड नही है।


(iv) x2 – 4x + 3,x3 – x3 – 3x4 – x + 3
Sol :
x2 – 4x + 3,x3 – x3 – 3x4 – x + 3 का गुणनखंड है।

(v) t – 1, t3 + t2 – 2t + 1
Sol :
t – 1, t3 + t2 – 2t + 1


(vi) t2 – 5t + 6,t2 + 11t – 6
Sol :
t2 – 5t + 6,t2 + 11t – 6  का गुणनखंड है।

Question 8

बहुपदों p(x), g(x), q(x) और r(x) के उदाहरण दें जो विभाजन एलोरिथ्य
p(x)=g(x).q(x)+r(x), घात r(x)<घात g(x) को संतुष्ट करते हो:
और निम्नलिखित शर्तो को भी संतुष्ट करते है:

(i) घात p(x)=घात q(x)+1
(ii) घात q(x)=1
(iii) घात q(x)=घात r(x)+1
Sol :
(i) p(x) = 12x2 + 8x + 25,
g(x) = 4,

q(x) = 3x2 + 2x + 6 , r(x) = 0

g(x).q(x) + r(x) = (3x2 + 2x + 6)×4 + 1
= 12x2 + 8x + 24 + 1
= 12x2 + 8x + 25

Sol :
(ii) 
p(x) = t3 + t2 – 2t, g(x) = t2 + 2t,
q(x) = t – 1 , r(x) = 0
q(x) = 1

g(x).q(x) + r(x) = (t2 + 2t)×(t – 1) + 0
= t3 – t2 + 2t2 – 2t
= t3 + t2 – 2t

Sol :
(iii)
p(x) = x3 + x2 + x + 1 , g(x) = x2 – 1,
q(x) = x + 1 , r(x) = 2x + 2

g(x).q(x) + r(x) = (x2 – 1)×(x + 1) + 2x + 2
= x3 + x2 – x – 1 + 2x + 2
= x3 + x2 + x + 1


Question 9

नीचे दिए गये बहुपदी के सभी शून्यकों को ज्ञात करे यदि दी गई संख्यायें उनके शून्यक हैं।

(i) x3 – 6x2 + 11x – 6;3
Sol :
p(x)=
x3 – 6x2 + 11x – 6
x=3
x-3=0


x2–3x+2=0
x2–2x-x+2=0
x(x-2)-1(x-2)=0
(x-2)(x-1)=0

\begin{array}{l|l}

x-2=0 &x=2

\\x-1=0 &

x=1

\end{array}


∴ अभिष्ट शून्यक ;1, 2 तथा 3


(ii) x4 – 8x3 + 23x2 – 28x + 12;1,2
Sol :
p(x)=x4-8x3+23x2-28x+12
x=1, x=2
x-1=0, x-2=0
(x-1)(x-2)=0
x2-2x-x+2=0
x2-3x+2=0

x2-5x+6=0
x2-3x-2x+6=0
x(x-3)-2(x-3)=0
(x-3)(x-2)=0

$\begin{array}{l|l}x-3=0&x-2=0 \\ x=3&x=2\end{array}$

∴ अभिष्ट शून्यक :1, 2,2 तथा 3


(iii) x3 + 2x2 – 2; – 2
Sol :
= x2 – 1
= (x – 1)(x + 1)

∴ अभिष्ट शून्यक : -1,-2 तथा 1


(iv) x3 + 5x2 + 7x + 3; – 3

Sol :
= x2 + 2x + 1
= (x + 1)2

∴ अभिष्ट शून्यक : -1,-1 तथा -3


(v) x4 – 6x3 – 26x2 + 138x – 35;2±√3
Sol :
p(x)=x4– 6x3 – 26x2 + 138x – 35
x=2+√3,x= 2-√3
x-2-√3=0, x-2+√3=0
(x-2-√3)(x-2+√3)=0
(x-2)x2-(√3)2=0
x2-2.x.2.+22-3=0
x2-4x+1=0

= x2 – 2x – 35
= x2 – 7x + 5x – 35
= x(x – 7) + 5(x – 7)
= (x + 5)(x – 7)


$\begin{array}{l|l} x-7=0 &x+5=0 \\ x=7&x=-5 \end{array}$

∴ अभिष्ट शून्यक : -5, 7, 2+√3 तथा 2-√3


(vi) x4 + x3 – 34x2 – 4x + 120;2, – 2.
Sol :
p(x)=x4 + x3 – 34x2 – 4x + 120
 (x + 2)(x – 2) = x2 – 4
=x2 + x – 30
= x2 + 6x – 5x – 30
= x(x + 6) – 5(x + 6)
= (x + 6)(x – 5)

∴ अभिष्ट शून्यक : –2 ,– 6, 2 तथा 5

(vii) 2x4 + 7x3 – 19x2 – 14x + 30;√2, – √2
Sol :
p(x)=2x4 + 7x3 – 19x2 – 14x + 30
 (x – √2)(x + √2) = x2 – 2 
=2x2 + 7x – 15
= 2x2 + 10x – 3x – 15
= 2x(x + 5) – 3(x + 5)
= (2x – 3)(x + 5)
∴ अभिष्ट शून्यक : – 5, – √2, √2 तथा $\frac{3}{2}$


Question 10

सत्यापित करें कि $3,-1,-\frac{1}{3}$ त्रिघाती बहुपद $p(x)=3 x^{3}-5 x^{2}-11 x-3$ के शून्यक हैं और शून्यकों एवं गुणांको के बीच के सम्बन्ध को बी सत्यापित करे ।
Sol :
$p(x)=3 x^{3}-5 x^{2}-11 x-3$
x=3 पर

$p(3)=3(3)^{3}-5(3)^{2}-11(3)-3$
=81-45-33-3
=81-81
=0

∴x=3, p(x) का शून्यक है।
$p(x)=3 x^{3}-5 x^{2}-11 x-3$
x=1 पर,

$P(-1)=3(-1)^{3}-5(-1)^{2}-11(-1)-3$
=-3-5+11-3
=-11+11
=0

x=-1, p(x) का शुन्यक है।

$p(x)=3 x^{3}-5 x^{2}-11 x-3$
$x=-\frac{1}{3}$ पर,

$P\left(-\frac{1}{3}\right)=3\left(-\frac{1}{3}\right)^{3}-5\left(\frac{-1}{3}\right)^{2}-11\left(\frac{-1}{3}\right)-3$

$=3\left(\frac{-1}{27}\right)-5\left(\frac{1}{9}\right)+\frac{11}{3}-3$

$=-\frac{1}{9}-\frac{5}{9}+\frac{11}{3}-\frac{3}{1}$

$=\frac{-1-5+33-27}{9}$

$=\frac{-33+33}{9}=\frac{0}{9}$

=0


$x=-\frac{1}{3}$, p(x) का शून्यक है।


$p(x)=3 x^{3}-5 x^{2}-11 x-3$
a=3, b=-5, c=-11, d=-3

माना $\alpha=3, \beta=-1, \gamma =-\frac{1}{3}$

(i) $\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}$
$3+(-1)+\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{-(-5)}{3}$
$2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$
$\frac{6-1}{3}=\frac{5}{3}$
$\frac{5}{3}=\frac{5}{3}$

(ii) $\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma {\alpha}=\frac{c}{a}$
$3(-1)+(-1)\left(-\frac{1}{3}\right)+\left(-\frac{1}{3}\right) \times 3=\frac{-11}{3}$
$-3+\frac{1}{3}-1 \quad=-\frac{11}{3}$
$-4+\frac{1}{3}=-\frac{11}{3}$
$\frac{-12+1}{3}=\frac{-11}{3}$
$\frac{-11}{3}=-\frac{11}{3}$

(iii) $\alpha \beta \gamma=\frac{-d}{a}$
$3\times (-1) \times\left(\frac{-1}{3}\right)=-\frac{(-3)}{3}$
1=1

Question 11

सत्यापित करें कि त्रिघाती बहुपद के के बगल में दी गई संख्यायें। उनके शून्यक है । उनके शून्यकों एवं गुणांको के बीच के सम्बन्ध को भी सत्यापित करें।
(i) $x^{3}-4 x^{2}+5 x-2 ; 2,1,1$
(ii) $x^{3}-6 x^{2}+11 x-6 ; 1,2,3$
(iii) $x^{3}+2 x^{2}-x-2 ;-2,-1,1$
(iv) $x^{3}+5 x^{2}+7 x+3 ;-3,-1,-1$
Sol :


Question 12

1,2,3 शून्यांक वाले त्रिघातीय बहुपद ज्ञात करे।
Sol :
माना त्रिघात बहुपद के शून्यांक α ,β,तथा γ है।
α = 1, β = 2 and γ = 3
α + β + γ = 1 + 2 + 3 = 6
αβ + βγ + γα = (1)(2) + (2)(3) + (3)(1)
= 2 + 6 + 3
= 11

और αβγ = 1 × 2 × 3
= 6

त्रिघात बहुपद:
= x3 – (α + β + γ) x2 + (αβ + βγ + γα)x – αβγ
= x3 – (6) x2 + (11)x – 6
= x3 – 6 x2 + 11x – 6

∴ अभिष्ठ बहुपद: $x^{3}-6 x^{2}+11 x-6$


Question 13

-3-2,2 शून्यांक वाले त्रिघातीय बहुपद ज्ञात करें।
Sol :







Question 14

उस त्रिषातीय बहुपद को ज्ञात करें जिसके शून्यकों का योग, दो-दो करके शून्यकों के गुणनफल का योग तथा उसके तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 0,-7 और - 6 हैं ।
Sol :
माना त्रिघात बहुपद के शून्यक α,β तथा γ है।
α+β+γ=0
αβ+βγ+γα=-7
αβγ=-6

त्रिघात बहुपद:
$p(x)=k\left[x^{3}-(x+\beta+\gamma) x^{2}+(\alpha\beta+\beta \gamma+\gamma\alpha)-\alpha \beta \gamma\right]$
$=k\left[x^{3}-0 \cdot x^{2}-7 x-(-6)\right]$
$=k\left(x^{3}-7 x+6\right)$
∴अभिष्ट बहुपद $x^{3}+7 x+6$


Question 15

एक त्रिघातीय बहुपद को ज्ञात करें जिनके शून्यकों का योग, दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग तथा इसके तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः नीचे दी गई संख्याएँ हैं।

(i) 2,-7,-14
(ii) $-4, \frac{1}{2},-\frac{1}{3}$
(iii) $\frac{5}{7}, \frac{1}{7}, \frac{1}{7}$
(iv) $\frac{2}{5}, \frac{1}{10}, \frac{1}{2}$
Sol :











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