KC Sinha Mathematics Solution Class 10 Chapter 5 समांतर श्रेढी ( Arithmetic progression) Exercise 5.1

Exercise 5.1

TYPE-I अनुक्रम जिसके n वाँ पद दिये हों , के पदों को ज्ञात करने पर आधारित प्रश्न:

Question 1

निम्न प्रकार से परिभाषित अनुक्रमों के प्रथम तीन पदों को लिखे?

(i) t_n = 3n + 1

Sol :

n = 1,2,3 रखने पर,
t₁ = 3(1) + 1 = 3 + 1 = 4
t₂ = 3(2) + 1 = 6 + 1 = 7
t₃ = 3(3) + 1 = 9 + 1 = 10

∴ प्रथम तीन पद 4, 7, 10 

(ii) t_n = 2ⁿ

Sol :
n = 1,2,3 रखने पर,
t₁ = 2¹ = 2
t₂ = 2² = 2 × 2 = 4
t₃ = 2³ = 2 × 2 × 2 = 8

∴ प्रथम तीन पद 2 , 4 , 8

(iii) t_n = n² + 1

Sol :
n = 1,2,3 रखने पर,
t₁ = (1)² + 1 = 1 + 1 = 2
t₂ = (2)² + 1 = 4 + 1 = 5
t₃ = (3)² + 1 = 9 + 1 = 10

∴ प्रथम तीन पद 2 , 5 , 10

(iv) t_n = n(n + 2)

Sol :
n = 1,2,3 रखने पर,
t₁ = (1)(1+2) = (1)(3) = 3
t₂ = (2)(2+2) = (2)(4) = 8
t₃ = (3)(3+2) = (3)(5) = 15

∴ प्रथम तीन पद 3 , 8 , 15

(v) t_n = 2n+5
Sol :

n = 1,2,3 रखने पर,
t₁ = 2(1) + 5 = 2 + 5 = 7
t₂ = 2(2) + 5 = 4 + 5 = 9
t₃ = 2(3) + 5 = 6 + 5 = 11

∴ प्रथम तीन पद 7 , 9 , 11

(vi) $\mathrm{t}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}-3}{4}$

Sol :
n = 1,2,3 रखने पर,
$\mathrm{t}_{1}=\frac{1-3}{4}=\frac{-2}{4}=\frac{-1}{2}$

$\mathrm{t}_{2}=\frac{2-3}{4}=\frac{-1}{4}$

$\mathrm{t}_{3}=\frac{3-3}{4}=0$

∴ प्रथम तीन पद $=\frac{-1}{2}, \frac{-1}{4} ,0$

Question 2

निम्नलिखित अनुक्रमों , जिनके n वाँ पद दिए गये है , के पूछे गये (indicated) पदो को ज्ञात करे।

(i) $t_n=\frac{n^2(n+1)}{3}; t_1,t_2$

Sol :

n=1 रखने पर,

$t_1=\frac{(1)^2(1+1)}{3}=\frac{1(2)}{3}=\frac{2}{3}$

n=2 रखने पर,

$t_2=\frac{2^2(2+1)}{3}=\frac{4(3)}{3}=4$

(ii) $t_n=\frac{n(n-2)}{n+3}; t_20$

Sol :

t₂₀ में n=20 रखने पर  

$\mathrm{t}_{20}=\frac{20(20-2)}{20+3}$

$=\frac{20 \times 18}{23}=\frac{360}{23}$

(iii) t_n= (n - 1)(2 - n)(3 + n) ; t₂₀

Sol :

t₂₀ मे n=20 रखने पर
t₂₀ = (20 – 1)(2 – 20)(3+20)
= (19)(-18)(23)
= -7866

(iv) $\mathrm{t}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{t}_{\mathrm{n}-1}}{\mathrm{n}^{2}}, \mathrm{t}_{1}=3$;

$\mathrm{t}_{2}, \mathrm{t}_{3},(\mathrm{n} \geq 2)$

Sol :

$\mathrm{t}_{2}=\frac{\mathrm{t}_{2-1}}{(2)^{2}}=\frac{\mathrm{t}_{1}}{4}=\frac{3}{4}$ [given : t₁ = 3]
and $\mathrm{t}_{3}=\frac{\mathrm{t}_{3-1}}{(3)^{2}}=\frac{\mathrm{t}_{2}}{9}$

$=\frac{\frac{3}{4}}{9}=\frac{3}{4 \times 9}=\frac{1}{12}$ $\left[\because \mathrm{t}_{2}=\frac{3}{4}\right]$

Question 3

निम्नलिखित उपक्रमों के आगामी तीन पदों को लिखे:-

(i) t₂=2 , t_n-1+1, (n≥3)

Sol :

निकाले t₃ , t₄, t₅ 

t₃= t_3-1+1 =t₂+1 [दिया है : t₂=2 ]

=2+1=3

 t₄=t_4-1+1= t₃+1 [t₃=3]

= 3+1=4

 t₅=t_5-1+1= t₄+1 [t₄=4]

= 3+1=4

∴आगामी तीन पद 3 , 4 , 5

(ii) t₁=3 , t_n=3t_n-1+2 सभी n>1 के लिए

Sol :

Given : 

t₁=3 और निकाले t₂ , t₃, t₄ 

t₂=3t_2-1+2 =3t₁+2 [t₁=3] 

=3(3)+2=11

t₃=3t_3-1+2 =3t₂+2 [t₂=11] 

=3(11)+2=35

t₄=3t_4-1+2 =3t₃+2 [t₃=35] 

=3(35)+2=107