KC Sinha Mathematics Solution Class 11 Chapter 2 संबंध (Relation) Exercise 2.1

Exercise 2.1

Question 1

(a) यदि(If)A={a,b,c} और(and)B={x,y,z}, तो ज्ञात कीजिए(then find)
(i) A×B
Sol :
={a,b,c}×{x,y,z}
={(a,x),(a,y),(a,z),(b,x),(b,y),(b,z),(c,x),(c,y),(c,z)}

(ii) B×A
Sol :
={x,y,z}×{a,b,c}
={(x,a),(x,b),(x,c),(y,a),(y,b),(y,c),(z,a),(z,b),(z,c)}

(iii) A×A
Sol :
={a,b,c}×{a,b,c}
={(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c)}

(b) यदि(If)A={0},B={1,{2}}, तो ज्ञात कीजिए A×B(then find A×B)
Sol :
A={0},B={1,{2}}

A×B={(0,1),(0,{2})}

(c) ज्ञात कीजिए(Find)A×A जब(when)A={1,2,3}
Sol :

(e) यदि(If)A={a,b,c} और(and) B={r},समुच्चय बनाइए(form the sets)A×B और(and)B×A
क्या दोनो गुणनफल बराबर है ।(Are these two products equal ?)
Sol :
A×B={a,b,c}×{r}
={(a,r),(b,r),(c,r)}

B×A={r}×{a,b,c}
={(r,a),(r,b),(r,c)}

A×B≠B×A

Question 2

यदि(If)A={1,2,3},B={1,2},C={3,5,7}, तो ज्ञात कीजिए(then find):
(i) A×(B⋃C)
Sol :
={1,2,3}×{1,2,3,5,7}
={(1,1),(1,2),(1,3),(1,5),(1,7),(2,1),(2,2),(2,3),(2,5),(2,7),(3,1),(3,2),(3,3),(3,5),(3,7)}

(ii) A×(B∩C)
Sol :
={1,2,3}×ɸ
=ɸ

(iii) (A⋃B)×C
Sol :
={1,2,3}×{3,5,7}

(iv) (A∩B)×C
Sol :


(v) (A×B)⋃(A×C)
Sol :


(vi) (A×B)∩(A×C)
Sol :
={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)}∩{(1,3),(1,5),(1,7),(2,3),(2,5),(2,7),(3,3),(3,5),(3,7)}
=ɸ

Question 7

यदि(If)A={1,2,3,a,b},B={2,3,a,c,d},C={1,b,a,d,e}, तो वैधता जाँच कीजिए(then test the validity of)
(A-B)×C=(A×C)-(B×C)
Sol :
L.H.S
(A-B)×C={1,b}×{1,b,a,d,e}
={(1,1),(1,b),(1,a),(1,d),(1,e),(b,1),(b,b),(b,a),(b,d),(b,e)}

R.H.S
(A×C)-(B×C)
={(1,1),(1,b),(1,a),(1,a),(1,e),(2,1),(2,b),(2,a),(2,d),(2,e),(3,1),(3,b),(3,a),(3,d),(3,e),(a,1),(a,b),(a,a),(a,d),(a,e),(b,1),(b,b),(b,a),(b,d),(b,e)}-{(2,1),(2,b),(2,a),(2,d),(2,e),(3,1),(3,b),(3,a),(3,d),(3,e),(a,1),(a,b),(a,a),(a,d),(a,e),(c,1),(c,b),(c,a),(c,d),(c,e),(d,1),(d,b),(d,a),(d,d),(d,e)}

={(1,1),(1,b),(1,a),(1,d),(1,e),(b,1),(b,b),(b,a),(b,d),(b,e)}

∴(A-B)×C=(A×C)-(B×C)

Question 9

माना कि(Let)A={1,2}, B={1,2,3,4},C={5,6} और(and)D={5,6,7,8} जाँच कीजिए(verify that)
(i) A×C⊆B×D
Sol :
L.H.S
A×C={1,2}×{5,6}
={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6)}

R.H.L


(ii) A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)
Sol :
B×D={1,2,3,4}×{5,6,7,8}
={(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8)}

∴A×C⊆B×D

Question 10

यदिa∈{2,4,6,9}और b∈{4,6,18,27}, तो ऐसे सभी क्रमित युग्म(a,b) बनाइए कि a विभाजित करता है b को और a<b
Sol :
अभिष्ट क्रमित युग्म समुच्चय={(2,4),(2,6),(2,18),(6,18),(9,18),(9,27)}

Question 11

यदि a∈{-1,2,3,4,5} और b∈{0,3,6}, सभी क्रमित युग्मो(a,b) के समुच्चय लिखिए ताकि a+b=5
If a∈{-1,2,3,4,5}and b∈{0,3,6}, write down the set of all ordered pairs(a,b) such that a÷b=5
Sol :
अभिष्ट क्रमित युग्म समुच्चय
={(-1,6),(2,3),(5,0)}

Question 12

यदि क्रमित युग्म (x,-1) और (5,y) समुच्चय {(a,b):b=2a-3} का अवयव है तो x और y का मान ज्ञात कीजिए
If the ordered pairs(x,-1) and (5,y) belong to the set
{(a,b):b=2a-3}, find the value of x and y
Sol :
(x,-1)∈{(a,b):b=2a-3}

∴-1=2x-3

-1+3=2x

2=2x

$x=\frac{2}{2}$

x=1

(5,y)∈{(a,b):b=2a-3}

∴y=2(5)-3

y=10-3

y=7

Question 13

निम्नलिखित समुच्चयो को स्पष्ट रुप से व्यक्त कीजिए
Express the following sets explicitly
(i) {(x,y):x²+y²=25,x,y∈N}
Sol :
{(3,4),(4,3)}

(ii) {(x,y):2x+3y=15,x,y∈W}
Sol :
{(0,5),(3,3),(6,1)}

Question 14

निम्नलिखित कथनो मे बतलाइए कि सत्य है अथवा असत्य है । यदि असत्य  है तो इसे सही बनाकर लिखिए
State whether following statements are true or false. If it is false , rewrite it correctly
(i) यदि(If) A={1,2},B={3,4}, तो(then) A×(B⋃ɸ)=ɸ
Sol :

असत्य:

A={1,2},B={3,4}

A×(B⋃ɸ)=A×B

={1,2}×{3,4}

={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}

(ii) यदि(If) A={1,2},B={3,4}, तो(then) A×(B∩ɸ)=ɸ
Sol :
A×(B∩ɸ)
=A×ɸ
=ɸ
सत्य

(iii) यदि(If) A={2,3},B={4,5}, तो(then) A×B={(2,4),(3,5)}=ɸ

Sol :

असत्य

A={2,3},B={4,5}

A×B={(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}

Question 15

यदि(If)A={-1,1}, ज्ञात कीजिए(find)A×A×A
Sol :
A×A={-1,1}×{-1,1}
={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}

A×A×A={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}×{-1,1}(-1,-1,-1),(-1,-1,1),(-1,1,-1)(1,1,-1),(1,1,1)}

Question 16

(i) यदि (if) (x+2, 4)=(5, 2x+y) तो x और y का मान ज्ञात कीजिए (find x and y)

(ii) यदि (if) (x-2, 2y+1)=(y-1, x+2) तो x और y का मान ज्ञात कीजिए (find x and y )

(iii) यदि (if) (x+1, y-2)=(3 , 1) तो x और y का मान ज्ञात कीजिए (find x and y )

(iv) यदि (if) $\left(\frac{a}{3}, b+5\right)$=(-1,-2), तो a और b का मान ज्ञात कीजिए (find a and b)

Sol :

(i) (x+2, 4)=(5 , 2x+y)

$\begin{array}{c|c}x+2=5 & 2 x+y=4 \\x=5-2 & 2(3)+y=4 \\x=3 & 6+y=4\\ & y=-2\end{array}$

Question 17

यदि (if) A={a,b,c} और (and) B={p,q} , तो ज्ञात कीजिए (then find )

(i) n(A×B)

(ii) n(B×A)

(iii) n(A×A)

Sol :

n(A)=3 , n(B)=2

(i) n(A×B)=n(A)×n(B)

=3×2=6

(ii) n(B×A)=n(B)×n(A)

=2×3=6

(iii) n(A×A)=n(A)×n(A)

=3×3=9

Question 19

यदि (if) A×B={(p,q),(p,r),(m,q),(m,r)}, तो A और B ज्ञात कीजिए (find A and B)

Sol :

A×B={(p,q),(p,r),(m,q),(m,r)}

A के अवयव, A×B के क्रमित युग्मो के प्रथम घटको का समुच्चय होगा।

B के अवयव, A×B के क्रमित युग्मो के द्वितीय घटकों का समुच्चय होगा।

A={p,m} , B={q,r}

Question 20

A और B ऐसे दो समुच्चय है कि n(A)=3 और n(B)=2, यदि A×B मे (x,1),(y,2),(z,1) है तो A और B ज्ञात कीजिए, जहाँ x,y,z एक-दूसरे से भिन्न अवयव है।

Sol :

n(A)=3, n(B)=2

(x,1),(y,2),(z,1)∈A×B

∴A={x,y,z}, B={1,2}

Question 21

यदि A={a,b,c} और A×B के कुछ अवयव (a,p),(b,q),(c,p) है । A×B के शेष अवयवो को लिखिए यदि n(A×B)=6

Sol :

A={a,b,c}, (a,p),(b,q),(c,p)∈A×B

∵n(A×B)=6

n(A)×n(B)=6

3×n(B)=6

$n(B)=\frac{6}{3}$

n(B)=2

∴B={p,q}

A×B={a,b,c}×{p,q}

={(a,p),(a,q),(b,p),(b,q),(c,p),(c,q)}

∴A×B के शेष अवयवः (a,q),(b,p) और (c,q)

Question 22

 यदि B={2,3,5} और (a,2),(b,3),(c,5) A×B मे हो तो A×B के शेष अवयवो को ज्ञात कीजिए ताकि n(A×B) न्यूनतम है।

Sol :

B={2,3,5}, (a,2),(b,3),(c,5)∈A×B

∴A={a,b,c}

A×B={a,b,c}×{2,3,5}

={(a,2),(a,3),(a,5),(b,2),(b,3),(b,5),(c,2),(c,3),(c,5)}

∴A×B के शेष अवयव

(a,3),(a,5),(b,2),(b,5),(c,2),(c,3)

Question 23

यदि (If) A={1,2,4} और (and) B={1,2,3} निम्नलिखित समुच्चयो को आलेख द्वारा निरूपित कीजिए (represent graphically the following sets)

(i) A×B

(ii) A×A

Sol :

(i) A×B

={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(4,1),(4,2),(4,3)}

(ii) A×A

={(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4)}

Question 24

 यदि (If) A={1,2,3} , B={4,5}, निम्नलिखित गुणन को तीर आरेख द्वारा निरूपित कीजिए (represent the following products by arrow diagrams)

(i) A×B

(ii) B×B

Sol :

(i) A×B

(ii) B×B

Question 25

साबित कीजिए कि (prove that)

(i) (A∪B)×C=(A×C)∪(B×C)

(ii) (A∩B)×C=(A×C)∩(B×C)

Sol :

(i) माना (x,y)∈(A∪B)×C

⇔x∈(A∪B), y∈C

⇔(x∈A या x∈B),  y∈C

⇔(x∈A y∈C) या (x∈B y∈C)

⇔(x,y)∈A×C या (x,y)∈(B×C)

⇔(x,y)∈(A×C)∪(B×C)

∴(A∪B)×C=(A×C)∪(B×C)

(ii) माना (x,y)∈(A∩B)×C

⇔x∈(A∩B), y∈C

⇔(x∈A और x∈B),  y∈C

⇔(x∈A y∈C) और (x∈B y∈C)

⇔(x,y)∈A×C और (x,y)∈(B×C)

⇔(x,y)∈(A×C)∩(B×C)

∴(A∪B)×C=(A×C)∩(B×C)

Question 26

यदि (If) A×B⊆X×Y और (and) A×B≠ф, तो साबित कीजिए कि(then prove that) A⊆X और (and) B⊆Y

Sol :

माना (x,y)∈A×B⇒x∈A, y∈B

⇒(x,y)∈X×Y (A×B⊆X×Y)

⇒x∈X, y∈Y

∴A⊆X, B⊆Y

Question 27

साबित कीजिए कि (prove that) A×A=B×B⇒A=B

Sol :

माना (x,y)∈A×A⇔x∈A, y∈A

(x,y)∈B×B  (∵A×A=B×B)

⇔x∈B, y∈B

∴A=B