Exercise 3.1
Question 1
जाँच कीजिए कि निम्नलिखित संबंधो मे कौन फलन है? यदि वे फलन है तो उनके प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिए।(i) f={(1,4),(2,3),(3,4),(4,3)}
(ii) g={(2,5),(-1,0),(1,6)}
(iii) h={(1,2),(2,2),(3,2)}
(iv) ф={(1,2),(1,3),(2,5)}
(v) ψ={(2,1),(3,1),(5,2)}
(vi) u={(2,1),(5,1),(8,1),(11,1),(14,1),(17,1)}
(vii) v={(0,0),(1,1),(1,-1),(4,2),(4,-2),(9,3),(9,-3),(16,4),(16,-4)}
Sol :
(i) f एक फलमन है, प्रांत={1,2,3,4}
परिसर={3,4}
(ii) g एक फलन है, प्रांत={2,-1,1}
परिसर={5,0,6}
(iii) h एक फलन है, प्रांत={1,2,3}
परिसर={2}
(iv) ф एक फलन नही है।
अवयव का दो प्रतिबिंब 2 तथा 3 है।
Question 2
मान लीजिए कि (Let) A={1,2,3} और (and) B={4,5}मान लीजिए कि (Let) f={(2,4),(3,5)} क्या A से B मे f एक फलन है?
[If f is a function from A into B?]
Sol :
f={(2,4),(3,5)}
f, A से B मे एक फलन नही है।
क्योकि 1 का कोई प्रतिबिंब B मे मौजुद नही है
Question 3
मान लीजिए कि A={1,2,3},B={3,6,9,10} निम्नलिखित संबंधो मे A से B मे कौन फलन है ?उनके परिसर भी ज्ञात कीजिए यदि वे फलन है ।f={(1,9),(2,3),(3,10)}
Sol :
f फलन है परिसर={3,9,10}
g={(1,6),(2,10),(3,9),(1,3)}
Sol :
g एक फलन नही है ।
h={(2,6),(3,9)}
Sol :
h एक फलन नही है ।
u={(x,y):y=3x;x∈A}
Sol :
u={(1,3),(2,6),(3,9)}
u एक फलन है ।
परिलर={3,6,9}
Question 7
मान लीजिए कि $f=\left\{\left(\frac{m}{n}, m\right) ; m \in Z, n \in Z, n \neq 0\right\}$ से परिभाषित Q×Z एक उपसमुच्चय है । क्या Q से Z मे f एक फलन है । अपने उत्तर का औचित्य दीजिए ।Sol :
f एक फलन नहीं है
$f\left(\frac{2}{1}\right)=2 \quad, \quad f\left(\frac{4}{2}\right)=4$
$f=\left\{\left(\frac{2}{1}, 2\right),\left(\frac{4}{2}, 4\right),\dots3\right.$
f={(2,2),(2,4)..}
Question 8
मान लीजिए कि N प्राकृत संख्याओ का समुच्चय है और N पर परिभाषित संबंध R इस प्रकार है किR={(x,y):y=2x,x,y∈N},R के प्रांत , सहप्रांत और परिसर ज्ञात कीजिए क्या यह संबंध फलन है ?
Sol :
R={(x,y):y=2x,x,y∈N}
R={(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)....}
R का प्रांत={1,2,3,4..}=N
R का परिसर={2,4,6,8..}=एक संख्याओ का समुच्चय
R का सहप्रांत={1,2,3,4,...}
संबंध R एक फलन है।
Question 9
(i) f(x)=2x-5 से एक फलन f परिभाषित है , ज्ञात कीजिए f(0),f(7) और f(-3)[A function f is defined by f(x)=2x-5, find f(0),f(7) and f(-3)]
Sol :
(ii) यदि (If) f(x)=x2+4,x∈R , तो ज्ञात कीजिए (then find) f(2),f(-5) और (and)f(t+2),t∈R
Sol :
(iii) यदि(If) f(x)=x2+1,x∈R, तो ज्ञात कीजिए (find) f(1)×f(4)
Sol :
(i) f(x)=2x-5
x=0 पर, f(0)=2(0)-5=-5
x=7 पर , f(7)=2(7)-5
=14-5=9
x=3 पर, f(3)=2(-3)-5
=-6-5=-11
(ii)
f(x)=x2+4
f(t+2)=(t+2)2+4
=t2+2.t.2+22+4
=t2+4t+8
f(1)=12+1=2
f(4)=42+1=17
f(1)×f(4)=2×17=34
(i)
f(x)=x2+2x+1
f(-1)=(-1)2+2(-1)+1
=1-2+1=0
f(1)=12+2(1)+1
=1+2+1=4
f(-1)×f(1)=04=0
f(-1)+f(1)=0+4=4
f(0)=02+2(0)+1=1
f(-1)+f(0)≠f(0)
Question 11
(i) मान लीजिए कि f={(1,1),(2,3),(0,-1),(-1,3)} कुछ पूर्णाको a और b के लिए Z से Z मे एक फलन f(x)=ax+b से परिभाषित है । a और b कीजिएSol :
माना y=f(x)
y=ax+b
(0,-1)∈f
∴-1=a(0)+b
-1=b
(1,1)∈f
1=a(1)+b
1=a+b
1=a-1
2=a
(ii) मान लीजिए कि (Let) f={(1,1),(2,3),(0,-1),(-1,-3)} Z से Z मे एक रेखिक फलन है तो f(x) ज्ञात कीजिए [be a linear function from Z to Z , find f(x)]
Sol :
माना वह रेखिक फलनy=f(x)=ax+b है ।
y=ax+b
(0,-1)∈f
-1=a(0)+b
-1=b
(1,1)∈f
1=a(1)+b
1=a+b
1=a-1
2=a
∴ अभिष्ट फलन
f(x)=2x-1
Question 14
मान लीजिए कि A={9,10,11,12,13} तथा f:A→N,f(n)=n का महत्तव अभाज्य गुणनखंड द्वारा परिभाषित है । f का परिसर ज्ञात कीजिएSol :
f={(9,3),(10,5),(11,11),(12,3),(13,13)}
f का परिसर={3,5,11,13}
Question 15
यदि A={-3,-2,-1,0,1,2,3} और f(x)=x2-1,f:A→R को परिभाषित करता है , तो f का परिसर ज्ञात कीजिएSol :
f(-3)=(-3)2-1=8
f(-2)=(-2)2-1=3
f(-1)=(-1)2-1=0
f(0)=(0)2-1=-1
f(1)=(1)2-1=0
f(2)=(2)2-1=3
f(3)=(3)2-1=8
f={(-3,8),(-2,3),(0,-1),(1,0),(2,3),(3,8)}
परिसर={-1,0,3,8}
Question 16
निम्नलिखित फलनो का प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिएFind the domain and range of the following functions
(i) f(x)=x
Sol :
प्रांत=R, परिसर=R
f(x)=x,x∈R के लिए ,f(2) का मीन वास्तविक होगा
∴प्रांत=R
Let y=f(x)⇒y=x,x के वास्तविक मान के लिए , y∈R परिसर=R
(ii) f(x)=2-3x
Sol :
f(x)=2-3x
x∈R पर , f(x) का मान वास्तविक होगा
∴प्रांत=R
माना y=f(x)
y=2-3x⇒3x=2-y
$x=\frac{2-y}{3}$
x के वास्तविक मान के लिए , y∈R
परिसर=R
(iii) f(x)=x2-1
Sol :
f(x)=x2-1
x∈R, पर f(x) का मान वास्तविक होगा
प्रांत=R
माना y=f(x)
y=x2-1
y+1=x2
$\sqrt{y+1}=x$
x के वास्तविक मान के लिए
y+1≥0
y≥-1
परिसर=[-1,∞]
(iv) f(x)=x2+2
Sol :
f(x)=x2+2
f(x) के वास्तविक मान के लिए ,
x∈R
प्रांत=R
माना y=f(x)⇒y=x2+2
y-2=x2
x के वास्तविक मान के लिए
y-2≥0
y≥2
परिसर=[2,∞)
(v) f(x)=$\sqrt{x-1}$
Sol :
$f(x)=\sqrt{x-1}$
f(x) के वास्तविक मान के लिए,
x-1≥0
x≥1
प्रांत=[1,∞)
माना y=f(x)⇒$y=\sqrt{x-1}$
y2=x-1
y2+1=x
x के वास्तविक मान के लिए,
y∈R+
परिसर=[0,∞)
Question 17
फलन $f(x)=\frac{x^{2}+3 x+5}{x^{2}-5 x+4}$ का प्रांत ज्ञात कीजिएSol :
f(x) के वास्तविक मान के लिए,
x∈R-{x:x2-5x+4=0}
x∈R-{1,4}
प्रांत=R-{1,4}
Question 18
फलन f(x)=2-3x,x>0 का परिसर ज्ञात कीजिएFind the range of the function f(x)=2-3x,x>0
Sol :
माना y=f(x)
y=2-3x
3x=2-y
$x=\frac{2-y}{3}>0$, y∈(-∞,2)
परिसर=(-∞,2)
Question 19
निम्नलिखित फलनो का प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिएFind the domain and range of the following functions
(i) {(x,$\sqrt{9-x^{2}}$):x∈R}
Sol :
f(x)=$\sqrt{9-x^{2}}$
f(x) के वास्तविक मान के लिए
9-x2≥0
-x2≤0
x2≥9
-3≤x≤3
प्रात=[-3,3]
माना y=f(x)
$y=\sqrt{9-x^{2}}$
x2=9-y2
$x=\sqrt{9-y^{2}}$
x के वास्तविक मान के लिए
9-y2≥0
-y2≥-9⇒y2≤9
-3≤y≤3
परिसर=[0,3] (∵y≥0)
(ii) {(x,-|x|):x∈R}
Sol :
f(x)=-|x|
f(x) के वास्तविक मान के लिए
x∈R
प्रांत=R
x∈R,f(x)[-∞,0]
परिसर=[-∞,0]
Question 20
निम्नलिखित नियमो द्वारा परिभाषित फलन का परिभाषा, प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिएFind the domain of definition and range of the function defined by the rules:
(i) f(x)=x2
(ii) g(x)=|x|
(iii) $h(x)=\frac{1}{3-x^{2}}$
Sol :
$h(x)=\frac{1}{3-x^{2}}$
h(x) मे वास्तविक मान के लिए ,
x∈R-{x:3-x2=0}
x∈R-{-√3,3}
प्रांत=R-{-√3,√3}
माना y=f(x)
$y=\frac{1}{3-x^{2}}$
3y-x2y=1
3y-1=x2y
$\frac{3 y-1}{y}=x^{2}$
$\sqrt{\frac{3 y-1}{y}}=x$
x के वास्तविक मान के लिए
3y-1≥0,y≠0
3y≥1,y<0
$y \geq \frac{1}{3}$,
परिसर=(-∞,0)∪$\left[\frac{1}{3}, \infty\right)$
(iv) u(x)=$\sqrt{4-x^{2}}$
Sol :
Question 21
निम्नलिखित नियमो पर विचार कीजिए
Consider the following rules:(i) f:R→R:f(x)=logex
Sol :
f और g फलन नही है
(ii) g:R→R:g(x)=√x
Sol :
x के ऋणात्मक मानो के लिए परिभाषित नही है
(iii) h:A→R:h(x)$=\frac{1}{x^{2}-4}$ , जहाँ (where) A=R-{-2,2}उनमे कौन फलन है ? उनका परिसर ज्ञात कीजिए यदि वे फलन है ।
Sol :
h(x) के वास्तविक मान के लिए
x2-4≠0
x2≠4⇒x≠-2,2
h एक फलन है ।
माना y=f(x)⇒$y=\frac{1}{x^{2}-4}$
x2y-4y=1
x2y=1+4y
$x^{2}=\frac{1+4 y}{y}$
$x=\sqrt{\frac{1+4 y}{y}}$
$x^{2}=\frac{1+4 y}{y}$
$x=\sqrt{\frac{1+4y}{y}}$
x के वास्तविक मान के लिए ,
1+4y≤0,y≠0
या y>0
1+4y≤0
4y≤-1
$y \leq-\frac{1}{4}$
परिसर$=\left(-\infty,-\frac{1}{4}\right] \cup(0,\infty)$
Question 22
मान लीजिए $f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}$ द्वाराf:R-{2}→R, तथा g(x)=x+2 g:R→R से परिभाषित है । ज्ञात कीजिए f=g है या नहीं ।
Sol :
Domain(f)=R-{2}
Domain(g)=R
f≠g
Question 23
मान लीजिए कि f:R→R क्रमश f(x)=x+1,g(x)=2x-3 द्वारा परिभाषित हैf+g,f-g और $\frac{f}{g}$ ज्ञात कीजिए
Sol :
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
=x+1+2x-3
=3x-2, जहा f+g:R→R
(f-g)(x)=f(x)-g(x)
=x+1-2x+3
=-x+4 , जहाँ f-g:R→R
$\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$
$=\frac{x+1}{2 x-3}$ , 2x-3≠0
$=\frac{x+1}{2 x-3}, \quad x \neq \frac{3}{2}$
जहाँ $\frac{f}{g}: R-\left\{\frac{3}{2}\right\} \rightarrow R$
Question 24
मान लीजिए कि f={(1,1),(2,3),(0,-1),(-1,-3)}Z से Z मे एक रैखिक फलन है और g(x)=x , तो f+g ज्ञात कीजिएSol :
(f+g)={(1,2),(2,5),(0,-1),(-1,-4)}
Question 25
ज्ञात कीजिए (Find) f+g,f-g,f.g,$\frac{f}{g}$ और(and) αf(α∈R) यदि(if)(i) $f(x)=\frac{1}{x+4}, x \neq . .4$ और(and) g(x)=(x+4)3
Sol :
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
$=\frac{1}{x+4}+(x+4)^{3}$
$=\frac{1+(x+4)^{4}}{x+4}$,x≠-4
(f-g)(x)=f(x)-g(x)
$=\frac{1}{(x+4)}-(x+4)^{3}$
$=\frac{1-(x+4)^{4}}{x+4}$,x≠-4
(f.g)(x)=f(x).g(x)
$=\left(\frac{1}{x+4}\right) \times(x+4)^{3}$
=(x+4)2
$\left(\frac{f}{g} \right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$
$=\frac{\frac{1}{x\neq4}}{(x+4)^{3}}=\frac{1}{(x+4)^{4}}$,x≠-4
α.f=$\alpha \cdot\left(\frac{1}{x+4}\right)$
$=\frac{\alpha}{x+4}$ ,x≠-4
(ii) f(x)=cosx,g(x)=ex
Sol :
f(x)=cosx, g(x)=ex
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
=cosx+ex
(f-g)(x)=f(x)-g(x)
=cosx-ex
(f.g)x=f(x).g(x)
=cosx.ex
$\left(\frac{f}{g}\right) x=\frac{f(x)}{g(x)}$
$=\frac{\cos x}{e^{x}}$
=e-x.cosx
α.f(x)=α.cosx
(iii) f(x)=$\sqrt{x-1}$ , g(x)=$\sqrt{x+1}$
Sol :
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
$=\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}$ ,x≥1
(f-g)(x)=f(x)-g(x)
$=\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}$,x≥1
(f.g)(x)=$\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+1}$,x≥1
$=\sqrt{x^{2}-1^{2}}$,x≥1
$=\sqrt{x^{2}-1}$,x≥1
$\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$
$=\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}$,x≥1
α.f(x)=α$\sqrt{x-1}$,x≥1
Question 26
यदि (If) f(x)=x,g(x)=|x| , ज्ञात कीजिए (find)(f+g)(-2),(f-g)(2),(f.g)(2),$\frac{f}{g}(2), 5 f(2)$Sol :
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
=x+|x|
(f+g)(-2)=-2+|-2|
=-2+2
=0
(f-g)(x)=f(x)-g(x)
=x-|x|
(f-g)(2)=2-|2|=2-2=0
(f.g)(x)=f(x).g(x)
=x.|x|
(f.g)(2)=2.|2|
=2×2=4
$\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$
$=\frac{x}{|x|}$
$\left(\frac{f}{g}\right)(-2)=\frac{-2}{|-2|}$
$=\frac{-2}{2}=-1$
5f(2)=5×2=10
f(x)=x
f(2)=2
Question 27
Question 28
Question 29
Question 30
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