KC Sinha Mathematics Solution Class 11 Chapter 1 समुच्चय (Sets) Exercise 1.3

Exercise 1.3

Question 1

यदि(If) A={1,2,3,4}, B={3,4,5,6},C={5,6,7,8} और (and) D={7,8,9,10} तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए । (then find the following)

(i)B∪C

(ii) B∪C∪D

(iii) A∪B∪C

(iv) A∪B∪D

Sol :

(i)B∪C

={3,4,5,6}∪{5,6,7,8}

={3,4,5,6,7,8}

(ii) B∪C∪D

={3,4,5,6}∪{5,6,7,8,}∪{7,8,9,10}

={3,4,5,6,7,8,9,10}

Question 2

यदि (If) A={3,5,7,9,11} B={7,9,11,13}, C={11,13,15} और D={15,17} तो ज्ञात कीजिए(then find the following)

(i) A∩C

(ii) B∩C

(iii) A∩(B∪D)

(iv) (A∪B)∩(B∪C)

Sol :

(i) A∩C

={3,5,7,9,11}∩{11,13,15}

={11}

(iii) A∩(B∪D)

={3,5,7,9,11}∩{7,9,11,13,15,17}

={7,9,11}

(iv) (A∪B)∩(B∪C)

={7,9,11}∩{7,9,11,13,15}

={7,9,11}

Question 3

यदि(If) X={a,b,c,d} और Y={f,b,d,g} तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए (then find the following )

(i) X∩Y

(ii) X-Y

(iii) Y-Z

Sol :

(i) X∩Y

={a,b,c,d}∩{f,b,d,g}

={b,d}

(ii) X-Y

={a,b,c,d}-{f,b,d,g}

={a,c}

(iii) Y-Z

={f,b,d,g}-{a,b,c,d}

={f,g}

Question 5

यदि R वास्तविक संख्याओं और Q परिमेय संख्याओं के समुच्चय हैं, तो R - Q को समुच्चय निमाण रूप में लिखिए।

[If R is the set of real numbers and Q is the set of rational numbers, then write R-Q in set builder form]

Sol :

R-Q=अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय

={x:x एक अपरिमेय संख्या है}

Question 6

निम्नलिखित में से प्रत्येक समुच्चय युग्मों का सर्वनिष्ठ ज्ञात कीजिए

[Find the intersection of each of the following pair of sets]:

(i) A={1,3,5} B={1,2,3}

(ii) A={a,e,i,o,u} B={a,b,c}

(iii) A={1,2,3} B=ф

(iv) A={x:x एक प्राकृत संख्या है और 3 का गुणज है}

B={x:x संख्या 6 से कम एक प्राकृत संख्या है}

(v)A={x:x एक प्राकृत संख्या है और 1<x≤6}

B={x:x एक प्राकृत संख्या है और 6<x<10}

Sol :

(i) A∩B={1,3}

(ii)A∩B={a}

(iii) A∩B=ф

(iv) A={3,6,5,12,15...}

B={1,2,3,4,5}

A∩B={3}

(v) A={2,3,4,5,6,}

B={7,8,9}

A∩B=ф

Question 8

यदि(If) S={0,1,2,3,..9}, A={0,1,2,3,4},B={1,2,3}, C={5,6,7} D={5,7,8,9}, तो ज्ञात कीजिए (then find)

(i) B-A

(ii) A'

(iii) (C∪D)'

(iv) (D-C)'

(v) C∪S

(vi) A-(B-C)

Sol :

(i) B-A

={1,2,3}-{0,1,2,3,4}

=ф

(ii) A'={5,6,7,8,9}

(iii) (C∪D)'

={5,6,7,8,9}'

={0,1,2,3,4}

(iv) (D-C)'

={8,9}'

={0,1,2,3,4,5,6,7}

(vi) A-(B-C)

={0,1,2,3,4}-{1,2,3}

={0,4}

Question 11

प्राकृत संख्याओ के समुच्चय को समष्टीय मानते हुए निम्नलिखित समुच्चयो के पूरक लिखिए ।

[Taking the set of natural numbers as the universal set, write down the complements of the following sets]

(i) {x:x एक सम प्राकृत संख्या है}

(ii) {x:x एक अभाज्य संख्या है}

(iii) {x:x एक विषम प्राकृत संख्या है}

(iv) {x:x एक विषम पूर्ण घन संख्या है}

(v) {x:2x+5=9}

(vi) {x:x≥7, x∈N}

(vii) {x:x∈N और 2x+1>10}

Sol :

S={1,2,3,4,5,....}

(i) A={x:x एक सम प्राकृत संख्या है}

A'={x:x एक विषम प्राकृत संख्या है}

(ii) B={x:x एक अभाज्य संख्या है}

B"={x:x एक भाज्य संख्या है तथा x=1}

(iv) D={x:x एक पूर्ण घन संख्या है}

D'={x:x एक पूर्ण घन संख्या नही है,x∈N}

(v) E={x:2x+5=9}

E'={x:x∈N,x≠2}

(vi) {1,2,3,4,5,6}

{x:x∈N,x≤63}

(vii) 2x+1>10

2x>9

$n>\frac{9}{2}$

$\left\{x: x \in N, x<\frac{9}{2}\right\}$

Question 12

मान लीजिए कि किसी समतल मे स्थित सभी त्रिभुजो का समुच्चय समष्टीय समुच्चय S है। यदि A उन सभी त्रिभुजौ का समुच्चय है जिनमे कम-से-कम एक कोण 60° से भिन्न है, तो A' क्या है?

[[Let S be the sct of all triangles in a plane. If A is the set of all triangles with at least one angle different from 60° , what is A']

Sol :

A' = समनाहु त्रिभुजो का समुच्चय

Question 13

निम्निलिखत कथनों को सत्य बनाने के लिए रिक्त स्थानो को भरिए [Fill in the blanks to make each of the following a true statement]

(i) A∪A'=S

(ii) U'∩A=ф

(iii) A∩A'=ф

(iv) ф'∩A=A

Question 14

माना कि (Let) A={x:x∈Z⁺}, जहाँ Z⁺सभी धन पूर्णांको के समुच्चय को सूचित करता है।

[where Z⁺ denotes the set of all positive integers]

B={x:x=3n, n∈Z}

i.e.={...9,-6,-3,0,3,6,9,.....}

C={x:x ऋण पूर्णांक है}

i.e.={-1,-2,-3,.....}

D={x:x विषम धन पूर्णांक है}

i.e.={1,3,5,7,....}

ज्ञात कीजिए(Find)

(i) A∩C

Sol :

A∩C=ф

(ii) A-B

Sol :

A-B={1,2,4,5,7,8,10....}

={x:x धन पूर्णांक है लेकिन 3 का गुडज नही है}

={x:x ∈Z⁺,x≠3n, n∈Z⁺}

(iii) A∪D

Sol :

={1,2,3,4,...}

={x:x∈Z⁺}

Question 18

वास्तिक संख्या रेखा पर यदि A=[0,3] और B=[1,4], तो कीजिए

[On the real line, if A=[0,3] and B=[1,4] , then find]

(i) A'

(ii) B'

(iii) A∪B

(iv) A∩B

(v) A-B

Sol :

(i)A'=(-∞,0)∪(3,∞)

(ii) B'=(-∞,1)∪(4,∞)

(iii) A∪B=[0,4]

(iv) A∩B=[1,3]

(v) A-B=[0,1)

Question 19

ऐसे समुच्धय A, B, C का उदाहरण दीजिए ताकि A∩B≠ф ,B∩C≠ф और A∩C≠ф लेकिन A∩B∩C≠ф.

[Give an example of sets A,B,C such that A∩B≠ф ,B∩C≠ф and A∩C≠ф but A∩B∩C≠ф]

Sol :

A=[1,2], B=[2,3,4], C={1,4,5}

A∩B={2}

B∩C={4}

A∩C={1}

A∩B∩C={} या ф

Question 20

निम्नलिखित समुच्यों में से कौन किसका उपसमुच्चय है, इसका निर्णय कीजिए ।

A={x:x∈R तथा x²-8x+12=0 को संतुष्ट करने वाली सभी वास्तविक संख्याएँ x,}

B={2,4,6}C={2,4,6,8...},D={6}

[Decide among the following sets, which sets are subsets of one and another A={x:x∈R and x satisfy x²-8x+12=0},B={2,4,6}C={2,4,6,8...},D={6}]

Sol :

⇒A={2,6}, B={2,4,6}, C={2,4,6,8,...}

D={6}

⇒D⊆A,D⊆B,D⊆C

⇒A⊆B,A⊆C

⇒B⊆C

Question 21

यदि(If) S={2,3,4,5,7,9}, A={3,7},B={2,5,7,9}, तो ज्ञात कीजिए ( then find)

(i) A∩B' (ii) B∩A' .साथ ही जाँच कीजिए (Also verify that) (A∪B)'=A'∩B'

Sol :

(i) A∩B'

={3,7}∩{3}

={3}

(ii) B∩A'

={2,5,7,9}∩{2,5,9}

={2,5,9}

Verify that

(A∪B)'=A'∩B'

L.H.S

(A∪B)'={2,3,5,7,9}'

=ф

A'∩B'={2,5,9}∩{3}

=ф

Question 23

यदि (If) A={x:x धन पूर्णांक <8 है और x,3 या 5 का गुणज है}

B={x:x³-6x²+11x-6=0}

C={x:x एक सम संख्या ≤7 है},तो दिखलाइए कि(then show the)

(i) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

(ii) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

(iii) A∩(B∩C)=(A∩B)∩C

Sol :

A={3,5,6},

x³-6x²+11x-6=0

x³-x²-5x²+5x+6x-6=0

x²(x-1)-5x(x-1)+6(x-1)=0

(x-1)[x²-5x+6]=0

(x-1)[x²-3x-2x+6]=0

(x-1)[x(x-3)-2(x-3)]=0

(x-1)(x-2)(x-3)=0

x=1,2,3

A={3,5,6}

B={1,2,3}

C={2,4,6}

Question 24

समुच्चयो A. B, C के लिए समुच्चयी संक्रियाओं के गुणधमों का प्रयोग करके निम्नलिखित को साबित कीजिए [For sets A, B and C, prove the following using the properties of set operations] :

(i) (A∪B)-A=B-A

Sol :

(A∪B)-A

=(A∪B)∩A'

=(A∪A')∪(B∩A)'

=ф∪(B-A)

=B-A

Proved

(ii) A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)

Sol :

L.H.S

=A-(B∪C)

=A∩(B∪C)'

=A∩(B'∩C')

=(A∩B')∩(A∩C')

=(A-B)∩(A-C)

(iii) A∪(B-A)=A∪B

Sol :

L.H.S

=A∪(B-A)

=A∪(B∩A')

=(A∪B)∩(A∪A')

=(A∪B)∩S [A∪A'=S]

=A∪B

(iv) A-(B-C)=(A-B)∪(A∩C)

Sol :

L.H.S

=A-(B-C)

=A-(B∩C')

=A∩(B∩C')'

=A∩(B'∪(C')')

=A∩(B'∪C)

=(A∩B')∪(A∩C)

=(A-B)∪(A∩C)

(v) (A-B)-C=A-(B∪C)

Sol :

[USED

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

(A∪B)'=A'∩B'

A-B=A∩B']

L.H.S

=(A-B)-C

=(A∩B')-C

=(A∩B')∩C'

=A∩(B'∩C')

=A∩(B∪C)'

=A-(B∪C)

(vi) A-(A-B)=B⇔B⊆A

Sol :

L.H.S

=A-(A-B)

=A-(A∩B')

=A∩(A∩B')'

=A∩(A'∪(B')')

=A∩(A'∪B)

=(A∩A')∪(A∩B)

=ф∪(A∩B)

=ф∪B=B (∵B⊆A)

(vii) $A \cup(A \cap B)=A$

Sol :

L.H.S

$=A \cup(A \cap B)$

$=(A \cup A) \cap(A \cup B)$

$=A \cap(A \cup B)$

i.e.

A={1,2,3}

B={3,4,5}

$A \cap(A \cup B)$

{1,2,3}∩{1,2,3,4}

{1,2,3} A

(viii) $(A \cap B) \cup(A-B)=A$

Sol :

L.H.S

$=({A} \cap B) \cup(A-B)$

$=\langle A \cap B) \cup\left(A \cap B^{\prime}\right)$

$=((A \cap B) \cup A) \cap\left((A \cap B) \cup B^{\prime}\right]$

$=((A \cup A) \cap(B \cup A)) \cap\left(\left(A \cup B^{\prime}\right) \cap\left(B \cup B^{\prime}\right)\right)$

$=(A \cap(B \cup A)) \cap\left(\left(A \cup B^{\prime}\right) \cap S\right)$

$=A \cap\left(A \cup B^{\prime}\right)$

(ix) $\mathrm{A} \cap(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\mathrm{A}$

Sol :

L.H.S

$=A \cap(A \cup B)$

$=(A \cap A) \cup ( A \cap B)$

$=A \cup(A \cap B)$

i.e.

A={1,2,3}

B={3,4,5}

$A \cup(A \cap B)$

$\{1,2,3\}\cup\{3\}$

{1,2,3}=A

(x) $A \cup(B-A)=A \cup B$

Sol :

L.H.S

$=A \cup(B-A)$

$=A \cup\left(B \cap A^{\prime}\right)$

$=(A \cup B) \cap\left(A \cup A^{\prime}\right)$

$=(A \cup B) \cap S$

$=A \cup B$

(xi) $(\mathrm{A} \cup \mathrm{B}) \cap\left(\mathrm{A} \cup \mathrm{B}^{\prime}\right)=\mathrm{A}$

Sol :

Question 25

निम्नलिखित को साबित कीजिए (Prove the following) :

(i) $\mathrm{A} \cap \mathrm{B} \subseteq \mathrm{A}$ और $\mathrm{A} \cap \mathrm{B} \subseteq \mathrm{B}$.

Sol :

Let $x \in A \cap B \Rightarrow x \in A$ और x∈B

$\Rightarrow x \in A$

$\therefore A \cap B \subseteq A$

Similarly,

Let $x \in A \cap B \Rightarrow x \in A$ और x∈B

$\Rightarrow x \in B$

$\therefore A \cap B \subseteq B$

(ii) $A=B \Rightarrow A \cap C=B \cap C$

Sol :

A=B

दोनो तरफ intersection C लेने पर,

$A \cap C=B \cap C$

(iii) $\mathrm{C} \subseteq \mathrm{A}$ और $\mathrm{C} \subseteq \mathrm{B} \Rightarrow \mathrm{C} \subseteq \mathrm{A} \cap \mathrm{B}$

Sol :

Let $x \in C \Rightarrow x \in A~[\because \subseteq A]$

$\Rightarrow x \in B \quad(\because C\subseteq B)$

∴x∈A और x∈B

$\Rightarrow x \in A \cap B$

$\therefore C \subseteq A \cap B$

(iv) $A \subseteq B \Rightarrow B^{\prime} \subseteq A^{\prime}$

Sol :

Let $x \in B^{\prime} \Rightarrow x \notin B$

$\Rightarrow x \notin A[\because A \subseteq B]$

$\Rightarrow x \in A^{\prime}$

$\therefore B^{\prime} \subseteq A^{\prime}$

(v) $(A \cup \phi) \cap(A \cap \phi)=\phi$

Sol :

L.H.S

$(A \cup \phi) \cap(A \cap \phi)$

$=A \cap \phi$

$=\phi$

(vi) $A \cap(A \cup B)=A \cup(A \cap B)=A$

Sol :

$A \cap(A \cup B)=(A \cap A) \cup(A \cap B)$

$=A \cup(A \cap B)$

$A \cup(A \cap B)=(A\cup A) \cap[A \cup B]$

$=A \cap(A \cup B)$

(vii) $A \subseteq B \Rightarrow C-B \subseteq C-A$

Sol :

Let $x \in C-B \Rightarrow x \in C$ और $x \notin B$

$\Rightarrow x \in C$ और x∉A (∵A⊆B)

$\Rightarrow x \in C$ और x∈A'

$\Rightarrow x \in C \cap A'$

$\Rightarrow x \in C-A$

$\therefore C-B \subseteq C-A$

(viii) $A \subseteq \phi \Rightarrow A=\phi$

Sol :

Let $x \in A \Rightarrow x \in \phi$ [A=ф]

∵ф⊆A

∴A=ф

(ix) $A^{\prime} \cup B=S \Rightarrow A \subseteq B$

Sol :

Let $x \in A \Rightarrow x \in S$

$\Rightarrow x \in A^{\prime} \cup B\left(\because A^{\prime} \cup B=S\right)$

$\Rightarrow x \in A^{\prime} \text{ or } x \in B$

$\Rightarrow x \in B$

∴A⊆B

S={1,2,3,...}

B={1,2,3}

B'={4,5,6...10}

Question 26

निम्नलिखित को साबित कीजिए. (Prove the following) :

(i) (A')'=A

Sol :

Let x∈A⇔x∉A'

⇔x∈(A')'

∴A⊆(A')'

Let x∈A⇒x∉A'

⇒x∈A

∴(A')'⊆A

Hence,(A')'=A

(ii) A-B=A-(A∩B)=(A∪B)-B

Sol :

=A-(A∩B)

$=A \cap(A \cap B)^{\prime}$

$=A \cap\left(A^{\prime} \cup B^{\prime}\right)$

$=\left(A \cap A^{\prime}\right) \cup\left(A \cap B^{\prime}\right)$

=ф∪(A-B)

=A-B

$(A \cup B)-B=(A \cup B) \cap B^{\prime}$

$=\left(A \cap B^{\prime}\right) \cup(B \cap B')$

$=(A-B) \cup \phi$

=A-B

(iii) $(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) \cup(\mathrm{A}-\mathrm{B})=\mathrm{A}$

Sol :

(iv) $\mathrm{A} \cap(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})^{\prime}=\phi$

Sol :

L.H.S

$A \cap(A \cup B)^{\prime}$

$=A \cap\left(A^{\prime} \cap B^{\prime}\right)$

$=\left(A \cap A^{\prime}\right) \cap B^{\prime}$

$=\phi \cap B'$

$=\phi$

(v) $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=\mathrm{A}$ और $\mathrm{A} \cup \mathrm{B}=A \Rightarrow \mathrm{A}=\mathrm{B}$

Sol :

$A \cap B=A \Rightarrow A \subseteq B$

और $A \cup B=A \Rightarrow B \subseteq A$

∴A=B

(vi) $A-B=A \Leftrightarrow A \cap B=\phi$

Sol :

माना A-B=A

A और B असंयुक्त समुच्चय है।

$A \cap B=\phi$

माना $A \cap B=\phi$

A और B असंयुक्त समुच्चय है।

A-B=A

(vii) $A \subset B \subseteq C \Rightarrow C-(B-A)=A \cup(C-B)$

Sol :

=C-(B-A)

$=C-\left(B \cap A^{\prime}\right)$

$=C\cap\left(B \cap A^{\prime}\right)^{\prime}$

$=C \cap\left(B^{\prime} \cup\left(A^{\prime}\right)^{\prime}\right)$

$=C \cap\left(B^{\prime} \cup A\right)$

$=\left(C\cap B^{\prime}\right) \cup(C \cap A)$

$=(C-B) \cup A$

$=A \cup(C-B)[\because A \subseteq B \subseteq C]$

(viii) $(A \cup B) \cap B^{\prime}=A \Leftrightarrow A \cap B=\phi$

Sol :

माना

(A∪B)∩B'=A

(A∩B')∪(B∩B')=A

(A-B)∪ф=A

A-B=A

A तथा B अंसयुक्त समुच्चय है।

A∩B=ф

माना A∩B=ф

A तथा B अंसयुक्त समुच्चय है।

A-B=A

(A-B)∪ф=A

(A∩B')∪(B∩B')=A

(A∪B)∩B'=A

Proved

Question 27

दिखलाइए कि निम्नलिखित प्रतिबंभ समतुल्य हैं

[Show that the following conditions are equivalent]

(i) A⊆B

Sol :

Let x∈A

⇒x∈B

(ii) A∩B=A

Sol : A⊆B

(iii) A-B=ф

Sol : A⊆B

(iv) A∪B=B

Sol : A⊆B

Question 28

निम्नलिखित समुच्चयों को छायांकित कीजिए [Shade the following sets]

(i) A∩(B∪C)

Sol :

(ii) C-(A∪B)

Sol :

(iii) (A∪B)∩(A∪C)

Sol :

(iv) (A∩B)∪(A∩C)

Sol :