KC Sinha Mathematics Solution Class 11 Chapter 2 संबंध (Relation) Exercise 2.2

Exercise 2.2

Question 1

(i) माना कि A={2,4,8},R={(2,4),(4,8),(8,16)}से परिभाषित कीजिए । क्या A पर R एक संबंध है ?
Sol :
R={(2,4),(4,8),(8,16)}

16∉A

∴R,A पर एक संबंध नही है

(ii) मान लीजिए कि A={1,2,4},B={2,4,6}, R={(2,2),(4,4),(6,6)} से परिभाषित कीजिए । क्या A से B मे R एक संबंध है ?
Sol :
A={1,2,4},B={2,4,6}

R={(2,2),(4,4),(6,6)}

6∉A , अत: R,A से B मे R एक संबंध नही है ।

(iii) मान लीजिए कि A={1,2,3},B={2,4}, R={(1,2),(2,2),(2,4),(3,4)} से परिभाषित कीजिए । क्या A से B मे R एक संबंध है ?
Sol :
A={1,2,3},B={2,4}

R={(1,2),(2,2),(2,4),(3,4)}

R≤A×B

अत R,A से B मे एक संबंध है ।


(iv) xRy⇔x<y द्वारा परिभाषित एक संबंध R,A={1,2,3,4,5} से B={1,2,4} मे ज्ञात कीजिए ।
Sol :
A={1,2,3,4,5},B={1,2,4}

R={(x,y):x<y};x∈A और y∈B

R={(1,2),(1,4),(2,4),(3,4)}

Question 2

R को क्रमित युगिमो के समुच्चय के रुप में लिखिए।
Write R as a set of ordered pairs
(i) मान लीजिए कि(Let) R={(x,y):2x+3y<10,x,y∈N}
Sol :
R={(1,1),(1,2),(2,1),(3,1)}

(ii) मान लीजिए कि(Let) R={(x,y):(x,y)∈Z×Z,(x+y)(y+2004)+1=0}
Sol :
R={(2002,-2003),(2006,-2005)}

(iii) मान लीजिए कि(Let) R={(x,y):(x,y)∈Z×Z,4x²+9y²=36}
Sol :
R={(3,0),(-3,0),(0,2),(0,-2)}

Question 3

मान लीजिए कि (Let) R={(x,y):x,y∈W,y=2x-4},यदि(If)(a-2)∈R और(and) (4,b²)∈R, संबंध R₁={(a,b)} ज्ञात कीजिए(Find the relation) R₁={(a,b)}
Sol :
R={(x,y):x,y∈W,y=2x-4}

(a,-2)∈R
y=2x-4
-2=2a-4
-2+4=2a
2=2a
1=a

(4,b²)∈R
b²=(2)4-4
b²=8-4
b²=4
b=±√4
b=±2

 R₁={(1,2),(1,-2)}

Question 4

दियं गये संबंध R={(0,2),(-1,5),(2,-4)...} के क्रमित युग्मो के घटको के बीच रैखिक संबंध ज्ञात कीजिए
Sol :
माना रैखिक संबंध:y=ax+b

(0,2)∈R

∴2=2(0)+b

2=b

(-1,5)∈R

∴5=a(-1)+b

5=-a+2

a=2-5=-3

∴ रैखिक संबंध

y=-3x+2

y=2-3x

Question 5

मान लीजिए कि(Let)A={a:a∈N,2≤a≤6}
B={b:b∈N,3<b<7} और R={(a,b):a∈A,b∈B,a तथा b सहअभाज्य संख्याएँ (coprime) है}
Sol :
A={2,3,4,5},B={4,5,6}

R={(a,b);a∈A,b∈B,a तथा b सहअभाज्य संख्याएँ है}

R={(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),(5,4),(5,6)}

Question 6

निम्नलिखित संबंधो के प्रांत तथा परिलर ज्ञात कीजिए
Find the domain and range of the following relations
(i) {(1,2),(1,4),(1,6),(1,8)}
Sol :
प्रांत={1} ,परिसर={2,4,6,8}

(ii) {(x,x³):x,10 से कम एक अभाज्य संख्या है}
Sol :
प्रांत={2,3,5,7} ,परिसर={8,27,125,343}

(iii) {(x,y):x∈N,x<5,y=3}
Sol :

={(1,3),(2,3),(3,3),(4,3)}

प्रांत={1,2,3,4} ,परिसर={3}


(iv) {(x,y):x∈N,y∈N और(and) x+y=10}
Sol :
={(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(7,3),(8,2),(9,1)}

प्रांत={1,2,3,4,5,6,7,8,9} ,
परिसर={9,8,7,6,5,4,3,2,1}

(v) {(x,x+5):x∈{0,1,2,3,4,5}}
Sol :

={(x,x+5),(1,6),(2,7),(3,8),(4,9),(5,10)}

प्रांत={0,1,2,3,4,5} ,
परिसर={5,6,7,8,9,10}

Question 7

संबंध का प्रांत और परिसर ज्ञात कीजिए
(i) $\left\{\left(x, \frac{1}{x}\right)\right.$ :0<x<4 और x प्राकृत संख्या है }
Sol :
={(1,1),$\left.\left(2, \frac{1}{2}\right),\left(3, \frac{1}{3}\right)\right\}$}

प्रांत={1,2,3}

परिसर$=\left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right\}$

(ii) {(x,y):x,y∈N और x प्राकृत संख्या है}
Sol :
={(1,8),(2,6),(3,4),(4,2)}

प्रांत={1,2,3,4}

परिसर={2,4,6,8}

Question 8

मान लीजिए कि संबंध R कि प्राकृत संख्याओ N के समुच्चय पर a+3b=12 से परिभाषित है । ज्ञात कीजिए (i) R (ii) R का प्रांत (iii) R का परिसर
Sol :
R={(a,b),a,b∈N और a+3b=12}

(i) R={(3,3),(6,2),(9,1)}

(ii) R का प्रांत={3,6,9}

(iii) R का परिसर={3,2,1}

Question 9

मान लीजिए A={1,2} और B={3,4} ,A से B में संबंधो की संख्या ज्ञात कीजिए
Sol :
यदि n(A)=m और n(B)=p

तो A से B मे संबंधो की संख्या=2^m×p

=2⁴

=16

Question 10

मान लीजिए A={x,y},A पर सभी संबंधो की सूची बनाइए । साथ ही A पर संबंधो की संख्या ज्ञात कीजिए
Sol :
 A पर संबंधो की संख्या$=2^{2^{2}}=2^{4}$
=16

A×A={(x,x),(x,y),(y,x),(y,y)}

अभिष्ट संबंध:
ɸ,{(x,y)},{(x,x)},{(y,x)},{(y,y)},{(x,x),(x,y)},{(x,x),(y,x)},{(x,x),(y,y)}{(x,y),(y,x)},{(x,y),(y,y)},{(y,x),(y,y)} {(x,x),(x,y),(y,x)},{(x,x),(y,x),(y,y)},{(x,x),(x,y),(y,y)},{(x,y),(y,x),(y,y)}{(x,x),(x,y),(y,x),(y,y)}

Question 11

(i) मान लीजिए A={a,b,c},B={x,y} , A से B मे कुल संबंधो की संख्या ज्ञात कीजिए

(ii) मान लीजिए A={x,y,z},B={1,2} , A से B मे कुल संबंधो की संख्या ज्ञात कीजिए

Sol :
n(A)=3 , n(B)=2

A से B मे कुल संबंध की संख्या $=2^{3 \times 2}=2^6$
=64

Question 12

मान लीजिए कि R={(1,-1),(2,0),(3,1),(4,2),(5,3)} तो
(i) R को समुच्चय निर्माण रूप में लिखिए।
(ii) R को तीर आरेख द्वारा निरुपित कीजिए।
Sol :
माना y=ax+b एक रैखिक संबंध R मे है ।

(1,-1)∈R
-1=a(1)+b
-1=a+b..(i)

(2,0)∈R
0=a(2)+b
0=2a+b..(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से ,

$\begin{aligned}2a+b&=0\\a+b&=-1\\\hline a&=1\end{aligned}$

a का मान समीकरण (i) मे रखने पर,

-1=1+b
-2=b

∴ रैखिक संबंध:

y=(1)x+(-2)

y=x-2

∴R={(x,y);x∈N;y=x-2 तथा  x≤5}

Question 13

मान लीजिए कि A={1,2,3,4}, B={1,2,3,4,5}. मान लीजिए कि A से B मे aRb⇔a विभाजित करता है , b को , द्वारा परिभाषित है।

(i) R को जालक द्वारा निरूपित कीजिए
(ii) R को सारणी रूप मे निरूपित कीजिए

Sol :

A={1,2,3,4}  

B={1,2,3,4,5}

R={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,4),(3,3),(4,4)}

(i)

R	1	2	3	4	5
1	1	1	1	1	1
2	0	1	0	1	0
3	0	0	1	0	0
4	0	0	0	1	0

Question 14

मान लीजिए कि A={1,2,3}, B={4,5}और A से B मे एक संबंध R={(2,4),(2,5),(3,5)} से दिया गया है। R निरूपित कीजिए।

(i) सारणी रूप मे 

(ii) तीर आरेख द्वारा

Sol :

A={1,2,3} , B={4,5}

R={(2,4),(2,5),(3,5)}

(i) 

R	4	5
1	0	0
2	1	1
3	0	1

(ii)

Question 15

मान लीजिए कि A={1,2,3,4,5,6} R={(x,y):y=x+1} द्वारा A से A में एक संबंध परिभाषित कीजिए।

(i) इस संबंध को एक तीर आरेख द्वारा दर्शाइए।

(ii) R के प्रांत, सहप्रांत तथा परिसर लिखिए।

Sol :

A={1,2,3,4,5,6}

R={(x,y):y=x+1}A से A में संबंध परिभाषित है

R={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)}

(i)

(ii) R का प्रांत={1,2,3,4,5,6}

R का परिसर={2,3,4,5,6}

R का सहप्रांत={1,2,3,4,5,6}

Question 16

संबंध R={x,x³}:x,10 से कम एक अभाज्य संख्या है } को रोस्टर रुप मे लिखिए
Sol :
x∈{2,3,5,7}

R={(2,8),(3,27),(5,125),(7,3493)}

Question 17

प्राकृत संक्याओ के समुच्चयो पर R={(x,y):y=x+5} तथा x,4 से कम , एक प्राकृत संख्या है,} द्वारा एक संबंध R परिभाषित कीजिए। इस संबंध को दर्शाइए।

Sol :

x∈{1,2,3}

R={(x,y):y=x+5, x<4 and x∈N}

(i) R={(1,6),(2,7),(3,8)}

(ii)

प्रांत={1,2,3}, परिसर={6,7,8}

Question 18

दिया गय़ा आकृत समुच्चय A से B का एक संबंध दर्शाता है । इस संबंध को
(i) समुच्चय निर्माण रुप
(ii) रोस्टर रुप मे लिखिए । इसके प्रांत तथा परिसर क्या है ?
Sol :

(i) माना y=ax+b, R मे एक रैखिक संबंध है।

(5,3)∈R

3=a(5)+b

5a+b=3...(i)

(6,4)∈R

4=a(6)+b

6a+b=4...(ii)

(ii) R={(5,3),(6,4),(7,5)}

प्रांत={5,6,7}
परिसर={3,4,5}

समीकरण (i) तथा (ii) है।

$\begin{aligned}5a+b=&3\\6a+b=&4\\-\phantom{6a}-\phantom{b}=&-\phantom{4}\\ \hline -a=&-1 \end{aligned}$

a=1

a का मान समीकरण (i) मे रखने पर,

5a+b=3

5(1)+b=3

5+b=3

b=-2

∴रैखिक संबंध:

y=1(x)+(-2)

y=x-2

∴R={(x,y) : y=x-2 तथा x∈{5,6,7}}