KC Sinha Mathematics Solution Class 9 Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ (Real numbers) exercise 1.1

Exercise 1.1

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न(very short answer type questions)

TYPE-I सम्बन्ध N⊂Q⊂Z⊂Q⊂R पर आधारित प्रश्न:

Question 1

नीचे दिए गए कथन सत्य है या असत्य ? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए ।

(i) प्रत्येक पूर्णं संख्या एक प्राकृत संख्या होती है । 

Sol :

असत्य, 0 एक प्राकृत संख्या नही है । 0 पूर्ण संख्या है ।

(ii) प्रत्येक पूर्णांक एक परिमेय संख्या होता है ।

Sol :

सत्य, $\frac{2}{1}$ परिमेय संख्या है ।

(iii) प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्णाक होती है ।

Sol :

असत्य, $\frac{2}{3}$ परिमेय संख्या है लेकिन पूर्णांक नही है ।

(iv) यदि कोई परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ पूर्णांक है तो q=±1

Sol :

असत्य,$\frac{6}{2}=3$ एक पूर्णाक है । q=2

(v) यदि कोई परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ पूर्णांक नहीं है तो q=±1 नहीं हो सकता ।

Sol :

सत्य , $\frac{4}{3}$ पूर्णांक नहीं है । q=±1 

Question 2

निम्नलिखित पूर्णांको को परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ के रुप मे लिखे :

(i) 9
Sol : $9=\dfrac{9}{1}$
(ii) -13
Sol : $-13=\dfrac{-13}{1}$
(iii) 20
Sol : $20=\dfrac{20}{1}$

Question 3

(i) क्या $\frac{p}{q}$ परिमेय संख्या है यदि p=0 ?

Sol :

$\frac{0}{q}=0$ हाँ

(ii) क्या $\frac{p}{q}$ परिमेय संख्या है यदि q=0 ?

Sol :

$\frac{p}{q}=\frac{p}{0}=\infty$ नहीं

Question 4

रिक्त स्थानो को भरे:
(i) $\frac{7}{16}$ को दशमलव मे बदलने पर___दशमलव होगा ।
Sol : सांत

(ii) $\frac{3}{25}$  को दशमलव मे बदलने पर___दशमलव होगा ।
Sol : सांत

(iii) $\frac{7}{12}$  को दशमलव मे बदलने पर___दशमलव होगा ।
Sol : असांत

(iv) यदि परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ के हर का रुढ़ गुणनखण्ड 2 और 5 हो तो $\frac{p}{q}$ को ____ दशमलव के रुप मे लिखा जा सकता है ।
Sol : सांत

Question 5

निम्नलिखित परिमेय संख्याओ को दशमलव रुप मे लिखने पर कौन-सा सांत दशमलव मे होगा ।

(i) $\dfrac{2}{11}$
(ii) $\dfrac{5}{9}$
(iii) $\dfrac{9}{16}$
(iv) $\dfrac{11}{30}$
Sol : (iii) $\frac{9}{2^4}$

Question 6

निम्नलिखित परिमेय संख्याओ को दशमलव रुप मे लिखने पर कौन-सा असांत दशमलव मे होगा ।

(i) $\dfrac{5}{9}$

(ii) $\dfrac{3}{8}$

(iii) $\dfrac{7}{25}$

(iv) $\dfrac{21}{20}$

Sol : (i)

Question 7

निम्नलिखित परिमेय संख्याओ मे कौन-कौन अवसानी दशमलव को निरुपित कर सकते है ?
(i) $\dfrac{3}{8}$

(ii) $\dfrac{23}{7}$

(iii) $\dfrac{27}{40}$

(iv) $\dfrac{27}{130}$

(v) $\dfrac{38}{35}$

(vi) $\dfrac{25}{128}$

(vii) $\dfrac{17}{138}$

(viii) $\dfrac{29}{50}$

Sol :

(i),(iii),(vi),(viii)

Question 8

निम्नलिखित परिमेय संख्याओ मे कौन-कौन अनवसानी दशमलव को निरुपित कर सकते है ?

(i) $\dfrac{11}{7}$

(ii) $\dfrac{3}{10}$

(iii) $\dfrac{7}{18}$

(iv) $\dfrac{23}{250}$

(v) $\dfrac{17}{21}$

(vi) $\dfrac{29}{30}$

(vii) $\dfrac{29}{121}$

(viii) $\dfrac{31}{60}$

Sol :

(i),(iii),(v),(vi),(vii),(viii)

Question 9

निम्नलिखित भिन्नों को दशमलव में लिखिए और बताइए कि प्रत्येक का दशमलव प्रसार किस प्रकार का है:

(i) $\frac{36}{100}$

Sol :

=0.36 सांत (टर्मिनेटिंग) है।

(ii) $\frac{10}{3}$

Sol 

=3.3333....$=3.\overline{3}$ = असांत

(iii) $\frac{1}{11}$

Sol :

असांत

(iv) $\frac{7}{8}$

Sol :

सांत

(v) $\frac{3}{10}$

Sol :

सांत

(vi) $\frac{1}{3}$

Sol :

असांत

Question 11

दिखाइए कि निम्नलिखित संख्याओ को $\frac{p}{q}$ के रुप मे व्यक्त किया जा सकता है जहाँ p और q पूर्णांक है तथा q≠0

(i) $1.\overline{27}$
Sol :

माना $x=1.\overline{27}$

दोनो तरफ 100 से गुणा करने पर

$100x=127.\overline{27}$

समीकरण (ii) से (i) को घटाने पर,

⇒$100x-x=127.\overline{27}-1.\overline{27}$

⇒99x=126

⇒$x=\frac{126}{99}=\frac{14}{11}$

(ii) 0.3333...

Sol :

माना $x=0.\overline{3}$...(i)

दोनो तरफ 10 से गुणा करने पर,

$10x=3.\overline{3}$....(ii)

समीकरण (ii) से (i) को घटाने पर

⇒$10x-x=3.\overline{3}-0.\overline{3}$

⇒9x=3

⇒$x=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

(iii) $0.\overline{6}$

Sol :

(iv) 0.2353532...

Sol :

माना $x=0.\overline{235}$...(i)

(i) मे दोनो तरफ 10 से गुणा करने पर

10x=$x=2.\overline{35}$...(ii)

(i) मे दोनो तरफ 100 से गुणा करने पर

$1000x=235.\overline{35}$...(iii)

समीकरण (iii) मे से (ii) को घटाने पर

⇒$1000x-10x=235.\overline{35}-2.\overline{35}$

⇒990x=233

⇒$x=\frac{233}{990}$

(v) $3.\overline{142678}$

Sol :

Question 17

0 और 0.2 के बीच तीन परिमेय संख्याएँ ज्ञात करें । 

Sol :

पहली परिमेय संख्या

$=\frac{1}{2}(0+0.2)=\frac{0.2}{2}$

=0.1

दूसरी परिमेय संख्या

$=\frac{1}{2}(0+0.1)$

$=\frac{0.1}{2}$

=0.05

तीसरी परिमेय संख्या

$=\frac{1}{2}(0.1+0.2)$

$=\frac{0.3}{2}$

=0.15

Question 25

यदि x और y परिमेय संख्याएँ हों तो दिखायें कि निम्नलिखित भी परिमेय संख्याएँ होंगी :

(i) $x^{2}-y^{2}$

Sol :

माना $x=\frac{p}{q}$ तथा $y=\frac{m}{n}$ दो परिमेय संख्या है

(ii) x-y

Sol :

$=\left(\frac{p}{q}\right)^{2}-\left(\frac{m}{n}\right)^{2}$

$=\frac{p^{2}}{q^{2}}-\frac{m^{2}}{n^{2}}$

$=\frac{p^{2} n^{2}-q^{2} m^{2}}{q^{2} n^{2}}$

परिमेय

(iii) $\frac{x}{y}$, जहाँ $y \neq 0$

Sol :

$\frac{x}{y}=\frac{\frac{p}{q}}{\frac{m}{n}}=\frac{p n}{q m}$

परिमेय

(iv) x+y

Sol :

Question 26

यदि a एक परिमेय संख्या हो तो सिद्ध करें कि $a^n$ एक परिमेय संख्या होगी जहाँ n, 1 बड़ी प्राकृत संख्या है।

Sol :

दो परिमेय संख्याओ का गुणनफल भी एक परिमेय संख्या होती है।

$a^{2}=a \times a$=एक परिमेय संख्या

$a^{2} \times a=a^{3}$=एक परिमेय संख्या

$a^{3} \times a=a^{4}$=एक परिमेय संख्या

$a^{4} \times a=a^{5}$=एक परिमेय संख्या

...

...

..

$a^{n}$ =एक परिमेय संख्या