KC Sinha Mathematics Solution Class 10 Chapter 6 त्रिभुज ( Triangles) Exercise 6.4

Exercise 6.4

Question 1

दो समरूप त्रिभुजों ABC और DEF में AC=3cm और DF=5 cm । दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों

का अनुपात ज्ञात कीजिए।

Sol :

Question 2

दो समरूप त्रिभुजों की संगत ऊँचाइयाँ क्रमशः 6cm और 9cm हैं उनके क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात कीजिए।

Sol :

दो समरूप के क्षेत्रफल का अनुपात उनके संगत ऊँचाइयो के अनुपात के वर्ग के बराबर है।

त्रिभुजो के क्षेत्रफल का अनुपात$=\left(\frac{6}{9}\right)^2$

$=\frac{4}{9}$

=4:9

Question 3

दो समरूप त्रिभुजो के क्षेत्रफल का अनुपात उनके संगत भुजाओ के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

$\frac{ar(\Delta A B C)}{ar(\Delta D E F)}=\left(\frac{BC}{E F}\right)^{2}$

$\frac{54 cm^{2}}{a r(\Delta D E F)}=\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$

$\frac{54}{ar(\Delta D E F)}=\frac{9}{16}$

9ar(ΔDEF)=54×16

$a r(\Delta D EF)=\frac{54 \times 16}{9}=96 \mathrm{cm^2}$

Question 4

दो समरूप त्रिभुजो के क्षेत्रफल का अनुपात उनके संगत भुजाओ के वर्गो का अनुपात होता है।

$\frac{a r(\Delta ABC)}{a r(\Delta DE F)}=\frac{A B^{2}}{D E^{2}}$

$\frac{20}{45}=\left(\frac{10}{DE}\right)^{2}$

$\frac{2}{3}=\frac{10}{D E}$

2DE=30

DE=15cm

Question 5

तो ज्ञात करना है

ar(ΔABC)=?

हल,

ΔABC〜ΔADE (दिया है)

दो समरूप त्रिभुजो के क्षेत्रफल का अनुपात उनके संगत भुजाओ के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

$\frac{a r(\Delta A B C)}{a r(\Delta A D E)}=\left(\frac{B C}{D E}\right)^{2}$

$\frac{a r(\Delta A B C)}{15~cm^2}=\left(\frac{6~cm}{3~cm}\right)^{2}$

$\frac{a r(\Delta A B C)}{15~cm^2}=4$

ar(ΔABC)=60cm² 

Question 6

तो ज्ञात करना है

ar(ΔABC)=?

हल

ΔABC तथा ΔADE मे,

∠ABC=∠ADE(संगत कोण)

∠ACB=∠AED(A-A समरूपता)

दो समरूप त्रिभुजो के क्षेत्रफल का अनुपात संगत भुजाओ के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

$\frac{ar(\Delta A B C)}{\operatorname{ar}(\Delta A D E)}=\left(\frac{B C}{D E}\right)^{2}$

$\frac{ar(\Delta A B C)}{25~cm^{2}}=\left(\frac{8}{4}\right)^{2}$

ar(ΔABC)=100cm² 

Question 7

DE||BC और DE $=\frac{1}{2}$BC (By MPT)

या 2DE=BC

ΔADE तथा ΔABC मे,

∠ADE=∠ABC(संगत कोण)

ΔADE〜ΔABC(A-A समरूपता)

दो समरूप त्रिभुजो के क्षेत्रफल का अनुपात संगत भुजाओ के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

$\frac{a r(\Delta A D E)}{a r(\Delta A B C)}=\left(\frac{DE}{B C}\right)^{2}=\left(\frac{DE}{2DE}\right)^2$

$=\frac{1}{4}$

=1:4

Question 8

Question 9

माना दूसरे त्रिभुज की संगत ऊँचाई x cm है।

दो समरूप त्रिभुजो के क्षेत्रफल का अनुपात संगत भुजाओ के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

$\frac{100 \mathrm{cm}^{2}}{49 \mathrm{cm}^{2}}=\left(\frac{5}{x}\right)^{2}$

$\left(\frac{10}{7}\right)^{2}=\left(\frac{5}{x}\right)^{2}$

$\frac{10}{7}=\frac{5}{x}$

2x=7 cm

x=3.5cm

दूसरे त्रिभुज की संगत ऊँचाई=3.5cm

Question 10

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल क्रमशः 100 cm²और 64cm² है। यदि छोटे त्रिफुज की एक माधिक्यका 5.6cm हो, तो दूसरे त्रिभुज की संगत माध्यका ज्ञात करें।

Sol :

माना दूसरे त्रिभुज की संगत माधियका x cm है।

दो समरूप त्रिभुजो के क्षेत्रफल का अनुपात उनके संगत माध्यिकाओ के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

$\frac{100~cm^{2}}{64~cm^{2}}=\left(\frac{x}{5.6~cm}\right)^{2}$

$\left(\frac{10}{8}\right)^{2}=\left(\frac{x}{5.6}\right)^2$

$\frac{5}{4}=\frac{x}{5.6}$

4x=5×5.6

$x=\frac{5 \times 5.6}{4}$

x=7

दूसरे त्रिभुज की संगत माधिका=7cm

Question 13

तो ज्ञात करना है ar(ΔDEF)=?

हल

ΔABC〜ΔDEF(दिया है)

दो समरूप त्रिभुजो के क्षेत्रफल का अनुपात संगत भुजाओ के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

$\frac{ar(\Delta A B C)}{a r(\Delta D EF)}=\left(\frac{AB}{DE}\right)^{2}$

$\frac{56~cm^2}{a r(\Delta DEF)}=\left(\frac{2DE}{DE}\right)^{2}$

$\frac{56 cm^{2}}{a r(\Delta D E F)}=4$

4ar(ΔDEF)=56cm² 

ar(ΔDEF)=14cm² 

Question 14

दो समरूप त्रिभुजो के क्षेत्रफल का अनुपात संगत भुजाओ के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

$\frac{a r(\Delta A D E)}{a r(\Delta ABC)}=\left(\frac{D E}{B C}\right)^{2}$

$\frac{a r(\Delta A D E)}{a r(\Delta ABC)}=\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$

$\frac{a r(\Delta A D E)}{a r(\Delta A B C)}=\frac{16}{25}$

$\frac{a r(\Delta ABC)}{a r(\Delta ADE)}=\frac{25}{16}$

दोनो तरफ 1 घटाने पर,

$\frac{ar( \Delta AB C)}{a r(\Delta A D E)}-1=\frac{25}{16}-1$

$\frac{\operatorname{ar}(\Delta A B C)-\operatorname{ar}(\Delta A D E)}{\operatorname{ar}(\Delta ADE)}=\frac{25-16}{16}$

$\frac{a r(B C E D)}{a r(\Delta A D E)}=\frac{9}{16}$

$\frac{a r(\Delta A D E)}{a r(B C E D)}=\frac{16}{9}$

=16:9

Question 15

∠B=∠A(प्रत्येक 90)

∠POB=∠QOA(V.O.A)

ΔPOB〜ΔQOA(A-A समरूपता)

दो समरूप त्रिभुजो के क्षेत्रफल का अनुपात संगत भुजाओ के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

$\frac{a r(\Delta D O B)}{a r(\Delta QO A)}=\left(\frac{PO}{QO}\right)^{2}$

$\frac{80~ \mathrm{cm}^{2}}{\operatorname{ar(\Delta QOA)}}=\left(\frac{4}{7}\right)^{2}$

$\frac{80}{ar(\Delta QOA)}=\frac{16}{49}$

ar(ΔQOA)=245cm² 

Question 16

$\frac{A P}{B P}=\frac{A Q}{C Q}$

PQ||BC (थेल्स प्रमेय के प्रतिलोम से)

ΔAPQ तथा ΔABC मे,

∠APQ=∠ABC(संगत कोण)

∠AQP=∠ACB

ΔAPQ〜ΔABC(A-A समरूपता)

दो समरूप त्रिभुजो के क्षेत्रफल का अनुपात संगत भुजाओ के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

$\frac{a r(\Delta A P Q)}{a r(\Delta A B C)}=\left(\frac{A P}{A B}\right)^{2}$

$=\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$

$\frac{a{r}(\Delta A P Q)}{a r(\Delta A B C)}=\frac{1}{16}$

$\operatorname{ar}(\Delta A P Q)=\frac{1}{16} \times ar(\triangle A B C)$

प्रमाणित

Question 17

ΔABC तथा ΔDAC मे

∠BAC=∠ADC (प्रत्येक 90)

∠C=∠C (उभयनिष्ठ)

ΔABC〜ΔDAC (A-A समरूपता)

दो समरूप त्रिभुजो के क्षेत्रफल का अनुपात संगत भुजाओ के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

$\frac{ar(\Delta A BC)}{ar(\Delta D A C)}=\left(\frac{B C}{A C}\right)^{2}$

$\frac{ar(\Delta A BC)}{ar(\Delta D A C)}=\left(\frac{13}{5}\right)^{2}$

=169:25