KC Sinha Mathematics Solution Class 11 Chapter 13 क्रमचय और संचय (Permutations and combinations) Exercise 13.6

Exercise 13.6

Question 1

कितने तरीकों से 5 व्यक्ति एक टेबुल के चारों ओर बैठ सकते है ?
[In how many ways can 5 men sit around a table]

Sol :
5 व्यक्तियों को एक टेबुल के चारों ओर बैठाने का तरीका=(5-1)!
=4!
=24

Question 2

5 लड़के और 5 लड़कियाँ एक टेबुल के चारों तरफ कितने तरीके से बैठ सकते हैं ?

[In how many ways 5 boys and 5 girls can sit around a table]

(i) यदि कोई प्रतिबंध न हों।

[if there is no restriction]

(ii) दो लड़कियाँ एक साथ नहीं बैठे।

[No two girls sit side by side]

Sol :

(i) कुल 10 व्यक्तियों को एक टेबुल के चारों ओर बैठाने का तरीका =(10-1)!=9!

(ii) 5 लड़कों की एक टेबुल के चारों ओर बैठाने का तरीका =(5-1)!=4!

5 'X' स्थानों पर 5 लड़कियों को बैठाने का तरीका $=^5P_5$=5!

कुल अभिष्ट तरीका =4!5!

Question 3

एक कक्षा में 6 लड़के और 4 लड़कियाँ है । एक टेबुल के चारों तरफ उन्हें कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है तो सभी 4 लड़कियाँ एक साथ बैठे?

[In a class of students there are 6 boys and 4 girls. In how many ways can they be seated around a table so that al the 4 girls sit together?]

Sol :
कुल छात्रों की संख्या=6+4=10

4 लड़कियों को एक छात्र मानने पर , कुल छात्रों की संख्या=10-4+1
=7

7 छात्रों को एक टेबुल के चारों ओर बैठाने का तरीका=(7-1)!
=6!

4 लड़कियों को आपस में बैठाने का तरीका=4!
∴कुल अभिष्ट तरीका=6!4!

Question 4

5 लड़कों और 5 लड़कियाँ एकान्तर क्रम में रहकर एक पंक्ति बनाते हैं। पंक्ति बनाने के तरीकों का संख्या ज्ञात कीजिए। कितने विभिन्न तरीकों से वे एक ऐसा वृत बना सकते है जिसमें लड़के और लड़कियाँ एकान्तर हों ?

[Five boys and five girls form a line with the boys and girls alternating . Find the number of ways of making the ine. In how many different ways could they form a circle such that the boys and girls are alternate?]

Sol :

(i) 5 लड़कों को एक पंक्ति में बैठाने का तरीका=5!

5 लड़कियों को एक पंक्ति में बैठाने का तरीका=5!

∴कुल अभिष्ट तरीका = 2×5!×5!

(ii) 5 लड़कों को वृत्तीय पथ पर बैठाने का तरीका =(5-1)!=4!

5 'X' स्थानों पर 5 लड़कियों को बैठाने का तरीका $=^5P_5=5!$

∴कुल अभिष्ट तरीका =4!5!

Question 5

6 लड़के और 5 लड़कियाँ एक गोल टेबुल के चारों तरफ कितने तरीकों से बैठ सकते हैं जबकि दो लड़कियाँ एक दूसरे के बाद नहीं बैठें?

[In how many ways 6 boys and 5 girls can sit at a round table when no two girls sit next to each other]

Sol :

6 लड़कों को एक गोल टेबुल के चारों ओर बैठाने का तरीका =(6-1)!

=5!

6 'X' स्थानों पर , 5 लड़कियों को बैठाने का तरीका$=^6P_5$

∴कुल अभिष्ट तरीका$=5! \times ^{6}P_5$

Question 6

एक हार बनाने के लिए 30 विभिन्न मोतियों को कितने तरीकों से सजाया जा सकता है ?

[In how many ways can 30 different pearls be arranged to form a necklace]

Sol :
एक हार बनाने के लिए 30 विभिन्न मोतियों को सजाने का तरीका$=\frac{1}{2}(30-1)!$
$=\frac{29!}{2}$

Question 7

20 देशों के 20 प्रतिनिधियों के एक गोल मेज सभा होने वाला है । कितने तरीकों से उन्हें और मेजबान को बैठाया जा सकता है यदि विशेष प्रतिनिधियों में से प्रत्येक को मेजबान के अगल-बगल बैठना है ?

[A round table conference is to be held between 20 delegates of 20 countries. In how many ways can they and the host be seated if two particular delegates are always to sit one either side of the host]
Sol :
2 विशेष प्रतिनिधियों को एक व्यक्ति मानने पर कुल व्यक्तियों की संख्या=20-2+1
=19

19 व्यक्तियों को एक गोल मेज के चारों ओर बैठाने का तरीका=(19-1)!
=18!

2 विशेष प्रतिनिधियों को आपस में बैठाने का तरीका=2!
∴ कुल अभिष्ट तरीका=18!2!

Question 8

चार भद्र पुरुष और चार महिलाओं को एक पार्टी में आमंत्रित किया जाता है । एक टेबुल के चारों तरफ उनके बैठने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि प्रत्येक भद्र पुरुष के दोनों तरफ महिलाएँ बैठ सकें।

[Four gentlemen and four ladies are invited to a certain party. Find the number of ways of seating them around a table so that only ladies are seated on the two sides of each gentlemen]

Sol :

4 भद्र पुरुषों को एक मेज के चारों ओर बैठाने का तरीका =(4-1)!=3!

4 'X' स्थानों पर 4 महिलाओं को बैठानें का तरीका$=^4P_4=4!$

∴कुल अभिष्ट तरीका=3!4!

=6×24=144

Question 9

7 अंग्रेज और 6 भारतीयों को एक गोल मेज के चारों ओर कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है ताकि दो भारतीय एक साथ नहीं रहे?

[In how many ways can 7 Englishmen and 6 Indians sit down around a table so that no two Indians are together?]

Sol :

Question 10

7 हड़कियाँ गोलाकार बनाते हुए नाच रही हैं। कितने तरीकों से वे वृत्त के रूप में खड़ी हो सकती हैं?

[Seven girls forming around are dancing. In how many ways can they stand in the circle ?]

Sol :

Question 11

एक गोल मेज के चारों तरफ 7 व्यक्तियों को कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है ताकि किन्हीं दो सजावट में सभी को एक पड़ोसी न हो।

Sol :

∴कुल क्रमचयों की संख्या$=\frac{1}{2}(7-1)!$

$=\frac{1}{2}\times 6!$

$=\frac{1}{2}\times 720$

=360