KC Sinha Mathematics Solution Class 11 Chapter 14 Binomial Theorem ( द्विपद प्रमेय ) Exercise 14.1

Exercise 14.1

Question 1

द्विपद सिद्धान्त से निम्नांकित का विस्तार कीजिए
[Expand the following by Binomial theorem:]
(i) $\left(x+\frac{1}{x}\right)^7$
Sol :
(a+x)ⁿ= ⁿC₀aⁿx⁰+ⁿC₁a^n-1x¹+ⁿC₂a^n-2x²+...ⁿC_na⁰xⁿ

=⁷C₀x⁷$\left(\frac{1}{x}\right)^0$+⁷C₁x⁶$\left(\frac{1}{x}\right)^1$+⁷C₂x⁵$\left(\frac{1}{x}\right)^2$+⁷C₃x⁴$\left(\frac{1}{x}\right)^3$+⁷C₄x³$\left(\frac{1}{x}\right)^4$+⁷C₅x²$\left(\frac{1}{x}\right)^5$+⁷C₆x¹$\left(\frac{1}{x}\right)^6$+⁷C₇x⁰$\left(\frac{1}{x}\right)^7$

=1×x⁷×1+7x⁶$\dfrac{1}{x}$+21x⁵$\dfrac{1}{x^2}$+35x⁴$\dfrac{1}{x^3}$+35x³$\dfrac{1}{x^4}$+21x²$\dfrac{1}{x^5}$+7x$\dfrac{1}{x^6}$+1×1×$\dfrac{1}{x^7}$

=x⁷+7x⁵+21x³+35x+$\frac{35}{x}+\frac{21}{x^3}+\frac{7}{x^5}+\frac{1}{x^7}$



(ii) $\left(\frac{2x}{3}-\frac{3}{2x}\right)^6$
Sol :
=⁶C₀$\left(\frac{2x}{3}\right)^6 . \left(\frac{3}{2x}\right)^0$-⁶C₁$\left(\frac{2x}{3}\right)^5 . \left(\frac{3}{2x}\right)^1$+⁶C₂$\left(\frac{2x}{3}\right)^4 . \left(\frac{3}{2x}\right)^2$-⁶C₃$\left(\frac{2x}{3}\right)^3 . \left(\frac{3}{2x}\right)^3$+⁶C₄$\left(\frac{2x}{3}\right)^2 . \left(\frac{3}{2x}\right)^4$-⁶C₅$\left(\frac{2x}{3}\right)^1 . \left(\frac{3}{2x}\right)^5$+⁶C₆$\left(\frac{2x}{3}\right)^0. \left(\frac{3}{2x}\right)^6$

=1×$\frac{64}{729}x^6$×1-6×$\frac{32}{243}x^5 \times \frac{3}{2x}$+15×$\frac{16}{81}x^4 \times \frac{9}{4x^2}$-20×$\frac{8}{27}x^3 \times \frac{27}{8x^3}$+15×$\frac{4}{9}x^2 \times \frac{81}{16x^4}$-6×$\frac{2x}{3} \times \frac{243}{32x^5}$+1×\frac{729}{64x^6}

Question 2

द्विपद सिद्धान्त से निम्नलिखित का विस्तार कीजिए
[Expand the following by Binomial theorem]
(i) $\left(x^2+\frac{2}{x}\right)^4$ , x≠0
Sol :
=⁴C₀(x²)⁴$\left(\frac{2}{x}\right)^0$+⁴C₁(x²)³$\left(\frac{2}{x}\right)^1$+⁴C₂(x²)²$\left(\frac{2}{x}\right)^2$+⁴C₃(x²)¹$\left(\frac{2}{x}\right)^3$+⁴C₄(x²)⁰$\left(\frac{2}{x}\right)^4$

=1×x⁸×1+4x⁶×$\dfrac{2}{x}$+6x⁴×$\dfrac{4}{x^2}$+4×x²$\dfrac{8}{x^3}$+1×1×$\dfrac{16}{x^4}$

=x⁸+8x⁵+24x²+$\frac{32}{x}$+\frac{16}{x^4}

(ii) (1+2x+x²)³
Sol :
=(1+x)^2×3
=(1+x)⁶=1+⁶C₁x+⁶C₂x²+⁶C₃x³+⁶C₄x⁴+⁶C₅x⁵+⁶C₆x⁶
=1+6x+15x²+20x³+15x⁴+6x⁵+x⁶

Question 3

यदि (If) (1+ax)ⁿ=1+8x+24x²+...a औऱ n ज्ञात कीजिए
Find a and n
Sol :
(1+ax)ⁿ=1+8x+24x²+...

1+ⁿC₁ax+ⁿC₂(ax)²+...=1+8x+24x²+..

1+nax+$\frac{n(n-1)}{2}a^2x^2$+...=1+8x+24x²+..

x के गुणंक तथा x² के गुणंक अलग-अलग लेने पर,

$\begin{array}{l|l}na=8&\frac{n(n-1)}{2}a^2=24\\a=\frac{8}{n}..(i)&\frac{n(n-1)}{2}.\left(\frac{8}{n}\right)^2 =24\\&\frac{n(n-1)}{2}\times \frac{64}{n^2}=24\\&\frac{32(n-1)}{n}=24\\&\frac{n-1}{n}=\frac{24}{32}\\&4n-4=3n\\&4n-3n=4\\&n=4\end{array}$

समीकरण (i) से $a=\frac{8}{n}=\frac{8}{4}$=2

Question 4

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए
[Using Binomial theorem evaluate the following]
(i) (98)⁵
Sol :
=(100-2)⁵
=⁵C₀(100)⁵.2⁰-⁵C₁(100)⁴.2¹+⁵C₂(100)³.2²-⁵C₃(100)².2³+⁵C₄(100)¹.2⁴-⁵C₅(100)⁰.2⁵


(ii) (101)⁴
Sol :

(iii) (96)³
Sol :

(iv) (102)⁵
Sol :

(v) (999)⁵
Sol :

Question 5

(0.99)⁵ के प्रसार के पहले तीन पदो का प्रयोग करते हुए इसका निकटतम मान ज्ञात कीजिए।
Sol :
(1-x)⁵=1-ⁿC₁x+ⁿC₂x²-ⁿC₃x³+....+(-1)ⁿ .ⁿC_nxⁿ

(0.99)⁵=(1-0.01)⁵ के प्रकार के पहले 3 पद=1-⁵C₁.(0.01)+⁵C₂.(0.01)²
=1-5×(0.01)+10×(0.0001)
=1-0.05+0.001
=1.001-0.05
=0.951

Question 6

(0.99)¹⁰ का मान चार शुद्ध दशमलव स्थान तक ज्ञात कीजिए।
Sol :
(1-0.01)¹⁰=1-¹⁰C₁(0.01)+¹⁰C₂(0.01)²-¹⁰C₃(0.01)³
=1-10(0.01)+45(0.0001)-120(0.000001)
=1-0.1+0.0045-0.00012
=1.0045-0.1001
=0.9044

Question 8

(1.01)^10000000 और 10,000 मे से कौन सी संख्या बड़ी है ।
Sol :
(1.01)^10000000 =(1+0.01)^10000000 
=1+^10000000C₁(0.01)+^10000000C₂(0.01)²+...+^10000000C_10000000(0.01)^10000000
=1+10000000(0.01)+धनात्मक संख्या
=1+100000+धनात्मक संख्या
=100001+धनात्मक संख्या
(1.01)^10000000>10000

Question 9

(√2+1)⁶+(√2-1)⁶ का मान ज्ञात कीजिए।
Sol :
(√2+1)⁶+(√2-1)⁶
=⁶C₀(√2)⁶.1⁰+⁶C₁(√2)⁵.1¹
+⁶C₂(√2)⁴.1²+⁶C₃(√2)³.1³
+⁶C₄(√2)².1⁴+⁶C₅(√2)¹.1⁵
+⁶C₆(√2)⁰.1⁵+⁶C₀(√2)⁶.1⁰
-⁶C₁(√2)⁵.1¹+⁶C₂(√2)⁴.1²
-⁶C₃(√2)³.1³+⁶C₄(√2)².1⁴
-⁶C₅(√2)¹.1⁵+⁶C₆(√2)⁰.1⁶

=8×1+15×4+15×2+1+8×1+15×4+15×2+1
=8+60+30+1+8+60+30+1
=198

Question 10

$(a^2+\sqrt{a^2+1})^4+(a^2-\sqrt{a^2-1})^4$ का मान ज्ञात कीजिए।
Sol :
=$^4C_0 (a^2)^4.(\sqrt{a^2-1})^0$
$+^4C_1 (a^2)^3.(\sqrt{a^2-1})^1$
$- ^4C_2 (a^2)^2.(\sqrt{a^2-1})^2$
$+^4C_3 (a^2)^1.(\sqrt{a^2-1})^3$
$+^4C_4 (a^2)^0.(\sqrt{a^2-1})^4$
$+^4C_0 (a^2)^4.(\sqrt{a^2-1})^0$
$-^4C_1 (a^2)^3.(\sqrt{a^2-1})^1$
$+^4C_2 (a^2)^2.(\sqrt{a^2-1})^2$
$- ^4C_3 (a^2)^1.(\sqrt{a^2-1})^3$
$+^4C_4 (a^2)^0.(\sqrt{a^2-1})^4$

=a⁸+6a⁴(a²-1)+$(a^2-1)^{\frac{1}{2}\times 4}$+a⁸+6a⁴(a²-1)+$(a^2-1)^{\frac{1}{2}\times 4}$

=a⁸+6a⁶-6a⁴+(a²)²-2.a².1+1²+a⁸+6a⁶-6a⁴+(a²)²-2.a².1+1²

=2a⁸+12a⁶-12a⁴-4a²+2

=2a⁸+12a⁶-10a⁴-4a²+2

Question 12

(x+a)ⁿ के विस्तार मे यदि विषम पदो का योग A और सम पदो का योग B हो तो दिखलाइए कि 4AB=(x+a)²ⁿ-(x-a)²ⁿ
Sol :
(x+a)ⁿ=ⁿC₀xⁿa⁰+ⁿC₁x^n-1a¹+ⁿC₂x^n-2a²+..+ⁿC_nx⁰aⁿ

=(ⁿC₀xⁿa⁰+ⁿC₂x^n-2a²+...)+(ⁿC₁x^n-1a¹+ⁿC₃x^n-3a³+...)

(x+a)ⁿ=A+B..(i)

(x+a)ⁿ=ⁿC₀xⁿa⁰-ⁿC₁x^n-1a¹+ⁿC₂x^n-2a²-ⁿC₃x^n-3a³+..+(-1)^n nC_nx⁰aⁿ

=(ⁿC₀xⁿa⁰+ⁿC₂x^n-2a²+..)-(ⁿC₁x^n-1a¹+ⁿC₃x^n-3a³+...)

(x+a)ⁿ=A+B..(ii)

(x+a)²ⁿ-(x-a)²ⁿ=[((x+a)ⁿ)]²-[((x+a)ⁿ)]²
=(A+B)²-(A-B)²
=(A²+2AB+B²)-(A²-2AB+B²)
=A²+2AB+B²-A²+2AB-B²
=4AB

Question 13

साबित कीजिए कि (Prove that) ⁿC₀+2.ⁿC₁+2².ⁿC₂+..+2ⁿ .ⁿC_n=3ⁿ
जहाँ (where) n∈N
Sol :
(1+x)ⁿ=ⁿC₀+ⁿC₁x+ⁿC₂x²+...+ⁿC_nxⁿ

L.H.S
ⁿC₀+2.ⁿC₁+2² .ⁿC₂+...+2ⁿ.ⁿC_n

=ⁿC₀+ⁿC₁+2¹+ⁿC₂.2²+...+ⁿC_n.2ⁿ

=(1+2)ⁿ

=3ⁿ