Exercise 14.2
Question 1
$\left(\frac{4x}{5}-\frac{5}{2x}\right)^9$ के प्रसार मे 7वाँ पद ज्ञात कीजिए।Sol :
(a-x)n के विस्तार (r+1)वाँ पद,
Tr+1= nCr an-r xr
T6+1= 9C6 $\left(\frac{4x}{9}\right)^{9-6}$.$\left(\frac{-5}{2x}\right)^6$
T7=$\frac{9!}{6!(9-6)!}\times \left(\frac{4x}{5}\right)^3 \times \left(\frac{-5}{2x}\right)^6$
$=\frac{10500}{x^3}$
Question 2
a ज्ञात कीजिए यदि (2+a)50 के विस्तार मे 17वाँ तथा 18वाँ पद समान है ।
Sol :
(a+x)n के विस्तार मे r वाँ पद,
Tr=nCr-1 an-r+1 xr-1
प्रश्न से ,
T17=T18
50C17-1 (2)50-17+1 a17-1=50C18-1 (2)50-18+1 a18-1
50C16 (2)34 a16=50C17 (2)33 a17
$\dfrac{^50 C_{16}2^{34}}{^50 C_{17}.2^{33}}=\dfrac{a^{17}}{a^{16}}$
$\dfrac{\frac{50!}{16!(50-16)!}}{\frac{50!}{17!(50-17)!}}\times 2=a$
$\dfrac{17! 33!}{16! 34!}\times 2=a$
$\dfrac{17 \times 16! \times 33!}{16! \times 34\times 33!}\times 2=a$
1=a
Question 5
(x+a)n के विस्तार मे अंत से r वाँ पद ज्ञात कीजिए।
[Find the rth term from end in (x+a)n]
Sol :
(x+a)n के विस्तार मे अंत से r वाँ पद
प्रारंभ से (n-r+2) वाँ पद होगा ।
=nCn-r+1 xn-n+r-2+1 an-r+1
प्रारंभ से (n-r+2) वाँ पद होगा ।
Tn-r+2=nC(n-r+2) xn-(n-r+2)+1 an-r+2-1
=nCn-r+1 xn-n+r-2+1 an-r+1
=nCr-1 xr-1 an-r+1
Question 7
[Write the general term in the following expansions]
(i) (1-x2)12
Sol :
(a+x)n के विस्तार मे (r+1) वाँ पद
Tr+1=nCr an-r xr
Tr+1=12Cr (1)12-r (-x2)r
=12Cr x2r (-1)r
(ii) $\left(x-\frac{3}{x^2}\right)^10$
Sol :
निम्नलिखित के विस्तार मे मध्य पद (मध्य पद का मान) ज्ञात कीजिए
[Find the middle term in the expansion of]
(i) $\left(\frac{2x}{3}-\frac{3y}{2}\right)^20$
Sol :
n=20
पदो की संख्या=20+1
=21
मध्य पद$=\left(\frac{n}{2}+1\right)$ वाँ पद$=\left(\frac{20}{2}+1\right)$ वाँ पद=11 वाँ पद
(a+x)n के विस्तार मे,
r=11 पद,
मध्य पद=T11=20C11-1 $\left(\frac{2x}{3}\right)^{20-11+1} \times \left(-\frac{3y}{2}\right)^{11-1}$
$=20C10 $\left(\frac{2x}{3}\right)^{10} \times \left(-\frac{3y}{2}\right)^{10}$
=20C10 x10
(iii) $\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^7$
Sol :
n=7
मध्य पद$=\left(\frac{n+1}{2}\right)$वाँ पद , $\left(\frac{n+1}{2}+1\right)$वाँ पद
$=\left(\frac{7+1}{2}\right)$वाँ पद , $\left(\frac{7+1}{2}+1\right)$ वाँ पद
$=\left(\frac{8}{4}\right)$वाँ पद ,$\left(\frac{8}{4}+1\right)$वाँ पद
=4वाँ पद , 5वाँ पद
$\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^{2n+1}$ के विस्तार मे सामान्य और मध्य पद ज्ञात कीजिए , जहाँ n धन पूर्णांक है और साबित कीजिए कि $\frac{x}{y}$ से स्वतंत्र कोई पद नही है ।
Sol :
(a+x)n के विस्तार मे,
Tr=2n+1Cr-1$\left(\frac{x}{y}\right)^{2n+1-r+1}.\left(\frac{y}{x}\right)^{r-1}$
=2n+1Cr-1$\left(\frac{x}{y}\right)^{2n-r+2}.\left(\frac{y}{x}\right)^{1-r}$
=2n+1Cr-1$\left(\frac{x}{y}\right)^{2n-r+2+1-r}$
=2n+1Cr-1$\left(\frac{x}{y}\right)^{2n-2r+3}$
घात विषम है ः
मध्य पद$=\left(\frac{2n+1+1}{2}\right)$वाँ पद, $\left(\frac{2n+1+1}{2}+1\right)$वाँ पद
=$\left(\frac{2n+2}{2}\right)$वाँ पद, $\left(\frac{2n+2}{2}+1\right)$वाँ पद
=(n+1)वाँ पद, (n+2)वाँ पद
मध्य पद
Tn+1=2n+1Cn+1-1$\left(\frac{x}{y}\right)^{2n+-2(n+1)+3}$
=2n+1Cn$\left(\frac{x}{y}\right)^{2n-2n-2+3}$
=2n+1Cn$\left(\frac{x}{y}\right)$
Tn+2=2n+1Cn+2-1$\left(\frac{x}{y}\right)^{2n+-2(n+2)+3}$
=2n+1Cn+1$\left(\frac{x}{y}\right)^{2n-2n-4+3}$
=2n+1Cn+1$\left(\frac{x}{y}\right)^{-1}$
=2n+1Cn+1$\left(\frac{y}{x}\right)$
Question 8
[Find the middle term in the expansion of]
(i) $\left(\frac{2x}{3}-\frac{3y}{2}\right)^20$
Sol :
n=20
पदो की संख्या=20+1
=21
मध्य पद$=\left(\frac{n}{2}+1\right)$ वाँ पद$=\left(\frac{20}{2}+1\right)$ वाँ पद=11 वाँ पद
(a+x)n के विस्तार मे,
Tr=nCr-1 an-r+1 xr-1
मध्य पद=T11=20C11-1 $\left(\frac{2x}{3}\right)^{20-11+1} \times \left(-\frac{3y}{2}\right)^{11-1}$
$=20C10 $\left(\frac{2x}{3}\right)^{10} \times \left(-\frac{3y}{2}\right)^{10}$
=20C10 x10
(iii) $\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^7$
Sol :
n=7
मध्य पद$=\left(\frac{n+1}{2}\right)$वाँ पद , $\left(\frac{n+1}{2}+1\right)$वाँ पद
$=\left(\frac{7+1}{2}\right)$वाँ पद , $\left(\frac{7+1}{2}+1\right)$ वाँ पद
$=\left(\frac{8}{4}\right)$वाँ पद ,$\left(\frac{8}{4}+1\right)$वाँ पद
=4वाँ पद , 5वाँ पद
Question 9
Sol :
(a+x)n के विस्तार मे,
Tr=nCr-1 an-r+1 xr-1
=2n+1Cr-1$\left(\frac{x}{y}\right)^{2n-r+2}.\left(\frac{y}{x}\right)^{1-r}$
=2n+1Cr-1$\left(\frac{x}{y}\right)^{2n-r+2+1-r}$
=2n+1Cr-1$\left(\frac{x}{y}\right)^{2n-2r+3}$
घात विषम है ः
मध्य पद$=\left(\frac{2n+1+1}{2}\right)$वाँ पद, $\left(\frac{2n+1+1}{2}+1\right)$वाँ पद
=$\left(\frac{2n+2}{2}\right)$वाँ पद, $\left(\frac{2n+2}{2}+1\right)$वाँ पद
=(n+1)वाँ पद, (n+2)वाँ पद
मध्य पद
Tn+1=2n+1Cn+1-1$\left(\frac{x}{y}\right)^{2n+-2(n+1)+3}$
=2n+1Cn$\left(\frac{x}{y}\right)$
Tn+2=2n+1Cn+2-1$\left(\frac{x}{y}\right)^{2n+-2(n+2)+3}$
=2n+1Cn+1$\left(\frac{x}{y}\right)^{2n-2n-4+3}$
=2n+1Cn+1$\left(\frac{x}{y}\right)^{-1}$
=2n+1Cn+1$\left(\frac{y}{x}\right)$
माना $\left(\frac{x}{y}\right)^{2n-2r+3}=\left(\frac{x}{y}\right)^0$
2n-2r+3=0
2n+3=2r
$\frac{2n+3}{2}=r$
यहाँ r का मान कोई धनात्मक पूर्णांक नही हो सकता है ।
अतः $\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^{2n+1}$ के विस्तार मे कोई ऐसा पद नही है जो $\left(\frac{x}{y}\right)$ से स्वतंत्र है ।
Question 10
साबित कीजिए कि (1+x)2n के विस्तार मे मध्य पद $\frac{1.3.5..(2n-1)}{n!}.2^{x}x^{n}$ है ।
[Show that the middle term in the expansion of (1+x)2n is $\frac{1.3.5..(2n-1)}{n!}.2^{x}x^{n}$]
[Show that the middle term in the expansion of (1+x)2n is $\frac{1.3.5..(2n-1)}{n!}.2^{x}x^{n}$]
Sol :
मध्य पद$=\left(\frac{2n}{2}+1\right)$वाँ पद=(n+1)वाँ पद
(a+x)n के विस्तार मे rवाँ पद
Tr=nCr-1.an-r+1.xr-1
Tn+1=2nC2n+1-1.(1)2n-(n+1)+1.xn+1-1
=2nC2n+1.xn
$=\frac{(2n)!}{n!(2n-n)!}x^n$
$=\frac{1.2.3.4.5.6...(2n-1).2n}{n!.n!}x^n$
$=\frac{(1.3.5..(2n-1))(2.4.6...2n)}{n!.n!}x^n$
$=\frac{(1.3.5..(2n-1)).2^n(1.2.3...n)}{n!.n!}x^n$
$=\frac{1.3.5...(2n-1).2^n.n!}{n!.n!}x^n$
$=\frac{1.3.5\dots (2n-1)}{n!}2^n.x^n$
मध्य पद$=\left(\frac{2n}{2}+1\right)$वाँ पद=(n+1)वाँ पद
(a+x)n के विस्तार मे rवाँ पद
Tr=nCr-1.an-r+1.xr-1
=2nC2n+1.xn
$=\frac{(2n)!}{n!(2n-n)!}x^n$
$=\frac{1.2.3.4.5.6...(2n-1).2n}{n!.n!}x^n$
$=\frac{(1.3.5..(2n-1))(2.4.6...2n)}{n!.n!}x^n$
$=\frac{(1.3.5..(2n-1)).2^n(1.2.3...n)}{n!.n!}x^n$
$=\frac{1.3.5...(2n-1).2^n.n!}{n!.n!}x^n$
$=\frac{1.3.5\dots (2n-1)}{n!}2^n.x^n$
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