KC Sinha Mathematics Solution Class 11 Chapter 14 Binomial Theorem ( द्विपद प्रमेय ) Exercise 14.2

Exercise 14.2

Question 1 

$\left(\frac{4x}{5}-\frac{5}{2x}\right)^9$ के प्रसार मे 7वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Sol :
(a-x)ⁿ के विस्तार (r+1)वाँ पद,

T_r+1= ⁿC_r a^n-r x^r

r=6 पर,

T₆₊₁= ⁹C₆ $\left(\frac{4x}{9}\right)^{9-6}$.$\left(\frac{-5}{2x}\right)^6$

T₇=$\frac{9!}{6!(9-6)!}\times \left(\frac{4x}{5}\right)^3 \times \left(\frac{-5}{2x}\right)^6$

$=\frac{10500}{x^3}$

Question 2

a ज्ञात कीजिए यदि (2+a)⁵⁰ के विस्तार मे 17वाँ तथा 18वाँ पद समान है ।

Sol :

(a+x)ⁿ के विस्तार मे r वाँ पद,

T_r=ⁿC_r-1 a^n-r+1 x^r-1

प्रश्न से ,

T₁₇=T₁₈

⁵⁰C_17-1 (2)^50-17+1 a^17-1=⁵⁰C_18-1 (2)^50-18+1 a^18-1

⁵⁰C₁₆ (2)³⁴ a¹⁶=⁵⁰C₁₇ (2)³³ a¹⁷

$\dfrac{^50 C_{16}2^{34}}{^50 C_{17}.2^{33}}=\dfrac{a^{17}}{a^{16}}$

$\dfrac{\frac{50!}{16!(50-16)!}}{\frac{50!}{17!(50-17)!}}\times 2=a$

$\dfrac{17! 33!}{16! 34!}\times 2=a$

$\dfrac{17 \times 16! \times 33!}{16! \times 34\times 33!}\times 2=a$

1=a

Question 5

(x+a)ⁿ के विस्तार मे अंत से r वाँ पद ज्ञात कीजिए।

[Find the rth term from end in (x+a)ⁿ]

Sol :

(x+a)ⁿ के विस्तार मे अंत से r वाँ पद

प्रारंभ से (n-r+2) वाँ पद होगा ।

T_n-r+2=ⁿC_(n-r+2) x^n-(n-r+2)+1 a^n-r+2-1

=ⁿC_n-r+1 x^n-n+r-2+1 a^n-r+1

=ⁿC_r-1 x^r-1 a^n-r+1

Question 7

निम्नलिखित के विस्तार मे सामान्य पद लिखिए।
[Write the general term in the following expansions]
(i) (1-x²)¹²
Sol :
(a+x)ⁿ के विस्तार मे (r+1) वाँ पद

T_r+1=ⁿC_r a^n-r x^r

T_r+1=¹²C_r (1)^12-r (-x²)^r

=¹²C_r x^2r (-1)^r

(ii) $\left(x-\frac{3}{x^2}\right)^10$

Sol :

Question 8

निम्नलिखित के विस्तार मे मध्य पद (मध्य पद का मान) ज्ञात कीजिए
[Find the middle term in the expansion of]
(i) $\left(\frac{2x}{3}-\frac{3y}{2}\right)^20$
Sol :
n=20

पदो की संख्या=20+1
=21

मध्य पद$=\left(\frac{n}{2}+1\right)$ वाँ पद$=\left(\frac{20}{2}+1\right)$ वाँ पद=11 वाँ पद

(a+x)ⁿ के विस्तार मे,

T_r=ⁿC_r-1 a^n-r+1 x^r-1

r=11 पद,

मध्य पद=T₁₁=²⁰C_11-1 $\left(\frac{2x}{3}\right)^{20-11+1} \times \left(-\frac{3y}{2}\right)^{11-1}$

$=²⁰C₁₀ $\left(\frac{2x}{3}\right)^{10} \times \left(-\frac{3y}{2}\right)^{10}$

=²⁰C₁₀ x¹⁰ 

(iii) $\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^7$
Sol :
n=7

मध्य पद$=\left(\frac{n+1}{2}\right)$वाँ पद , $\left(\frac{n+1}{2}+1\right)$वाँ पद

$=\left(\frac{7+1}{2}\right)$वाँ पद , $\left(\frac{7+1}{2}+1\right)$ वाँ पद

$=\left(\frac{8}{4}\right)$वाँ पद ,$\left(\frac{8}{4}+1\right)$वाँ पद

=4वाँ पद , 5वाँ पद

Question 9

$\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^{2n+1}$ के विस्तार मे सामान्य और मध्य पद ज्ञात कीजिए , जहाँ n धन पूर्णांक है और साबित कीजिए कि $\frac{x}{y}$ से स्वतंत्र कोई पद नही है ।
Sol :
(a+x)ⁿ के विस्तार मे,

T_r=ⁿC_r-1 a^n-r+1 x^r-1

T_r=²ⁿ⁺¹C_r-1$\left(\frac{x}{y}\right)^{2n+1-r+1}.\left(\frac{y}{x}\right)^{r-1}$
=²ⁿ⁺¹C_r-1$\left(\frac{x}{y}\right)^{2n-r+2}.\left(\frac{y}{x}\right)^{1-r}$
=²ⁿ⁺¹C_r-1$\left(\frac{x}{y}\right)^{2n-r+2+1-r}$
=²ⁿ⁺¹C_r-1$\left(\frac{x}{y}\right)^{2n-2r+3}$

घात विषम है ः
मध्य पद$=\left(\frac{2n+1+1}{2}\right)$वाँ पद, $\left(\frac{2n+1+1}{2}+1\right)$वाँ पद

=$\left(\frac{2n+2}{2}\right)$वाँ पद, $\left(\frac{2n+2}{2}+1\right)$वाँ पद

=(n+1)वाँ पद, (n+2)वाँ पद

मध्य पद
T_n+1=²ⁿ⁺¹C_n+1-1$\left(\frac{x}{y}\right)^{2n+-2(n+1)+3}$

=²ⁿ⁺¹C_n$\left(\frac{x}{y}\right)^{2n-2n-2+3}$

=²ⁿ⁺¹C_n$\left(\frac{x}{y}\right)$


T_n+2=²ⁿ⁺¹C_n+2-1$\left(\frac{x}{y}\right)^{2n+-2(n+2)+3}$

=²ⁿ⁺¹C_n+1$\left(\frac{x}{y}\right)^{2n-2n-4+3}$

=²ⁿ⁺¹C_n+1$\left(\frac{x}{y}\right)^{-1}$

=²ⁿ⁺¹C_n+1$\left(\frac{y}{x}\right)$

माना $\left(\frac{x}{y}\right)^{2n-2r+3}=\left(\frac{x}{y}\right)^0$

2n-2r+3=0

2n+3=2r

$\frac{2n+3}{2}=r$

यहाँ r का मान कोई धनात्मक पूर्णांक नही हो सकता है ।

अतः $\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^{2n+1}$ के विस्तार मे कोई ऐसा पद नही है जो $\left(\frac{x}{y}\right)$ से स्वतंत्र है ।

Question 10

साबित कीजिए कि (1+x)²ⁿ के विस्तार मे मध्य पद $\frac{1.3.5..(2n-1)}{n!}.2^{x}x^{n}$ है ।
[Show that the middle term in the expansion of (1+x)²ⁿ is $\frac{1.3.5..(2n-1)}{n!}.2^{x}x^{n}$]

Sol :
मध्य पद$=\left(\frac{2n}{2}+1\right)$वाँ पद=(n+1)वाँ पद

(a+x)ⁿ के विस्तार मे rवाँ पद

T_r=ⁿC_r-1.a^n-r+1.x^r-1

T_n+1=²ⁿC_2n+1-1.(1)^2n-(n+1)+1.x^n+1-1

=²ⁿC_2n+1.xⁿ

$=\frac{(2n)!}{n!(2n-n)!}x^n$

$=\frac{1.2.3.4.5.6...(2n-1).2n}{n!.n!}x^n$

$=\frac{(1.3.5..(2n-1))(2.4.6...2n)}{n!.n!}x^n$

$=\frac{(1.3.5..(2n-1)).2^n(1.2.3...n)}{n!.n!}x^n$

$=\frac{1.3.5...(2n-1).2^n.n!}{n!.n!}x^n$

$=\frac{1.3.5\dots (2n-1)}{n!}2^n.x^n$