KC Sinha Mathematics Solution Class 11 Chapter 14 Binomial Theorem ( द्विपद प्रमेय ) Exercise 14.3

Exercise 14.3

Question 1

$\left(2x-\frac{3}{x}\right)^9$ के विस्तार मे x का गुणांक निकालिए ।
[Find the co-efficient of x in the expansion of $\left(2x-\frac{3}{x}\right)^9$]
Sol :
(a+x)n के विस्तार मे r वाँ पद,

Tr=nCr-1.an-r+1.xr-1

Tr=9Cr-1.(2x)9-r+1.$\left(\frac{-3}{x}\right)^{r-1}$

=9Cr-1.210-r.x10-r.$\frac{(-3)^{r-1}}{x^{r-1}}$

=9Cr-1.210-r.(-3)r-1.x10-r-r+1

=9Cr-1.210-r.(-3)r-1.x11-2r

x11-2r तथा xमे तुलना करने पर,

$\begin{array}{l|l}11-2r=1&-2r=-10\\-2r=1-11&r=\frac{10}{2}=5\end{array}$

∴T5=9C5-1.(2)10-5.(-3)5-1x11-2(5)

=9C4.(2)5.(-3)4.x

=9C4×32×81x

=9C4×2592x

∴ x का गुणांक=9C4×2592

Question 2

(i) (x+3)के विस्तार मे xका गुणांक निकालिए ।
Sol :
(a+x)के विस्तार मे r वाँ पद,

Tr=nCr-1.an-r+1.xr-1

Tr=8Cr-1.x8-r+1.3r-1

=8Cr-1.x9-r.3r-1

x9-r तथा xमे तुलना करने पर,

9-r=5
9-5=r
4=r

T4=8C4-1.x9-4.34-1

=8C3.x5.33

$=\frac{8!}{3!(8-3)!}\times 27 x^5$

$=\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{6\times 5!}\times 27x^5$

=1512x5


(ii) $\left(3x^2+\frac{1}{5x}\right)^{11}$ के विस्तार मे $x^7$ का गुणांक निकालिए।
[Find the co-efficient of $x^7$ in the expansion of $\left(3x^2+\frac{1}{5x}\right)^{11}$]
Sol :

Question 3

$\left(2x^2-\frac{1}{x}\right)^{20}$ के विस्तार में $x^9$ का गुणांक निकालिए।
[Find the co-efficient of $x^9$ in the expansion of $\left(2x^2-\frac{1}{x}\right)^{20}$]
Sol :



Question 4

$\left(x^2+\frac{3a}{x}\right)^{15}$ के विस्तार में $x^24$ का गुणांक निकालिए।
[Find the co-efficient of $x^{24}$ in the expansion of $\left(x^2+\frac{3a}{x}\right)^{15}$]

Sol :


Question 5

$\left(x^2-\frac{1}{3x}\right)^9$ के विस्तार में $x^9$ का गुणांक निकालिए।
[Find the co-efficient of $x^9$ in the expansion of $\left(x^2-\frac{1}{3x}\right)^9$]

Sol :



Question 6

$\left(2x-\frac{1}{3x^2}\right)^{11}$ के विस्तार मे x-7 का गुणांक निकालिए।
[Find the co-efficient of $x^{-7}$ in the expansion of $\left(2x-\frac{1}{3x^2}\right)^{11}$]
Sol :
(a+x)के विस्तार मे r वाँ पद,

Tr=nCr-1.an-r+1.xr-1

Tr=11Cr-1.(2x)11-r+1.$\left(\frac{-1}{3x^2}\right)^{r-1}$

=11Cr-1.212-r.x12-r$\left(\frac{-1}{3x^2}\right)^{r-1}.\left(\frac{1}{x^{2(r-1)}}\right)$

=11Cr-1.212-r$\left(\frac{-1}{3}\right)^{r-1}$.x12-r-2r+2

=11Cr-1.212-r$\left(\frac{-1}{3}\right)^{r-1}$.x14-3r

x14-3r तथा x-7 मे तुलग करने पर,

14-3r=-7
-3r=-7-14
-3r=-21
r=7

T7=11C7-1.212-7.$\left(\frac{-1}{3}\right)^{7-1}.x^{14-3(7)}$

=11C6.25.$\frac{1}{3^6}.$.x-7

x-7 का गुणांक$=\frac{2^5}{3^6}$.11C6

Question 7

निम्नांकित द्विपद के विस्तार में x से स्वतंत्र (x रहित) पद ज्ञात कीजिए:
[Find the term independent of x in the following Binomial expansion]

(i) $\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2n}$
(ii) $\left(2x^2-\frac{3}{x^3}\right)^{26}$
(iii) $\left(x^3-\frac{3}{x^2}\right)^{15}$
(iv) $\left(x^2-\frac{3}{x^3}\right)^{10}$ 
(v) $\left(\dfrac{1}{2}x^{\frac{1}{3}}+x^{-\frac{1}{3}}\right)^8$
(vi) $\left(\dfrac{3}{2}x^2-\frac{1}{3x}\right)^6$

Sol :


Question 8

यदि $\left(x+\frac{1}{x^2}\right)^n$ में x से स्वतंत्र एक पद है तो दिखलाइए कि यह $\dfrac{n!}{\frac{n}{3}! \frac{2n}{3}!}$ के बराबर है।

[If there is a term independent of x in $\left(x+\frac{1}{x^2}\right)^n$ , show that it is equal to  $\dfrac{n!}{\frac{n}{3}! \frac{2n}{3}!}$]

Sol :



Question 9

$(a-2b)^{12}$ के विस्तार में $a^5b^7$ का गुणांक निकालिए।
Sol :


Question 10

m का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $(1+x)^m$ के प्रसार में $x^2$ का गुणांक 6 हो।
[Find the positive value of m for which the coefficient of $x^2$ in the expansion $(1+x)^m$ is 6]
Sol :


Question 11

सिद्ध कीजिए कि $(1+x)^{2n}$ के प्रसार में $x^n$ का गुणांक $(1+x)^{2x-1}$ के प्रसार में $x^n$ के गुणांक का दुगना होता है।
[Prove that the coefficient of $x^n$ in the expansion of $(1+x)^{2n}$ is twice the coefficient of $x^n$ in the expansion of $(1-x)^{2x-1}$]
Sl :

Question 12

$\left(ax^2+\frac{1}{bx}\right)^{11}$ के विस्तार मे x7 का गुणांक और $\left(ax-\frac{1}{bx^2}\right)^{11}$ के विस्तार मे x-7 का गुणांक निकालिए a और b के बीच सम्बंध ज्ञात कीजिए ताकि ये गुणांक समान हो ।

[Find the co-efficient of $x^7$ in the expansion of $\left(ax^2+\frac{1}{bx}\right)^{11}$ and the co-efficient of $x^{-7}$ in the expansion of $\left(ax-\frac{1}{bx^2}\right)$.Also find the relatin between a and b so that these co-efficients are equal]
Sol :
(a+x)के विस्तार मे r वाँ पद , 

Tr=nCr-1.an-r+1.xr-1

$\left(ax^2+\frac{1}{bx}\right)^{11}$ के विस्तार मे r वाँ पद,

Tr=11Cr-1.(ax2)11-r+1.$\left(\frac{1}{bx}\right)^{r-1}$

=11Cr-1.a12-r.x2(12-r).$\left(\frac{1}{b^{r-1}x^{r-1}}\right)$

=11Cr-1.$\frac{a^{12-r}}{b^{r-1}}$.x24-2r-r+1

=11Cr-1.$\frac{a^{12-r}}{b^{r-1}}$.x25-3r

=11Cr-1.$\left(\frac{a^{12-r}}{b^{r-1}}\right)$.x25-3r

x25-3r और xमे तुलना करने पर,

x25-3r=x7
25-3r=7
-3r=7-25
r=6

T6=11C6-1.$\frac{a^{12-6}}{b^{6-1}}$.x25-3(6)

T6=11C5.$\frac{a^6}{b^5}$.x7

∴ xका गुणांक=11C5.$\frac{a^6}{b^5}$

$\left(ax-\frac{1}{bx^2}\right)^{11}$ के विस्तार मे r वाँ पद,

Tr=11Cr-1..(ax)11-r+1.$\left(\frac{-1}{bx^2}\right)^{r-1}$

=11Cr-1.a12-r.x12-r.$\frac{(-1)}{b^{r-1}.x^{2(r-1)}}$

=11Cr-1.$\frac{a^{12-r (-1)^{r-1}}}{b^{r-1}}$.x12-r-2r+2

Tr=11Cr-1.$\frac{a^{12-r(-1)^{r-1}}}{b^{r-1}}$.x14-3r

x14-3r तथा x-7 में तुलना करने पर,

14-3r=-7
-3r=-7-14
$r=\frac{21}{3}=7$

∴T7=11C7-1.$\frac{a^{12-7}(-1)^{7-1}}{b^{7-1}}$.x14-3(7)

T7=11C6.$\frac{a^5}{b^6}$.x-7

∴x-7 का गुणांक=11C6.$\frac{a^5}{b^6}$

दोनो द्विपदो के प्राप्त गुणांको के एक-दूसरे के बराबर करने पर,

11C5.$\frac{a^6}{b^5}$=11C6.$\frac{a^5}{b^6}$

$\frac{11!}{5!(11-5)!}.\frac{a^6}{b^5}=\frac{11!}{6!(11-6)!}.\frac{a^5}{b^6}$

$\frac{11!}{5!6!}.\frac{a^6}{b^5}=\frac{11!}{6!5!}.\frac{a^5}{b^6}$

$\frac{a^6}{b^5}\times \frac{b^6}{a^5}=1$

ab=1


Question 13

$\left(px+\frac{1}{x}\right)^n$ के विस्तार मे दिया है कि चौथा पद $\frac{5}{2}$ है तो x और p ज्ञात कीजिए।

[Given that the 4th term in the expansion of $\left(px+\frac{1}{x}\right)^n$ is $\frac{5}{2}$, find n and p]

Sol :
(a+x)के विस्तार मे r वाँ पद,

Tr=nCr-1.an-r+1.xr-1

T4=nC4-1.(px)n-4+1.$\left(\frac{1}{x}\right)^{4-1}$

=nC3.(px)n-3.$\left(\frac{1}{x}\right)^{3}$

=nC3.(p)n-3.xn-3.$\left(\frac{1}{x}\right)^{3}$

=nC3.(p)n-3.xn-6

T4$=\frac{5}{2}$ (given)

nC3.(p)n-3.xn-6=$\frac{5}{2}$.x0

∴xn-6 तथा xके तुलना करने पर,
n-6=0
n=6

पुनः nC3.(p)n-3.xn-6=$\frac{5}{2}$

6C3.(p)6-3.x6-6=$\frac{5}{2}$

$\frac{6!}{3!(6-3)!}$.p3.x0$=\frac{5}{2}$

$\frac{6\times 5\times 4\times 3!}{6\times 3!}$.x0$=\frac{5}{2}$

p3=$\frac{5}{2\times 5 \times 4}$

p3=$\frac{1}{8}$

p3=$\left(\frac{1}{2}\right)$

$p=\frac{1}{2}$

Question 14

द्विपंद प्रमेंय का उपयोग करते हुए गुणनफल (1+2a)4(2-a)मे aका गुणांक ज्ञात कीजिए।

[Find the coefficient of ain the product (1+2a)4(2-a)using binomial theorem
Sol :
(1+x)n=1+nC1.x+nC2.x2+...+nCn.xn

(1+2a)4=1+4C1.2a+4C2.(2a)2+4C3.(2a)3+4C4.(2a)4

=1+4×2a+6×4a2+4×8a3+1×16a4

=1+8a+24a2+32a3+16a4

(a-x)n=nC0.an.x0-nC1.an-1.x1+nC2.an-2.x2+..+(-1)n.nCn.a0.xn

(2-a)5=5C0.25.a0-5C1.24.a1+5C2.23.a2+5C3.22.a3+5C4.21.a4-5C5.20.a5

=32-5×16a+10×8a2-10×4a3+5×2a4-a5

(2-a)5=32-80a+80a2-40a3+10a4-a5


(1+2a)4=1+4C1.2a+4C2.(2a)2+4C3.(2a)3+4C4.(2a)4
(2-a)5=32-80a+80a2-40a3+10a4-a5

(1+2a)4(2-a)मे aका गुणांक

=1×10+8×(-40)+24×80+32×(-80)+16×32

=10-320+1920-2560+512

=2442-2880

=-438

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