KC Sinha Mathematics Solution Class 11 Chapter 14 Binomial Theorem ( द्विपद प्रमेय ) Exercise 14.3

Exercise 14.3

Question 1

$\left(2x-\frac{3}{x}\right)^9$ के विस्तार मे x का गुणांक निकालिए ।
[Find the co-efficient of x in the expansion of $\left(2x-\frac{3}{x}\right)^9$]
Sol :
(a+x)ⁿ के विस्तार मे r वाँ पद,

T_r=ⁿC_r-1.a^n-r+1.x^r-1

T_r=⁹C_r-1.(2x)^9-r+1.$\left(\frac{-3}{x}\right)^{r-1}$

=⁹C_r-1.2^10-r.x^10-r.$\frac{(-3)^{r-1}}{x^{r-1}}$

=⁹C_r-1.2^10-r.(-3)^r-1.x^10-r-r+1

=⁹C_r-1.2^10-r.(-3)^r-1.x^11-2r

x^11-2r तथा x¹ मे तुलना करने पर,

$\begin{array}{l|l}11-2r=1&-2r=-10\\-2r=1-11&r=\frac{10}{2}=5\end{array}$

∴T₅=⁹C_5-1.(2)^10-5.(-3)^5-1x^11-2(5)

=⁹C₄.(2)⁵.(-3)⁴.x

=⁹C₄×32×81x

=⁹C₄×2592x

∴ x का गुणांक=⁹C₄×2592

Question 2

(i) (x+3)⁸ के विस्तार मे x⁵ का गुणांक निकालिए ।

Sol :

(a+x)⁵ के विस्तार मे r वाँ पद,

T_r=ⁿC_r-1.a^n-r+1.x^r-1

T_r=⁸C_r-1.x^8-r+1.3^r-1

=⁸C_r-1.x^9-r.3^r-1

x^9-r तथा x⁵ मे तुलना करने पर,

9-r=5

9-5=r

4=r

T₄=⁸C_4-1.x^9-4.3^4-1

=⁸C₃.x⁵.3³

$=\frac{8!}{3!(8-3)!}\times 27 x^5$

$=\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{6\times 5!}\times 27x^5$

=1512x⁵

(ii) $\left(3x^2+\frac{1}{5x}\right)^{11}$ के विस्तार मे $x^7$ का गुणांक निकालिए।

[Find the co-efficient of $x^7$ in the expansion of $\left(3x^2+\frac{1}{5x}\right)^{11}$]

Sol :

Question 3

$\left(2x^2-\frac{1}{x}\right)^{20}$ के विस्तार में $x^9$ का गुणांक निकालिए।

[Find the co-efficient of $x^9$ in the expansion of $\left(2x^2-\frac{1}{x}\right)^{20}$]

Sol :

Question 4

$\left(x^2+\frac{3a}{x}\right)^{15}$ के विस्तार में $x^24$ का गुणांक निकालिए।

[Find the co-efficient of $x^{24}$ in the expansion of $\left(x^2+\frac{3a}{x}\right)^{15}$]

Sol :

Question 5

$\left(x^2-\frac{1}{3x}\right)^9$ के विस्तार में $x^9$ का गुणांक निकालिए।

[Find the co-efficient of $x^9$ in the expansion of $\left(x^2-\frac{1}{3x}\right)^9$]

Sol :

Question 6

$\left(2x-\frac{1}{3x^2}\right)^{11}$ के विस्तार मे x^-7 का गुणांक निकालिए।

[Find the co-efficient of $x^{-7}$ in the expansion of $\left(2x-\frac{1}{3x^2}\right)^{11}$]

Sol :

(a+x)ⁿ के विस्तार मे r वाँ पद,

T_r=ⁿC_r-1.a^n-r+1.x^r-1

T_r=¹¹C_r-1.(2x)^11-r+1.$\left(\frac{-1}{3x^2}\right)^{r-1}$

=¹¹C_r-1.2^12-r.x^12-r$\left(\frac{-1}{3x^2}\right)^{r-1}.\left(\frac{1}{x^{2(r-1)}}\right)$

=¹¹C_r-1.2^12-r$\left(\frac{-1}{3}\right)^{r-1}$.x^12-r-2r+2

=¹¹C_r-1.2^12-r$\left(\frac{-1}{3}\right)^{r-1}$.x^14-3r

x^14-3r तथा x^-7 मे तुलग करने पर,

14-3r=-7

-3r=-7-14

-3r=-21

r=7

T₇=¹¹C_7-1.2^12-7.$\left(\frac{-1}{3}\right)^{7-1}.x^{14-3(7)}$

=¹¹C₆.2⁵.$\frac{1}{3^6}.$.x^-7

x^-7 का गुणांक$=\frac{2^5}{3^6}$.¹¹C₆

Question 7

निम्नांकित द्विपद के विस्तार में x से स्वतंत्र (x रहित) पद ज्ञात कीजिए:

[Find the term independent of x in the following Binomial expansion]

(i) $\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2n}$

(ii) $\left(2x^2-\frac{3}{x^3}\right)^{26}$

(iii) $\left(x^3-\frac{3}{x^2}\right)^{15}$

(iv) $\left(x^2-\frac{3}{x^3}\right)^{10}$ 

(v) $\left(\dfrac{1}{2}x^{\frac{1}{3}}+x^{-\frac{1}{3}}\right)^8$

(vi) $\left(\dfrac{3}{2}x^2-\frac{1}{3x}\right)^6$

Sol :

Question 8

यदि $\left(x+\frac{1}{x^2}\right)^n$ में x से स्वतंत्र एक पद है तो दिखलाइए कि यह $\dfrac{n!}{\frac{n}{3}! \frac{2n}{3}!}$ के बराबर है।

[If there is a term independent of x in $\left(x+\frac{1}{x^2}\right)^n$ , show that it is equal to  $\dfrac{n!}{\frac{n}{3}! \frac{2n}{3}!}$]

Sol :

Question 9

$(a-2b)^{12}$ के विस्तार में $a^5b^7$ का गुणांक निकालिए।

Sol :

Question 10

m का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $(1+x)^m$ के प्रसार में $x^2$ का गुणांक 6 हो।

[Find the positive value of m for which the coefficient of $x^2$ in the expansion $(1+x)^m$ is 6]

Sol :

Question 11

सिद्ध कीजिए कि $(1+x)^{2n}$ के प्रसार में $x^n$ का गुणांक $(1+x)^{2x-1}$ के प्रसार में $x^n$ के गुणांक का दुगना होता है।

[Prove that the coefficient of $x^n$ in the expansion of $(1+x)^{2n}$ is twice the coefficient of $x^n$ in the expansion of $(1-x)^{2x-1}$]

Sl :

Question 12

$\left(ax^2+\frac{1}{bx}\right)^{11}$ के विस्तार मे x⁷ का गुणांक और $\left(ax-\frac{1}{bx^2}\right)^{11}$ के विस्तार मे x^-7 का गुणांक निकालिए a और b के बीच सम्बंध ज्ञात कीजिए ताकि ये गुणांक समान हो ।

[Find the co-efficient of $x^7$ in the expansion of $\left(ax^2+\frac{1}{bx}\right)^{11}$ and the co-efficient of $x^{-7}$ in the expansion of $\left(ax-\frac{1}{bx^2}\right)$.Also find the relatin between a and b so that these co-efficients are equal]
Sol :
(a+x)ⁿ के विस्तार मे r वाँ पद , 

T_r=ⁿC_r-1.a^n-r+1.x^r-1

$\left(ax^2+\frac{1}{bx}\right)^{11}$ के विस्तार मे r वाँ पद,

T_r=¹¹C_r-1.(ax²)^11-r+1.$\left(\frac{1}{bx}\right)^{r-1}$

=¹¹C_r-1.a^12-r.x^2(12-r).$\left(\frac{1}{b^{r-1}x^{r-1}}\right)$

=¹¹C_r-1.$\frac{a^{12-r}}{b^{r-1}}$.x^24-2r-r+1

=¹¹C_r-1.$\frac{a^{12-r}}{b^{r-1}}$.x^25-3r

=¹¹C_r-1.$\left(\frac{a^{12-r}}{b^{r-1}}\right)$.x^25-3r

x^25-3r और x⁷ मे तुलना करने पर,

x^25-3r=x⁷

25-3r=7
-3r=7-25
r=6

T₆=¹¹C_6-1.$\frac{a^{12-6}}{b^{6-1}}$.x^25-3(6)

T₆=¹¹C₅.$\frac{a^6}{b^5}$.x⁷

∴ x⁷ का गुणांक=¹¹C₅.$\frac{a^6}{b^5}$

$\left(ax-\frac{1}{bx^2}\right)^{11}$ के विस्तार मे r वाँ पद,

T_r=¹¹C_r-1..(ax)^11-r+1.$\left(\frac{-1}{bx^2}\right)^{r-1}$

=¹¹C_r-1.a^12-r.x^12-r.$\frac{(-1)}{b^{r-1}.x^{2(r-1)}}$

=¹¹C_r-1.$\frac{a^{12-r (-1)^{r-1}}}{b^{r-1}}$.x^12-r-2r+2

T_r=¹¹C_r-1.$\frac{a^{12-r(-1)^{r-1}}}{b^{r-1}}$.x^14-3r

x^14-3r तथा x^-7 में तुलना करने पर,

14-3r=-7
-3r=-7-14
$r=\frac{21}{3}=7$

∴T₇=¹¹C_7-1.$\frac{a^{12-7}(-1)^{7-1}}{b^{7-1}}$.x^14-3(7)

T₇=¹¹C₆.$\frac{a^5}{b^6}$.x^-7

∴x^-7 का गुणांक=¹¹C₆.$\frac{a^5}{b^6}$

दोनो द्विपदो के प्राप्त गुणांको के एक-दूसरे के बराबर करने पर,

¹¹C₅.$\frac{a^6}{b^5}$=¹¹C₆.$\frac{a^5}{b^6}$

$\frac{11!}{5!(11-5)!}.\frac{a^6}{b^5}=\frac{11!}{6!(11-6)!}.\frac{a^5}{b^6}$

$\frac{11!}{5!6!}.\frac{a^6}{b^5}=\frac{11!}{6!5!}.\frac{a^5}{b^6}$

$\frac{a^6}{b^5}\times \frac{b^6}{a^5}=1$

ab=1

Question 13

$\left(px+\frac{1}{x}\right)^n$ के विस्तार मे दिया है कि चौथा पद $\frac{5}{2}$ है तो x और p ज्ञात कीजिए।

[Given that the 4th term in the expansion of $\left(px+\frac{1}{x}\right)^n$ is $\frac{5}{2}$, find n and p]

Sol :
(a+x)ⁿ के विस्तार मे r वाँ पद,

T_r=ⁿC_r-1.a^n-r+1.x^r-1

T₄=ⁿC_4-1.(px)^n-4+1.$\left(\frac{1}{x}\right)^{4-1}$

=ⁿC₃.(px)^n-3.$\left(\frac{1}{x}\right)^{3}$

=ⁿC₃.(p)^n-3.x^n-3.$\left(\frac{1}{x}\right)^{3}$

=ⁿC₃.(p)^n-3.x^n-6

T₄$=\frac{5}{2}$ (given)

ⁿC₃.(p)^n-3.x^n-6=$\frac{5}{2}$.x⁰

∴x^n-6 तथा x⁰ के तुलना करने पर,
n-6=0
n=6

पुनः ⁿC₃.(p)^n-3.x^n-6=$\frac{5}{2}$

⁶C₃.(p)^6-3.x^6-6=$\frac{5}{2}$

$\frac{6!}{3!(6-3)!}$.p³.x⁰$=\frac{5}{2}$

$\frac{6\times 5\times 4\times 3!}{6\times 3!}$.x⁰$=\frac{5}{2}$

p³=$\frac{5}{2\times 5 \times 4}$

p³=$\frac{1}{8}$

p³=$\left(\frac{1}{2}\right)$

$p=\frac{1}{2}$

Question 14

द्विपंद प्रमेंय का उपयोग करते हुए गुणनफल (1+2a)⁴(2-a)⁵ मे a⁴ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

[Find the coefficient of a⁴ in the product (1+2a)⁴(2-a)⁵ using binomial theorem

Sol :
(1+x)ⁿ=1+ⁿC₁.x+ⁿC₂.x²+...+ⁿC_n.xⁿ

(1+2a)⁴=1+⁴C₁.2a+⁴C₂.(2a)²+⁴C₃.(2a)³+⁴C₄.(2a)⁴

=1+4×2a+6×4a²+4×8a³+1×16a⁴

=1+8a+24a²+32a³+16a⁴

(a-x)ⁿ=ⁿC₀.aⁿ.x⁰-ⁿC₁.a^n-1.x¹+ⁿC₂.a^n-2.x²+..+(-1)ⁿ.ⁿC_n.a⁰.xⁿ

(2-a)⁵=⁵C₀.2⁵.a⁰-⁵C₁.2⁴.a¹+⁵C₂.2³.a²+⁵C₃.2².a³+⁵C₄.2¹.a⁴-⁵C₅.2⁰.a⁵

=32-5×16a+10×8a²-10×4a³+5×2a⁴-a⁵

(2-a)⁵=32-80a+80a²-40a³+10a⁴-a⁵


(1+2a)⁴=1+⁴C₁.2a+⁴C₂.(2a)²+⁴C₃.(2a)³+⁴C₄.(2a)⁴
(2-a)⁵=32-80a+80a²-40a³+10a⁴-a⁵

(1+2a)⁴(2-a)⁵ मे a⁴ का गुणांक

=1×10+8×(-40)+24×80+32×(-80)+16×32

=10-320+1920-2560+512

=2442-2880

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