KC Sinha Mathematics Solution Class 11 Chapter 14 Binomial Theorem ( द्विपद प्रमेय ) Exercise 14.4

Exercise 14.4

TYPE V . सूत्र  ⁿC_x=ⁿC_y⇒x=y या x+y=n पर आधारित प्रश्नः

Question 1

यदि (1+x)³⁴ के प्रसार मे (r-5) वाँ पद का गुणांक (2r-1) वाँ पद के गुणांक के बराबर है । तो r ज्ञात कीजिए ।
Sol :
(1+x)ⁿ के प्रसार मे r वाँ पद का गुणांक=ⁿC_r-1

(r-5)वाँ पद का गुणांक=(2r-1)वांँ पद का गुणांक 

³⁴C_r-5-1=³⁴C_2r-1-1

³⁴C_r-6=³⁴C_2r-2

r-6+2r-2=34

3r-8=34

3r=34+8

$r=\frac{42}{3}$

r=14

Question 2

यदि (1+x)²⁰  के विस्तार मे r वाँ पद का गुणांक (r+4)वाँ पद के गुणांक के बराबर है तो r ज्ञात कीजिए।

Sol :

rवाँ पद का गुणांक=(r+4)वाँ पद के गुणांक

²⁰C_r-1=²⁰C_r+4-1

²⁰C_r-1=²⁰C_r+3

∴r-1+r+3=20

2r+2=20

2r=18

r=9

Question 6

यदि (1+x)²ⁿ के विस्तार मे (p+1) वे पद का गुणांक (p+3) वें पद के गुणांक के बराबर हो तो साबित कीजिए कि  p=n-1

Sol :

(p+1) वे पद का गुणांक=(p+3) वे पद का गुणांक

²ⁿC_p+1-1=²ⁿC_p+3-1

²ⁿC_p=²ⁿC_p+2

∴p+p+2=2n

2p+2=2n

2p=2n-2

2p=2(n-1)

p=n-1

Question 7

(3x-2)⁷⁵ के विस्तार मे उन दो क्रमागत गुणांक ज्ञात कीजिए जिनके मान बराबर है ।

[Find the two consecutive co-efficients in the expansion of (3x-2)⁷⁵ whose values are equal]

Sol :

माना (3x-2)⁷⁵ के विस्तार मे दो क्रमागत गुणांक ⁷⁵C_r तथा ⁷⁵C_r+1 है ।

⁷⁵C_r=⁷⁵C_r+1

r+r+1=75

2r+1=75

2r=74

r=37

∴दो क्रमागत गुणांक, ⁷⁵C₃₇=⁷⁵C₃₈

Question 9

निम्नलिखित के विस्तार मे महत्त पद ज्ञात कीजिएः

[Find the greatest term in the expansion of ]

(i) (2+3x)¹⁰ , when $x=\frac{3}{5}$

Sol :

माना महन्तम पद rth (t_r) है ।

(a+x)ⁿ के विस्तार मे r वा पद

T_r= ⁿC_r-1.a^n-r+1.x^r-1

T_r= ¹⁰C_r-1.2^11-r.3^r-1.x^r-1..(i)

इसी प्रकार ,

T_r= ¹⁰C_r-1.2^10-(r-1)+1.(3x)^r-1-1

T_r= ¹⁰C_r-2.2^12-r.3^r-2.x^r-2..(ii)

T_r+1= ¹⁰C_r+1-1.2^10-(r+1)+1.(3x)^r+1-1

T_r+1= ¹⁰C_r.2^10-r.3^r.x^r..(iii)

∴T_r या r वो पद महन्तम है

$\frac{T_r}{T_{r+1}}\geq 1$

$\frac{^{10}C_{r-1}.2^{11-r}.3^{r-1}.x^{r-1}}{^{10}C_r.2^{10-r}.3^{r}.x^{r}} \geq 1$

$\dfrac{\frac{10!}{(r-1)!(10-r+1)!}\times 2.3^{-1}.x^{-1}}{\frac{10!}{r!(10-r)!}} \geq 1$

$\frac{r!(10-r)!\times 2}{(r-1)! (11-r)! \times 3x} \geq 1$

$\frac{r(r-1)!(10-r)! \times 2}{(r-1)! (11-r)(10-r)! \times 3 \left(\frac{3}{5}\right)} \geq 1$

$\frac{2r \times 5}{9(11-r)} \geq 1$

$\frac{10r}{99-9r} \geq 1$

10r≥99-9r
19r≥99
$r\geq \frac{99}{19}$
$r \geq 5\frac{4}{19}$

r वो पद महन्तम है ।

∴$\frac{T_{r}}{T_{r-1}} \geq 1$

$\frac{^{10}C_{r-1}.2^{11-r}.3^{r-1}.x^{r-1}}{^{10}C_{r-2}.2^{12+r}.3^{r-2}.x^{r-2}} \geq 1$

$\dfrac{\frac{10!}{(r-1)!(10-r+1)! \times 2^{-1} \times 3 \times x}}{\frac{10!}{(r-2)!(10-r+2)!}} \geq 1$

$\frac{(r-2)!(12-r)!}{(r-1)!(11-r)!} \times \frac{3x}{2} \geq 1$

$\frac{(r-2)!(12-r)(11-r)!}{(r-1)(r-3)!(11-r)!}\times \frac{3}{2} \times \frac{3}{5} \geq 1$

$\frac{9(12-r)}{10(r-1)} \geq 1$

$\frac{108-9r}{10r-10} \geq 1$

108-9r≥10r-10
108+10≥10r-9r
118≥19r
$\frac{118}{19}\geq r$
$6\frac{4}{19} \geq r$

∵$5\frac{4}{19} \leq r \leq 6\frac{4}{19}$

∴r=6

समीकरण (i) से ,

T_r= ¹⁰C_r-1.2^11-r.3^r-1.x^r-1

T_r= ¹⁰C_6-1.2^11-6.3^6-1.$\left(\frac{3}{5}\right)^{6-1}$

= ¹⁰C₅.2⁵.3⁵.$\frac{3^5}{5^5}$

= ¹⁰C₅.$\left(\frac{18}{5}\right)^5$


ALTERNATE METHOD

एक सम संख्या है ।

मध्य पद$=\left(\frac{10}{2}+1\right)$ वाँ पद=6वाँ पद

r=6

T₆= ¹⁰C_6-1.2^10-6+1.(3x)^6-1

= ¹⁰C₅.2⁵.$\left(3 \times \frac{3}{5}\right)^{5}$

= ¹⁰C₅.2⁵.$\left(\frac{9}{5}\right)^5$

= ¹⁰C₅.2⁵.$\left(\frac{9^5}{5^5}\right)$

= ¹⁰C₅.$\frac{18^5}{5^5}$

= ¹⁰C₅.$\left(\frac{18}{5}\right)^5$

महन्तम पद= ¹⁰C₅.$\left(\frac{18}{5}\right)^5$

Question 11

यदि n धन पूर्णांक है तो साबित कीजिए कि [If n is a positive integer, show that]
(i) 4ⁿ-3n-1 मे 9 से पूरा-पूरा भाग लग जाता है ।
[4ⁿ-3n-1 is divisible by 9]
Sol :
(1+x)ⁿ =1+ⁿC₁.x+ⁿC₂.x².+...+ⁿC_n.xⁿ

(i) 4ⁿ-3n-1=(1+3)ⁿ-3n-1
=1+ⁿC₁.3+ⁿC₂.(3)².+...+ⁿC_n.3ⁿ-3n-1

=1+3n+3²[ⁿC₂+ⁿC₃.3+....+ⁿC_n.3^n-2-3n-1]

=9[ⁿC₂+ⁿC₃.3+....+ⁿC_n.3^n-2]

∴4ⁿ-3n-1 , पुरा-पुरा 9 से विभाज्य है ।

(ii) 2⁵ⁿ-31n-1 मे 961 से पूरा-पूरा भाग लग जाता है ।
[2⁵ⁿ-31n-1 is divisible by 961]

Sol :
(1+x)ⁿ=1+ⁿC₁.x+ⁿC₂.x²+...ⁿC_n.xⁿ

2⁵ⁿ-31n-1=32ⁿ-31n-1

=(1+31)ⁿ-31n-1

=1+ⁿC₁.31+ⁿC₂.31²+ⁿC₃.31³+..+ⁿC_n.31ⁿ-31n-1

=1+31n+31²[ⁿC₂+ⁿC₃+..+ⁿC_n.31^n-2]-31n-1

=961 [ⁿC₂+ⁿC₃+..+ⁿC_n.31^n-2]

=961 से विभाज्य है ।

∴2⁵ⁿ-31n-1 मे 961 से पूरा-पूरा भाग लग जाता है ।

(iii) 3²ⁿ⁺²-8n-9 मे 64 से पूरा-पूरा भाग लग जाता है ।
[3²ⁿ⁺²-8n-9 is divisible by 64]
Sol :
(1+x)ⁿ=1+ⁿC₁.x+ⁿC₂.x²+...ⁿC_n.xⁿ

3²ⁿ⁺²-8n-9=3²⁽ⁿ⁺¹⁾-8n-9

=9ⁿ⁺¹-8n-9

=(1+8)ⁿ⁺¹-8n-9

=1+ⁿ⁺¹C₁.8+ⁿ⁺¹C₂.8²+ⁿ⁺¹C₃.8³+..+ⁿ⁺¹C_n+1.8ⁿ⁺¹-8n-9

=1+8(n+1)+8²[ⁿ⁺¹C₂+ⁿ⁺¹C₃8+..+ⁿ⁺¹C_n+1.8ⁿ⁺¹]-8n-9

=1+8n+8+64[ⁿ⁺¹C₂+ⁿ⁺¹C₃8+..+ⁿ⁺¹C_n+1.8^n-1]-8n-9

=8n+9+64[ⁿ⁺¹C₂+ⁿ⁺¹C₃8+..+ⁿ⁺¹C_n+1.8^n-1]-8n-9

=64[ⁿ⁺¹C₂+ⁿ⁺¹C₃8+..+ⁿ⁺¹C_n+1.8^n-1]

=64 से विभाज्य है ।

∴3²ⁿ⁺² मे 64 से पूरा-पूरा भाग लग जाता है ।

Question 12

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि 6ⁿ-5n को जब 25 से भाग दिया जाए तो सदैव 1 शेष बचता है ।
Sol :
(1+x)ⁿ=1+ⁿC₁.x+ⁿC₂.x²+...ⁿC_n.xⁿ

6ⁿ-5n=(1+5)ⁿ-5n

=1+ⁿC₁.5++ⁿC₂.5²+ⁿC₃.5³+..+ⁿC_n.5ⁿ-5n

=1+5n+5²[ⁿC₂+ⁿC₃.5+..+ⁿC_n.5^n-2]-5n

=1+25[ⁿC₂+ⁿC₃.5+..+ⁿC_n.5^n-2]

∴6ⁿ-5n को 25 से भाग देने पर शेष 1 बचता है ।

Question 13

यदि (1+x)ⁿ के विस्तार मे तीन क्रमागत गुणांक 56.70 और 56 हो तो n और गुणांको की स्थिति ज्ञात कीजिए ।
Sol :
माना (1+x)ⁿ के विस्तार मे तीन क्रमागत गुणांक

ⁿC_r-1,ⁿC_r तथा ⁿC_r-1 है ।

∴ⁿC_r-1=56..(i) ,
ⁿC_r=70..(ii) ,
ⁿC_r-1=56..(iii)

समीकरण (i) मे (ii) से भाग देने पर,

$\frac{^nC_{r-1}}{^nC_{r}}=\frac{56}{70}$

$\dfrac{\frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!}}{\frac{n!}{r!(n-r)!}}=\frac{4}{5}$

$\frac{r!(n-r)!}{(r-1)!(n-r+1)!}=\frac{4}{5}$

$\frac{r(r-1)!(n-r)!}{(r-1)!(n-r+1)(n-r)!}=\frac{4}{5}$

5r=4n-4r+4
5r-4n+4r=4
9r-4n=4..(iv)

समीकरण (ii) मे (iii) से भाग देने पर,

$\frac{^nC_r}{^nC_{r+1}}=\frac{70}{56}$

$\dfrac{\frac{n!}{r!(n-r)!}}{\frac{n!}{(r+1)!(n-r-1)!}}=\frac{5}{4}$

$\frac{(r+1)!(n-r-1)!}{r!(n-r)!(n-r-1)!}=\frac{5}{4}$

4r+4=5n-5r
4r-5n+5r=-4
9r-5n=-4..(v)

समीकरण (iv) तथा (v) से ,

$\begin{aligned}9r-4n&=4\\9r-5n&=-4\\ \hline n&=8\end{aligned}$

n का मान समीकरण (v) मे रखने पर,

9r-5n=-4
9r-5(8)=-4
9r-40=-4
9r=-4+40
9r=36
r=4

n=8 , पद , T_r ,T_r+1 और T_r+2 का गुणांक पद , T₄ ,T₅ और T₆ का गुणांक

Question 14

यदि (1+x)ⁿ के विस्तार मे तीन क्रमागत गुणांक 220,495 और 792 हो तो n और गुणांको की स्थिति ज्ञात कीजिए ।
Sol :

Question 16

यदि (a+x)ⁿ के विस्तार मे तीसरा , चौधा और पाँचवाँ पद 84 , 280 और 560 हो तो x,a,n ज्ञात कीजिए ।

Sol :

(a+x)ⁿ के विस्तार मे rवाँ पद , 

T_r= ⁿC_r-1.a^n-r+1.x^r-1

T₃= 84 , T₄= 280 , T₅= 560

ⁿC_3-1.a^n-3+1.x^3-1=84

ⁿC₂.a^n-2.x²=84..(i)


ⁿC_4-1.a^n-4+1.x^4-1=280

ⁿC₃.a^n-3.x³=280..(ii)


ⁿC_5-1.a^n-5+1.x^5-1=560

ⁿC₄.a^n-4.x⁴=560..(iii)

समीकरण (i) मे (ii) से भाग देने पर,

$\frac{^nC_{2}.a^{n-2}.x^2}{^nC_{3}.a^{n-3}.x^{3}}=\frac{84}{280}$

$\dfrac{\frac{n!}{2!(n-2)!}}{\frac{n!}{3!(n-3)!}} \times \frac{a}{x}=\frac{3}{10}$

$\frac{3! (n-3)!}{2! (n-2)!} \times \frac{a}{x} =\frac{3}{10}$

$\frac{3 \times 2! (n-3)!}{2! (n-2)(n-3)!} \times \frac{a}{x} =\frac{3}{10}$

$\frac{3}{n-2}\times \frac{a}{x}=\frac{3}{10}$

$\frac{a}{x}=\frac{3(n-2)}{10 \times 3}$

$\frac{a}{x}=\frac{n-2}{10}$..(iv)

समीकरण (ii) मे (iii) से भाग देने पर ,

$\frac{^nC_{3}.a^{n-3}.x^3}{^nC_{4}.a^{n-4}.x^4}=\frac{280}{560}$

$\dfrac{\frac{n!}{3!(n-3)!}}{\frac{n!}{4!(n-4)!}}\times \frac{a}{x} =\frac{1}{2}$

$\frac{4!(n-4)!}{3!(n-3)!} \times \frac{a}{x} =\frac{1}{2}$

$\frac{4\times 3!(n-4)!}{3!(n-3)!} \times \frac{a}{x} =\frac{1}{2}$

$\frac{a}{x}=\frac{1}{2} \times \frac{n-3}{4}$

$\frac{a}{x}=\frac{n-3}{8}$..(v)

समीकरण (iv) तथा (v)  से,

$\frac{n-2}{10}=\frac{n-3}{8}$

8(n-2)=10(n-3)
8n-16=10n-30
8n-10n=-30+16
-2n=-14
n=7

n=7 पर समीकरण (iv)

$\frac{a}{x}=\frac{n-2}{10}$

$\frac{a}{x}=\frac{7-2}{10}$

$\frac{a}{x}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

x=2a


समीकरण (i) से

ⁿC₂.a^n-2.x²=84

⁷C₂.a^7-2.(2a)²=84

$\frac{7!}{2!(7-2)!}.a^5.4a^{2}=84$

$\frac{7 \times 6 \times 5!}{2\times 5!}.a^7 \times 4=84$

$a^7=\frac{84}{7 \times 6\times 2}$

a⁷=1⁷

a=1

∵x=2a
x=2(1)=2

∴n=7 , a=1 , x=z

Question 18

यदि एक द्विपद विस्तार मे a,b और d क्रमशः छठे , सातवे , आठने और नवे पद हो तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{b^2-ac}{c^2-bd}=\frac{4a}{3c}$
Sol :
T₆=a ,T₇=b , T₈=c ,T₉=d

ⁿC₅=a , ⁿC₆=b ,ⁿC₇=c ,ⁿC₈=d

L.H.S

$\frac{b^2-ac}{c^2-bd}=\frac{^nC_6.^nC_6-^nC_5.^nC_7}{^nC_{7}.^nC_{7}-^nC_{6}.^nC_8}$

$=\dfrac{\frac{n!}{6!(n-6)!}.\frac{n!}{6!(n-6)!}-\frac{n!}{5!(n-5)!}.\frac{n!}{7!(n-7)!}}{\frac{n!}{7!(n-7)!}.\frac{n!}{7!(n-7)!}-\frac{n!}{6!(n-6)!}.\frac{n!}{8!(n-8)!}}$

$=\dfrac{\frac{n!.n!}{5!(n-6)!6!(n-7)!}\left[\frac{1}{6(n-6)}-\frac{1}{(n-5)7}\right]}{\frac{n!n!}{6!(n-7)!7!(n-8)!}\left[\frac{1}{7(n-7)}-\frac{1}{(n-6)8}\right]}$

$=\dfrac{7!(n-8)! \left[\frac{7(n-5)-6(n-6)}{42(n-5)(n-6)}\right]}{5!(n-6)! \left[\frac{8(n-6)-7(n-7)}{56(n-6)(n-7)}\right]}$

$=\dfrac{7 \times 6 \times 5! (n-8)! \left[\frac{7n-35-6n+36}{3(n-5)}\right]}{5! (n-6)(n-7)(n-8)! \left[\frac{8n-48-7n+49}{4(n-7)}\right]}$

$=\dfrac{42\left[\frac{n+1}{3(n-5)}\right]}{(n-6)(n-7)\left[\frac{n+1}{4(n-7)}\right]}$

$=\frac{42}{(n-6)(n-7)} \times \frac{4(n-7)}{3(n-5)}$

$=\frac{56}{(n-6)(n-5)}$


R.H.S

$\frac{4a}{3c}=\frac{4.^nC_{5}}{3.^nC_{7}}$

$=\dfrac{4\times \frac{n!}{5!(n-9)!}}{3\times\frac{ n!}{7!(n-7)!}}$

$=\frac{4\times 7! (n-7)! }{3\times 5! (n-5)!}$

$=\frac{4\times 7\times 6\times 5!(n-7)!}{3\times 5! (n-5)(n-6)(n-7)!}$

$=\frac{56}{(n-5)(n-6)}$

Question 19

यदि किसी द्विपद विस्तार मे चार क्रमागत गुणांक a,b,c,d हो तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{a+b}{a},\frac{b+c}{b},\frac{c+d}{c}$ H.P मे है ।
Sol :
माना किसी द्विपद विस्तार के 4 क्रमागत गुणांक गुणांक,

ⁿC_r-1, ⁿC_r ,ⁿC_r+1 ,ⁿC_r+2 है ।

ⁿC_r-1=a , ⁿC_r=b ,ⁿC_r+1=c ,ⁿC_r+2=d

$\frac{b}{a}=\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}}$

$=\dfrac{\frac{n!}{r!(n-r)!}}{\frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!}}$

$=\frac{(r-1)!(n-r+1)!}{r!(n-r)!}$

$=\frac{(r-1)!(n-r+1)(n-r)!}{r(r-1)!(n-r)!}$

$\frac{b}{a}=\frac{n-r+1}{r}$

$\frac{b}{a}+1=\frac{n-r+1}{r}+1$

$=\frac{n-r+1+r}{r}=\frac{n+1}{r}$

$\frac{b+a}{a}=\frac{n+1}{r}$ या $\frac{a+b}{a}=\frac{n+1}{r}$


इसी प्रकार , $\frac{b+c}{b}=\frac{n+1}{r+1}$ , $\frac{c+d}{c}=\frac{n+1}{r+2}$

$\dfrac{1}{\frac{b+c}{b}}-\dfrac{1}{\frac{a+b}{a}}=\dfrac{1}{\frac{n+1}{r+1}}-\dfrac{1}{\frac{n+1}{r}}$


$=\frac{r+1}{n+1}-\frac{r}{n+1}-\frac{r}{n+1}$

$=\frac{r+1-r}{n+1}=\frac{1}{n+1}$


इसी प्रकार ,

$\dfrac{1}{\frac{c+d}{c}}-\dfrac{1}{\frac{b+c}{b}}=\dfrac{1}{\frac{n+1}{r+2}}-\dfrac{1}{\frac{n+1}{r+1}}$

$=\frac{r+2}{n+1}-\frac{r+1}{n+1}=\frac{r+2-r-1}{n+1}=\frac{1}{n+1}$

∴$\frac{a+b}{a},\frac{b+c}{b},\frac{c+d}{2}\dots H.P$ मे है

Question 20

(1+x)ⁿ के विस्तार मे 5वाँ , 6वाँ और 7वाँ पद का गुणांक A.P मे हो तो n का मान ज्ञात कीजिए ।
Sol :
T₅, T₆ और T₇ वाँ पद का गुणांक A.P मे है ।

ⁿC₄, ⁿC₅ ,ⁿC₆ A.P मे है ।

ⁿC₅-ⁿC₄=ⁿC₆-ⁿC₅

$\frac{n!}{5!(n-5)!}-\frac{n!}{4!(n-4)!}=\frac{n!}{6!(n-6)!}-\frac{n!}{5!(n-5)!}$

$\frac{n!}{4!(n-5)!} \left[\frac{1}{5}-\frac{1}{n-4}\right]=\frac{n!}{5!(n-6)!} \left[\frac{1}{6}-\frac{1}{n-5}\right]$

$\frac{1}{4!(n-5)(n-6)} \left[\frac{n-4-5}{5(n-4)}\right] =\frac{1}{5 \times 4! (n-6)!} \left[\frac{n-5-6}{6(n-5)}\right]$

$\frac{1}{(n-5)} \left[\frac{n-9}{5(n-4)}\right]=\frac{1}{5}\left[\frac{n-11}{6(n-5)}\right]$

(n-4)(n-11)=6(n-9)
n²-11n-4n+44=6n-54
n²-15n+44-6n+54=0
n²-21n+98=0
n²-14n-7n+98=0
n(n-14)-7(n-14)=0
(n-14)(n-7)=0

$\begin{array}{l|l}n-14=0 & n-7=0\\n=14&n=7\end{array}$

Question 21

यदि (1+x)ⁿ के विस्तार मे दूसरे, तीसरे और चौथे पदो के गुणांक A.P मे हो तो साबित कीजिए कि 2n²-9n+7=0
Sol :