KC Sinha Mathematics Solution Class 11 Chapter 14 Binomial Theorem ( द्विपद प्रमेय ) Exercise 14.5

Exercise 14.5

Question 1

यदि (1+x)ⁿ=C₀+C₁.x+C₂.x²+...+C_n.xⁿ ,तो साबित कीजिए कि
[If (1+x)ⁿ=C₀+C₁.x+C₂.x²+...+C_n.xⁿ , show that]
(i) ⁸C₁+⁸C₂+⁸C₃+...+⁸C₈=255
(ii) ⁸C₁+⁸C₃+⁸C₅+...+⁸C₇=128
(iii) (1+ⁿC₁+ⁿC₂+ⁿC₃+...+ⁿC_n)ⁿ=1+²ⁿC₁+²ⁿC₂+²ⁿC₃+...+²ⁿC_2n
(iv) (1+ⁿC₁+ⁿC₂+ⁿC₃+...+ⁿC_n)⁵=1+⁵ⁿC₁+⁵ⁿC₂+⁵ⁿC₃+...+⁵ⁿC_5n
(v) C₀+5.C₁+9.C₂+13.C₃+..+(4n+1)C_n=(2n+1)2ⁿ
(vi) 1-(1-x)C₁+(1+2x)C₂-(1+3x)C₃+...=0
(vii) 3.C₁+7.C₂+11.C₂+..+(4n-1)C_n=(2n-1)2ⁿ+1
Sol :

(i)
L.H.S
⁸C₁+⁸C₂+⁸C₃+...+⁸C₈
=2^8-1
=256-1

=255

(ii)

L.H.S
⁸C₁+⁸C₃+⁸C₅+...+⁸C₇

=2^8-1
=2⁷

=128

(iii)
L.H.S

(1+ⁿC₁+ⁿC₂+ⁿC₃+...+ⁿC_n)ⁿ

= (2ⁿ)²

= 2²ⁿ

R.H.S

1+²ⁿC₁+²ⁿC₂+²ⁿC₃+...+²ⁿC_2n

= 2²ⁿ

(v)

दिए गए श्रेणीः

C₀+5.C₁+9.C₂+13.C₃+..+(4n+1)C_n

श्रेणी का r वाँ पद=(4r+1)ⁿC_r
=4rⁿC_r+ⁿC_r
T_r=4r.^n-1C_r-1+ⁿC_r

C₀+5.C₁+9.C₂+13.C₃+..+(4n+1)C_n=$\sum^n_{r=1}$4n.^n-1C_r-1+$\sum^n_{r=0}$

=4n$\sum^n_{r=1}$ⁿ⁺¹C_r+1+$\sum^n_{r=0}$ⁿC_r

=4n[^n-1C₀+^n-1C₁+^n-1C₂+...+^n-1C_n-1]+[ⁿC₀+ⁿC₂+ⁿC_n]

=4n.2^n-1+2ⁿ

$=4n.\frac{2}{2}+2^n$

=(2n+1)2ⁿ

(vi)

1-(1-x)C₁+(1+2x)C₂-(1+3x)C₃+...=0

=(-1)^r. (1+rx).ⁿC_r

=(-1)^r. ⁿC_r(-1)^r.x.r.ⁿC_r

=(-1)^r. ⁿC_r(-1)^r-1.x.n.ⁿC_r

1-(1-x)C₁+(1+2x)C₂-(1+3x)C₃+...=$\sum^n_{r=0}$(-1)^r.ⁿC_r+$\sum^n_{r=1}$(-1)^r-1.x.n.^n-1C_r-1

=$\sum^n_{r=0}$(-1)^r.ⁿC_r+nx$\sum^n_{r=0}$(-1)^r-1.^n-1C_r-1

=[ⁿC₀-ⁿC₁+ⁿC₂-ⁿC₃+..(-1)ⁿ.ⁿC_r]+nx[^n-1C₀-^n-1C₁+^n-1C₂+..+(-1)ⁿ.^n-1C_n-1]

=0+nx(0)

=0

Question 2

यदि (1+x)ⁿ=C₀+C₁.x+C₂.x²+...+C_n.xⁿ ,तो साबित कीजिए कि

(i) $\frac{C_0}{1}-\frac{C_1}{2}+\frac{C_2}{3}..+(-1)^n.\frac{C_n}{n+1}=\frac{1}{n+1}$

Sol :
दिया गया श्रेणी है:
$\frac{C_0}{1}-\frac{C_1}{2}+\frac{C_2}{3}..+(-1)^n.\frac{C_n}{n+1}$

r वाँ पद T_r=(-1)^r-1$\frac{^nC_{r-1}}{r}$

$=(-1)^{r-1}\frac{^{n+1}C_r}{n+1}$

अब , $\frac{C_0}{1}-\frac{C_1}{2}+\frac{C_2}{3}..+(-1)^n.\frac{C_n}{n+1}=\sum^{n+1}_{r=1}$(-1)^r-1.$\frac{^{n+1}C_r}{n+1}$

$=\frac{1}{n+1}\sum^{n+1}_{r=1}$(-1)^r-1.ⁿ⁺¹C_r

$=\frac{1}{n+1}$[ⁿ⁺¹C₁-ⁿ⁺¹C₂+ⁿ⁺¹C₃+..(-1)ⁿ.ⁿ⁺¹C_n+1]

$=\frac{1}{n+1}$[ⁿ⁺¹C₀+ⁿ⁺¹C₁-ⁿ⁺¹C₃+..(-1)ⁿ.ⁿ⁺¹C_n+1+ⁿ⁺¹C₀]

$=\frac{1}{n+1}$[-(ⁿ⁺¹C₀+ⁿ⁺¹C₁-ⁿ⁺¹C₃+..(-1)ⁿ⁺¹.ⁿ⁺¹C_n+1+ⁿ⁺¹C₀)]

$=\frac{1}{n+1}$[-0+ⁿ⁺¹C₀]

$=\frac{1}{n+1}[1]=\frac{1}{n+1}$

(ii) $C_0+\frac{C_2}{3}+\frac{C_4}{5}+\dots =\frac{2^n}{n+1}$
Sol :
दिया गया श्रेणी:
$C_0+\frac{C_2}{3}+\frac{C_4}{5}+\dots =\frac{2^n}{n+1}$

r वाँ पद T_r$=\frac{^nC_{2r}}{2r+1}=\frac{^{n+1}C_{2r+1}}{n+1}$

अतः $C_0+\frac{C_2}{3}+\frac{C_4}{5}+\dots =\sum^{n+1}_{r=0} \frac{^{n+1}C_{2r+1}}{n+1}$

$=\frac{1}{n+1} \sum^{n+1}_{r=0}$.ⁿ⁺¹C_2r+1

$=\frac{1}{n+1}$[ⁿ⁺¹C₁+ⁿ⁺¹C₃+ⁿ⁺¹C₅+..+0]

$=\frac{1}{n+1}(2^{n+1-1})$

$=\frac{2^n}{n+1}$

Question 3

यदि (1+x)ⁿ=C₀+C₁.x+C₂.x²+...+C_n.xⁿ ,तो साबित कीजिए कि

(i) C₀C₂+C₁C₃+..C_n-2C_n$=\frac{(2n)!}{(n+2)!(n-2)!}$
Sol :
(1+x)ⁿ=C₀+C₁.x+C₂.x²+...+C_n.xⁿ..(i)

(x+1)ⁿ=C₀.xⁿ+C₁.x^n-1+C₂.x^n-2+C₃.x^n-3...+ⁿC_n.x⁰..(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) को गूणा करके x^n-2के गुणांको को लेने पर,

(1+x)²ⁿ मेx^n-2 का गुणांक C₀C₂+C₁C₃+C₂C₄+...+C_n-2C_n..(i)

²ⁿC_n-2=C₀C₂+C₁C₃+C₂C₄+...+C_n-2C_n

$\frac{(2n)!}{(n-2)!(n+2)!}=$C₀C₂+C₁C₃+C₂C₄+...+C_n-2C_n

(ii) ⁿC₀+ⁿ⁺¹C₁+ⁿ⁺¹C₂+...ⁿC_n.ⁿ⁺¹C_n+1$=\frac{(2n+1)!}{(n+1)!n!}$
Sol :
(1+x)ⁿ=ⁿC₀+ⁿ⁺¹C₁.x¹+ⁿ⁺¹C₂.x²+...ⁿC_n.xⁿ..(i)

(1+x)ⁿ⁺¹=ⁿ⁺¹C₀.xⁿ⁺¹.ⁿ⁺¹C₁.xⁿ+ⁿ⁺¹C₂.x^n-1+...ⁿ⁺¹C_n+1.x⁰..(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) मे गुणा करके xⁿके गुणांको को लेने पर,

(1+x)²ⁿ⁺¹k. xⁿका गुणांक=ⁿC₀+ⁿ⁺¹C₁+ⁿC₁+ⁿ⁺¹C₂+...ⁿC_n.ⁿ⁺¹C_n+1

²ⁿ⁺¹C_n=ⁿC₀+ⁿ⁺¹C₁+ⁿC₁+ⁿ⁺¹C₂+...ⁿC_n.ⁿ⁺¹C_n+1

$\frac{(2n+1)!}{n!(n+1)!}$=ⁿC₀+ⁿ⁺¹C₁+ⁿC₁+ⁿ⁺¹C₂+...ⁿC_n.ⁿ⁺¹C_n+1

Question 4

साबित कीजिए कि (1+x-3x²)²¹⁶³के विसतार मे गुणांको का योग -1 है ।
Sol :
माना (1+x-3x²)²¹⁶³=a₀+a₁x+a₂x²+..+a_{6489 .}x⁶⁴⁸⁹
x=1 , रखने पर,

(1+x-3)²¹⁶³=a₀+a₁(1)+a₂(1)²+..+a_{6489 .}(1)⁶⁴⁸⁹

(-1)²¹⁶³=a₀+a₁+a₂+..+a₆₄₈₉

-1=a₀+a₁+a₂+..+a₆₄₈₉

Question 5

यदि (If) (1+x-2x²)⁶=1+a₁.x+a₂.x²+...+a₁₂x¹²तो दिखलाइए कि (show that) a₂+a₄+a₆+..+a₁₂=31
Sol :
(1+x-2x²)⁶=1+a₁.x+a₂.x²+...+a₁₂x¹²

x=1 पर,

(1+1-2)⁶=1+a₁.(1)+a₂.(1)²+...+a₁₂(1)¹²

0=1+a₁+a₂.+...+a₁₂

x=-1 पर,

[1-1-2(-1)²]⁶=1+a₁.(-1)+a₂.(-1)²+...+a₁₂(-1)¹²

(-2)⁶=1-a₁+a₂+...+a₁₂

64=1-a₁+a₂+...+a₁₂..(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से ,

$\begin{aligned}0&=1+a_1+a_2+\dots +a_{12}\\64&=1+a_1+a_2+\dots +a_{12}\\ \hline 64&=2+2a_2+2a_4+\dots +2a_{12}\end{aligned}$

64=2(1+a₂+a₄+..+a₁₂)

32=1+a₂+a₄+..+a₁₂

31=a₂+a₄+..a₁₂