KC Sinha Mathematics Solution Class 12 Chapter 13 (Rolle's Theorem and Lagrange's Mean value Theorem) Exercise 13.1

Exercise 13.1

Question 1

फलन f(x)=(x-2) log x पर विचार करते हुए सिद्द करे कि समीकरण xllogx=2-x और 2 के बिच मे x कम-से-कम एक मान के लिए अवश्य सत्य है ।
[Considering the function f(x)=(x-2)log x, show that the equation xlogx=2-x is true for at least one value of x between 1 and 2]
Sol :
f(x)=(x-2)logx

(x-2) एक बहुपद फलन है और logx एक लघुगणकीय फलन है

∴f(x) , बंद अंतराल [1,2] पर संतता और खुला अंतराल (1,2) मे अवकलनीय होगा ।

f(1)=(1-2)log1=(-1)×0=0

f(2)=(2-2)log2=0×log2=0

f(1)=f(2)

Differentiating w.r.t. x

$f^{\prime}(x)=1 \cdot \log x+(x-2) \times \frac{1}{x}$

$f^{\prime}(x)=\frac{x \log x+x-2}{2 x}$

By Rolle's theorem

∴f'(x)=0

$\frac{x \log x+x-2}{x}=0$

xlogx+x-2=0

xlogx=2-x

Question 2

यदि कोई फलन f(x) बन्द अन्तराल [2,4] मे ं संतत हो तथा खुले अन्तराल(2,4) मे अवकलनीय हो तथा f(2)=5 , f(4)=13 , तो दिखाएँ कि , कम-से-कम एक ऐसा c मिलेगा , जहाँ 2<c<4 ताकि f'(c)=4

[If a function f(x) is continuous in the closed interval (2,4) and differentiable in the open interval (2,4) and f(2)=5, f(4)=13, show that there will be at least one point c, where 2<c<4 such that f'(c)=4.]
Sol :
फलन f(x) बंद अंतराल [2,4] मे ं संतता तथा खुले अंतराल (2,4) मे अवकलनीय है ।

f(2)=5 , f(4)=13

By Mean Value Theorem

f'(c)=\frac{f(4)-f(z)}{4-2}

f^{\prime}(c)=\frac{13-5}{2}=\frac{8}{2}

∴ f'(c)=4

Question 3

यदि कोई फलन f(x) बन्द अन्तराल [0,3] मे अवकलनीय हो तथा f(0)10 , f(3)=25 तो साबित करे कि कम-से-कम एक c मिलेगा , जहाँ 0<c<3 ताकि f'(c)=5

[If a function f(x) is differentiable in he closed interval [0,3] and f(0)=10 ,f(3)=25, then show that there exists at least one point c, where 0<c<3 such that f'(c)=5]
Sol :
फलन f(x) बन्द अन्तराल [0,3] मे अवकलनीय है

∴ f(x)  बन्द अन्तराल [0,3] मे संतत होगा ।

तथा f(x) खुले अन्तराल [0,3] मे अवकलनीय होगा ।

f(0)=10 , f(3)=25

By Mean Value Theorem

$f^{\prime}(c)=\frac{f(3)-f(0)}{3-0}$

$=\frac{25-10}{3}$

$f^{\prime}(c)=\frac{15}{2}=5$

Question 4

यदि फलन f(x) तथा g(x) बन्द अन्तराल [1,3] मे अवकलनीय हो , तो दिखाएँ कि कम-से-कम एक c मिलेगा , जहाँ 0<c<3 ताकि
$\left|\begin{array}{ll}f(1) & f(3) \\ g(1) & g(3)\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{ll}f(1) & f^{\prime}(c) \\ g(1) & g^{\prime}(c)\end{array}\right|$

[If functions f(x) and g(x) be differentiable in the closed interval [1,3] show that there will be at least one point c, where 1<c<3, such that]

Sol :
माना $f(x)=\left|\begin{array}{cc}f(a) & f(x) \\ g(a) & g(x)\end{array}\right|$

f(x)=f(a)g(x)-g(a)f(x)

∵ f(x) तथा g(x) बन्द अंतराल [1,3] मे अवकलनीय है ।

∴ f(x) तथा g(x) बंद अंतराल [1,3] मे संतत होगा ।

और f(x) तथा g(x) खुला अंतराल(1,3) मे अवकलनीय होगा ।

f(a) और g(a) अचर है ।

अत: f(x) भी बंद अंतराल[1,3]  मे संतत और खुला अंतराल(1,3) मे अवकलनीय होगा ।

f(x)=f(a).g(x)-g(a).f(a)

Differentiating w.r.t x

f'(x)=f(a)g'(x)-g(a)f'(x)

By Mean Value Theorem

$f^{\prime}(c)=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}$

f(1)g'(c)-g(1)f'(c)$=\left.\frac{f(3)-f(1)}{2}\right.$

$2\left|\begin{array}{ll}f(1) & f'(c) \\ g(1) & g^{\prime}(c)\end{array}\right|=f(3)-f(1)$

∵$f(x)=\left|\begin{array}{ll}f(a) & f(x) \\ g(x) & g(x)\end{array}\right|$

$2\left|\begin{array}{ll}f(1) & f^{\prime}(c) \\ g(1) & g^{\prime}(c)\end{array}\left|=\left|\begin{array}{ll}f(1) & f(3) \\ g(1) & g(3)\end{array}\Bigg|-\Bigg| \begin{array}{ll}f(1) & f(1) \\ g(1) & g(1)\end{array}\right|\right.\right.$

$2\left|\begin{array}{ll}f(1) & f^{\prime}(c) \\ g(1) & g^{\prime}(c)\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}f(1) & f(3) \\ g(1) & g(3)\end{array}\right|$

Question 5

निम्नलिखित फलनो के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित करे
[Verify Rolle's theorem for the following functions]:

(i) $f(x)=x^{2}-4 x+3$ अंतराल (in interval) [1,3] मे
Sol :
f(x) एक बहुपद फलन है ,

∴ f(x) बंद अंतराल [1,3]मे संतत और खुला अंतराल (1,3) मे अवकलनीय होगा ।

f(1)=(1)²-4(1)+3
=1-4+3
=0

f(3)=(3)²-4(3)+3
=9-12+3
=0

f(1)=f(3)

f(x)=(x)²-4x+3

Differentiating w.r.t x

f'(x)=2x-4

f'(x)=2x-4

By Rolle's Theorem,

f'(c)=0
2c-4=0
2c=4
$c=\frac{4}{2}$
c=2∊(1,3)


(ii) f(x)=4x²-12x+9 (in) [0,3] मे
Sol :
f(x) एक बहुपद फलन है ।

∴ f(x) बंद अंतराल [0,3] मे ं संतत और खुला अंतराल [0,3] मे अवकलनीय होगा ।

f(0)=4(0)²-12(0)+9
=9

f(3)=4(3)²-12(3)+9

=36-36+9

=9

f(0)=f(3)

f(x)=4x²-12x+9

Differentiating w.r.t x

f'(x)=8x-12

By Rolle's theorem
f'(c)=0

8c-12=0

8c=12

$c=\frac{12}{8}$

$c=\frac{3}{2} \in(0.3)$


(iii) f(x)=x(x-4)² (in) [0,4] मे
Sol :
f(x) एक बहुपद फलन है ,

∴f(x) बंद अंतराल [0,4] मे संतत और खुला अंतराल (0,4) मे अवकलनीय होगा ।

f(0)=0(0-4)²
=0

f(4)-4(4-x)²
=4×0²
=0

f(0)=f(4)

f(x)=x(x-4)²

Differentiating w.r.t x

f'(x)=1(x-4)²+x.2(x-4).1
=(x-4)(x-4+2x)

f'(x)=(x-4)(3x-4)

By Rolle's theorem

f'(c)=0

(c-4)(3c-4)=0

$\begin{array}{l|l} c-4=0&3c-4=0\\c=4&3c=4\\&c=\frac{4}{3}\in(0,4)\end{array}$

(iv) $f(x)=x(x-5)^{2}$ (in) [0,5] में

Sol :

(v) $f(x)=x(x-3)^{2}$ (in) [0,3] में

Sol :

(vi) $f(x)=x(x-1)^{2}$ (in) [0,1] में

Sol :

(vii) f(x)=x³-6x²+11x-6 (in) [3,4] मे
Sol :
f(x) एक बहुपद फलन है ।

∴ f(x) बंद अंतराल [1,3] मे संतत और खुला अंतराल (1,3) मे अवकलनीय होगा ।

f(1)=(1)³-6(1)²+11(1)-6
=1-6+11-6
=0

f(3)=(3)³-6(3)²+11(3)-6
=27-54+33-6
=60-60
=0

f(1)=f(3)

f(x)=3x²-12x+11

By Rolle's theorem

f'(c)=0

3c²-12c+11=0

$c=\frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^{2}-4 \times 3 \times 11}}{2 \times 3}$

$c=\frac{12 \pm \sqrt{144-132}}{6}$

$c=\frac{12 \pm \sqrt{12}}{6}$

$c=\frac{12 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

$=\frac{2(6 \pm \sqrt{3})}{6}$

$c=\frac{6 \pm \sqrt{3}}{3} \in(1,3)$


(viii) f(x)=(x-2)(x-3)(x-4) (in) [2,4] मे
Sol :
f(x) एक बहुपद फलन है ।

∴ f(x) बंद अंतराल [2,4] मे संतत और खुला अंतराल (2,4) अवकलनीय होगा ।

f(2)=(2-2)(2-3)(2-4)
=0(-1)(-2)
=0

f(4)=(4-2)(4-3)(4-4)
=2×1×0
=0

f(3)=(x-2)(x-3)(x-4)

Differentiating w.r.t x

f'(x)=1.(x-3)(x-4)+(x-2).1(x-4)+(x-2)(x-3)
=x²-4x-3x+12+x²-4x-2x+8+x²-3x-2+6

f'(x)=3x²-18x+26

By Rolle's theorem

f'(c)=0

3x²-18c+26=0

$c=\frac{-(-18) \pm \sqrt{(-18)^{2}-4 \times 3 \times 2}}{2 \times 3}$

$c=\frac{18 \pm \sqrt{324-312}}{6}$

$c=\frac{18 \pm \sqrt{12}}{6}$

$c=\frac{18 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

$c=\frac{2(9 \pm \sqrt{3})}{6}$

$c=\frac{9 \pm \sqrt{3}}{3} \in(2,4)$


(ix) f(x)=x²+2x-8⋲[-4,2] मे
Sol :
f(x) एक बहुपद फलन है ।

∴f(x) बंद अंतराल [-4,2] मे संतत और खुला अंतराल (-4,2) मे अवकलनीय होगा ।

f(-4)=(4)²+2(-4)-8
=16-8-8
=0

f(2)=2²+2(2)-8
=4+4-8
=0

f(-4)=f(2)

f(x)=x²+2x-8

Differentiating w.r.t x

f'(x)=2x+2

By Rolle's theorem

f'(c)=0

2c+2=0

2c=-2

c=-1⋲(-4,2)

(x) $f(x)=x^{2}+2, x \in[-2,2]$ में
Sol :

Question 6

निम्नलिखित फलनो के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित करे ।
[Verify Rolle's theorem for the following functions]

(i) $f(x)=\sin 2 x(\text { in })\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ मे
Sol :
f(x) एक त्रिकोणमितिय फलन है ।

∴f(x) , बंद अंतराल $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ मे संतत और खुला अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ मे अवकलनीय होगा ।

f(0)=sin z(0)
=sin0
=0

$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin 2\left(\frac{\pi}{2}\right)$
=sinπ
=0

$f(0)=f\left(\frac{\pi}{2}\right)$

f(x) , Rolle's theorem के सभी शर्तो को पूरा करता है

 ∵ f(x)=sin2x

Differentiating w.r.t x

f'(x)=2cos2x

By Rolle's theorem

f'(c)=0

2cos2c=0

cos2c=0

$\cos 2 c=\cos \frac{\pi}{2}$

$2 c=\frac{\pi}{2}$

$c=\frac{\pi}{4} \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$


(ii) f(x)=cos2x in $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ मे
Sol :
f(x) एक त्रिकोणमितिय फलन है ।

∴f(x) बंद अंतराल $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ मे संतत और खुला अंतराल $\left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$ मे अवकलनीय है ।

$f\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\cos x\left(\frac{-\pi}{4}\right)=\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right)$

$=\cos \frac{\pi}{2}=0$


$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\cos 2\left(\frac{\pi}{4}\right)$

$=\cos \frac{\pi}{2}=0$

$f\left(-\frac{\pi}{4}\right)=f\left(\frac{\pi}{4}\right)$

∴ f(x) , Rolle's theorem के सभी शर्तो को पूरा करते है

f(x)=cos2x

Differentiating w.r.t x

f'(x)=-2sin2x

By Rolle's theorem

f'(c)=0

-2sin2c=0

sin2c=0

sin2c=sin0

2c=0

$c=\frac{0}{2}=0 \in\left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$


sin2c=0

∴2c=nπ , n∈z

$c=\frac{n \pi}{2}$

n=0,1,2.....

(iii) f(x)=sinx+cosx-1 (in) $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ मे
Sol :
f(x) एक त्रिकोणमितिय फलन है ।

∴ f(x) , बंद अंतराल $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$  मे संतत और खुला अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ मे अवकलनीय है ।

f(0)=sin0+cos0-1
=0+1-1
=0

$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin \frac{\pi}{2}+\cos \frac{\pi}{2}-1$
=1+0-1
=0

f(0)=$f\left(\frac{\pi}{2}\right)$

∵f(x)  , By Rolle's theorem के लिए शर्तो को पूरा करता है

f(x)=sinx+cosx-1

Differentiate w.r.t x

f'(x)=cosx-sinx

π

f'(c)=0

cosx-sinx=0

-sinx=-cosx $\Rightarrow \frac{\sin x}{\cos x}=1$

tanx=1

tanx=$\tan \frac{\pi}{4}$

$x =\frac{\pi}{4} \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$


(iv) f(x)=cosx+sinx (in) [0,2π] मे
Sol :
f(x) एक त्रिकोणमितीय फलन है ।

∴f(x) , बंद अंतराल [0,2π] मे संतत और खुला अंतराल (0.2π) मे अवकलनीय होगा ।

f(0)=cos0+sin0
=1+0=1

f(2π)=cos2π+sin2π
=1+0
=1

f(0)=f(2π)

∵f(x) Rolle's theorem के लिए शर्तो को पूरा करता है

f(x)=cosx+sinx

Differentiating w.r.t x

f'(x)=-sinx+cosx

By Rolle's theorem

f'(c)=0

-sinc+cosc=0

$\frac{\sin c}{\cos c}=1$

tanc=1

$\tan c=\tan \frac{\pi}{2}$

[यदि tanθ=tanα तो θ=nπ+α , A∈Z]

$c=n \pi+\frac{\pi}{4}, n \in z$

$c=\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4} \in(0,2 \pi)$

Question 7

रोले के प्रमेय का c निकाले , जहाँ
[Find c of Rolle's theorem , where]

(i) f(x)=sinx तथा (and) 0<c<π
Sol :
f(x) एक त्रिकोणमितीय फलन है ।

∴f(x) बंद अंतराल [0,π] मे संतत और खुला अंतराल (0,π) मे अवकलनीय होगा ।

f(0)=sin0
=0

f(π)=sinπ=0

f(0)=f(π)

∵ f(x) , Rolles's theorem के सभी  शर्तो को पूरा करता है

f(x)=sinx

Differentiating w.r.t x

f'(x)=cosx

By  Rolles's theorem

f'(c)=0

cosc=0

$c=\frac{\pi}{2} \in(0, \pi)$


(ii) f(x)=x(x-1) तथा (and) 0<c<1
Sol :



(iii) f(x)=2x³+x²-4x तथा (and) -√2<c<√2
Sol :
∵ f(x) एक बहुपद फलन है ।

∴f(x) , बंद अंतराल [-√2,√2] मे संतत और खुला अंतराल (-√2,√2) मे अवकलनीय होगा ।

f(-√2)=2(-√2)³+(-√2)²-4(-√2)
=2(-2√2)+2+4√2
=-4√2+2+4√2
=2

f(√2)=2(√2)³+(√2)²-4(-√2)
=2(2√2)+2+4√2
=2

f(-√2)=f(√2)

∵f(x)  Rolles's theorem के सभी शर्तो को पूरा कर रहा है ।

f(x)=2x³+x²-4x

Differentiating w.r.t x

f'(x)=6x²+2x-4
=2(3x²+x-2)

By Rolles's theorem

f'(c)=0

2(3c²+c-2)=0

3c²+c-2=0

3c²+3c-2c-2=0

3c(c+1)-2(c+1)=0

(c+1)(3c-2)=0

$\begin{array}{r|l}c+1=0 & 3 c-2=0 \\ c=-1 &3c=2\\&c=\frac{2}{3} \end{array}$

$c=-1, \frac{2}{3} \in(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$

Question 8

निम्नलिखित फलनो के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित करे ।
[Verify Rolle's theorem for the following functions]

(i) f(x)=x²,अन्तराल (in interval) [-1,1] मे
Sol :
∵f(x) एक बहुपद फलन है ।

∴f(x) बंद अंतराल [-1,1] मे सतत और खुला अंतराल (-1,1) मे अवकलनीय है ।

f(-1)=(-1)²
=1

f(1)=(1)²
=1

f(-1)=f(1)

∵f(x) , Rolle's theorem के सभी शर्तो को पूरा कर रहा है ।

f(x)=(x)²

Differentiating w.r.t x

f'(x)=2x

By Rolle's theorem

f'(c)=0

2c=0

$c=\frac{0}{2}$

c=0∈(-1),1


(ii) f(x)=(x-1)²(x-2) , अन्तराल (in interval) [1,2] मे
Sol :
∵ f(x) एक बहुपद फलन है ।

∴f(x) बंद अंतराल [1,2] मे संतत और खुला अंतराल (1,2) मे अवकलनीय होगा ।

f(1)=(1-1)²(1-2)
=0

f(2)=(2-1)²(2-2)

=0

f(1)=f(2)

∵ Rolle's theorem के सभी शर्तो को पूरा कर रहा है ।

f'(x)=2(x-1).1.(x-2)+(x-1)².1
=(x-1)[2(x-2)+(x-1)]
f'(x)=(x-1)(2x-4+x-1)
f'(x)=(x-1)(3x-5)

By Rolle's theorem

f'(c)=0

(c-1)(3c-5)=0

$\begin{array}{l|l}c-1=0&3c-5=0\\c-1=0&3c=5\\&c=\frac{5}{3} \in(1,2)\\\end{array}$


(iii) $f(x)=\frac{\sin x}{e^{x}}$ अन्तराल (in interval) [0,π] मे
Sol :
∵sinx त्रिकोणमितीय फलन है और e^x एक घातंक फलन है ।

∴ f(x) , बंद अंतराल [0,π] मे संतत और खुला अंतराल (0,π) मे अवकलनीय होगा ।

$f(0)=\frac{\sin 0}{e^{0}}=\frac{0}{1}=0$

$f(\pi)=\frac{\sin \pi}{e^{\pi}}=\frac{0}{e^{\pi}}=0$

f(0)=f(π)

∵f(x) , Rolle's theorem के सभी शर्तो को पूरा कर रहा है ।

$f(x)=\frac{\sin x}{e^{x}}$

Differentiating w.r.t x

$f(x)=\frac{\cos x \cdot e^{x}-\sin x \cdot e^{x}}{\left(e^{x}\right)^{2}}$

$=\frac{e^{x}(\cos x-\sin x)}{\left(e^{x}\right)^{2}}$

$f^{\prime}(x)=\frac{\cos x-\sin x}{e^{x}}$

By Rolle's theorem

f'(c)=0

$\frac{\operatorname{cos} c-\sin c}{e^{c}}=0$

cosc-sinc=0

-sinc=-cosc

$\frac{\sin c}{\cos c}=1$

tanc=1

$\tan c=\tan \frac{\pi}{4}$

[यदि tanθ=tanα तो θ=nπ+α , n∈z]

$c=n \pi+\frac{\pi}{4}, n \in z$

$c=\frac{\pi}{4} \in(0, \pi)$


(iv) f(x)=e^x(sinx-cosx) अंतराल (in internal) $\left[\frac{\pi}{4} , \frac{5 \pi}{4}\right]$ मे
Sol :
∵e^x एक घांताक फलन है और (sinx-cosx) एक त्रिकोणमितीय फलन है ।

∴ f(x) , बंद अंतराल $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right]$ मे संतत और खुला अंतराल $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)$  मे अवकलनीय है ।

$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=e^{\frac{\pi}{4}}\left(\sin \frac{\pi}{4}-\cos \frac{\pi}{4}\right)$
$=e^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=0$

$f\left(\frac{5 \pi}{7}\right)=e^{\frac{5 \pi}{4}}\left(\sin \frac{5 \pi}{7}-\cos \frac{5 \pi}{4}\right)$
$=e^{\frac{5 \pi}{4}}\left[\sin \left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)-\cos \left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)\right]$
$=e^{\frac{5}{4}}\left[-\sin \frac{\pi}{4}+\cos \frac{\pi}{4}\right]$
$=e^{\frac{5 \pi}{4}}\left[-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right]=0$

$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=f\left(\frac{5 \pi}{4}\right)$

∵f(x) , Rolle's theorem के सभी शर्तो को पूरा कर रहा है ।

f(x)=e^x(sinx-cosx)

Differentiating w.r.t x

f'(x)=e^x[sinx-cosx]+e^x[cosx+sinx]
=e^x[sinx-cosx+cosx+sinx]
=2e^xsinx

By Rolle's theorem

f'(c)=0
2e^csinc=0
sinc=0

[यदि sinθ=0 तो θ=nπ , n∈z]

c=nπ , n∈z

n=1 ,

$c=\pi \in\left(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)$


(v) f(x)=(x-a)^m(x-b)ⁿ , जहाँ m,n धन पूर्णाक है (where m,n are positive integers) अन्तराल (in internal) [a,b] मे
Sol :
f(x) एक बहुपद फलन है ।

∴f(x) बंद अंतराल [a,b] मे संतत और खुले अंतराल (a,b) मे अवकलनीय है ।

f(a)=(a-a)^m(a-b)ⁿ=0

f(b)=(b-a)^m(b-b)ⁿ=0

f(a)=f(b)

∵f(x) , Rolle,s theorem के सभी शर्तो को पूरा कर रहा है ।

f(x)=(x-a)^m.(x-b)ⁿ

Differentiate w.r.t x

f'(x)=m(x-a)^m-1.1(x-b)ⁿ+(x-a)^m.n(x-b)^n-1.1

=(x-a)^m-1.(x-b)^n-1[m(x-b)+(x-a)n]

f'(x)=(x-a)^m-1.(x-b)^n-1(mx-mb+nx-na)

By Rolle's theorem

f'(c)=0

(c-a)^m-1.(c-b)^n-1.(mc-mb+nc-na)=0

mc-mb+nc-na=0

mc+nc=na+mb

(m+n)c=na+mb

$c=\frac{n a+m b}{m+n} \in(a, b)$


(vi) f(x)=(x-1)(x-2)(x-3) , अंतराल (in interval) [1,3] मे
Sol :
∵f(x) , एक बहुपद फलन है ।

∴ f(x) बंद अंतराल [1,3] मे ं सतत और खुला अंतराल (1,3) मे अवकलनीय है ।

f(1)=(1-1)(1-2)(1-3)=0

f(3)=(3-1)(3-2)(3-3)=0

f(1)=f(3)

∵ f(x) Rolle's theorem के सभी शर्तो को पूरा कर रहा है ।

f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)

Differentiate w.r.t x

f'(x)=1.(x-2)(x-3)+(x-1).1.(x-3)+(x-1)(x-2).1

=x²-3x-2x+6+x²-3x-x+3+x²-2x-x+2

f'(x)=3x²-12x+11

By  Rolle's theorem

f'(c)=0

3c²-12c+11=0

$c=\frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^{2}-4 \times 3 \times 11}}{2\times 3}$

$c=\frac{12 \pm \sqrt{144-132}}{6}$

$c=\frac{12 \pm \sqrt{12}}{6}$

$c=\frac{12 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

$c=\frac{2(6 \pm \sqrt{3})}{6}$

$c=\frac{6}{3} \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

$=2 \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\in [1,3]$

Question 9

निम्नलिखित फलनो के लिए रोले के प्रमेय की अनुप्रयोगिता की जाँच करे ।
[Test the applicability of Rolle's theorem for the following functions]

(i) $f(x)=(x-1)^{\frac{2}{5}}$ (in) [0,3] मे
Sol :
Differentiating w.r.t x

$f^{\prime}(x)=\frac{2}{5}(x-1)^{-\frac{3}{5}}$

$f^{\prime}(x)=\frac{2}{5(x-1)^{3/5} }$

$\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f^{\prime}(x)=\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{2}{5(x-1)^{3/5}}$

=∞

∵ f(x) , x=1∈(0,3) पर अवकलनीय नही है ।

अत: Rolle's theorem का प्रयोग नही होगा ।


(ii) $f(x)=x^{\frac{2}{3}}$ (in) [-1,1] मे
Sol :
f'(x)$=\frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}=\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

=∞

∵ f(x) , x=1∈(-1,1) पर अवकलनीय नही है ।

∴Rolle's theorem is not applicable

(अत: Rolle's theorem का प्रयोग नही होगा ।)


(iii) $f(x)=x^{\frac{1}{3}}$ (in) [-1,1] में
Sol :


(iv) $f(x)=\sqrt{x-1}$ (in) [1,2] मे
Sol :
x∈[1,2], तो $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\lim_{x\rightarrow1}\sqrt{x-1}$

=0∈R

x∈[1,2], तो $\sqrt{x-1}$∈R

∴f(x) , [1,2] पर संतत है ।

$f(x)=\sqrt{x-1}$

Differentiating w.r.t x

$f^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x-1}}$

x∈(1,2)

$x=\frac{3}{2}$

⇒$\lim _{x \rightarrow \frac{3}{2}} f^{\prime}(x)=\lim_{x \rightarrow \frac{3}{2}} \frac{1}{2 \sqrt{x-1}}$

$=\frac{1}{2 \sqrt{\frac{3}{2}-1}}$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\in R$

∵ f(x) , x∈(1,2) के लिए अवकलनीय है ।

f(1)=$=\sqrt{1-1}$=0

f(2)=$=\sqrt{2-1}$=0

f(1)=f(2)

(अत: Rolle's theorem का अनुप्रयोग नही होगा ।)


(v) f(x)=x²-1 (for) x∈[1,2] के लिए
Sol :
f(x) एक बहुपद फलन है ।

∴f(x) बंद अंतराल [1,2] मे ं संतत और खुला अंतराल (1,2) मे अवकलनीय है ।

f(1)=1²-1
=0

f(2)=2²-1
=3

f(1)=f(2)

∴Rolle's theorem अनुप्रयोगी नही है ।

Question 10

यदि f:[-5,5]→R अवकलनीय फलन है और यदि f'(x) किसी भी बंदु पर शून्य नहीं होता है तो सिद्ध करे कि f(-b)≠f(b)

[If f : [-5,5]→R is a differentiable function and f'(x) does not vanish any where , then prove that f(-b)≠f(b)]

Sol :
∵f(x) [-5,5] मे अवकलनीय है ।

∴ f(x) बंद अंतराल [-5,5] मे ं संतत और खुला अंतराल (-5,5) मे अवकलनीय है ।

∵f'(x) किसी भी बिन्दु पर शून्य नही है ।

f'(x)≠0 , जहाँ x∈(-5,5)

$\frac{f(5)-f(-5)}{5-(-5)}\not =0$

f(5)-f(-5)≠0

f(5)≠f(-5)

Question 11

यह दिया हुआ है कि $c=2+\frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए अन्तराल [1,3] मे फलन $f(x)=x^{3}+b x^{2}+a x+5$ के लिए रोले का प्रमेय वैध है । a और b के मान ज्ञात करे ।
[It is given that the function $f(x)=x^{3}+b x^{2}+a x+5$ on [1,3] , Rolle's theorem holds with $c=2+\frac{1}{\sqrt{3}}$ . Find the values of a and b]
Sol :
∵ $c=2+\frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए अंतराल [1,3] में फलन

$f(x)=x^{3}+b x^{2}+a x+5$ के लिए रोले का प्रमेय वैध है ।

∴f(x)  , बंद अंतराल [1,3] मे सतत और खुला अंतराल (1,3) में अवकलनीय है ।

f(1)=f(3)

1³+b(1)²+a(1)+5=(3)²+b(3)²+a(3)+5

1³+b+a+5=27+9b+3a+5

a+b+6=9b+3a+32

0=9b+3a+32-a-b-6

0=2a+8b+26

0=2(a+4b+13)

a+4b+13=0..(i)


f(x)=x³+bx²+ax+5

Differentiate w.r.t x

f'(x)=3x²+2bx+a

By Rolle's theorem

f'(c)=0

3c²+2bc+a=0

$3\left(2+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+2 b\left(2+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+a=0$

$3\left(4+\frac{1}{3}+\frac{4}{\sqrt{3}}\right)+2 b\left(2+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+a=0$

$12+1+\frac{12}{\sqrt{3}}+4 b+\frac{2 b}{\sqrt{3}}+a=0$

$(a+4 b+13)+\frac{12}{\sqrt{3}}+\frac{2 b}{\sqrt{3}}=0$

$0+\frac{12}{\sqrt{3}}+\frac{2 b}{\sqrt{3}}=0$ [समीकरण (i) से]

$\frac{2 b}{\sqrt{3}}=-\frac{12}{\sqrt{3}}$

b=-6

∵a+4b+13=0 [समीकरण (i) से]
a+4(-6)+13=0
a-24+13=0
a-11=0 ⇒a=11

∴a=11 , b=-6

Question 12

निम्नलिखित फलनो के लिए लैगराँजो के माध्यमान प्रमेय को सत्यापित करे ।
[Verify lagrange's mean value theorem for the following functions]

(i) $f(x)=x^{3}-2 x^{2}-x+3$ (in) [0,1] मे
Sol :
∵f(x) एक बहुपद फलन है ।

∴f(x) बंद अंतराल [0,1] मे संतत और खुला अंतराल (0,1) मे अवकलनीय है ।

f(0)=(0)³-2(0)²-0+3
=3

f(1)=(1)³-2(1)²-1+3
=1-2-1+3
=1

f(x)=(x)³-2(x)²-x+3

Differentiate w.r.t x

f'(x)=3x³-4x²-1

By MVT ,

$f'(c)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}$

$3 c^{2}-4 c-1=\frac{1-3}{1}$

3c²-4c-1+2=0

3c²-4c+1=0

3c²-3c-c+1=0

3c(c-1)-1(c-1)=0
(c-1)(3c-1)=0
$\begin{array}{l|l}c-1=0 &3c-1=0\\ c=1 \notin(0,1)&3c=1\\&c=\frac{1}{3}\in(0,1)\end{array}$


(ii) f(x)=(x-3)(x-6)(x-9) (in) [3,5] मे
Sol :
∵f(x) एक बहुपद फलन है ।

∴f(x) बंद अंतराल [3,5] मे संतत और खुला अंतराल (3,5) मे अवकलनीय है ।

f(3)=(3-3)(3-6)(3-9)
=0(-3)(-6)
=0

f(5)=(5-3)(5-6)(5-9)
=2(-1)(-4)
=8

∵f(x)=(x-3)(x-6)(x-9)

Differentiate w.r.t x

f'(x)=1.(x-6)(x-9)+(x-3).(1).(x-9)+(x-3)(x-6).1
=x²-9x-6x+54+x²-9x-3x+27+x²-6x-3x+18

f'(x)=3x²-36x+99

By MVT ,

$f^{\prime}(c)=\frac{f(5)-f(3)}{5-3}$

$3 c^{2}-36 c+99=\frac{8-0}{2}$

3c²-36c+99-4=0

3c²-36c+95=0

$c=-\frac{(-36) \pm \sqrt{(-36)^{2}-4 \times 3 \times 95}}{2 \times 3}$

$c=\frac{36 \pm \sqrt{1296-1140}}{6}$

$c=\frac{36 \pm \sqrt{156}}{6}$

$c=\frac{36}{6} \pm \frac{2 \sqrt{39}}{6}$

$c=6-\frac{\sqrt{39}}{3} \in(3,5)$

(iii) f(x)=(x-1)(x-2)(x-3) (in) [1,4] में

Sol :

(iv) $f(x)=x^2$ (in) [2,4] में

Sol :

Question 13

निम्नलिखित फलनो के लिए माध्यमान प्रमेय को सत्यापित करे ।
[Verify mean value theorem for the following functions]

(i) f(x)=log x , अन्तराल (in interval) [1,e] मे
Sol :
∵f(x) एक लघुगणकीय फलन है ।

∴f(x) बंद अंतराल [1,e] मे ं संतत और खुला अंतराल (1,e) मे अवकलनीय है ।

f(1)=log1=0

f(e)=log e=1

∵f(x)=f(e)

Differentiate w.r.t x

$f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}$

By MVT
$f^{\prime}(c)=\frac{f(e)-f(1)}{e-1}$

$\frac{1}{c}=\frac{1-0}{e{-1}}$

c=e-1∈(1,e)


(ii) f(x)=(x-1)(x-2)(x-3), अन्तराल (in interval) [0,4] मे
Sol :
∵f(x) एक लघुगणकीय फलन है ।

∴f(x) बंद अंतराल [0,4] मे ं संतत और खुला अंतराल (0,4) मे अवकलनीय है ।

f(0)=(0-1)(0-2)(0-3)
=(-1)(-2)(-3)
=-6

f(4)=(4-1)(4-2)(4-3)
=3×2×1
=6

∵f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)

Differentiating w.r.t x

f'(x)=1.(x-2)(x-3)+x-1.(x-3)+(x-1)(x-2).1

=x²-3x-2x+6+x²-2x-x+2

f'(x)=3x²-12x+11

By MVT
$f^{\prime}(c)=\frac{f(4)-f(0)}{4-0}$

$3 c^{2}-12 c+11=\frac{6-(-6)}{4}$

$3c^{2}-12 c+11=\frac{12}{4}$

=3c²-12c+8=0

$c=\frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^{2}-4 \times 3 \times 8}}{2 \times 3}$

$c=\frac{12 \pm \sqrt{149-96}}{6}$

$c=\frac{12 \pm \sqrt{48}}{6}$

$c=\frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

$c=\frac{12}{6} \pm \frac{4\sqrt3}{6}$

$c=2 \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \in(0,4)$

Question 14

निम्नलिखित फलनो के लिए लैगराँजे के माध्यमान प्रमेय का c प्रमेय को निकाले ।

[Find c of  Lagrange's mean value theorem for the following functions]

(i) f(x)=e^x ,अन्तराल (in interval) [0,1] मे
Sol :
f(x) एक घातंक फलन है ।

∴f(x) बंद अंतराल [0,1] मे सतत और खुला अतराल (0,1) मे ं अवकलनीय है ।

f(0)=e⁰=1 , f(1)=e¹=e

f(x)=e^x

Differentiating w.r.t x

f'(x)=e^x

By MVT ,

$f^{\prime}(c)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}$

$e^{c}=\frac{e-1}{1}$

e^c=e-1

c=log(e-1)∈(0,1)


(ii) $f(x)=x+\frac{1}{x}$ अन्तराल (in interval) $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ मे
Sol :
∵x खाई फलन है और $\frac{1}{x}$ व्युत्क्रमणिय फलन है ।

f(x) , बंद अंतराल $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ मे सतत और खुला अतराल $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ मे ं अवकलनीय है ।

$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\frac{1}{2}}$

$=\frac{1}{2}+2=\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}$


$f(2)=2+\frac{1}{2}$

$=\frac{4+1}{2}=\frac{5}{2}$

∵$f(x)=x+\frac{1}{x}$

Differentiating w.r.t x

$f^{\prime}(x)=1-\frac{1}{x^{2}}$

By MVT

$f^{\prime}(c)=\frac{f(2)-f\left(\frac{1}{2}\right)}{2-\frac{1}{2}}$

$1-\frac{1}{c^{2}}=\frac{\frac{5}{2}-\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}}$

$1-\frac{1}{c^{2}}=0$

$1=\frac{1}{c^{2}}$

c²=1

c=±1

$c=1 \in\left(\frac{1}{2}, 2\right)$

Question 15

c का मान निकाले ताकि  $f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ जहाँ

(i) f(x)=x³-3x-1,$a=-\frac{11}{7}, b=\frac{13}{7}$
Sol :
Differentiate w.r.t x

f'(x)=3x²-3

$f\left(-\frac{11}{7}\right)=\left(\frac{-11}{7}\right)^{3}-3\left(-\frac{11}{7}\right)-1$

$=-\frac{1331}{343}+\frac{33}{7}-1$

$=\frac{-1331+1617-343}{343}$

$=\frac{-57}{343}$


$f\left(\frac{13}{7}\right)=\left(\frac{13}{7}\right)^{3}-3\left(\frac{13}{7}\right)-1$

$=\frac{2197}{343}-\frac{39}{7}-1$

$=\frac{2197-1911-343}{343}=\frac{57}{343}$


∵$f^{\prime}(c)=\frac{f\left(\frac{13}{7}\right)-f\left(\frac{-11}{7}\right)}{\frac{13}{7}-\left(-\frac{11}{7}\right)}$

$3 c^{2}-3=\frac{\frac{-57}{343}-\left(\frac{-57}{343}\right)}{\frac{13}{7}+\frac{11}{7}}$

3c²-3=0

3c²=3

c²=1

c=±1


(ii) $f(x)=\sqrt{x^{2}-4}$ , a=2 , b=4
Sol :
Differentiating w.r.t x

$f^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x^{2}-4}} \times-2 x$

$f^{\prime}(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-4}}$

f(2)$=\sqrt{2^{2}-4}=0$ ,

f(4)=$\sqrt{4^{2}-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$


∵$f^{\prime}(c)=\frac{f(4)-f(2)}{4-2}$

$\frac{c}{\sqrt{c^{2}-4}}=\frac{2 \sqrt{3}-0}{2}$

$\frac{c}{\sqrt{c^{2}-4}}=\frac{2 \sqrt{3}}{2}$

दोनो तरफ वर्ग करने पर  ,

$\frac{c^{2}}{c^{2}-4}=\frac{3}{1}$

3c²-12=c²

3c²-c²=12

2c²=12

c²=6

c=±√6


(iii) f(x)=3x⁴-4x²+5 , a=-1 , b=1
Sol :
Differentiating w.r.t x

f'(x)=12x³-8x

f(-1)=3(-1)⁴-4(-1)²+5
=3-4+5
=4

f(1)=3(1)⁴-4(1)²+5
=3-4+5
=4

∵$f^{\prime}(c)=\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}$

$12 x^{3}-8 x=\frac{4-4}{2}$

4x(3x²-2)=0

$\begin{array}{l|l}4c=0&3c^2-2=0\\c=\frac{0}{4}&3c^2=2\\c=0&c^2=\frac{2}{3}\\&c=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}\end{array}$

Question 16

(i) $f(x)=x^{2}-4 x-3$ के लिए अन्तराल [a,b] , जहाँ a=1 तथा b=4 मे माध्य मान प्रमेय सत्यापित करे ।

[]
Sol :
∵f(x) एक बहुपद फलन है ।

∴f(x) बंद अंतराल [1,4] मे ंसंतत और खुला अंतराल (1,4) में अवकलनीय है ।

f(1)=(1)²-4(1)-3
=1-4-3
=1-7
=-6

f(4)=(4)²-4(4)-3
=16-16-3
=-3

∵f(x)=x²-4x-3

Differentiate w.r.t x

$f^{\prime}(c)=\frac{f(4)-f(1)}{4-1}$

$2 x-4=\frac{-3-(-6)}{3}$

$2 x-4=-\frac{3+6}{3}$

$2 c-4=\frac{3}{3}$

2c=5

$c=\frac{5}{2} \in(1,4)$


(ii) $f(x)=x^{3}-5 x^{2}-3x$ के लिए अंतराल  [a,b] , जहाँ a=1 तथा b=3 , मे माध्य मान प्रमेय को सत्यापित करे । सभी c∈(1,3) निकाले जिसके लिए f'(c)=0
Sol :
∵f(x) एक बहुपद फलन है ।

∴f(x) बंद अंतराल [1,3] मे ंसंतत और खुला अंतराल (1,3) में अवकलनीय है ।

f(1)=(1)³-5(1)²-3(1)
=1-5-3
=-7

f(3)=(3)³-5(3)²-3(3)
=27-45-9
=-27

∵ f(x)=(x)³-5(x)²-3(x)

Differentiate w.r.t x

f'(x)=3x²-10x-3

By MVT

$f^{ \prime}(c)=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}$

$3 c^{2}-10 c-3=\frac{-27-(-7)}{2}$

$3 c^{2}-10 c-3=-\frac{20}{2}$

3c²-10c-3+10=0

3c²-10c+7=0

3c²-7c-3c+7=0

c(3c-7)-1(3c-7)=0

(3c-7)(c-1)=0

$\begin{array}{l|l}3c-7=0&c-1=0\\3c=7&c=1\notin(1,3)\end{array}$

$c=\frac{7}{3} \in(1,3)$

∵f'(c)=0

3c²-10c-3=0

$c=\frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^{2}-4 \times 3 \times(-3)}}{2 \times 3}$

$c=\frac{10 \pm \sqrt{100+36}}{6}$

$c=\frac{10 \pm \sqrt{136}}{6}$

$c=\frac{10 \pm \sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 17}}{6}$

$c=\frac{10 \pm 2 \sqrt{34}}{6}=\frac{2(5\pm \sqrt34)}{6}$

$c=\frac{5 \pm \sqrt{34}}{3}$

$c=\frac{5 \pm \sqrt{34}}{3}\in(1,3)$

f'(c)=0 के (1,3) मे कोई म का मान नही है

Question 17

निम्नलिखित फलनो के लिए रोले के प्रमेय की अनुप्रयोगिता पर विचार करे । क्या आप इन उदाहरणो से रोले के प्रमेय के विलोम के बारे मे कुछ कह सकते है ?
(i) f(x)=x²-1 (for) x∈[-1,2] के लिए
(ii) f(x)=[x] (for) x∈[5,9] के लिए
Sol :
(i)
f(x)=x²-1 , x∈[-1,2]

∵f(x) एक बहुपद फलन है ।

∴f(x) , बंद अंतराल[-1,2] के संतत और खुला अंतराल (1,2) ंमे अवकलनीय है ।

f(-1)=(-1)²-1
=1-1
=0

f(2)=(2)²-1
=4-1
=3

f(-1)≠f(2)

अत: Rolle's theorem अनुप्रयोगी नही है ।

∴f(x)=x²-1

Differentiating w.r.t x

f'(x)=2x

Rolle's theorem के विलोम से

f'(c)=0

2c=0

$c=\frac{0}{2} \Rightarrow c=0 \quad \in(-1,2)$

लेकिन f(-1)≠f(2)

अत: Rolle's theorem के विलोम भी सत्य नही है ।


(ii)
∵f(x) एक महत्तम मान फलन है ।

∴f(x) बंद अंतराल [5,9] मे संतत नही है और न ही खुला अंतराल (5,9) ंमे अवकलनीय है ।

∴ Rolle's theorem अनुप्रयोगी नही है।

∵f(x) अवकलनीय नही है ।

∴Rolle's theorem का प्रतिलोम सत्य नही है ।

Question 18

निम्नलिखित फलनो के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुप्रयोगिता की जाँच कीजिए ।
[Examine the applicability of mean value theorem for the following functions:]

(i) f(x)=x²-1 (for) x∈[1,2] के लिए
Sol :
∵f(x) एक बहुपद फलन है ।

∴f(x) बंद अंतराल [1,2] मे संतत और खुला अंतराल (1,2) मे अवकलनीय है ।

∴ माध्यमान प्रमेय अनुप्रयोगी है ।

f(1)=1²-1
=0

f(2)=2²-1
=3

∵f(x)=x²-1

Differentiate w.r.t x

f'(x)=2x

By MVT ,

$f^{\prime}(c)=\frac{f(2)-f(x)}{2-1}$

$2 c=\frac{3-0}{1}$

2c=3

$c=\frac{3}{2} \in(1,2)$

(ii)  f(x)=[x] (for) x∈[-2,2] के लिए
Sol :
∵f(x) एक महत्तम मान फलन है ।

∴ f(x) बंद अंतराल [-2,2] मे संतत और खुला अंतराल (-2,2) मे अवकलनीय है ।

∴ माध्यमान प्रमेय अनुप्रयोगी नही है ।


(iii)  f(x)=[x] (for) x∈[5,9] के लिए
Sol :

Question 20

माध्य मान प्रमेय कर साबित करे कि वक्र , $y=2 x^{2}-5 x+3$ पर बिन्दु A(1,0) तथा B(2,1) के बीच एक ऐसा बिन्दु है जहाँ पर स्पर्श रेखा जीवा AB के समान्तर है । उस बिन्दु को भी निकाले ।
[Using mean value theorem prove that there is a point on the curve $y=2 x^{2}-5 x+3$ between points A(1,0) and B(2,1) where tangent is parallel to chord AB. Also , find that point]
Sol :
माना $y=f(x)=2 x^{2}-5 x+3$ at [1,2]

∵f(x) ,  एक बहुपद फलन है ।

∴f(x) बंद अंतराल [-2,2] मे संतत और खुला अंतराल (-2,2) मे अवकलनीय है ।

f(0)=0 , f(2)=1

∵ f(x)=2x²-5x+3

Differentiating w.r.t x

f'(x)=4x-5

By MVT ,

$f^{\prime}(c)=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}$

$4 c-5=\frac{1-0}{7}$

2c-5=1

2c=6

$c=\frac{6}{2}$

c=3∈(1,2)

y=2x²-5x+3

$y=2\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-5\left(\frac{3}{2}\right)+3$

$y=2\left(\frac{9}{4}\right)-\frac{15}{2}+3$

$=\frac{9-15+6}{2}=\frac{0}{2}$

=0

अगिष्ट बिन्दु $\left(\frac{3}{2}, 0\right)$

Question 21

रोले के साध्य करे कि वक्र y=(x-2)(x-3) पर बिन्दु (2,0) और (3,0) के बीच एक बिन्दु है जहाँ पर स्पर्श रेखा x-अक्ष के समान्तर है । फिर यह बिन्दु भी ज्ञात करे ।
Sol :
माना y=f(x)=y=(x-2)(x-3) at [2,3]

∵f(x) एक बहुपद फलन है ।

∴f(x) बंद अंतराल [2,3] मे संतत और खुला अंतराल (2,3) मे अवकलनीय है ।

f(2)=0 , f(3)=0

f(2)=f(3)

f(x) Rolle's theorem के सभी शर्तो को पूरा कर रहा है ।

f(x)=(x-2)(x-3)

Differentiating w.r.t x

f'(x)=1(x-3)+(x-2).1
=2x-5

By Rolle's theorem

f'(c)=0

2c-5=0

$c=\frac{5}{2}$

∵y=(x-2)(x-3)

$=\left(\frac{5}{2}-2\right)\left(\frac{5}{2}-3\right)$

$=\left(\frac{5-4}{2}\right)\left(\frac{5-6}{2}\right)$

$=\frac{1}{2} \times\left(\frac{-1}{2}\right)=\frac{-1}{4}$

अभिष्टि बिंदु $\left(\frac{5}{2},-\frac{1}{4}\right)$

Question 23

रोले के प्रमेय का प्रयोग कर कि समीकरण $a x^{3}+b x^{2}+c x+d=0$ के किन्ही दो भिन्न वास्तविक मूलो के बीच समीकरण $3 a x^{2}+2 b x+c=0$ का कम-से-कम एक वास्तविक मूल होगा ।
Sol :
माना f(x)=$a x^{3}+b x^{2}+c x+d$

Differentiating w.r.t x

f'(x)=$3 a x^{2}+2 b x+c$

∴f'(x) , x के सभी मागे के लिए परिभाषित है ।

अत: f(x) , x के किसी भी मान के लिए अवकलनीय है ।

∴f'(x) , x के सभी मागे के लिए संतत है ।

माना α और β दो भिन्न वास्तविक मूल हो f(x)=0

f(α)=f(β)=0

अत: f(x) रोले प्रमेय के सभी शर्तो को पूरा कर रहा है ।

अत: α और β के बीच कम-से-कम एक 𝛄 ऐसी मिलेगा जहाँ f'(𝛄)=0

3a𝛄²+2b𝛄²+c=0

अत: $a x^{3}+b x^{2}+c x+d=0$ के किसा दो भिन्न वास्तविक संख्या के बीच $a x^{3}+b x^{2}+c x+d=0$ का कम-से-कम एक वास्तविक मूस होगा ।

Question 24

माध्यमान प्रमेय का प्रयोग कर दिखाएँ कि (Using mean value theorem , show that)
|sinα-sinꞵ|≤|α-ꞵ|
Sol :
CASE-I
|sinα-sinꞵ|=0=|α-ꞵ|

CASE-II α=ꞵ , माना α<ꞵ

माना f(x)=sinx

Differentiating w.r.t x

f'(x)=cosx

f(x) , x के सभी मानो के लिए संतत और अवकलनीय है ।

अत: अंतराल [α,ꞵ] मे MVT से कम-से-कम एक c मिलेगा , जहाँ  α<c<ꞵ ताकि

$\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=f^{\prime}(c)$

$\frac{\sin \beta-\sin \alpha}{\beta-\alpha}=\cos \alpha$

$\frac{\sin \alpha-\sin \beta}{\alpha-\beta}=\cos c$

$\left|\frac{\sin \alpha-\sin \beta}{\alpha-\beta}\right|=|\cos c|$


$\frac{|\sin \alpha-\sin \beta|}{|\alpha-\beta|} \leqslant 1$

|sinα-sinꞵ|≤|α-ꞵ|