Exercise 14.1
Question 1
धातु के एक वर्गाकार पतर की भुजा 3cm/minute की दर से बढ रही है । किस दर से क्षेत्रफल बढ़ रहा है जब भुजा को लम्बाई 10cm है ?[The side of a square sheet of metal is increasing at 3cm/minute. At what rate is the area increasing when the side is 10cm long ?]
Sol :
माना वर्गाकार भुजा की लंबाई x है
$\frac{d x}{d t}=3 \mathrm{cm} / \mathrm{min}$
$\frac{d A}{d t}=?, x=10 \mathrm{cm}$
वर्ग का क्षेत्रफल , A=x2
Differentiating w.r.t t
$\frac{d A}{d t}=2 x \times \frac{d x}{d t}$
=2×10cm×3cm/min
=60cm2/min
Question 2
वृत के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर इसकी त्रिज्या r के सापेक्ष ज्ञात कीजिए जबकि[Find the rate of change of the area of a circle with respect to its radius r when]
(i) r=5cm
Sol :
वृत का क्षेत्रफल A=πr2
Differentiating w.r.t r
$\frac{d A}{d r}=\pi \times 2 r$
=π×2×5
=10πcm2/cm
$\frac{d A}{d r}=$10πcm2/cm
(ii) r=4cm
Sol :
(iii) r=3cm
Sol :
Question 3
किसी वृत की त्रिज्या 0.1cm\sec की दर से बढ़ रही है। क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ज्ञात करे वृत की त्रिज्या 5cm है ।Sol :
माना वृत की त्रिज्या r है ।
$\frac{d r}{d t}=0.1 \mathrm{cm} / \mathrm{sec}$
$\frac{d A}{d t}=?, \quad r=5 \mathrm{cm}$
वृत का क्षेत्रफल , A=πr2
Differentiating w.r.t t
$\frac{d A}{d t}=2 \pi r \times \frac{d r}{d t}$
=2π×5cm×0.1cm/sec
$\frac{d A}{d t}$=πcm2/sec
Question 4
किसी वृत की त्रिज्या 0.7cm\sec की दर से बढ़ रही है। इसकी परिधि की वृद्धि की दर क्या है जब r=4.9cm है ।Sol :
माना वृत की त्रिज्या r है ।
$\frac{d r}{d t}=0.7 \mathrm{cm} / \mathrm{sec}$
$\frac{d c}{d t}=?$ , c=परिधि , r=4.9cm
वृत की परिधि , c=2πr
Differentiating w.r.t t
$\frac{d c}{d t}=2 \pi \times \frac{d r}{d t}$
=2π×0.7cm/sec
=1.4πcm/sec
Question 5
एक वृत की त्रिज्या समान रुप 5.5cm/sec की दर से बढ़ रही है । ज्ञात कीजिए कि वृत का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जब त्रिज्या 6cm है ।
Sol :
माना वृत की त्रिज्या r है ।
$\frac{d r}{d t}=5.5 \mathrm{cm} / \mathrm{sec}$
$\frac{d A}{d t}=?$ ,A=क्षेत्रफल , r=6cm
वृत का क्षेत्रफल , A=πr2
Differentiating w.r.t t
$\frac{d A}{d t}=2 \pi r \times \frac{d r}{d t}$
=2π×6cm×5.5cm/sec
Question 6
Sol :
माना वृत की त्रिज्या r है ।
$\frac{d r}{d t}=3cm/sec$
वृत का क्षेत्रफल A=πr2
Differentiating w.r.t t
$\frac{d A}{d t}=2 \pi r \times \frac{d r}{d t}$
=2π×10×3cm/sec
=60π×cm2/sec
Question 7
Sol :
माना वृत की त्रिज्या r है ।
$\frac{d A}{d t}=?$ , r=3.2cm
वृत का क्षेत्रफल A=πr2
Differentiating w.r.t t
$\frac{d A}{d t}=2 \pi r \times \frac{d r}{d t}$
=2π×3.2cm×0.05cm/sec
=0.32π×cm2/sec
Question 8
Sol :
माना वृत की त्रिज्या r है ।
$\frac{d r}{d t}=4 cm/sec$
$\frac{d A}{d t}=?$ ,r=10cm
वृत का क्षेत्रफल A=πr2
Differentiating w.r.t t
$\frac{d A}{d t}=2 \pi r \times \frac{d r}{d t}$
=2π×10cm×4cm/sec
=80π×cm2/sec
Differentiating w.r.t t
$\frac{d A}{d t}=2 \pi r \times \frac{d r}{d t}$
=2π×10cm×4cm/sec
=80π×cm2/sec
Question 9
Sol :
माना वृत की त्रिज्या r है ।
$\frac{d r}{d t}=5 cm/sec$
$\frac{d A}{d t}=?$ ,r=8cm
वृत का क्षेत्रफल A=πr2
Differentiating w.r.t t
$\frac{d A}{d t}=2 \pi r \times \frac{d r}{d t}$
=2π×8cm×5cm/sec
=80π×cm2/sec
Differentiating w.r.t t
$\frac{d A}{d t}=2 \pi r \times \frac{d r}{d t}$
=2π×8cm×5cm/sec
=80π×cm2/sec
Question 10
Sol :
माना घन का किनारे x है ।
आयतन =v , पृष्ठ क्षेत्रफल=s
$\frac{d v}{d t}=9 \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{sec}$ , $\frac{d s}{d t}=?$ , x=10cm
घन का आयतन x3
Differentiating w.r.t t
Differentiating w.r.t t
$\frac{d v}{d t}=3 x^{2} \times \frac{d x}{d t}$
9cm3/sec=3×(10cm)2$\times\frac{d x}{d t}$
$\frac{9}{300} \mathrm{cm} / \mathrm{sec}=\frac{d \mathrm{x}}{d t}$○
$\frac{3}{100} cm /sec=\frac{dx}{d t}$
घन का पृष्ठ क्षेत्रफल =s=6x2
Differentiating w.r.t t
$\frac{9}{300} \mathrm{cm} / \mathrm{sec}=\frac{d \mathrm{x}}{d t}$○
$\frac{3}{100} cm /sec=\frac{dx}{d t}$
घन का पृष्ठ क्षेत्रफल =s=6x2
Differentiating w.r.t t
$\frac{d s}{d t}=12 x \times \frac{d x}{d t}$
$=12 \times 10{\text{cm}}\times \frac{3}{100} \text{cm/sec}$
$=12 \times 10{\text{cm}}\times \frac{3}{100} \text{cm/sec}$
$=\frac{18}{5} \mathrm{cm}^{2} \mathrm{/sec}$
=3.6cm2/sec
=3.6cm2/sec
Question 11
एक घन का आयतन 8cm3/sec की दर से बढ़ रहा है । पृष्ठ का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जबकि इलके किनारे की लंबाई 12cm है ।
Sol :
माना घन का किनारा x है ।
आयतन =v , पृष्ठ क्षेत्रफल=s
$\frac{d v}{d t}=8 \mathrm{cm}^{3 } \mathrm{/sec}$ , $\frac{d s}{d t}=?$ , x=12cm
घन का आयतन, v=x3
Differentiating w.r.t t
$\frac{d v}{d t}=3 x^{2} \times \frac{d x}{d t}$
8cm3/sec=3(12cm)2
$\frac{8}{3 \times 144} \mathrm{cm} / \mathrm{sec}=\frac{d x}{d t}$
$\frac{1}{54} \text{cm/sec}=\frac{d x}{d t}$
घन का पृष्ठ क्षेत्रफल =s=6x2
Differentiating w.r.t t
$\frac{d s}{d t}=12 x \times \frac{d x}{d t}$
$\frac{d s}{d t}=12 x \times \frac{d x}{d t}$
$=12 \times \mathrm{12cm} \times \frac{1}{54} \mathrm{cm} / \mathrm{sec}$
$=12 \times \mathrm{12cm} \times \frac{1}{54} \mathrm{cm} / \mathrm{sec}$
$\frac{d s}{d t}=\frac{8}{3} \text{cm}^2/sec$
Question 12
[If the side of an equilateral triangle increases uniformly at the rate of 3m/sec , at what rate is the area increasing when the side is 10m ?]
Sol :
माना समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा x है ।
$\frac{d x}{d t}=3 \mathrm{m} / \mathrm{sec}$ , $\frac{d A}{d t}=?$ , x=10m
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल , A$=\frac{\sqrt{3}}{4} x^{2}$
Differentiating w.r.t t
$\frac{d A}{d t}=\frac{\sqrt{3}}{4} \times 2 x \times \frac{d x}{d t}$
$\frac{d A}{d t}=15 \sqrt{3} \mathrm{m}^{2} / \mathrm{sec}$
Question 13
Sol :
माना घन का किनारा x है
$\frac{d x}{d t}=10\text{cm/sec}$ , $\frac{d v}{d t}=?$ , v=आयतन , x=5cm
घन का आयतन , v=x3
Differentiating w.r.t t
$\frac{d v}{d t}=3 x^{2} \times \frac{d x}{d t}$
=3×(5cm)2×10cm/sec
=750cm3/sec
Question 14
Sol :
माना गोलाकार साबुन के बुलबुले की त्रिज्या x है ।
$\frac{d r}{d t}=0.2 \mathrm{cm} / \mathrm{sec}$ , $\frac{d v}{d t}=?$ , r=5cm
गोलाकार साबुन के बुलबुले का आयतन ,
$V=\frac{4}{3} \pi r^{3}$
Differentiating w.r.t t
$\frac{d v}{d t}=\frac{4}{3} \pi \times 3r^2 \times \frac{d r}{d t}$
=4π×(5cm)2×0.2cm/sec
=20πcm3
Question 15
Sol :
माना बुलबुले की त्रिज्या r है ।
$\frac{d r}{d t}=\frac{1}{2} \text{cm/sec}$ , $\frac{d v}{d t}=?$ , r=1cm
हवा के बुलबुले का आयतन , $v=\frac{4}{3} \pi r^{3}$
Differentiating w.r.t t
$\frac{d v}{d t}=\frac{4}{3} \pi \times 3r^{2} \times \frac{d r}{d t}$
=4π×(1cm)2×$\frac{1}{2}$cm/sec
Question 16
Sol :
गोले की त्रिज्या , $r=\frac{\frac{3}{2}(2 x+3)}{2}=\frac{3}{4}(2 x+3)$
$\frac{d v}{d x}=?$ ,
गोले का आयतन,
$v=\frac{4}{3} \pi r^{3}$
$v=\frac{4}{3} \pi\left[\frac{3}{4}(2 x+3)\right]^{3}$
$v=\frac{4}{3} \pi \times \frac{27}{64}(2 x+3)^{3}$
$v=\frac{9}{16} \pi(2 r+3)^{3}$
Differentiating w.r.t x
$\frac{d v}{d x}=\frac{9}{5} \pi \times 3(2 x+3)^{2} \times x$
$=\frac{27}{8} \pi(2 x+3)^{2}$
Question 17
Sol :
माना गोलाकार गुब्बारे की त्रिज्या r है ।
$\frac{d r}{d t}=10 \mathrm{cm} / \mathrm{sec}$ , $\frac{d s}{d t}=?$ ,
s=पृष्ठ क्षेत्रफल , r=15cm
गोले का पृष्ठ क्षेत्रफल , s=4πr2
Differentiating w.r.t t
$\frac{d s}{d t}=4 \pi \times 2 r \times \frac{dr}{d t}$
=4π×2×15cm×10cm/sec
=1200πcm2/sec
Question 18
Sol :
माना आपत की लंबाई=x
आपत की चौड़ाई=√x
$\frac{d A}{d t}=48 \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{sec}$
$\frac{d x}{d t}=?$ , √x=4.5cm
आयत का क्षेत्रफल A=x√x
$A=x^{\frac{3}{2}}$
Differentiating w.r.t t
$\frac{d A}{d t}=\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} \times \frac{d x}{d t}$
48cm2/sec$=\frac{3}{2} \times 4.5 \mathrm{cm} \times \frac{d x}{d t}$
$\frac{48 \times 2}{3 \times 4.5} \quad \mathrm{cm} / \mathrm{sec}=\frac{d x}{d t}$
$\frac{48 \times 2 \times+10^{2}}{3 \times 45} \mathrm{cm} / \mathrm{sec}=\frac{d \mathrm{x}}{d \mathrm{t}}$
$\frac{64}{g} c m / s e c=\frac{d x}{d t}$
Question 19
Sol :
$\frac{d x}{d t}=-3 \mathrm{cm} / \mathrm{min}$ , $\frac{d y}{d t}=2 \mathrm{cm} / \mathrm{min}$
x=10cm , y=6cm
(a) आयत का परिमाप , P=2(x+y)
Differentiate w.r.t t
$\frac{d p}{d t}=2\left(\frac{d x}{d t}+\frac{d y}{d t}\right)$
=2(-3cm/min+2cm/min)
=-2cm/min
(b) आयत का क्षेत्रफल A=x.y
Differentiating w.r.t t
$\frac{d A}{d t}=\frac{d x}{d t} y+x \cdot \frac{d y}{d t}$
=(-3×6+10×2)cm2/min
=(-18+20)cm2/min
=2cm2/min
Question 20
Sol :
माना घन की प्रत्येक भुजा x है ।
$\frac{d v}{d t}=k\left(constant\right)$ ,
v=आयतन
तो साबित करना है
s=पृष्ठ क्षेत्रफल
घन का आयतन , v=x3
Differentiating w.r.t t
$\frac{d v}{d t}=3 x^{2} \times \frac{d x}{d t}$
$k=3 x^{2} \times \frac{d x}{d t}$
$\frac{k}{3 x^{2}}=\frac{d x}{d t}$
घन का पृष्ठ क्षेत्रफल s=6x2
Differentiating w.r.t t
$\frac{d s}{d t}=12 x \times \frac{d x}{d t}$
$=12x \times\frac{k}{3x}$
$\frac{d s}{d t}=\frac{4 k}{x}$
$\frac{d s}{d t}\propto\frac{1}{x}$
,जहाँ 4k constant है
Question 21
Sol :
माना सीढ़ी दीवार पर x ऊँचाई पर लगी है ।
$\frac{d x}{d t}=?$ , x=24m
माना सीढ़ी का पाद दीवार के पाद से y meter दूरी पर है ।
Diagram
$\frac{d y}{d t}=5 m / sec$ , y=10 m
$B C=\sqrt{A C^{2}-A B^{2}}$
$y=\sqrt{26^{2}-24^{2}}$
$=\sqrt{676-576}=\sqrt{100}$
=10m
ΔABC मे,
AB2+BC2=AC2
x2+y2=(26)2
Differentiating w.r.t t
$2 x \cdot \frac{d x}{d t}+2 y \cdot \frac{d y}{d t}=0$
$2 \times 24 m \times \frac{d x}{d t}+2 \times 10 \mathrm{m} \times 5 \mathrm{m} / \mathrm{sec}=0$
$48 m \times \frac{d x}{d t}=-100 \mathrm{m}^{2}/sec$
$\frac{d x}{d t}=\frac{-100}{48} \mathrm{m} / \mathrm{sec}$
$\frac{d x}{d t}=\frac{-25}{12} \mathrm{m} / \mathrm{sec}$
सीढ़ी की चोटि $\frac{25}{12} \mathrm{m} / \mathrm{sec}$ की दर से निचे फिसलेगी ।
Question 22
Sol :
माना A का वेग =3x
माना B का वेग =4x
माना दोनो साइकल सवार t समय तक साइकल चलाते है ।
Diagram
PQ=3xt , QR=4xt
$P R=\sqrt{P Q^{2}+Q R^{2}}$
$=\sqrt{(3 xt)^{2}+(4 xt)^{2}}$
$=\sqrt{9 x^{2}t^2+16 x^{2}t^2}=\sqrt{25 x^{2}t^2}$
=5xt
अब , PR2=PQ2+QR2
PR2=(3xt)2+(4xt)2
PR2=9x2t2+16x2t2
PR2=25x2t2
Differentiating w.r.t t
$2 \cdot \operatorname{PR} \times \frac{d(P R)}{dt}=2 5 x^{2} \times 2t$
$2 \times 5 xt\times \frac{d(P R)}{d t}=25 x^{2}\times 2 t$
$\frac{d(P R)}{d t}=\frac{50 x^{2}t}{10 x y}=5x$
दोनो के बीच की दूरी मे परिवर्तन की दर तथा A के वेग का अनुपात$=\frac{5 x}{3 x}$
=5:3
Question 23
Sol :
माना आदमी लैम्प से x meter की दूरी पर है और y meter छाया की लंबाई है ।
$\frac{d y}{d t}=?$ , $\frac{d x}{d t}=50 \mathrm{m} / \mathrm{min}$
Diagram
ΔABE~ΔDCE
दो समरुप त्रिभुजो के संगत भुजाओ का अनुपात बराबर होता है ।
$\frac{A B}{D C}=\frac{A E}{D E}$
$\frac{4 m}{1.6 m}=\frac{x+y}{y}$
$\frac{40}{16}=\frac{x+y}{y}$
5y=2x+2y
Differentiating w.r.t t
$3 \frac{d y}{d t}=2 \times \frac{d x}{d t}$
3 $\frac{d y}{d t}=2 \times 50 \mathrm{m} / \mathrm{min}$
$\frac{d y}{d t}=\frac{100}{3} \mathrm{m} / \mathrm{min}$
Question 24
Sol :
माना शंकु की गहराई h और त्रिज्या r है । जहाँ h=6cm
Diagram
$\tan \alpha=\frac{A D}{DA}=\frac{B C}{O B}$
$\frac{r}{h}=\frac{5cm}{15cm}$
$\frac{r}{h}=\frac{1}{3}$
h=3r
$\frac{d v}{d t}=0.1 \mathrm{m}^{3} / \mathrm{sec}$ ,
v=आयतन
शंकु का आयतन ,$v=\frac{1}{3} \pi r^{2} h$
$v=\frac{1}{3} \pi\left(\frac{h}{3}\right)^{2} \cdot h$
$v=\frac{1}{27} \pi h^{3}$
Differentiate w.r.t t
$\frac{d v}{d t}=\frac{1}{27} \pi \times 3 h^{2} \times \frac{d h}{d t}$
$0.1=\frac{1}{9} \pi \times(6 cm)^{2} \times \frac{d h}{d t}$
$\frac{0.1 \times 9}{36 \pi}=\frac{d h}{d t}$
$\frac{1}{40 \pi} \mathrm{cm} / \mathrm{sec}=\frac{d h}{d t}$
शंकु के सतह का क्षेत्रफल, A=πr2
$A=\pi\left(\frac{h}{3}\right)^{2}$
$A=\frac{\pi}{9} h^{2}$
Differentiating w.r.t t
$\frac{d A}{d t}=\frac{2 \pi}{9} h \times \frac{d h}{d t}$
$=\frac{2 \pi}{9} \times 6 \times \frac{1}{40 \pi}$
$=\frac{1}{30} c m^{2} /$ sec
Question 25
Sol :
माना पहले वर्ग का क्षेत्रफल A है और दूलरे वर्ग का क्षेत्रफल A' है ।
A=x2 ,A'=y2
Differentiating w.r.t x
$\frac{dA}{dx}=2x$..(i)
A'=(x-x2)2
A'=x2-2.x.x2+(x2)2
A'=x2-2.x3+x4
Differentiating w.r.t x
$\frac{d A^{\prime}}{d x}=2 x-6 x^{2}+4 x^{3}$..(ii)
समीकरण (ii) मे (i) से भाग देने पर ,
$\frac{\frac{d A^{\prime}}{d x}}{\frac{dA}{dx}}=\frac{2 x-6 x^{2}+4 x^{3}}{2 x}$
$\frac{d A'}{d A}=\frac{2 x\left(1-3x+2 x^{2}\right)}{2x}$
=2x2-3x+1
Question 26
Sol :
माना $\frac{d y}{d t}=k$ (नियतांक)
∵y2=2ax
Differentiating w.r.t t
$2y\frac{d y}{d t}=2 a \cdot \frac{d x}{d t}$
$\frac{d y}{d t}=a \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{d x}{d t}$ $\Rightarrow \frac{d x}{d t}=\frac{y}{a} \cdot \frac{d y}{d t}$
Again , differentiating w.r.t t
$\frac{d^{2} y}{d t^{2}}=a\left[-\frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{1}{y} \cdot \frac{d^{2} x}{d t^{2}}\right]$
$0=a\left[-\frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{1}{y} \frac{d^{2} x}{d t^{2}}\right]$
$-\frac{1}{y} \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-\frac{1}{y^{2}} \frac{d x}{d t}$
$\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\frac{1}{y} \cdot \frac{d x}{d t}$
$\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\frac{1}{y} \times \frac{y}{a} \cdot \frac{d y}{d t}$
$\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\frac{1}{a} \times k$
$\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\frac{k}{a}$
Question 27
C(x)=0.005x3-0.02x2+30x+5000 से प्रदत्त है । सीमांत लागत ज्ञात कीजिए जब 3 इकाई उत्पादित की जाती है । जहाँ सीमान्त लागत (marginal cost या MC) से हमारा अभिप्राय किसी स्तर पर उत्पादन के संपूर्ण मे लागत में तात्कालिक परिवर्तन का दर से है ।
Sol :
C(x)=0.005x3-0.02x2+30x+5000
Differentiating w.r.t x
C'(c)=0.015x2-0.04x+30
MC=C'(3)=0.015(3)2-0.04(3)+30
=0.135-0.12+30
=30.015
=30.02
Question 28
Sol :
R(x)=3x2+36x+5
Differentiating w.r.t x
R'(x)=6x+36
MR=R'(5)=6(5)+36
=66
Question 29
(i) 5 सेकेण्ड बाद कण का वेग क्या है ?
(ii) उस बिन्दु पर कण की वेगवृद्धि क्या है जहाँ इसका वेग शून्य है ?
Sol :
(i)
$S=\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}-6 t+5$
Differentiating w.r.t t
$v=\frac{d s}{d t}=\frac{3 t^{2}}{3}-\frac{2 t}{2}-6$
=t2-t-6
(t=5) पर ,
v=(5)2-5-6
=25-11
=14m/sec
(ii)
v=0
t2-t-6=0
t2-3t+2t-6=0
t(t-3)+2(t-3)=0
(t-3)(t+2)=0
t=3, t=-2
v=t2-t-6=0
Differentiating w.r.t t
$\frac{d v}{d t}=2 t-1$
t=3 पर ,
वेगवृद्धि(a)$=\frac{d v}{d t}$
=2(3)-1
=54m/sec2
Question 30
Sol :
s=22t-12t2
Differentiating w.r.t t
$\frac{d s}{d t}=22-24 t$
∵$\frac{d s}{d t}=0$ (गाडी रुकी है )
22-24t=0
22=24t
$t=\frac{22}{24}=\frac{11}{12}sec$
दूरी=s=$=22\left(\frac{11}{12}\right)-12\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$
$=\frac{242}{12}-12 \times\left(\frac{121}{144}\right)$
$=\frac{242-121}{12}$
$=\frac{121}{12}$फीट
=10.08 feet
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