KC Sinha Mathematics Solution Class 12 Chapter 16 स्पर्श रेखाएं और अभिलम्ब (Tangents and Normals) Exercise) 16.1

Exercise 16.1

Question 1

x=2 पर वक्र y=x³-x की ढाल ज्ञात करे ।
[Find the slope of the curve y=x³-x at x=2]
Sol :
y=x³-x

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=3x^2-1$

x=2 पर ,

ढाल$=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=2}$

=3(2)²-1

=11

Question 2

x=4 पर वक्र y=3x⁴-4x के स्पर्श रेखा की ढाल निकाले ।
[Find the slope of the tangent to the curve y=3x⁴-4x at x=4]

Sol :

y=3x⁴-4x

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=12x^3-4$

स्पर्श रेखा की ढाल$=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=4}$

=12(4)³-4

=768-4

=764

Question 3

x=10 पर वक्र $y=\frac{x-1}{x-2}$,(x≠2) के स्पर्श रेखा की ढाल निकाले ।
[Find the slope of the tangent to the curve $y=\frac{x-1}{x-2}$,(x≠2) at x=10]
Sol :
$y=\frac{x-1}{x-2}$

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=\frac{1.(x-2)-(x-2).1}{(x-2)^2}$

$=\frac{x-2-x+1}{(x-2)^2}$

$=\frac{-1}{(x-2)^2}$

स्पर्श रेखा की ढाल$=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=10}$

$=\frac{-1}{(10-2)^2}$

$=\frac{-1}{64}$

Question 4

वक्र y=x³-3x+2 के उस बिन्दु पर स्पर्श रेखा की ढाल निकाले जिसका x-नियामक 3 है ?
[Find the slope of the tangent to the curve y=x³-3x+2 at the point whose x-coordinate is 3]
Sol :
y=x³-3x+2 at x=3

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=3x^2-3$

स्पर्श रेखा की ढाल$=\left(\frac{dy}{dx}\right)=3(3)^2-3$

=24

Question 5

वक्र y=x³-x+1 के उस बिन्दु पर स्पर्श रेखा की ढाल निकाले जिसका x-नियामक 2 है ।
[Find the slope of the tangent to the curve y=x³-x+1 at the point whose x-coordinate is 2]
Sol :
y=x³-x+1

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=3x^2-1$

स्पर्श रेखा की ढाल$=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=2}$

=3(2)²-1

=11

Question 6

साबित करे कि वक्र y=x²-5x+6 के बिन्दु (2,0) तथा (3,0) पर स्पर्श रेखाएँ परसर लम्ब है ।
[Prove that the tangent to the curve y=x²-5x+6 at the points (2,0) and (3,0) are at right angles]
Sol :
y=x²-5x+6

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=2x-5$

At x=2 , या At(2,0)

स्पर्श रेखा की ढाल (m₁)$=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{2,0}$

=2(2)-5=-1

At (3,0)

स्पर्श रेखा की ढाल (m₁)$=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{3,0}$

=2(3)-5=1

m₁×m₂=(-1)×1=-1

∴स्पर्श रेखा एक दुसरे पर लम्ब है ।

Question 7

दिखाएँ कि निम्नलिखित वक्र के उन बिन्दुओ पर, जहाँ x=2 तथा x=-2 है , स्पर्श रेखाएँ समान्तर है ।
[Show that the tangents to the following curves at the point where x=2 and x=-2 are parallel.]
Sol :
(i) y=2x³-3
Sol :
Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=6x^2$

At x=2

स्पर्श रेखा की ढाल(m₁)$=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=2}$

=6(2)²=24

At x=-2

स्पर्श रेखा का ढाल(m₁)$=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=-2}$

=6(-2)²=24

∴स्पर्श रेखाएँ एक-दूसरे के समांतर है ।

(ii) y=7x³+1
Sol :

Question 8

वक्र x=1-asinθ , y=bcos²θ के $\theta=\frac{\pi}{2}$ पर अभिलम्ब का ढाल (slope) निकाले।
[Find the slope of the normal to curve x=1-asinθ , y=bcos²θ at $\theta=\frac{\pi}{2}$]
Sol :
x=1-asinθ

Differentiating w.r.t θ

$\frac{dx}{d\theta}=-a \cos \theta$..(i)

y=bcos²θ

Differentiating w.r.t θ

$\frac{dx}{d\theta}=2b \cos \theta (-\sin \theta)$

$\frac{dy}{d\theta}=-2b\cos \theta \sin \theta$..(ii)

समीकरण (ii) मे (i) से भाग देने पर,

$\dfrac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}=\frac{-2b\cos \theta \sin \theta}{-a\cos \theta}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{2b}{a}\sin \theta$

अभिलम्ब का ढाल$=\dfrac{-1}{\left(\frac{dy}{dx}\right)_{\theta=\frac{\pi}{2}}}$

$=\dfrac{-1}{\frac{2b}{a}\sin \frac{\pi}{2}}=\frac{-a}{2b}$

Question 9

वक्र x=acos³θ , y=asin³θ के $\theta=\frac{\pi}{4}$ पर अभिलम्ब का ढाल निकाले ।
[Find the slope of the normal to the curve x=acos³θ , y=asin³θ at $\theta=\frac{\pi}{4}$]
Sol :
x=acos³θ

Differentiating w.r.t θ

$\frac{dx}{d\theta}=a.3\cos^2 \theta.(-\sin \theta)$

$\frac{dx}{d\theta}=-3a\cos ^{2}\theta.\sin \theta$..(i)

y=asin³θ

Differentiating w.r.t θ

$\frac{dy}{d\theta}=a.3\sin^2 \theta.\cos \theta$

$\frac{dy}{d\theta}=-3a\sin ^{2}\theta.\cos \theta$..(ii)

समीकरण (ii) मे (i) से भाग देने पर,

$\dfrac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}=\frac{3a \sin^{2}\theta \cos \theta}{-3a \cos^{2} \theta \sin \theta}$

$\frac{dy}{dx}=-\tan \theta$

अभिलम्ब का ढाल$=\dfrac{-1}{\left(\frac{dy}{dx}\right)_{\theta=\frac{\pi}{4}}}$

$=\dfrac{-1}{-\tan \frac{\pi}{4}}$

$=\frac{1}{1}=1$

Question 10

निम्नलिखित वक्रो पर बिन्दु(बिन्दुओ) को निकाले:
[Find the point(s) on the curve]

(i) 2y=3-x²पर , जिस पर स्पर्श रेखा , सरल रेखा x+y=0 के समान्तर है ।
[ 2y=3-x²at which the tangent is parallel to the line x+y=0]
Sol :
2y=3-x²

Differentiating w.r.t x

$2.\frac{dy}{dx}=-2x$

$\frac{dy}{dx}=-x$

स्पर्श रेखा का ढाल=-x ,

रेखा का समीकरण
x+y=0
y=-x+0

रेखा का ढाल=-1

∵स्पर्श रेखा , रेखा x+y=0 के समानतर है ।

∴$\frac{dy}{dx}=-1$

-x=-1

x=1

वक्र , 2y=3-x²
x=1 पर,

2y=3-(1)²
2y=2
$y=\frac{2}{2}$
y=1

∴अभिष्ट बिंदु(1,1)

(ii) y=x²पर , जहाँ स्पर्श रेखा का ढाल बिन्दु के x-नियामक(कोटि) के बराबर है ।
[y=x², where the slope of the tangent is equal to x-coordinate of the point]
Sol :
y=x²

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=2x$=स्पर्श रेखा का ढाल

∵स्पर्श रेखा का ढाल बिंदु के x-नियामक(कोटि) के बराबर है

$\frac{dy}{dx}=x$

2x=x

x=0

∴y=x²⇒y=0²
=0

∴अभिष्ट बिंदु(0,0)

(iii) y=x²जहाँ स्पर्श रेखा x-अक्ष के साथ 45° का कोण बनाती है ।
[y=x², where the tangent makes an angle of 45° with x-axis]
Sol :
स्पर्श रेखा का ढाल=tan45°=1

∵y=x²

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=2x$=स्पर्श रेखा का ढाल

∴2x=1
⇒$x=\frac{1}{2}$

∵y=x²
⇒$y=\left(\frac{1}{2}\right)^2$ $=\frac{1}{4}$

∴अभिष्ट बिंदु $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)$

Question 11

निम्नलिखित वक्रो पर बिंदु(बिंदुओ) को निकाले:
[Find the point(s) on the curve]

(i) y=5x²-2x³पर जिसपर स्पर्श रेखा y-4x=5 के समान्तर है ।
[y=5x²-2x³at which the tangent is parallel to the line y-4x=5]
Sol :
Diagram to be added

y=5x²-2x³

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=10x-6x^2$=स्पर्श रेखा का ढाल

∵रेखा का समीकरण

y-4x=5
y=4x+5

रेखा का ढाल=4

∵स्पर्श रेखा , रेखा y-4x=5 के समान्तर है ।
4=10x-6x²
2(3x²-5x+2)=0
3x²-5x+2=0
3x²-3x-2x+2=0
(x-1)(3x-2)=0
$\begin{array}{l|l}x-1=0&3x-2=0\\x=1&3x=2 \\&x=\frac{2}{3}\end{array}$

∵y=5x²-2x³

x=1 पर ,

y=5(1)²-2(1)³
=5-2
=3

$x=\frac{2}{3}$ पर ,

$y=5\left(\frac{2}{3}\right)^2-2\left(\frac{2}{3}\right)^3$
$=5\left(\frac{4}{9}\right)-2\left(\frac{8}{27}\right)$
$=\frac{60-16}{27}=\frac{44}{27}$

∴अभिष्ट बिंदु(1,3) तथा $\left(\frac{2}{3},\frac{44}{27}\right)$

(ii) y=x²-4x-32 पर, जिसपर स्पर्श रेखा x-अक्ष के समान्तर है ।
[y=x²-4x-32 at which the tangent is parallel to x-axis]
Sol :
Diagram to be added

Differentiating w.r.t x

∵स्पर्श रेखा x-अक्ष के समान्तर है

∴$\frac{dy}{dx}=0$
2x-4=0
2x=4
x=2

x=2 पर ,

y=(2)²-4(2)-32
=4-8-32
=-36

∴अभिष्ट बिंदु (2,-36)

(iii) y=x²-4x-32 पर , जिसपर स्पर्श रेखा सरल रेखा y=3x-2 के समान्तर है ।
[y=x²-4x-32 at which the tangent lines are parallel to the line y=3x-2]
Sol :
y=x²-4x-32

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=3x^2-4x-1$=स्पर्श रेखा का ढाल

∵रेखा का समीकरण y=3x-2

∴रेखा का ढाल=3

∵स्पर्श रेखा , रेखा y=3x-2 के समांतर है ।

3x²-4x-1=3
3x²-4x-1-3=0
3x²-4x-4=0
3x(x-2)+2(x-2)=0
(x-2)(3x+2)=0

$\begin{array}{l|l}x-2=0&3x+2=0\\x=2&3x=-2\\&x=-\frac{2}{3}=\end{array}$

वर्त का समीकरण
y=x³-2x²-x

x=2 पर ,

y=(2)³-2(2)²-(2)

y=8-8-2

y=-2

$x=-\frac{2}{3}$ पर,

$y=\left(\frac{-2}{3}\right)^3-2\left(\frac{-2}{3}\right)-\left(\frac{-2}{3}\right)$

$y=-\frac{8}{27}-\frac{8}{9}+\frac{2}{9}$

$=\frac{-8-24+18}{27}$

$=\frac{-14}{27}$

∴अभिष्ट बिंदु(2,-2) तथा $\left(\frac{-2}{3},\frac{-14}{27}\right)$

(iv) x²+y²-2x-4y+1=0 पर, जिसपर स्पर्श रेखा x-अक्ष के समानतर है ।
[ x²+y²-2x-4y+1=0 at which the tangent is parallel to x-axis]
Sol :
x²+y²-2x-4y+1=0

Differentiating w.r.t x

$2x+2y\frac{dy}{dx}-2-4\frac{dy}{dx}=0$
$(2y-4)\frac{dy}{dx}=2-2x$
$\frac{dy}{dx}=\frac{2(1-x)}{2(y-2)}$

∵स्पर्श रेखा x-अक्ष के समानतर है ।

$\frac{dy}{dx}=0$

$\frac{1-x}{y-2}=0$

⇒1-x=0
⇒x=1

∵वर्त का समीकरण

x²+y²-2x-4y+1=0

x=1 पर,
(1)²+y²-2(1)-4y+1=0
1+y²-2-4y+1=0
y²-4y=0
y(y-4)=0
y=0 and

y=-4=0
⇒y=4

अभिष्ट बिंदु(1,0) तथा (1,4)

Question 12

वक्र y=(x-2)²पर एक बिंदु ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा , बिंदुओ(2,0) और (4,4) को मिलाने वाली रेखा के समांतर है ।
[Find a point on the curve y=(x-2)²at which the tangent is parallel to the chord joining the points (2,0) and (4,4)]
Sol :
y=(x-2)²

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=2(x-2)$=स्पर्श रेखा का ढाल

बिंदुओ(2,0) तथा (4,4) को मिलाने वाली रेखा का ढाल

$m=\frac{4-0}{4-2}=\frac{4}{2}$
=2

∵स्पर्श रेखा बिंदुओ (2,0) तथा (4,4) को मिलाने वाली रेखा के समांतर है ।

∴2(x-2)=2
x-2=1
x=3

x=3 पर,
y=(3-2)²
=(1)²
=1

अभिष्ट बिंदु (3,1)

Question 13

वक्र $\frac{x^2}{9}+\frac{x^2}{16}=1$ पर उन बिंदुओ को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ
(i) x-अक्ष के समांतर है ।
(ii) y-अक्ष के समांतर है ।
Sol:
$\frac{x^2}{9}+\frac{x^2}{16}=1$

Differentiating w.r.t x

$\frac{2x}{9}+\frac{2y}{16}.\frac{dy}{dx}=0$

$\frac{2y}{16}\frac{dy}{dx}=\frac{-2x}{9}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-2x}{9}\times \frac{16}{2y}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-16}{9}\times \frac{x}{y}$

(i) स्पर्श रेखाएँ x-अक्ष के समांतर है ।
$\frac{dy}{dx}=0$

$-\frac{16}{9}\times \frac{x}{y}=0$

x=0

वक्र का समीकरण

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1$

$\frac{0^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1$

$\frac{y^2}{11}=1$

y²=16
y=±4

अभिष्ट बिंदु(0±4)

(ii) स्पर्श रेखाएँ y-अक्ष के समांतर है ।
$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{0}$

$-\frac{16}{9}\times \frac{x}{y}=\frac{1}{0}$

9y=0
y=0

∵वक्र का समीकरण
$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1$

$\frac{x^2}{9}+\frac{0^2}{16}=1$

$\frac{x^2}{9}=1$

x²=9
x=±3

अभिष्ट बिंदु(±3,0)

Question 15

$y=\sqrt{4x-3}-1$ पर उन बिंदुओ को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{2}{3}$ है।
Sol :
$y=\sqrt{4x-3}-1$

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{4x-3}}\times 4$

$\frac{dy}{dx}=\frac{2}{\sqrt{4x-3}}$

∵स्पर्श रेखा का ढाल$=\frac{2}{3}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{2}{3}$

$\frac{2}{\sqrt{4x-3}}=\frac{2}{3}$

$\sqrt{4x-3}=3$

दोनो तरफ वर्ग करने पर ,

4x-3=9
4x=12
x=3

x=3 पर,
$y=\sqrt{4x-3}-1$
$y=\sqrt{4(3)-3}-1$
$y=\sqrt{12-3}-1$
$y=\sqrt{9}-1$
y=3-1
y=2

अभिष्ट बिंदु(3,2)

Question 16

वक्र y=x³पर उन बिंदुओ को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखा की प्रवणता बिंदु के y-निर्देशांक के बराबर है ।
Sol :
y=x³..(i)

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=3x^2$

∵स्पर्श रेखा प्रवणता बिंदु के y-निर्देशांक के बराबर है ।

$\frac{dy}{dx}=y$

x³=3x²
x³-3x²=0
x²(x-3)=0
x=0 , x-3=0⇒x=3

∵y=x³

∴x=0 पर, y=0³=0
x=3 पर, y=(3)³=27

अभिष्ट बिंदु(0,0) तथा (3,27)

Question 17

साबित करे कि वक्र x²-y²=16 तथा xy=25 एक-दूसरे को समकोण पर काटते है ।
[Prove that the curves x²-y²=16 and xy=25 cut each other at right angles]
Sol :
x²-y²=16..(i)

Differentiating w.r.t x

$2x-2y.\frac{dy}{dx}=0$

$-2y\frac{dy}{dx}=-2x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{2y}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}$

xy=25

Differentiating w.r.t x

$1.y.\frac{dy}{dx}=0$

$x\frac{dy}{dx}=-y$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-y}{x}$

दोनो स्पर्श रेखाओ के ढाल का गुणनफल$=\frac{x}{y}\times \left(-\frac{y}{x}\right)$
=-1

अतः वक्र x²-y²=16 तथा xy=25 एक दूसरे को समकोण पर काटते है ।

Question 18

साबित करे कि मूल बिन्दु पर वक्र 2y²=x³तथा y²=32x एक-दूसरे को समकोण पर काटते है ।
Sol :
2y²=x³..(i)

Differentiating w.r.t x

$2.2y.\frac{dy}{dx}=3x^2$

$\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2}{4y}$

y²=32x..(ii)

Differentiating w.r.t x

$2y.\frac{dy}{dx}=32$

$\frac{dy}{dx}=\frac{32}{2y}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{16}{y}$

∵मूल बिंदु पर स्पर्श रेखाओ के ढाल:

$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0,0)}=\frac{3\times (0)^2}{4y}$
=0

⇒ स्पर्श रेखा x-अक्ष के समानतर है ।

θ=0°

समीकरण (ii) से प्रप्त स्पर्श रेखा ढाल

$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0,0)}=\frac{16}{0}$
=∞
⇒ स्पर्श रेखा y-अक्ष के समानतर है ।

=tan90°

(0,0) पर वक्रो के बीच का कोण=|90°-0°|
=90°

Question 19

वक्र y=x²और y=x³का प्रतिच्छेद कोण निकाले ।
[Find the angle of intersection of the curves y=x²and y=x³ ]
Sol :
Diagram to be added

y=x²

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=2x$..(i)

y=x³

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=3x^2$..(ii)

∵y=x²तथा y=x³वक्र के समीकरण है ।

∴x³=x²
x³-x²=0
x²(x-1)=0

$\begin{array}{l|l}x=0&x-1=0\\&x=1\end{array}$

x=0 पर, y=0²=0

x=1 पर, y=1²=1

दोनो वक्रो के प्रतिच्छेद बिंदु(0,0) तथा (1,1) है।

बिंदु(0,0) पर दोनो वक्रो के बीच का कोण

समीकरण (i) से,

$\left(\frac{dy}{dx}_{0,0}\right)=2(0)$
=0=tan0⇒m₁=0

समीकरण (ii) से,

$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{0,0}=3(0)^2$
=0=tan0⇒m₂=0

∴(0,0) पर वक्रो के बीच का कोण$=\frac{|0-0|}{1+0\times 0}=0$

बिंदु(1,1) पर दोनो वक्रो के बीच का कोण,

समीकरण (i) से ,

$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{1,1}=2(1)$
=2⇒m₁=2

समीकरण (ii) से ,

$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{1,1}=3(1)^2$
=3⇒m₂=3

∴(1,1) पर दोनो वक्रो के बीच का कोण

$\tan \theta=\left|\frac{2-3}{1+2\times 3}\right|$

$\tan \theta=\left|\frac{-1}{7}\right|$

$\theta =\tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)$

Question 21

क्या वक्र x²+y²=2a²तथा 2y²-x²=a² किसी बिन्दु पर एक-दुसरे को समकोण पर काटते है ।
[Do the curves x²+y²=2a² and 2y²-x²=a² cut each other at right angles at any point ?]
Sol :
x²+y²=2a²..(i)

Differentiating w.r.t x

$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$

$2y\frac{dy}{dx}=0$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-2y}{2y}$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$..(ii)

2y²-x²=a²..(iii)

Differentiating w.r.t x

$4y\frac{dy}{dx}-2x=x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{4y}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{x}{2y}$..(iv)

समीकरण (i) तथा (iii) से , x²+y²=2a²-x²=a²

$y^2=\frac{x^2+a^2}{2}$

∴$x^2+\frac{x^2+a^2}{2}=2a^2$

$\frac{2x^2+x^2+a^2}{2}=2a^2$

$\frac{3x^2+a^2}{2}=2a^2$

3x²+a²=4a²
3x²=3a²
x²=a²
x=±a

समीकरण (i) से,
x²+y²=2a²
(±a)²+y²=2a²
y²=a²
⇒y=±a

दोनो वक्रो के प्रतिच्छेद बिंदु(-a,-a) तथा (a,a) है ।

बिंदु (-a,-a) पर दोनो वक्रो के बीच का कोण,

समीकरण (ii) से,

$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{-a,-a}=\frac{-(-a)}{-a}$
=-1⇒m₁=-1

समीकरण (iv) से ,
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{-a,-a}=\frac{-a}{2(-a)}$
$=\frac{1}{2}$⇒$m_{2}=\frac{1}{2}$

∴m₁×m₂$=-1\times \frac{1}{2}$

$=\frac{-1}{2}\neq -1$

अतः वक्र एक-दूसरे के साथ समकोण पर नही झूके है।

बिंदु(a,a) पर वक्रो के बीच का कोण,

समीकरण (iii) से,
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(a,a)}=-\frac{a}{a}$
=-1⇒m₁=-1

समीकरण (iv) से,
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(a,a)}=-\frac{a}{2a}$
$=\frac{1}{2}$⇒$m_{2}=\frac{1}{2}$

m_1×m₂$=-1\times \frac{1}{2}$

$=-\frac{1}{2}\neq -1$

अतः वक्र एक-दूसरे के साथ समकोण पर नही झूकी है ।

Question 22

साबित करे कि वक्र y=2sin²x तथा y=cos2x बिन्दु $x=\frac{\pi}{6}$ एक-दूसरे काटते है । उनका प्रतिच्छेद कोण भी निकाले।
Sol :
y=2sin²x..(i) ,

y=cos2x..(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से,

2sin²x=cos2x
2sin²x=1-2sin²x
4sin²x=1
$\sin^2 x=\frac{1}{1}$
$\sin^2 x=\left(\frac{1}{2}\right)^2$
$\sin^2 x=\frac{sin^2 \pi}{6}$

∴$x=\frac{\pi}{6}$

समीकरण (i) से ,
y=2sin²x

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=4\sin x \cos x$

$x=\frac{\pi}{6}$

स्पर्श रेखा का ढाल $m_1=4\sin \frac{\pi}{6}.\cos \frac{\pi}{6}$
$=4\times \frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}$
=√3

समीकरण (ii) से ,

y=cos2x

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=-2\sin 2x$

$x=\frac{\pi}{6}$ पर,

स्पर्श रेखा की ढाल$m_2=-2\sin 2\left(\frac{\pi}{6}\right)$

$=-2\sin \frac{\pi}{3}$

$=-2\times \frac{\sqrt{3}}{2}$

m₂=-√3

दोनो वक्रो के बीच का कोण,

$\tan \theta =\left|\frac{\sqrt{3}-(-\sqrt{3})}{1+\sqrt{3}\times (-\sqrt{3})}\right|$

$\tan \theta \left|\frac{2\sqrt{3}}{1-3}\right|$

$\tan \theta=\left|\frac{2\sqrt{3}}{-2}\right|$

tanθ=√3

$\theta =\frac{\pi}{3}$

Question 23

साबित करे कि वक्र y²=4x और x²+y²-6x+1=0 एक-दूसरे को बिंदु(1,2) पर स्पर्श करते है ।
Sol :
y²=4x..(i)

x²+y²-6x+1=0..(ii)

समीकरण (ii) मे y² का मान रखने पर,

x²+y²-6x+1=0
x²-2x+1=0
(x-1)²=0
x=1

x=1 पर , y²=4(1)
⇒y²=4
y=±2

अतः वक्र बिंदु (1,2) और (1,-2) पर प्रतिच्छेद करते है ।

समीकरण (i) से,
y²=4x

Differentiating w.r.t x

$2y.\frac{dy}{dx}=4$

$\frac{dy}{dx}=\frac{4}{2y}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{2}{y}$..(iii)

समीकरण (ii) से,

x²+y²-6x+1=0

Differentiating w.r.t x

$2x+2y\frac{dy}{dx}-6=0$

$2y\frac{dy}{dx}=6-2x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{6-2x}{2y}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{3-x}{y}$..(iv)

बिन्दु (1,2) पर स्पर्श रेखाओ के ढाल,

समीकरण (iii) से ,

$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1,2)}=\frac{2}{2}$
=1

समीकरण (iv) से ,

$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1,2)}=\frac{3-1}{2}$
$=\frac{2}{2}=1$

$\tan \theta =\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1 \times m_2}\right|$
$=\left|\frac{1-1}{1+1\times 1}\right|$
$=\left|\frac{0}{2}\right|$

tanθ=0
θ=0

अतः वक्र (i) तथा (ii) बिन्दु (1,2) पर एक-दुसरे को स्पर्श करते है ।

Question 24

(i) साबित करे कि वक्र xy=4 तथा x²+y²=8 बिन्दु(2,2) पर एक-दूसरे को स्पर्श करते है ।
Sol :
xy=4..(i) ,x²+y²=8..(ii)

$y=\frac{4}{x}$

y का मान समीकरण (ii) मे रखने पर,

x²+y²=8

$x^2+\left(\frac{4}{x}\right)^2=8$

$x^2+\frac{16}{x^2}=8$

$\frac{x^4+16}{x^2}=8$

x⁴+16=8x²

(x²)²-2.x².4+4²=0
(x²-4)²=0
x²-4=0
x²=±2

x=2 पर ,$y=\frac{4}{x}$
⇒$y=\frac{4}{2}=2$

x=-2 पर, $y=\frac{4}{2}=-2$

वक्र (i) तथा (ii) बिन्दु(2,2) तथा (-2,-2) पर प्रतिच्छेद करते है ।

समीकरण (i) से ,
xy=4

Differentiating w.r.t x

$1.y+x.\frac{dy}{dx}=0$

$x.\frac{dy}{dx}=-y$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}$...(iii)

समीकरण (ii) से ,

x²+y²=8

Differentiating w.r.t x

$2x+2y.\frac{dy}{dx}=0$

$2y.\frac{dy}{dx}=-2x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-2x}{2y}$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$..(iv)

बिन्दु(2,2) पर स्पर्श रेखाओ के ढाल,

समीकरण (iii) से ,

$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{2,2}=\frac{-2}{2}$
=-1=m₁

समीकरण (iv) से,
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{2,2}=\frac{-2}{2}$
=-1=m₂

$\tan \theta=\left|\frac{-1-(-1)}{1+(-1)(-1)}\right|$
$=\left|\frac{0}{2}\right|$=0
θ=0

अतः वक्र (i) तथा (ii) बिन्दु (2,2) पर एक-दुसरे को स्पर्श करते है ।

(ii) सिद्ध कीजिए कि वक्र x=y²और xy=k एक-दूसरे को समकोण पर काटती है , यदि 8k²=1 है ।
Sol :
x=y²..(i), xy=k..(ii)

$x=\frac{k}{y}$

x का मान समीकरण (i) मे रखने पर,

x=y²⇒$\frac{k}{y}=y^2$
⇒y³=k
$y=k^{\frac{1}{3}}$

y का मान समीकरण (i) मे रखने पर,

$x=\left(k^{\frac{1}{3}}\right)^2$⇒$x=k^{2/3}$

वक्र (i) तथा (ii) एक-दूसरे को बिन्दु $\left(k^{\frac{2}{3},k^{\frac{1}{3}}}\right)$ पर प्रतिच्छेद करते है ।

समीकरण (i) से ,

Differentiating w.r.t x

$1=2y.\frac{dy}{dx}$⇒$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2y}$

बिन्दु$\left(k^{\frac{2}{3},k^{\frac{1}{3}}}\right)$ पर स्पर्श रेखा का ढाल

$m_{1}=\frac{1}{2k^{\frac{1}{3}}}$

समीकरण (ii) से,

xy=k

Differentiating w.r.t x

$1.y+x.\frac{dy}{dx}=0$

$x\frac{dy}{dx}=-y$

बिन्दु$\left(k^{\frac{2}{3},k^{\frac{1}{3}}}\right)$ पर स्पर्श रेखा का ढाल ,

$m_{2}=-\frac{k^{\frac{1}{3}}}{k^{\frac{2}{3}}}$

$m_{2}=-\frac{1}{k^{\frac{1}{3}}}$

∵स्पर्श रेखाएँ एक-दूसरे पर लंब है ।

m₁×m₂=-1

$\frac{1}{2k^{\frac{1}{3}}}\times \frac{-1}{k^{\frac{1}{3}}}=-1$

$\frac{1}{2k^{\frac{2}{3}}}=1$

$2k^{\frac{2}{3}}=1$

दोनो तरफ घन करने पर,

$(2k^{\frac{2}{3}})^3=(1)^3$

$8k^{2}=1$

Question 25

निम्नलिखित वक्रो के निर्दिष्ट बिन्दुओ पर स्पर्श और अभिलम्ब का समीकरण निकाले:
[Find the equation of the tangent and normal to the following curves at the points given]
(i) $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=2at(1,1)$
Sol :
Differentiate w.r.t x

$\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}+\frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}.\frac{dy}{dx}=0$

$\frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}\frac{dy}{dx}=-\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-x^{-\frac{1}{3}}}{y^{-\frac{1}{3}}}$

⇒$\frac{dy}{dx}=\frac{-y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$

At (1,1)
स्पर्श रेखा का ढाल$=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1,1)}$
$=\frac{-(1)^{\frac{1}{3}}}{(1)^{\frac{1}{3}}}$
=-1

स्पर्श रेखा का समीकरण
$y-y_{1}=\frac{dy}{dx}(x-x_1)$
y-1=-1(x-1)
y-1=-x+1
x+y=2

अभिलंब का ढाल$=\frac{-1}{\left(\frac{dy}{dx}\right)}$

अभिलंब का समीकरण
$y-y_{1}=\frac{-1}{\left(\frac{dy}{dx}\right)}(x-x_{1})$
$y-1=\frac{-1}{-1}(x-1)$
y-1=x-1
y=x

⇒x-y=0

(ii) y=x³at (1,1)
Sol:
Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=3x^2$

At (1,1)

स्पर्श रेखा का ढाल$=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1,1)}$
=3(1)²
=34

स्पर्श रेखा की समीकरण $y-y_{1}=\frac{dy}{dx}(x-x_{1})$
y-1=3(x-1)
y-1=3x-x
⇒3x-y=-1+3
⇒3x-y=2

अभिलंब का समीकरण$y-y_{1}=\frac{-1}{\left(\frac{dy}{dx}\right)}(x-x_{1})$
$y-1=\frac{-1}{3}(x-1)$
$y-1=\frac{-1}{3}(x-1)$
3y-3=-x+1
x+3y=4

(iv) y=x⁴-6x³+13x²-10x+5 at(1,3) and at(0,5)
Sol :
Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=4x^3-18x^2+26x-10$

At(1,3)
स्पर्श रेखा का ढाल$=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1,3)}$
=4(1)³-18(1)²+26(1)-10

(v) $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ at (x₀,y₀)
Sol :
Differentiating w.r.t x

$\frac{2x}{a^2}-\frac{2y}{b^2}.\frac{dy}{dx}=0$

$-\frac{2y}{b^2}.\frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{a^2}$

⇒$\frac{dy}{dx}=\frac{b^2x}{a^2y}$

At(x₀,y₀)

स्पर्श रेखा का ढाल$=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_0,y_0)}=\frac{b^2x_0}{a^2y_0}$

स्पर्श रेखा का समीकरण$y-y_{0}=\frac{b^2x_0}{a^2y_0}(x-x_0)$

a²y₀.y-a²y₀²=b²x₀x-b²x₀²

b²x₀²-a²y₀²=b²x₀x-a²y.y₀²

दोनो तरफ a²b²से भाग देने पर,

$\frac{b^2{x_{0}}^2}{a^2b^2}-\frac{a^2{y_{0}}^2}{a^2b^2}=\frac{b^2xx_0}{a^2b^2}-\frac{a^2yy_0}{a^2b^2}$

1=$\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}$

(x₀,y₀) पर,

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

अभिलंब का समीकरण
$y-y_0=\frac{-1}{\frac{b^2x_0}{a^2y_0}}(x-x_0)$

$y-y_0=-\frac{a^2y_0}{b^2x_0}(x-x_0)$

b²x₀(y-y₀)=-a²y₀(y-y₀)

b²x₀(y-y₀)+a²y₀(y-y₀)=0

दोनो तरफ a²b²x₀y₀से भाग देने पर

$\frac{a^2y_0(x-x_0)}{a^2b^2x_0y_0}+\frac{b^2x_0(y-y_0)}{a^2b^2x_0y_0}=\frac{0}{a^2b^2x_0y_0}$

$\frac{x-x_0}{b^2x_0}+\frac{y-y_0}{a^2y_0}=0$

Question 26

निम्नलिखित वक्रो के निर्दिष्ट बिन्दुओ पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब का समीकरण निकाले:
(i) x=cost, y=sint at $t=\frac{\pi}{4}$
Sol :
x=cost

Differentiating w.r.t t

$\frac{dy}{dx}=-\sin t$..(i)

y=sint

Differentiating w.r.t t

$\frac{dy}{dx}=\cos t$..(ii)

समीकरण (ii) मे (i) से भाग देने पर,

$\dfrac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\cos t }{-\sin t}$

⇒$\frac{dy}{dx}=-\cos t$

$t=\frac{\pi}{4}$ पर,

स्पर्श रेखा का ढाल$=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(t=\frac{\pi}{4})}=-\cot \frac{\pi}{4}$

=-1

∵x=cost , y=sint at $t=\frac{\pi}{4}$

$x=\frac{\cos \pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ , $y=\sin \frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

स्पर्श रेखा का समीकरण , जो बिन्दु $\left(\frac{1}{\sqrt{2},\frac{1}{\sqrt{2}}}\right)$ जो गुजर रहा है ।

$y-\frac{1}{\sqrt{2}=-1\left(x-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}$

$y-\frac{1}{\sqrt{2}}=-x+\frac{1}{\sqrt{x}}$

$x+y=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}$

$x+y=\frac{1+1}{2}$

⇒$x+y=\frac{2}{\sqrt{2}}$

⇒x+y=√2

अभिलंब का समीकरण , जो बिन्दु $\left(\frac{1}{\sqrt{2},\frac{1}{\sqrt{2}}}\right)$ से गुजर रहा है ।

$y-\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{-1}{-1}\left(x-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

$y-\frac{1}{\sqrt{2}}=x-\frac{1}{\sqrt{2}}$

x=y

x-y=0

(ii) x=asin³t , y=bcos³t at $t=\frac{\pi}{2}$
Sol :
x=asin³t

Differentiate w.r.t t

$\frac{dx}{dt}=a.3\sin^2t \cos t$

$\frac{dx}{dt}=3asin^2t \cos t$..(i)

y=bcos³t

Differentiate w.r.t t

$\frac{dy}{dt}=b.3\cos^2 t.(-\sin t)$

$\frac{dy}{dt}=-3b\cos^2 t \sin t$..(ii)

समीकरण (ii) मे (i) से भाग देने पर,

$\dfrac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{-3b\cos^2 t \sin t}{3a \sin^2 t \cos t}$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{b}{a}\cos t$

At $t=\frac{\pi}{2}$ पर,

$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{t=\frac{\pi}{2}}=-\frac{b}{a}\cot \frac{\pi}{2}$
$=-\frac{b}{a}(0)$
=0

∵x=asin³t , y=bcos³t at $t=\frac{\pi}{2}$

$x=a\sin^3 \frac{\pi}{2}$,

$y=b\sin^3 \frac{\pi}{2}$
=b(0)
=0

स्पर्श रेखा का समीकरण जो बिन्दु(a,0) से गुजरे :
y-0=0(x-a)
y-0=0
y=0

अभिलंब का समीकरण , जो बिन्दु(a,0) से गुजरे
$y-0=\frac{-1}{0}(x-a)$
0=-x+a
x=a

Question 27

वक्र y=-5x²+6x+7 बिन्दु(1/2 , 35/4) पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करे ।
[Find the equation of the tangent to the curve y=-5x²+6x+7 at the point (1/2,35/4)]
Sol :
y=-5x²+6x+7

Differentiate w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=-10+6$

At$\left(\frac{1}{2},\frac{35}{4}\right)$

$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{\left(\frac{1}{2},\frac{35}{4}\right)}=-10\left(\frac{1}{2}\right)$
=1

स्पर्श रेखा का समीकरण

$y-y_1=\frac{dy}{dx}\left(x-x_1\right)$

$y-\frac{35}{4}=1\left(x-\frac{1}{2}\right)$

$\frac{4y-35}{2}=\frac{2x-1}{2}$

4x-2=4y-35

4x-4y=-35+2

4x-4y+33=0

Question 28

वक्र √x+√y=a के बिन्दु $\left(\frac{a^2}{4},\frac{a^2}{4}\right)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण निकाले।
Sol :
√x+√y=a

Differentiating w.r.t x

$\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{y}}.\frac{dy}{dx}=0$

$\frac{1}{2\sqrt{y}}\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$

At $\left(\frac{a^2}{4},\frac{a^4}{4}\right)$

$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{\left(\frac{a^2}{4},\frac{a^2}{4}\right)}$

$=\dfrac{-\sqrt{\frac{a^2}{4}}}{\sqrt{\frac{a^2}{4}}}$

=-1

स्पर्श रेखा का समीकरण
$y-\frac{a^2}{4}=-1\left(x-\frac{a^2}{4}\right)$

$y-\frac{a^2}{4}=-x+\frac{a^2}{4}$

$x+y=\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}$

$x+y=\frac{a^2+a^2}{4}$

$x+y=\frac{2a^2}{4}$

$x+y=\frac{a^2}{2}$

या $x+y-frac{a^2}{2}=0$

$\frac{2x+2y-a^2}{2}=0$

2x+2y-a²=0

Question 29

परवलय y²=4ax के बिन्दु (at²,2at) पर स्पर्श रेखा और अभिलंब के समीकरण ज्ञात कीजिए
Sol :
y²=4ax

Differentiating w.r.t x

$2y.\frac{dy}{dx}=4a$

$\frac{dy}{dx}=\frac{4a}{2y}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{2a}{y}$

At (at²,2at)

$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{\left(at^2,2at\right)}=\frac{2a}{2at}$
$=\frac{1}{t}$

स्पर्श रेखा का समीकरण
$y-2at=\frac{1}{t}(x-at^2)$

$yt-2at^2=x-at^2$

yt=x+at²

अभिलंब का समीकरण
$y-2at=\frac{-1}{\frac{1}{t}}\left(x-at^2\right)$

y-2at=-t(x-at²)
y-2at=-xt+at³
y=-xt+2at+at³

Question 30

वक्र y=sin²x के बिन्दु $\left(\frac{\pi}{3},\frac{3}{4}\right)$ पर अभिलम्ब का समीकरण निकाले ।
Sol :
y=sin²x

Differentiate w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=2sinxcosx$

At$\left(\frac{\pi}{3},\frac{3}{4}\right)$

$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{\left(\frac{\pi}{3},\frac{3}{4}\right)}=2\sin \frac{\pi}{3}\cos \frac{\pi}{3}$

$=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{1}{2}$

$=\frac{\sqrt{3}}{2}$

अभिलम्ब का समीकरण

$y-\frac{3}{4}=\frac{-1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$

$\frac{4y-3}{4}=\frac{-2}{\sqrt{3}(x-\frac{\pi}{3})}$

$4\sqrt{3}y-9\sqrt{3}=-8\left(\frac{3x-\pi}{3}\right)$

12√3y-9√3=-24x+8π

24x+12√3y=8π+9√3

Question 31

$x=\frac{\pi}{4}$ पर वक्र y=cot²x-2cotx+2 के स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करे ।
[Find the equation of the tangent line to the curve y=cot²x-2cotx+2 at $x=\frac{\pi}{4}$]
Sol :
y=cot²x-2cotx+2

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=2\cot x(-\text{cosec}^2 x) -2(-\text{cosec}^2x)$

$\frac{dy}{dx}=-2\cot x \text{cosec}^2 x+2\text{cosec}^2x$

At $x=\frac{\pi}{4}$

$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{\frac{\pi}{4}}=-2\cot \frac{\pi}{4}\text{cosec}^2 \frac{\pi}{4}+2\text{cosec}^2 \frac{\pi}{4}$

=-2×1×(√2)²+2(√2)²

=-4+4=0

∵$x=\frac{\pi}{4}$ पर ,

y=cot²x-2cotx+2

$y=\cot ^2 \frac{\pi}{4}-2\cot \frac{\pi}{2}+2$

=(1)²-2(1)+2

y=1

At $\left(\frac{\pi}{4},1\right)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण

$y-1=0\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$

y-1=0

y=1

Question 32

$\theta =\frac{\pi}{2}$ पर वक्र x=θ+sinθ , y=1+cosθ के स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करे ।
Sol :
x=θ+sinθ

Differentiate w.r.t θ

$\frac{dx}{d\theta}=1+\cos \theta$..(i)

y=1+cosθ

Differentiate w.r.t θ

$\frac{dy}{dx}=-\sin \theta$

समीकरण (ii) मे (i) से भाग देने पर,

$\dfrac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}=\frac{-\sin \theta}{1+\cos \theta}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-2\sin \frac{\theta}{2}\cos \frac{\theta}{2}}{2\cos^2 \frac{\theta}{2}}$

At $\theta =\frac{\pi}{2}$ ,

$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{\theta=\frac{\pi}{2}}=-\tan \frac{\pi}{4}$
=-1
∵x=θ+sinθ , y=1+cosθ

∴$x=\frac{\pi}{2}+\sin \frac{\pi}{2}$, $y=1+\cos \frac{\pi}{2}$

$x=\frac{\pi}{2}+1$ , y=1

At $\left(\frac{\pi}{2}+1,1\right)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण

$y-1=-1\left(x-\frac{\pi}{2}-1\right)$

$y-1=-x+\frac{\pi}{2}+1$

$x+y=\frac{\pi}{2}+2$

Question 33

$t=\frac{\pi}{4}$ पर वक्र x=sin3t , y=cos2 के स्पर्श रेखा की समीकरण निकाले ।
Sol:

x=sin3t

Differentiate w.r.t t

$\frac{dy}{dx}=3\cos 3t$..(i)

y=cos2

Differentiating w.r.t t

$\frac{dy}{dx}=-2\sin2t$

समीकरण (ii) मे (i) से भाग देने पर,

$\dfrac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{-2\sin 2t}{3\cos 3t}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-2\sin 2t}{3\cos 3t}$

At $t=\frac{\pi}{4}$

$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{t=\frac{\pi}{4}}=\frac{-2\sin2\left(\frac{\pi}{4}\right)}{3\cos 3\left(\frac{\pi}{4}\right)}$

$=\frac{-2(1)}{3\cos\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)}$

$=\frac{-2}{-3 \cos \frac{\pi}{4}}$

$=\frac{2}{3\times \frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

At $t=\frac{\pi}{4}$

∵x=sin3t , y=cos2t

$x=\sin 3\left(\frac{\pi}{4}\right)$ , $y=\cos 2\left(\frac{\pi}{4}\right)$

$x=\sin \left(\pi - \frac{\pi}{4}\right)$ , $y=\cos \frac{\pi}{2}=0$

$x=\sin \frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\left(\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण

$y-0=\frac{2\sqrt{2}}{3}\left(x-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

3y=2√2x-3y-2 या 2√2x-3y-2=0

Question 34

साबित करे कि n के सभी मानो के लिए सरल रेखा $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=2$ वक्र $\left(\frac{x}{a}\right)^n+\left(\frac{y}{b}\right)^n=2$ को बिन्दु(a,b) पर सपर्श करता है ।
Sol :
$\left(\frac{x}{a}\right)^n+\left(\frac{y}{b}\right)^n=2$

Differentiating w.r.t. x

$n\left(\frac{x}{a}\right)^{n-1}.\frac{1}{a}+n\left(\frac{y}{b}\right)^{n-1}.\frac{1}{b}.\frac{dy}{dx}=0$

$\frac{n}{b}.\left(\frac{y}{b}\right)^{n-1}.\frac{dy}{dx}=-\frac{n}{a}.\left(\frac{x}{a}\right)^{n-1}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-\frac{n}{a}\left(\frac{x}{a}\right)^{n-1}}{\frac{n}{b}\left(\frac{y}{b}\right)^{n-1}}$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{b}{a}.\left(\frac{bx}{ay}\right)^{n-1}$

At (a,b)

$\frac{dy}{dx}=-\frac{b}{a}\left(\frac{ba}{ab}\right)^{n-1}$
$=-\frac{b}{a}(1)$
$=-\frac{b}{a}$

स्पर्श रेका समीकरण बिन्दु (a,b) पर,
$y-b=-\frac{b}{a}(x-a)$
ay-ab=-bx+ab
bx+ay=2ab
$\frac{bx}{ab}+\frac{ay}{ab}=2$

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=2$

अत: n के किसी भी मान के लिए , सरल रेखा $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=2$

(a,b) पर वक्र को स्पर्श करेगी ।

Question 35

साबित करे कि वक्र y²=4x तथा x²+y²-6x+1=0 बिन्दु (1,2) पर स्पर्श करते है। उभयनिष्ट स्पर्श रेखा और अभिलम्ब का समीकरण भी ज्ञात करे ।
Sol :
y²=4x..(i)

x²+y²-6x+1=0..(ii)

समीकरण (ii) मे y² का समीकरण भी ज्ञात करे ।

x²+4x-6x+1=0
x²-2x+1=0
(x-1)²=0
x=1

x=1 पर, y²=4(1)
y=±2

अतः दोनो वक्रो का प्रति च्छेद बिन्दु(1,2) तथा (1,-2) है ।

समीकरण (i) से ,

y²=4x

Differentiating w.r.t x

$2y.\frac{dy}{dx}=4$

$\frac{dy}{dx}=\frac{4}{2y}=\frac{2}{y}$

At(1,2)

$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1,2)}$

$=\frac{2}{2}=1$=स्पर्श रेखा ढाल

समीकरण (ii) से ,
x²+4x-6x+1=0

Differentiating w.r.t. x

$2x+2y.\frac{dy}{dx}-6=0$

$2y\frac{dy}{dx}=6-2x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{2(3-x)}{2y}=\frac{3-x}{y}$

At(1,2):
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{1,2}=\frac{3-1}{2}$
$=\frac{2}{2}=1$=स्पर्श रेखा ढाल

अतः दोनो वक्र एक-दूसरे को बिंदु(1,2) पर स्पर्श करते है ।

स्पर्श रेखा का समीकरण
y-2=1(x-1)
y-2=x-1
0=x-y-1+2
⇒x-y+1=0

अभिलंब का समीकरण
$y-2=\frac{-1}{1}(x-1)$
y-2=-x+1
x+y-2-1=0

Question 36

साबित करे कि वक्र y=6+x-x²तथा y(x-1)=x+2 बिन्दु(2,4) पर एक-दूसरे को स्पर्श करते है । उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की समीकरण भी निकाले।
Sol :
y=6+x-x²..(i)

y(x-1)=x+2..(ii)

समीकरण (ii) मे y का मान रखने पर,
(6+x-x²)(x-1)=x+2

6x-6+x²-x-x³+x²=x+2
-x³+2x²+4x-8=0
-(x³-2x²-4x+8)=0
x³-2x²-4x+8=0
(x-2)(x²-4)=0
(x-2)(x²-2²)=0
(x-2)(x-2)(x+2)=0
x=2,-2

x=2 पर,
y=6+x-x²
=6+2-2²
=4

x=-2 पर,
y=6-2-(-2)²
=4-4=0

अतः दोनो वक्र एक-दूसरे को बिंदु(2,4) और (-2,0) पर प्रतिच्छेद करते है ।

समीकरण (i) से,
y=6+x-x²

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=1-2x$

=-3

At(2,4)
$\left(\frac{dy}{dx}\right)=1-2(2)$
=-3

समीकरण (ii) से,

y(x-1)=x+2

$y=\frac{x+2}{x-1}$

Differentiate w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=\frac{1.(x-1)-(x+2).1}{(x-1)^2}$

$=\frac{x-1-x-2}{(x-1)^2}$

$=\frac{-3}{(x-1)^2}$

At (2,4)

$\frac{dy}{dx}=\frac{-3}{(2-1)^2}$
=-3

अतः दोनो वक्र एक-दुसरे को बिंदु(2,4) पर स्पर्श करते है।

स्पर्श रेखा का समीकरण
y-4=-3(x-2)
y-4=-3x+6
3x+y-10=0

Question 37

वक्र $y=\frac{x-7}{(x-2)(x-3)}$ के उन बिंदुओ पर स्पर्श रेखाएँ ज्ञात कीजिए जहाँ यह x-अक्ष को काटती है ।
Sol :
माना वक्र , x-अक्ष को बिंदु(x,0) पर काटता है ।

$0=\frac{x_{1}-7}{(x_1-2)(x_1-3)}$
x₁-7=0
x₁=7

अतः वक्र , x-अक्ष की बिन्दु(7,0) पर काटता है ।

∵$y=\frac{x-7}{(x-2)(x-3)}$

$y=\frac{x-7}{x^2-5x+6}$

Differentiate w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=\frac{1.(x^2-5x+6)-(x-7)(2x-5)}{(x^2-5x+6)^2}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{x^2-5x+6-(2x^2-5x-14x+35)}{(x^2-5x+6)^2}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{x^2-5x+6-2x^2+5x+14x-35}{(x^2-5x+6)^2}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-x^2+14x-29}{(x^2-5x+6)^2}$

At(7,0)
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{7,0}=\frac{-(7)^2+14(7)-29}{(7^2-5\times 7+6)^2}$

$=\frac{-49+98-29}{(49-35+6)^2}$

$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{7,0}=frac{-7+98}{(20)^2}$
$=\frac{20}{(20)}^2=\frac{1}{20}$

स्पर्श रेखा का समीकरण जो बिंदु(7,0) से गुजरे
$y-0=\frac{1}{20}(x-7)$
20y=x-7
x-20y-7=0

Question 38

परवलय y²=8x के स्पर्श रेखा का समीकरण निकाले जो सरल रेखा 4x-y+3=0 के समान्तर है ।
Sol :
y²=8x

Differentiating w.r.t x

$2y.\frac{dy}{dx}=8$

$\frac{dy}{dx}=\frac{8}{2y}=\frac{4}{y}$=स्पर्श रेखा ढाल

रेखा का समीकरण 4x-y+3=0

y=4x+3

रेखा का ढाल=4

∵स्पर्श रेखा , रेखा 4x-y+3=0 के समांतर है ।

$\frac{4}{y}=4$
4y=4
y=1

∵y²=8x
(1)²=8x
$x=\frac{1}{8}$

स्पर्श रेखा का समीकरण , जो बिंदु $\left(\frac{1}{8},1\right)$ से गुजरे
$y-1=4\left(x-\frac{1}{8}\right)$

$y-1=4\left(\frac{8x-1}{8}\right)$

2y-2=8x-1

0=8x-1-2y+2

8x-2y+1=0

Question 39

वक्र 3x²-y²=8 के अभिलम्बो का समीकरण निकाले जो रेखा x+3y=4 के समान्तर है ।
Sol :
3x²-y²=8

Differentiating w.r.t x

$6-2y.\frac{dy}{dx}=0$

$-2y.\frac{dy}{dx}=-6x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-6x}{-2y}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{3x}{y}$=स्पर्श रेखा का ढाल

अभिलंब का ढाल$=\frac{-1}{\left(\frac{dy}{dx}\right)}$
$=\frac{-1}{\frac{3x}{9}}=\frac{-y}{3x}$

रेखा का समीकरण x+3y=4
3y=-x+4
$y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}$

रेखा का ढाल$=\frac{-1}{3}$

∵अभिलंब , रेखा x+3y=4 के समांतर है ।

$\frac{-y}{3x}=-\frac{1}{3}$

⇒y=x

∵वक्र समीकरण 3x²-y²=8
3x²-x²=8
2x²=8
x²=4
x=±2

अतः अभिष्ट बिन्दु(2,2) और (-2,2) है ।

अभिलंब का समीकरण जो बिंदु(2,2) से गुजरे;
$y-2=-\frac{1}{3}(x-2)$
3y-6=-x+2
⇒x+3y-8=0

अभिलंब का समीकरण जो बिंदु(-2,-2) से गुजरे;

$y-(-2)=-\frac{1}{3}(x-(-2))$

$y+2=-\frac{1}{3}(x+2)$
3y+6=-x-2
x+3y+8=0

Question 40

वक्र y=x³+2x+6 के उन अभिलंबो के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा x+14y+4=0 के समांनतर है ।
Sol :
y=x³+2x+6

Differentiate w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=3x^2+2$=स्पर्श रेखा का ढाल

अभिलंब का ढाल$=\frac{-1}{\left(\frac{dy}{dx}\right)}=\frac{-1}{3x^2+2}$

रेखा का समीकरण x+14y+4=0

⇒14y-x-4

⇒$y=-\frac{1}{14}x-\frac{4}{14}$

∵अभिलंब , रेखा x+14y+4=0 के समांनतर है ।

$=\frac{-1}{3x^2+2}=-\frac{1}{14}$

3x²+2=14
3x²=12
x²=4
x=±2

∵y=x³+2x+6
x=2 पर ,

y=(2)³+2(2)+6
=8+4+6
=18

x=-2 पर ,

y=(-2)³+2(-2)+6
=-8-4+6
=-6

अभिष्ट बिंदु(2,18) और (-2,-6) है ।

अभिलंब का समीकरण , जो बिन्दु(2,18) से गुजरे

$y-18=\frac{-1}{14}(x-2)$

14y-252=-x+2

x+14y-254=0

अभिलंब का समीकरण , जो बिन्दु(-2,-6) से गुजरे
$y+6=-\frac{1}{14}(x+2)$

14y+84=-x-2

x+14y+86=0

Question 41

वक्र y=x³+11x+5 पर उस बिन्दु को ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श y=x-11 हा ।
Sol :
y=x³+11x+5

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=3x^2-11$=स्पर्श रेखा ढाल

स्पर्श रेखा का समीकरण y=x-11
∴3x²-11=1
3x²=12
x=±2

∵y=x³-11x+5
x=2 पर,

y=(2)³-11(2)+5
=8-22+5
=-9

x=-2 पर,

y=(-2)³-11(-2)+5
=8+22+5
=19

अभिष्ट बिंदु(2,-9) और (-2,19)

Question 42

प्रवणता 2 वाली सभी रेखाओ का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र $y+\frac{2}{(x-3)}=0$ को स्पर्श करती है ।
Sol :
$y+\frac{2}{(x-3)}=0$

$y=\frac{-2}{x-3}$

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=\frac{0.(x-3)-(-2).1}{(x-3)^2}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{2}{(x-3)^2}$

∵स्पर्श रेखा की ढील=2

$\frac{2}{(x-3)^2}=2$

$(x-3)^2=1$

x-3=±1
x=3±1
x=4,2

∵$y=\frac{-2}{x-3}$

x=4 पर ,

$y=\frac{-2}{4-3}=\frac{-2}{1}$
=-2

x=2 पर ,

$y=\frac{-2}{2-3}=\frac{-2}{-1}$
=2

अभिष्ट बिन्दु (4,-2) और (2,2)

रेखा का समीकरण जो बिन्दु (4,-2) से गुजरे
y-(-2)=2(x-4)
y+2=2x-8
0=2x-y-2-8
0=2x-y-10 या
2x-y-10=0

या y-2x+10=0

रेखा का समीकरण ; जो बिंदु (2,2) से गुजरे

y-2=2(x-2)
y-2=2x-4
y-2-2x+4=0
y-2x+2=0

Question 43

प्रवणता -1 वाली सभी रेखाओ का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र $y=\frac{1}{x-1}$, x≠-1 को स्पर्श करती है ।
Sol :
$y=\frac{1}{x-1}$

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{(x-1)^2}$

∵स्पर्श रेखा का ढाल=-1

$\frac{-1}{(x-1)^2}=-1$

(x-1)²=1
x-1=±1
x=1±1
x=2,0

∵$y=\frac{1}{x-1}$

x=2 पर ,

$y=\frac{1}{2-1}=\frac{1}{1}=1$

x=0 पर ,

$y=\frac{1}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1$

अभिष्ट बिंदु (2,1) और (0,-1)

y-1=-1(x-2)
y-1=-x+2
y-1+x-2=0
x+y-3=0

रेखा का समीकरण जो बिंदु(0,-1) से गुजरे
y+1=-1(x-0)
y+1=-x
x+y+1=0

Question 44

प्रवणता 0 वाली सभी रेखाओ का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र $y=\frac{1}{x^2-2x+3}$ को स्पर्श करती है ।
Sol :
$y=\frac{1}{x^2-2x+3}$

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=\frac{0(x^2-2x+3)-1(2x-2)}{(x^2-2x+3)^2}$

$=\frac{-(2x-2)}{(x^2-2x+3)^2}$

∵स्पर्श रेखा का ढाल=0

$\frac{-(2x-2)}{(x^2-2x+3)^2}=0$

-(2x-2)=0
2x=2
x=1

∵$y=\frac{1}{x^2-2x+3}$

x=1 पर,

$y=\frac{1}{1^2-2(1)+3}$

$=\frac{1}{1-2+3}=\frac{1}{2}$

रेखा का समीकरण ; जो बिंदु$\left(1,\frac{1}{2}\right)$ से गुजरे

$y-\frac{1}{2}=0(x-1)$

$y-\frac{1}{2}=0$

$y=\frac{1}{2}$