KC Sinha Mathematics Solution Class 9 Chapter 3 POLYNOMIALS (बहुपद ) exercise 3.2

Exercise 3.2

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न(Very Short Answers Type Questions)

Question 1

रिक्त स्थानो को भरे:
(i) x²+2x-3 को x-1 से भाग देने पर शेषफल=__
Sol :
p(x)=x²+2x-3
x-1=0

x=1 पर,

p(1)=(1)²+2(1)-3
=1+2-3
=0

(ii) यदि बहुपद p(x) का एक गुणनखण्ड x-2 है तो p(2)=__
Sol :

Question 2

y⁴+3y²+2y+1 को y-1 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा ?
Sol :
p(y)=y⁴+3y²+2y+1
y-1=0
y=1

p(1)=(1)⁴+3(1)²+2(1)+1
=1-3+2+1
=1

Question 3

Question 4

यदि बहुपद p(x) के लिए p(-1)=3 हो तो बहुपद p(x) को x+1 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?
Sol :
x+1=0
x=-1

 शषफल=3

Question 5

यदि बहुपद p(x) के लिए $p\left(\frac{-2}{3}\right)=0$ तो बहुपद p(x) का एक गुणनखण्ड लिखे।
Sol :
$x=-\frac{2}{3}$
3x=-2
3x+2=0

3x+2

Question 6

यदि बहुपद p(x) के लिए p(-3)=2 हो तो p(x)-2 का एक गुणनखण्ड लिखे ।
Sol :
x=-3 , p(-3)=2

p(x)-2=p(-3)-2
=2-2
=0

x=-3
x+3=0

∴x+3 , p(x)-2 का गुणनखण्ड है ।

Question 7

x³+3x²+3x+1 को निम्नलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए ।
(i) x+1
Sol :
p(x)=x³+3x²+3x+1
x+1=0
x=-1

p(-1)=(-1)³+3(-1)²+3(1)+1

=-1+3-3+1

=0

(ii) $x-\frac{1}{2}$
Sol :
$x-\frac{1}{2}=0$

$x=\frac{1}{2}$

$p\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^3+3\left(\frac{1}{2}\right)^2+3\left(\frac{1}{2}\right)+1$

$=\frac{1}{8}+\frac{3}{4}+\frac{3}{2}+1$

$=\frac{1+6+12+8}{8}=\frac{27}{8}$

Question 12

गुणनखण्ड प्रमेय का प्रयोग कर बताये कि क्या x-1 निम्नलिखित का गुणनखण्ड है ?
(i) x³+x²-2x+1
Sol :
x-1=0
x=1
p(x)=x³+x²-2x+1
p(1)=1³+1²-2(1)+1

=1+1-2+1

=1

x-1,x³+x²-2x+1 का गुणनखंड नही है ।


(ii) 8x⁴-12x³+18x+14
Sol :




(iii) x³+8x²-7x-2
Sol :


(iv) $2\sqrt{2}x^3+5\sqrt{2}x^2-7\sqrt{2}$
Sol :
x-1=0
x=1

p(x)=$2\sqrt{2}x^3+5\sqrt{2}x^2-7\sqrt{2}$

p(1)=$2\sqrt{2}(1)^3+5\sqrt{2}(1)^2-7\sqrt{2}$

=2√2+5√2-7√2

=0

∴x-1 , 2√2x³+5√2x³-7√2 का गुणनखण्ड है ।

Question 13

गुणनखण्ड प्रमेय लागू करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियो मे से प्रत्येक स्थिति मे g(x),p(x) का गुणनखण्ड है या नही

(i) p(x)=2x³+x²-2x-1 , g(x)=x+1

Sol :
x+1=0
x=-1

p(-1)=2(-1)³+(-1)²-2(-1)-1
=-2+1+2-1
=0

g(x),p(x) का गुणनखण्ड है


(ii) p(x)=x³+3x²+3x+1 , g(x)=x+2

Sol :



(iii) p(x)=x³-4x²+x+6 , g(x)=x-3
Sol :

Question 14

(i) जाँच कीजिए 7+3x,3x³+7x का एक गुणनखण्ड है या नही।
Sol :
7+3x=0
3x=-7
$x=\frac{-7}{3}$

p(x)=3x³+7x
$p\left(\frac{-7}{3}\right)=3\left(\frac{-7}{3}\right)^3+7\left(\frac{-7}{3}\right)$
$=3\left(\frac{-343}{7}\right)-\frac{49}{3}$
$=\frac{-343}{9}-\frac{49}{3}$

7+3x, 3x³+7x की गुणनखंड नही है ।

(ii) जाँच कीजिए कि x+2 बहुपदो x³+3x²+5x+6 और 2x+4 का एक गुणनखण्ड है या नही ।
Sol :
x+2=0
x=-2

p(x)=x³+3x²+5x+6 , g(x)=2x+4
p(-2)=(-2)³+3(-2)²+5(-2)+6
=-8+12-10+6
=-18+18
=0

x+2, p(x) का गुणनखण्ड है ।

g(-2)=2(-2)+4
=-4+4
=0

x+2,g(x) का  गुणनखण्ड है ।


(iii) जाँच कीजिए कि बहुपदो q(t)=4t³+4t²-t-1 , 2t+1 का गुणनखण्ड है या नही ।

Sol :

2t+1

2t=-1

$t=-\frac{1}{2}$

$q\left(-\frac{1}{2}\right)=4\left(-\frac{1}{2}\right)^2-\left(-\frac{1}{2}\right)-1$
$=4\left(-\frac{1}{8}\right)+4\left(\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}+1$
$=-\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}-1$
=0

अतः q(t) , 2t+1 का गुणनखण्ड है ।

Question 18

k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियो  मे से प्रत्येक स्थिति मे (x-1) , p(x) का एक गुणनखण्ड हो
(i) p(x)=2x²+kx+√2
x-1=0
x=1

x-1 , p(x) का गुणनखण्ड है ।

p(1)=0
2(1)²+k(1)+√2=0
2+k+√2=0
k=-(2+√2)
=-2-√2

(ii) p(x)=kx²-3x+k
Sol :
x-1=0
x=1

x-1 , p(x) का गुणनखण्ड है ।

p(1)=0
k(1)²-3(1)+k=0
k-3+k=0
2k=3
$k=\frac{3}{2}$

Question 19

(a) निम्नलिखित बहुपदों मे यदि प्रत्येक बहुपद का गुणनखम्ड x-2 हो, तो प्रत्येक स्थिति मे a का मान ज्ञात करे ।
(i) x²-3x+5a
(ii) x³-2ax²+ax-1
Sol :
(ii) x-2=0
x=2
x=2

x-2 , बहुपद का गुणनखण्ड है

(2)³-2a(2)²+a(2)-1
-6a+7=0
-6a=-7
$a=\frac{7}{6}$


(b) यदि x-1 बहुपद ax³-4ax+4a-1 का गुणनखण्ड है तो a का मान ज्ञात करे ।

(c) निम्नलिखित बहुपदो मे यदि x+a प्रत्येक बहुपद का गुणनखण्ड है , तो प्रत्येक स्थिति मे a का मान ज्ञात करे ।
(i) x³+ax²-2x+a+4
(ii) x⁴-a²x²+3x-a

Sol :
(i)
x+a=0
x=-a

x+a बहुपद का गुणनखण्ड है ।

(-a)³+a(-a)²-2(-a)+a+4=0
3a=-4
$a=-\frac{4}{3}$

(d) निम्नलिखित बहुपदो मे यदि x-a प्रत्येक बहुपद का गुणनखण्ड है , तो a का मान ज्ञात करे ।

(i) x³-a²x+x+2

(ii) x⁵-a²x³+2x+a+4

Sol :

Question 20

यदि p(x)=x³+kx²+hx+6 और x+1 तथा x-2 , p(x) के गुणनखण्ड है , तो h और k का मान ज्ञात करे ।
Sol :
x+1=0
x=-1

x+1,p(x) का गुणनखंड है ।

(-1)³+k(-1)²+h(-1)+6
-1+k-h+6=0
k-h+5=0
k-h=-5
k=h-5..(i)

x-2=0
x=2
x-2, p(x) का गुणनखंड है ।

(2)³+k(2)²+h(2)+6=0
8+4k+2h+6=0
4k+2h+14=0
2(2k+h+7)=0
2k+h+7=0

k का मान रखने पर,
2(h-5)+h+7=0
2h-10+h+7=0
3h-3=0
3h=3
$h=\frac{3}{3}$
h=1

h का मान समीकरण (i) मे रखने पर,
k=h-5
k=1-5
k=-4

Question 23

यदि (x-1) तथा (x+4) बहुपद p(x)=(x²-3x+2)(x²+7x+a) और q(x)=(x²+5x+4)(x²-5x+b) के गुणनखण्ड है तो a और b का मान ज्ञात करे ।
Sol :
x-1=0
x=1

x-1,q(x) का गुणनखंड है ।
(1²-5(1)+4)(1²-5(1)+b)=0
10(-4+b)=0

-4+b=0

b=4

x+4=0
x=-4

x+4,p(x) का गुणनखंड है ।
((-4)²-3(-4)+2)(1²+7(-4)+a)=0
30(-12+a)=0
-12+a=0
a=12

Question 24

यदि f(x)=x²+px+q ,g(x)=x²+lx+m तथा प्रत्येक x+a से विभाजित होता है तो दिखाये कि $a=\frac{m-q}{l-p}$
Sol :
x+a=0
x=-a

x+a , द्वारा f(x) तथा g(x) दोनो विभाजीत है ।
(-a)²+p(-a)+q=(-a)²+l(-a)+m

(-a)²-pa+q=(-a)²-la+m

la-pa=m-q

(l-p)a=m-q

$a=\frac{m-q}{l-p}$