KC Sinha Mathematics Solution Class 10 Chapter 1 वास्तविक संख्याए ( Real Numbers) Exercise 1.1

Exercise 1.1

Question 1

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम के प्रयोग से निम्नलिखित का H.C.F ज्ञात करे।

(i) 156 और 504

Sol :

a=504 ,b=156

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका,

504=156×3+36

156=36×4+12

36=12×3+0

HCF(म.स.)=12

(ii) 135 और 225 

Sol :

a=225, b=135

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका,

225=135×1+90

135=90×1+45

90=45×2+0

HCF(म.स.)=45

(iii) 455 और 42

Sol :

a=455, b=42

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका,

455=42×10+35

42=35×1+7

35=7×5+0

HCF(म.स.)=7

(iv) 8840 और 23120

Sol :

a=23120, b=8840

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका,

23120=8840×2+5440

8840=5440×1+3400

5440=3400×1+2040

3400=2040×1+1360

2040=1360×1+680

1360=680×2+0

HCF(म.स.)=680

(v) 4052 और 12576

Sol :

a=4052, b=12576

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका,

12576=4052×3+420

4052=420×9+272

420=272×1+148

272=148×1+124

148=124×1+24

124=24×5+4

24=4×6+0

HCF(म.स.)=4

(vi) 3318 और 4661

Sol :

a=4661, b=3318

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका,

4661=3318×1+1343

3318=1343×2+632

1343=632×2+79

632=79×8+0

HCF(म.स.)=79

(vii) 250,175 और 425

Sol :

250>175

a=250,b=175

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका,

a=bq+r, 0≤r<b

250=175×1+75

175=75×2

75=25×3+0

250 तथा 175 का HCF=25

पूनः=25×17+0

HCF=25

(viii) 4407,2938 और 1469

Sol :

a=2938

b=1469

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका,

2938=1469×2+0

HCF(म.स.)=1469

अब,

b=1469,a=4407

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका,

4407=1469×3+0

HCF(म.स.)=1469

(ix) 196 और 38220
Sol :

a=38220

b=196

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका,

38220=196×195+0

HCF(म.स.)=196

Question 2

दर्शाएँ कि प्रत्येक धनात्मक सम पूणाँक 2q के रूप का है एवं प्रत्येक धनात्मक विषम पूर्णाक 2q+1 के रूप का है, जहाँ q एक पूणाक है|

Sol :

माना a कोई धनात्मक पूर्णाक है ,जिसे 2 से विभाजीत करने पर भागफल q तथा दूोषफल r प्राप्त होता है।

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका,

a=bq+r, 0≤r<b

a=2q, 2q+1

2q, 2 से विभाज्य है।

अतः प्रत्येक धनात्मक सम पूर्णांक 2q के रूप मे होता है

2q+1, 2 से विभाज्य नही है।

अतः प्रत्येक धनात्मक विषम पूर्णांक 2q+1 के रूप मे होता है।

Question 3

दिखाएँ कि एक धनात्मक विषम पूर्णांक 4q+1 या 4q+3 के रूप का होता है, जहाँ q एक पूर्णांक है।

Sol :

माना a कोई धनात्मक पूर्णाक है ,जिसे 4 से विभाजीत करने पर भागफल q तथा शेषफल r प्राप्त होता है।

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका,

a=bq+r, 0≤r<b

∴ a=4q, 4q+1, 4q+2, 4q+3

∵ 4q+1, 4q+3, 2 से विभाज्य नही है।

अतः 4q+1 या 4q+3 विषम धनात्मक पूर्णांक का रूप है।

Question 4

दो पात्रो में 250 और 425 लीटर दूध है। पात्र की महतम धारिता क्या है, जो दोनों पात्रों के दूथ को पूर्ण रूप से माप सकती है ?

Sol :

425>250

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका,

a=bq+r, 0≤r<b

425=250×1+175

250=175×1+75

175=75×2+25

75=25×3+0

HCF=25, महत्तम धारिता=25

Question 5

एक आयताकार सतह की लंम्बाई 4661 मीटर एवं चौड़ाई 3318 मीटर है। इसके सम्पूर्ण क्षेत्र पर वर्गाकार टाइल्स बिछाना है। इसका टाइल्स की लम्बाई ज्ञात करे ।

Sol :

आयतकार की लम्बाई=4661

सतह की चौड़ाईृ3318

माना कि a=4661, b=3318

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका,

a=bq+r, 0≤r<b

4661=3318×1+1343

3318=1343×2+632

1343=632×2+79

632=79×8+0

∴टाइल्स की लंम्बाई=79 मीटर

Question 6

वर्गाकार टाइल्सो की न्यूनतम संख्या जात करें जो एक आयताकार फर्श को ढक सकती है जिसकी लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः 16 मीо 58 सेमीо और 8 मीо 32 सेमीо है ।

Sol :

आयताकार फर्श की लंम्बाई=16m58cm

आयताकार फर्श की चौड़ाई=8m32cm

=832cm

1658>832

a=1658, b=832

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका,

a=bq+r, 0≤r<b

1658=832×1+826

832=826×1+6

826=6×137+4

6=4×1+2

4=2×2+0

HCF=2

वर्ग की भुजा=2cm

वर्गाकार टाईल्सो की संख्या=आयताकार फर्श का क्षेत्रफल / वर्गाकार टाइल्स का क्षेत्रफल

$=\frac{1658 \times 832}{2 \times 2}$

=344864