KC Sinha Mathematics Solution Class 11 Chapter 15 (Sequence and Series) अनुक्रम और श्रेणी Exercise 15.1

Exercise 15.1

Question 1

दी गई परिभाषाओ के आधार पर निम्नलिखित प्रत्येक अनुक्रम के प्रथम तीन पद बताइए:
[Write the first three terms of the sequences defined by the following]
(i) t_n=3n+1
Sol :
n-1,2,3 पर

t₁=3(1)+1
=3+1=4

t₂=3(2)+1
=6+1=7

t₃=3(3)+1
=9+1=10

∴अनुक्रमः 4,7,10

(ii) 2ⁿ
Sol :

(iii) t_n=n²+1

(iv) t_n=n(n+2)

(v) t_n=2n+5

(vi) $I t_{n}=\frac{n-3}{4}$

(vii) $t_n=\frac{2n-3}{6}$

(viii) $t_n=\frac{n}{n+1}$

(ix) $t_{n}=\frac{n^2}{n+1}$

(x) $t_{n}=\frac{n(n^2+5)}{4}$

Question 2

निम्नलिखित अनुक्रमो मे प्रत्येक का वांछित पर ज्ञात कीजिए, जिनका n वाँ पर दिया गया है ः
[Find the indicated terms in each of the following sequences whose nth terms are]
(i) t_n=(-1)^n-15^n-1;t₃
Sol :
n=3 पर,
t₃=(-1)^3-15^3-1

=(-1)²5²
=1×25
=25

(ii) $t_n=\frac{n^2}{2^n}$;t_{4 ,}t₆
Sol :
n=4 पर,

$t_4=\frac{4^2}{2^4}$
$=\frac{16}{16}=1$

n=6 पर,
$t_6=\frac{6^2}{2^6}=\frac{36}{64}$

$=\frac{9}{16}$

(viii) $t_n=\frac{t_{n-1}}{n^2}$,t₁=3 ; t_3,(n≥2)

Sol :

n=2 पर,

$t_2=\frac{t_{2-1}}{2^2}$

$=\frac{t_1}{4}=\frac{3}{4}$

n=3 पर,

$t_3=\frac{t_{3-1}}{3^2}$

$=\frac{t_2}{9}=\frac{3}{4\times 3}=\frac{1}{12}$

Question 3

निम्नलिखित अनुक्रमो के ठीक बाद के तीन पदो को लिखे ः
[Write the next three terms of the following sequences]

(i) t_n=2, t_n=t_n-1+1, (n≥3)
Sol :
t_n=t_n-1+1

n=3 पर

t₃=t_3-1+1
=t₂+1
=2+1=3

n=4 पर,

t₄=t_4-1+1
=t₃+1
=3+1=4

t₅=t_5-1+1
=t₄+1
=4+1=5

अनुक्रम के तीन अगले पदः
3,4,5

(ii) t₁=3, t_n=3t_n-1+2,for all n>1

Sol :

Question 4

निम्नलिखित अनुक्रमो के प्रथम पाँच पद लिखिए तथा संगत श्रेणी ज्ञात कीजिएः
[Find the first five terms of the following sequences and write down the corresponding series]
(i) t₁=1, t_n=t_n-1+2 for n≥2Sol :
t_n=t_n-1+2

n=2 पर,

t₂=t_2-1+2
=t₁+2
=1+2=3

n=3 पर,

t₃=t_3-1+2
=t₂+2
=3+2=5

n=4 पर,

t₄=t_4-1+2
=t₃+2
=5+2=7

n=5 पर,

t₅=t_5-1+2
=t₄+2
=7+2=9

∴अनुक्रमः 1,3,5,7,9

श्रेणीः 1+3+5+7+9+...

Question 5

Fibonacci अनुक्रम निम्नलिखित रूप मे परिभाषित है t₁=t₂=1 , t_n=t_n-1+t_n-2

(n>2) यदि t_n+1=kt_{n ,}तो n=1,2,3 तथा 4 के लिए k का मान निकाले।

Sol :

t₁=t₂=1 , t_n=t_n-1+t_n-2(n>2)

t_n+1=k.t_n

n=3 पर,

t₃=t_3-1+t_3-2

=t₂+t₁
=1+1=2

n=4 पर,

t₄=t_4-1+t_4-2

=t₃+t₂
=2+1=3

n=5 पर,

t₅=t_5-1+t_5-2

=t₄+t₃
=3+2=5

(i) t_n+1=k.t_n

n=1 पर,

t₁₊₁=k.t₁
t₂=k.t₁
$\frac{t_2}{t_1}=k$
$k=\frac{1}{1}$
k=1

(ii) $k=\frac{t_{n+1}}{t_n}$

n=2 पर,

$k=\frac{t_{2+1}}{t_2}$

$=\frac{t_3}{t_2}=\frac{2}{1}$
=2

(iii) n=3 पर,

$k=\frac{t_{3+1}}{t_3}$

$=\frac{t_4}{t_3}=\frac{3}{2}$


(iv) n=4 पर,

$k=\frac{t_{4+1}}{t_4}$

$=\frac{t_5}{t_4}=\frac{5}{3}$

Question 6

यदि किसी अनुक्रम का n वाँ पद 4n²+1 हो तो अनुक्रम को ज्ञात कीजिए । क्या यह अनुक्रम A.P है ।
Sol :
a_n=4n²+1

n=1,2,3, पर,

a₁=4(1)²+1
=4(1)+1=5

a₂=4(2)²+1
=4×4+1=17

a₃=4(3)²+1
=4×9+1=37

अनुक्रमः 5,17,37..

$\begin{array}{l|l}d=a_2-a_1&d=a_3-a_2\\=17-5&37-17\\=12&=20\end{array}$

∴अनुक्रम A.P मे नही है।

Question 8

किसी अनुक्रम का प्रथम तीन पद 3,3,6 है और प्रत्येक दूसरे पर के बाद वाला पद पूर्व दोनो पदो के योगफल के बराबर हो तो इस अनुक्रम का पाँचवाँ पद ज्ञात कीजिए ।
Sol :
t₁=3 ,t₂=3, t₃=6

t_n=t_n-1+t_n-2, n>2

n=4 पर,

t₄=t_4-1+t_4-2
=t₃+t₂
t₄=6+3=9

n=5 पर,
t₅=t_5-1+t_5-2
=t₄+t₃
=9+6
=15