KC Sinha Mathematics Solution Class 11 Chapter 15 (Sequence and Series) अनुक्रम और श्रेणी Exercise 15.2

Exercise 15.2

Question 1

अनुक्रम 10,5,0,-5,-10 ..का 10वाँ पद ज्ञात कीजिए।
[Find the 10th term of the sequence 10,5,0,-5,-10,...]
Sol :
a=10, d=5-10=-5

a₁₀=a+9d
=10+9(-5)
=10-45
=-35

Question 2

(i) कोई व्यक्ति वेतनमान 5000-500-100₹ के अन्तर्गत नियुक्त किया गया। कितने वर्षो मे वह महत्तम वेतनमान को प्राप्त करेगा ।
Sol :
माना n वर्षो मे वह महत्तम वेतन पाएगा ।
a=5000 , d=500

a_n=10000
a+(n-1)d=10000
5000+(n-1)500=10000
(n-1)500=10000-5000
(n-1)500=5000
$n-1=\frac{5000}{500}$
n=10+1=11

(ii) एक व्यक्ति ऋण का भुगतान 100 रूपये की प्रथम किस्त से शुरू करता है । यदि वह प्रत्येक किश्त मे 5 रूपये प्रति माह बढ़ता है तो 30 वी किश्त की राशि क्या होगी ।
Sol :
a=100 d=5
a₃₀=a+25d
=100+29(5)
=100+145
=245

Question 3

3 अंको का सभी धन पूर्णाको को ज्ञात कीजिए जो 5 से विभाज्य है ।

Sol :

3 अंको के सभी 5 विभाज्य धन पूर्णांक
100,105,110.....995
a=100 ,

d=a₂-a₁

=105-100=5

a_n=995

a+(n-1)d=995
100+(n-1)5=995
(n-1)5=995-100
(n-1)5=895
$n-1=\frac{895}{5}$
n=179+1
=180

Question 4

किसी अनुक्रम का 7 वाँ तथा 12 वाँ पद क्रमशः 34 और 64 है तो उस अनुक्रम का 10 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Sol :
a₇=34, a₁₂=64 , a₁₀=?

a+6d=34..(i)

a+11d=64..(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से
$\begin{aligned}a+11d=&64\\a+6d=&34\\-\phantom{a}-\phantom{6d}&-\phantom{34}\\ \hline 5d=30\end{aligned}$

$d=\frac{30}{5}=6$

d का मान समीकरण (i) मे रखने पर,
a+6d=34
a+6(6)=34
a+36=34
a=-2

a₁₀=a+9d
=-2+9(6)
=-2+54
=52

Question 5

किसी बैक मे रखा गया कोई रकम 4 वर्षो मे 1240 तथा 10 वर्षो मे 1600 हो जाता हा । वह रकम , प्रति वर्ष के बाद की रकम ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना वह रकम a है तथा प्रति वर्ष का साधाकरण ब्याज d है ।

a₄=1240

a₁₀=1600

a+3d=1240..(i)

a+9d=1600..(ii)

Question 6

क्या 105 समांतर अनुक्रम 4,9,14,19 ... का एक पद है ?
[Is 105 a term of the arithmetic sequence 4,9,14,19..?]
Sol :
A.P: 4,9,14,19....

a=4 ,

d=a₂-a₁
=9-4
=5

माना  105 A.P का n वाँ पद है ।
a_n=105
a+(n-1)d=105
4+(n-1)5=105
(n-1)5=101
$n-1=\frac{101}{5}$

$n=\frac{101}{5}+1$

$=\frac{101+5}{5}=\frac{106}{5}$

$n=21\frac{1}{5}$

n का मान एक धनात्मक पूर्णांक के रूप मे नही है ।

∴105 A.P का पद नही है ।

Question 7

अनुक्रम 999,995,991,987... का प्रथम ऋणात्मक पद ज्ञात कीजिए।
[Find the first negative term of the sequence 999,995,991,987,....]
Sol :
माना A.P का n वाँ पद प्रथम ऋणात्मक पद है ।
A.P: 999,995,991,987...

a=999 ,

d=995-999
=-4

a_n<0

a+(n-1)d<0
999+(n-1)(-4)<0
(n-1)(-4)<-999
-4 से भाग देने पर,

$\frac{(n-4)(-4)}{-4}>\frac{-999}{-4}$

$n-1>\frac{999}{4}$

$n>\frac{999}{4}+1$

$n>\frac{999+4}{4}$

$n>\frac{1003}{4}$

$n>250\frac{3}{4}$

n=251

प्रथम ऋणात्मक पद

a₂₅₁=a+250d
=999+250(-4)
=999-1000
=-1

Question 8

दोनो श्रेणियो 3+5+7+... और 4+7+10+... मे प्रत्येक श्रेणी 100 पदो तक जाता है ,तो बताइए कितने पद समान है ?
Sol :
प्रथम श्रेणि: 3+5+7+9+11+13+15+17+.... 100 पदो तक

a=3 ,

d=a₂-a₁
=5-3
d=2

a₁₀₀=a+99d
=3+99(2)
=3+198
=201

द्वितीय श्रेणि: 4+7+10+13+16+19+... 100 पदो तक
a=4 ,

d=7-4
=3

t₁₀₀=4+99(3)
=4+297
=301

दोनो श्रेणियो के उभयनिष्ठ पदः
7,13,19,.....

माना दोनो श्रेणियो मे उभयनिष्ठ पदो की संख्या r है ।

a=7 , d=13-7=6

a_r≤201
a+(r-1)d≤201
7+(r-1)6≤201
7+6r-6≤201
6r+1≤201
6r≤200
$r \leq \frac{200}{6}$

$r \leq 33\frac{1}{3}$
r=33

∴दोनो श्रेणियो मे 33 पद समान है ।

Question 9

यदि एक A.P का P वाँ पद q तथा p है तो प्रथम पद और पदानतर ज्ञात कीजिए । यह भी दिखाइये कि (p+q) वाँ पद शून्य है ।
Sol :
a_p=q , a_q=p

$\begin{aligned}a+(p-1)d=&q \dots (i)\\a+(q-1)d=&p \dots (ii)\\ -\phantom{a}-\phantom{(q-1)d}-&\phantom{p}\\ \hline (p-1)d-(q-1)d=&q-p \end{aligned}$

[p-1-q+1]d=q-p
(p-q)d=-1(p-q)
$d=\frac{-1(p-q)}{p-q}=-1$

d का मान समीकरण (i) मे रखने पर,
a+(p-1)d=q
a+(p-1)(-1)=q
a-p+1=q
a=p+q-1

प्रधम पद:
a=p+q-1

पदांतरः d=-1

a_(p+q)=a+(p+q-1)d
=p+q-1+(p+q-1)(-1)
=p+q-1-p-q+1
=0

Question 10

किसी A.P. के लिए दिखाइये कि t_m+t_2n+m=2t_m+n
Sol :
L.H.S
t_m+t_2n+m
=a+(m-1)d+a+(2n+m-1)d
=2a+(m-1+2n+m-1)d
=2a+(2m+2n-2)d
=2a+2(m+n-1)d
=2[a+(m+n-1)d]
=2t_m+n

Question 11

15 को ऐसे तीन हिस्सो मे बाँटिये जो A.P. मे हो और वे ऐसे है कि उनके वर्गो का योगफल 83 है ।
Sol :
माना वह तीन हिस्से जो A.P मे है ।
a-d ,a,a+d

प्रश्न से
a-d+a+a+d=15
3a=15
$a=\frac{15}{3}$
a=5

नीचे संख्याओ के वर्गो का योग=83

(a-d)²+a²+(a+d)²=83
(5-d)²+5²+(5+d)²=83

5²-2.5.d+d²+5²+5²+2.5.d+d²=83

2d²+75=83
2d²=83-75
2d²=83

$d^2=\frac{8}{2}$
d=±√4
d=±2

CASE-I
a=5 , d=2

पहली संख्या=a-d=5-2=3

दूसरी संख्या=a=5

तीसरी संख्या=a+d=5+2=7


CASE-II
a=5 , d=-2

पहली संख्या=a-d=5-(-2)=7

दूसरी संख्या=a=5

तीसरी संख्या=a+d=5+(-2)=3

तीनो संख्या=3,5 और 7 या 7,5 और 3

Question 14

20 को ऐसे चार भागो मे बाँटिये जो A.P मे हो और वे ऐसे हो कि प्रथम तथा चतुर्थ का गुणनफल और द्वितीय तथा तृतीय के गुणनफल का अनुपात 2:3 हो ।
Sol :
माना पहली संख्या=a-3d

दूसरी संख्या=a-d

तीसरी संख्या=a+d

चौथी संख्या=a+3d

प्रश्न से ,
a-3d+a-d+a+d+a+3d=20
4a=20
$a=\frac{20}{4}=5$
a=5

$\frac{(a-3d)(a+3d)}{(a-d)(a+d)}=\frac{2}{3}$

$\frac{a^2-(3d)^2}{a^2-d^2}=\frac{2}{3}$

$\frac{5^2-9d^2}{5^2-d^2}=\frac{2}{3}$

3(25-9d²)=2(25-d²)
75-27d²=50-2d²
-27d²+2d²=50-75
-25d²=-25
$d^2=\frac{-25}{-25}$
d=±√1
d=±1

CASE-I
a=5 ,d=1

पहली संख्या=a-3d
=5-3(1)=2

दूसरी संख्या=a-d
=5-1=4

तीसरी संख्या=a+d
=5+1=6

चौथी संख्या=a+3d
=5+3(1)=5+3=8

CASE-II
a=5, d=-1
पहली संख्या=a-3d
=5-3(-1)=5+3=8

दूसरी संख्या=a-d
=5-(-1)=5+1=6

तीसरी संख्या=a+d
=5+(-1)=5-1=4

चौथी संख्या=a+3d
=5+3(-1)=5-3=2

∴चारो संख्याए: 2,4,6 और 8
या 8,6,4 और 2

Question 16

यदि (If) $\frac{a}{b+c},\frac{b}{c+a},\frac{c}{a+b}$ A.P. मे हो और (be in A.P. and ) a+b+c≠0 तो साबित कीजिए कि (prove that) $\frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b}$A.P. मे है (are in A.P)
Sol :
$\frac{a}{b+c},\frac{b}{c+a},\frac{c}{a+b}$ A.P. मे है।

1 जोड़ने पर,

$\frac{a}{b+c}+1,\frac{b}{c+a}+1,\frac{c}{a+b}+1$ A.P. मे है।

$\frac{a+b+c}{b+c},\frac{a+b+c}{c+a},\frac{a+b+c}{a+b}+1$ A.P. मे है।

(a+b+c) से भाग देने पर

$\frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b}$A.P. मे है

Question 17

यदि a,b,c A.P मे हो तो साबित कीजिए कि
[If a,b,c be in A.P prove that]
(i) $\frac{1}{bc},\frac{1}{ca},\frac{1}{ab}$ A.P मे है(are in A.P)
Sol :
a,b,c A.P मे है ।(दिया है)

abc से भाग देने पर,

$\frac{a}{abc},\frac{b}{abc},\frac{c}{abc}$ A.P मे है।

$\frac{1}{bc},\frac{1}{ac},\frac{1}{ab}$ A.P मे है।

(ii) b+c,c+a,a+b A.P मे है(are in A.P)
Sol :
यदि a,b,c  A.P. मे है।

तो सिद्द करना है
b+c,c+a,a+b A.P मे है।

a,b,c S.P मे है।(दिया है)

(a+b+c) घटाने पर,
a-(a+b+c), b-(a+b+c), c-(a+b+c) A.P मे है।
-b-c,-a-c,-a-b A.P मे है।
-1 से गुणा करने पर,
b+c, c+a, a+b A.P मे है।

(iii) (b+c),b²(c+a), और (and) c²(a+b) A.P. मे है (are in A.P)
Sol :
यदि a,b,c A.P मे है।

तो सिद्ध करना है:

a²(b+c) ,b²(c+a), c²(a+b) A.P मे है।

हल

a²(b+c) ,b²(c+a), c²(a+b) A.P मे है।

b²(c+a)-a²(b+c)=c²(a+b)-b²(c+a)

b²c+b²a-a²b-a²c=c²a+bc²-b²c-ab²

b²a-a²b+b²c-a²c=bc²-b²c+c²a-ab²

ab(b-a)+c(b²-a²)=bc(c-b)+a(c²-b²)

ab(b-c)+c(b-a)(b+a)=bc(c-b)+a(c-b)(c+b)

(b-a)[ab+c(b+a)]=(c-b)[bc+a(c+b)]

(b-a)(ab+bc+ca)=(c-b)(bc+ca+ab)

b-a=c-b

∴a,b,c A.P मे है।

 अतः a²(b+c), b²(c+a), c²(a+b) A.P मे होने पर

a,b,c भी A.P मे है।

∴यदि a,b,c A.P मे है , तो a²(b+c), b²(c+a), c²(a+b) A.P मे होगा ।


(iv) $\frac{ab+ac}{bc},\frac{bc+ba}{ca},\frac{ca+bc}{ab}$A.P मे है (are in A.P)
Sol :
यदि a,b,c A.P मे है तो सिद्ध करना है ।

$\frac{ab+ac}{bc},\frac{bc+ba}{ca},\frac{ca+bc}{ab}$ A.P मे है।

हल
a,b,c A.P मे है।

⇒$\frac{a}{abc},\frac{b}{abc},\frac{c}{abc}$A.P मे है ।

⇒$\frac{1}{bc},\frac{1}{ca},\frac{1}{ab}$ A.P मे है।

(ab+bc+ca) से गुणा करने पर

⇒$\frac{ab+bc+ca}{bc},\frac{ab+bc+ca}{ca},\frac{ab+bc+ca}{ab}$A.P मे है ।

1 घटाने पर,

⇒$\frac{ab+bc+ca}{bc}-1,\frac{ab+bc+ca}{ca}-1,\frac{ab+bc+ca}{ab}-1$A.P मे है ।

⇒$\frac{ab+bc+ca-bc}{bc},\frac{ab+bc+ca-ca}{ca},\frac{ab+bc+ca-ab}{ab}$A.P मे है ।

⇒$\frac{ab+ca}{bc},\frac{ab+bc}{ca},\frac{bc+ca}{ab}$A.P मे है।

Question 18

यदि (If) $\frac{b+c-a}{a},\frac{c+a-b}{b},\frac{a+b-c}{c}$ A.P मे है (are in A.P) तो दिखाइए कि (show that) $\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$ A.P मे है (are in A.P provided) a+b+c≠0
Sol :
$\frac{b+c-a}{a},\frac{c+a-b}{b},\frac{a+b-c}{c}$ A.P मे है

2 जोड़ने पर,

⇒$\frac{b+c-a}{a}+2,\frac{c+a-b}{b}+2,\frac{a+b-c}{c}+2$ A.P मे है

⇒$\frac{b+c-a+2a}{a}+2,\frac{c+a-b+2b}{b}+2,\frac{a+b-c+2c}{c}+2$ A.P मे है

⇒$\frac{a+b+c}{a},\frac{a+b+c}{b},\frac{a+b+c}{c}$A.P मे है।

(a+b+c) से भाग देने पर,

⇒$\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$A.P मे है।

Question 19

यदि (If) (b-c)²,(c-a)²,(a-b)² A.P मे है (are in A.P) तो दिखाइये कि (then show that) $\frac{1}{b-c},\frac{1}{c-d},\frac{1}{a-b}$A.P मे है (are in A.P)।
Sol :
हल
(b-c)²,(c-a)²,(a-b)² A.P मे है ।

(ab+bc+ca-a²-b²-c²) जोड़ने पर,

⇒b²+c²-2bc+ab+bc+ca-a²-b²-c²,c²+a²-2ca+ab+bc+ca-a²-b²-c²,a²+b²-2ab+ab+bc+ca-a²-b²-c² A.P मे है।

⇒ca-a²-bc+ab,ab-b²-ca+bc,bc-ab-c²+ca A.P मे है।

⇒a(c-a)-b(c-a),b(a-b)-c(a-b),b(c-a)-c(c-a) A.P मे है।

⇒(c-a)(a-b),(a-b)(b-c),(c-a)(b-c) A.P मे है।

(a-b)(b-c)(c-a) से भाग देने पर,

⇒$\frac{(c-a)(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)},\frac{(a-b)(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)},\frac{(c-a)(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$A.P मे है।

⇒$\frac{1}{b-c},\frac{1}{c-a},\frac{1}{a-b}$A.P मे है ।

Question 20

यदि (If) a²(b+c) ,b²(c+a),c²(a+b) A.P मे हो (are in A.P) तो या तो a,b,c A.P मे है या ab+bc+ca=0 (then a,b,c are in A.P or ab+bc+ca=0)
Sol :
a²(b+c) ,b²(c+a),c²(a+b) A.P मे है।

b²(c+a)-a²(b+c)=c²(a+b)-b²(c+a)

b²c+ab²-a²b-a²c=c²a+bc²-b²c-ab²

ab²-a²b+b²c-a²c=bc²-b²c+c²a-ab²

ab(b-a)+c(b²-a²)=bc(c-a)+a(c²-b²)

ab(b-a)+c(b-a)(b+a)=bc(c-b)+a(c-b)(c+b)

(b-a)[ab+c(b+a)]=(c-b)[bc+a(c+b)]

(b-a)(ab+bc+ca)=(c-b)(bc+ca+ab)

(b-a)(ab+bc+ca)-(c-b)(ab+bc+ca)=0

(ab+bc+ca)[(b-a)-(c-b)]=0

$\begin{array}{l|l}ab+bc+ca=0& (b-a)-(c-b)=0\\&b-a=c-b\\&\therefore a,b,c \text{ in A.P}\end{array}$

Question 21

यदि $a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right),b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right),c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$ समांतर श्रेढ़ी मे है, तो , सिद्ध कीजिए कि a,b,c समांतर श्रेढ़ी मे है।
Sol :
$a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right),b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right),c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$ A.P मे है।

⇒$a\left(\frac{c+b}{bc}\right),b\left(\frac{a+c}{ca}\right),c\left(\frac{b+a}{ab}\right)$ A.P मे है।

abc से गुणा करने पर,

⇒$abc\times a \left(\frac{b+c}{bc}\right),abc\times b\left(\frac{c+a}{ca}\right),abc \times c \left(\frac{a+b}{ab}\right)$ A.P मे है ।

⇒a²(b+c) ,b²(c+a),c²(a+b) A.P मे है।

b²(c+a)-a²(b+c)=c²(a+b)-b²(c+a)

b²c+ab²-a²b-a²c=c²a+bc²-b²c-ab²

ab²-a²b+b²c-a²c=bc²-b²c+c²a-ab²

ab(b-a)+c(b²-a²)=bc(c-b)+a(c²-b²)

ab(b-a)+c(b-a)(b+a)=bc(c-b)+a(c-b)(c+b)

(b-a)[ab+c(b+a)]=(c-b)[bc+a(c+b)]

(b-a)(ab+bc+ca)=(c-b)(bc+ca+ab)

(b-a)=(c-b)

∴ a,b,c A.P मे है।