Exercise 15.3
Question 1
(i) यदि किसी अनुक्रम के n पदो का योगफल n2+2n है तो साबित करे कि अनुक्रम A.P है।
Sol :
Sn=n2+2n
Sn-1=(n-1)2+2(n-1)
=n2-2n+1+2n-2
Sn-1=n2-1
an=Sn-Sn-1
Sol :
Sn=n2+2n
Sn-1=(n-1)2+2(n-1)
=n2-2n+1+2n-2
Sn-1=n2-1
an=Sn-Sn-1
an=(n2+2n)-(n2-1)
an=n2+2n-n2+1
an=2n+1
n=1,2,3 पर
a1=2(1)+1=2+1=3
a2=2(2)+1=4+1=5
a3=2(3)+1=6+1=7
$\begin{array}{l|l}d=a_2-a_1&d=a_3-a_2\\=5-3&=7-5\\=2&=2\end{array}$
∴अनुक्रमः 3,5,7.... AP मे है ।
(ii) यदि किसी समांतर श्रेढ़ी के n पदो का योग $nP+\frac{1}{2}n(n-1)Q$ , है , जहाँ P तथा Q अचर हो तो सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
Sol :
Sn=$nP+\frac{1}{2}n(n-1)Q$
$S_n=nP+\frac{1}{2}n^2Q-\frac{1}{2}nQ$
$S_{n-1}=(n-1)P+\frac{1}{2}(n-1)(n-2)Q$
$=nP-P+\frac{1}{2}Q\left(n^2-3n+2\right)$
$=nP-P+\frac{1}{2}n^2Q-\frac{3}{2}nQ+Q$
$a_n=S_n-S_{n-1}$
$=\left(nP+\frac{1}{2}n^2Q-\frac{1}{2}nQ\right)-\left(nP-P+\frac{1}{2}n^2Q-\frac{3}{2}nQ+Q\right)$
$=nP+\frac{1}{2}n^2Q-\frac{1}{2}nQ-nP+P-\frac{1}{2}n^2Q+\frac{3}{2}nQ-Q$
an=nQ-Q+P
an=(n-1)Q+P
n=1,2
a1=(1-1)Q+P
=0+P=P
a2=(2-1)Q+P
=Q+P
d=a2-a1
=Q+P-P=Q
an=n2+2n-n2+1
an=2n+1
n=1,2,3 पर
a1=2(1)+1=2+1=3
a2=2(2)+1=4+1=5
a3=2(3)+1=6+1=7
$\begin{array}{l|l}d=a_2-a_1&d=a_3-a_2\\=5-3&=7-5\\=2&=2\end{array}$
∴अनुक्रमः 3,5,7.... AP मे है ।
(ii) यदि किसी समांतर श्रेढ़ी के n पदो का योग $nP+\frac{1}{2}n(n-1)Q$ , है , जहाँ P तथा Q अचर हो तो सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
Sol :
Sn=$nP+\frac{1}{2}n(n-1)Q$
$S_n=nP+\frac{1}{2}n^2Q-\frac{1}{2}nQ$
$S_{n-1}=(n-1)P+\frac{1}{2}(n-1)(n-2)Q$
$=nP-P+\frac{1}{2}Q\left(n^2-3n+2\right)$
$=nP-P+\frac{1}{2}n^2Q-\frac{3}{2}nQ+Q$
$a_n=S_n-S_{n-1}$
$=\left(nP+\frac{1}{2}n^2Q-\frac{1}{2}nQ\right)-\left(nP-P+\frac{1}{2}n^2Q-\frac{3}{2}nQ+Q\right)$
$=nP+\frac{1}{2}n^2Q-\frac{1}{2}nQ-nP+P-\frac{1}{2}n^2Q+\frac{3}{2}nQ-Q$
an=nQ-Q+P
an=(n-1)Q+P
n=1,2
a1=(1-1)Q+P
=0+P=P
a2=(2-1)Q+P
=Q+P
d=a2-a1
=Q+P-P=Q
Question 2
निम्नांकित श्रेणियो का योगफल निकालिए [Find the sum of the following series](i) 1+4+7+10..40 पदो तक (to 40 terms)
Sol :
A.P: 1+4+7+10+......40 पदो तक
a=1 ,
d=a2-a1
=4-1=3
$S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$
$S_n=\frac{40}{2}\left[2\times 1+(40-1)3\right]$
=20[2+(39)3]
=20[2+117]
=20(119)
=2380
(v) 1+5+3+9+5+13+7+...20 पदो तक (to 20 terms)
Sol :
=(1+3+5+7+....10 पदो तक)+(5+9+13+...10 पदो तक)
CASE-I:
A.P: 1+3+5+7+....10 पदो तक
a=1,
d=a2-a1
=3-1=2
n=10
$S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$
$S_n=\frac{10}{2}\left[2\times 1+(10-1)2\right]$
=5[2+18]
=100
CASE-II:
5+9+13+....10 पदो तक
a=5,
d=9-5=4
$S_n=\frac{10}{2}\left[2\times 5+(10-1)4\right]$
=5[10+36]
=5×46
=230
∴दिए गए अनुक्रम के पदो का योग=100+230
=330
Question 3
श्रेणी 15+12+9+... के कितने पदो को लेने से उनका योगफल 15 मिलेगा? दो उत्तरो की व्याख्या कीजिए।
Sol :
श्रेणी: 15+12+9+...
a=15,
d=a2-a1
=12-15=3
माना श्रेणी के n पदो का योग 15 होगा ।
Sn=15
$\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]=15$
$\frac{n}{2}\left[2\times 15+(n-1)(-3)\right]=15$
$\frac{n}{2}\left[30-3n+3\right]=15$
n(33-3n)=30
33n-3n2-30=0
-3n2+33n-30=0
-3(n2-11n+10=0)
n2-11n+10=0
n2-10n-n+10=0
n(n-10)-1(n-10)=0
$\begin{array}{l|l}n-10=0&n-1=0\\n=10&n=1\end{array}$
श्रेणी: 15+12+9+...
द्वितीय पदो से शुरू करने पर 9 पदो का योग =0
n=1 ,10
n का मान न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए ताकि 2+5+8+11+...n पदो तक≥200
Sol :
2+5+8+11+...n पदो तक≥200
a=2 ,
=5-2
=3
$S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$
$\frac{n}{2}\left[2\times 2+(n-1)3\right]$≥200
n(3n+1)≥400
3n2+n-400≥0
$\begin{array}{l|l}n\leq \frac{-1-\sqrt{1^2-4\times 3\times 400}}{2\times 3}&n\geq \frac{-1-\sqrt{1^2-4\times 3\times (-400)}}{2\times 3}\\n\leq \frac{-1-\sqrt{4801}}{6}&n\geq \frac{-1+\sqrt{4801}}{6}\\n\leq \frac{-1-69.3}{6}&n\geq \frac{-1+69.3}{6}\\n\leq \frac{-70.3}{6}&n\geq \frac{68.3}{6}\\n\leq -11.7&n\geq 11.3\end{array}$
n का मान धनात्मक होगा।
∴n=12
100 और 200 के बीच मे स्थित सभी विषम संख्याओ का योगफल ज्ञात कीजिए।
[Find the sum of all odd numbers lying between 100 and 200]
Sol :
100 और 200 के बीच मे स्थित विषम संख्याँएः
101,103,105,....199
माना विषम संख्याओ की संख्या n है।
a=101,
=2
n=49+1
n=50
$S_n=\frac{n}{2}\left[a+a^n\right]$
$=\frac{50}{2}\left[101+199\right]$
=25×300
=7500
तीन अंको की सभी संख्याओ का योगफल ज्ञत कीजिए जो 7 से विभाज्य हो।
[Find the sum of all integers of 3 digits which are divisible by 7]
Sol :
7 से विभाज्य 3 अंकीय संख्या
105,112,119....994
माना 7 से विभाज्य 3 अंकीय संख्याओ की संख्या n है।
a=105,
d=7
an=994
a+(n-1)d=994
105+(n-1)7=994
(n-1)7=994-105
(n-1)7=889
$n-1=\frac{889}{7}$
n=127+1
n=128
$S_n=\frac{n}{2}\left[a+a_n\right]$
$S_n=\frac{128}{2}\left[105+994\right]$
=64×1099
=70336
1 और 100 के बीच मे स्थित उन सभी संख्याओ का योगफल ज्ञात कीजिए जो 2 या 5 से विभाज्य है।
Sol :
1 और 100 के बीच मे 2 या 5 से विभाज्य संख्याँए:
(2+4+6+....100)+(5+10+15+....+100)-(10+20+30+...100)
CASE-I
2 से विभाज्य संख्याँए
2+4+6+....+100
माना 2 से विभाज्य उपर दिए गए अनुक्रम मे n संख्याँए है।
a=2 ,
an=100
a+(n-1)d=100
2+(n-1)2=100
(n-1)2=98
$n-1=\frac{98}{2}$
n=50
$S_n=\frac{n}{2}\left[a+a_n\right]$
$S_n=\frac{50}{2}\left[2+100\right]$
=25×102
=2550
CASE-II
5 से विभाज्य संख्याँए:
5+10+15+...100
माना दिए गए अनुक्रम मे n संख्याँए है।
a=5 ,
d=10-5
=5
an=100
a+(n-1)d=100
5+(n-1)5=100
(n-1)5=95
$n-1=\frac{95}{5}$
n=20
$S_n=\frac{20}{2}\left[5+100\right]$
=10×105
=1050
CASE-III
2 तथा 5 से विभाज्य संख्याँएः
10+20+30+....100
a=10, an=100 , n=10
$S_n=\frac{10}{2}\left[10+100\right]$
∴1 से 100 बीच 2 या 5 से विभाज्य संख्याओ का योग
=2550+1050-550
=3050
1 और 200 के बीच उन सभी संख्याओ का जोड़ निकालिए जिसमे 3 से या 7 से पूरा-पूरा भाग नही लगता है ।
Sol :
समांतर श्रेढ़ी 30,27,24,21,18...का महत्तम योगफल ज्ञात कीजिए।
[Find the maximum sum of the A.P 30,27,24,21,18,...]
Sol :
A.P: 30,27,24,21,18,...
माना A.P का n वाँ पद शून्य से बड़ा है।
a=30 ,
d=27-30=-3
an>0
a+(n-1)d>0
30+(n-1)(-3)>0
(n-1)(-3)>-30
$\frac{(n-1)(-3)}{-3}<\frac{-30}{-3}$
n<10+1
n<11
∴n=10
$S_n=\frac{10}{2}\left[2\times 30+(10-1)(-3)\right]$
=5[60+9(-3)]
=5[60-27]
=5×33
=165
समांतर श्रेढ़ी के 8 पदो का योगफल 64 है और 19 पदो का योगफल 361 है तो n पदो का योगफल ज्ञात कीजिए।
Sol :
$S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$
S8=64 ,S19=64
$\frac{8}{2}\left[2a+(8-1)d\right]=64$
$2a+7d=\frac{64}{4}$
2a+7d=16..(i)
$\frac{19}{2}\left[2a+(19-1)d\right]=361$
$\frac{19}{2}\left[2a+18d\right]=361$
$\frac{19}{2}\times 2 \left[a+9d\right]=361$
$a+9d=\frac{361}{19}$
a+9d=19..(i)×2
समीकरण (i) तथा (ii) से,
$\begin{aligned}2a+7d=&16\\2a+18d=&38\\\phantom{2a}-\phantom{18d}&-\phantom{38}\\ \hline -11d=-22\end{aligned}$
$d=\frac{22}{11}=2$
d का मान समीकरण (ii) मे रखने पर,
a+9d=19
a+9(2)=19
a+18=19
a=1
$S_n=\frac{n}{2}\left[2\times 1+(n-1)2\right]$
$S_n=\frac{n}{2}\left[2+2n-2\right]$
$=\frac{n}{2}\times 2n=n^2$
एक समांतर श्रेढ़ी के पहले 4 पदो का योग पहले 10 पदो के योग का आधा है और पहले (4+p) पदो का योग का भी आधा है, जहाँ p≠6 तो दिखलाये कि p का मान 20 है।
Sol :
$S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$
$S_4=\frac{1}{2}S_{10}$
$\frac{4}{2}\left[2a+(4-1)d\right]=\frac{1}{2}\times \frac{10}{2}\left[2a+(10-1)d\right]$
4[2a+3d]=5[2a+9d]
8a+12d=10a+45d
12d-45d=10a-8a
-33d=2a..(i)
अब,
$S_4=\frac{1}{2}S_{4+p}$
$\frac{4}{2}\left[2a+(4-1)d\right]=\frac{1}{2}\times \frac{4+p}{2}\left[2a+(4+p-1)d\right]$
$4[-33d+3d]=\frac{4+p}{2}\left[-33d+3d+pd\right]$
$4(-30d)=\frac{4+p}{2}[-30d+pd]$
$-120d=\frac{4+p}{2}(-30+p)d$
-240=-120+4p-30p+p2
0=240-120-26p+p2
0=p2-26p+120
या p2-26p+120=0
p2-20p-6p+120=0
p(p-20)-6(p-20)=0
(p-20)(p-6)=0
$\begin{array}{l|l}p-20=0&p-6=0\\p=20&p=6\end{array}$
यदि एक A.P का m वाँ पद $\frac{1}{n}$ हो और n वाँ पद $\frac{1}{m}$ हो तो साबित कीजिए कि mn पदो का योगफल $\frac{mn+1}{2}$ है।
Sol :
$a_m=\frac{1}{n}$ , $a_n=\frac{1}{m}$
$\begin{aligned}a+(m-1)d=&\frac{1}{n}..(i)\\a+(n-1)d=&\frac{1}{m}..(ii)\\\phantom{a}-\phantom{(n-1)d}&-\phantom{\frac{1}{m}}\\ \hline (m-1)d-(n-1)d=&\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\end{aligned}$
$(m-1-n+1)d=\frac{m-n}{nm}$
$(m-n)d=\frac{m-n}{nm}$
$d=\frac{1}{mn}$
d का मान समीकरण (i) मे रखने पर,
$a+(m-1)d=\frac{1}{n}$
$a+(m-1)\frac{1}{mn}=\frac{1}{n}$
$a+\frac{1}{n}-\frac{1}{mn}=\frac{1}{n}$
$a=\frac{1}{mn}$
$S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$
$S_{mn}=\frac{mn}{2}[2\times \frac{1}{mn}+(mn-1)\frac{1}{mn}]$
$=\frac{mn}{2}\left[\frac{2}{mn}+1-\frac{1}{mn}\right]$
$=\frac{mn}{2}\left[\frac{1}{mn}+1\right]$
$=\frac{mn}{2}\left[\frac{1+mn}{mn}\right]$
$=\frac{mn+1}{2}$
यदि एक A.P के m पदो का योगफल n हो और इसके n पदो का योगफल m हो तो दिखलाइए कि (m+n) पदो का योगफल -(m+n) है।
Sol :
$S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$
Sm=n , Sn=m
$\frac{m}{2}[2a+(m-1)d]=n$
$2a+(m-1)d=\frac{2n}{m}$..(i)
Sn=m
$\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]=m$
$2a+(n-1)d=\frac{2m}{n}$..(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) से,
$\begin{aligned}2a+(m-1)d=&\frac{2n}{m}\\2a+(n-1)d=&\frac{2m}{n}\\\phantom{2a}-\phantom{(n-1)d}&-\phantom{\frac{2m}{n}}\\ \hline (m-1)d-(n-1)d=&\frac{2n}{m}-\frac{2m}{n} \end{aligned}$
$(m-1-n+1)d=\frac{2n^2-2m^2}{mn}$
$(m-n)d=\frac{-2(m^2-n^2)}{mn}$
$(m-n)d=\frac{-2(m-n)(m+n)}{mn}$
$d=\frac{-2(m+n)}{mn}$
$d=-2\left(\frac{m}{mn}+\frac{n}{mn}\right)$
$d=-\frac{2}{n}-\frac{2}{m}$
d का मान समीकरण (i) मे रखने पर,
$2a+(m-1)d=\frac{2n}{m}$
$2a+(m-1)\left(-\frac{2}{n}-\frac{2}{m}\right)=\frac{2n}{m}$
$2a\left[a+(m-1)\left[-\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\right]\right]=\frac{2n}{m}$
$a-\frac{m}{n}-1+\frac{1}{n}+\frac{1}{m}=\frac{n}{m}$
$a=\frac{n}{m}+\frac{m}{n}-\frac{1}{n}-\frac{1}{m}+1$
$=\frac{m+n}{2} \left[2\times \left(\frac{n}{m}+\frac{m}{n}-\frac{1}{n}-\frac{1}{m}+1\right)+(m+n-1) \left(\frac{-2}{n}-\frac{2}{m}\right)\right]$
$S_{m+n}=\frac{m+n}{2}\left[2\left(\frac{n}{m}+\frac{m}{n}-\frac{1}{n}-\frac{1}{m}+1\right)+(m+n-1) \left(-\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\right)\right]$
$=(m+n) \left[\frac{n}{m}+\frac{m}{n}-\frac{1}{n}-\frac{1}{m}+1-\frac{m}{n}-1-1-\frac{n}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\right]$
=(m+n)(-1)=-(m+n)
किसी A.P के n, 2n तथा 3n पदो का जोड़ क्रमशः S1,S2 और S3 हो तो दिखालाइए कि S3 =3(S2-S1)
Sol :
Sn=S1 ,S2n=S2 ,S3n=S3
R.H.S
3(S2-S1)
=3[S2n-Sn]
$=3\left[\frac{2n}{2}\left\{2a+(2n-1)d\right\}-\frac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\}\right]$
$=\frac{3n}{2}\left[2{2a+(2n-1)d}\right]-{2a+(n-1)d}$
$=\frac{3n}{2}\left[4a+(4n-2)d-2a-(n-1)d\right]$
$=\frac{3n}{2}\left[2a+(4n-2-n+1)d\right]$
$=\frac{3n}{2}\left[2a+(3n-1)d\right]=S_{3n}=S_3$
यदि किसी A.P के (2n+1) पदो का जोड़ S हो और प्रथम पद से प्रारम्म कर क्रमान्तर (alternate) पदो का जोड़ S1 हो तो दिखलाइए कि $\frac{S}{S_1}=\frac{2n+1}{n+1}$
Sol :
A.P: a,a+d,a+2d,a+3d....a2n+1
S=S2n+1$=\frac{2n+1}{2}\left[2a+(2n+1-1)d\right]$
$S=\frac{2n+1}{2}[2a+2nd]$..(i)
$S_1=\frac{n+1}{2}[2a+(n+1-1)2d]$
$S_1=\frac{n+1}{2}[2a+2nd]$..(ii)
समीकरण (i) मे (ii) से भाग देने पर,
$\frac{S}{S_1}=\dfrac{\frac{2n+1}{2}[2a+2nd]}{\frac{n+1}{2}[2a+2nd]}$
$=\frac{2n+1}{n+1}$
यदि किसी A.P के प्रथम तृतीय तथा n वे पद क्रमशः a,b,c हो तो साबित कीजिए कि n पदो का योग हैः $\frac{c+a}{2}+\frac{c^2-a^2}{b-a}$
Sol :
प्रथम पद=a , a3=b, an=c
$\begin{array}{l|l}a_3=b&a_n=c\\a+2d=b&a+(n-1)d=c\\2d=b-a&a+(n-1)\left(\frac{b-a}{2}\right)=c\\d=\frac{b-a}{2}&(n-1)\left(\frac{b-a}{2}\right)=c-a\\&n-1=\frac{2(c-a)}{b-a}\\&n=\frac{2(c-a)}{b-a}+1\end{array}$
$S_n=\frac{n}{2}\left[a+a_n\right]$
$=\dfrac{\left\{\frac{2(c-a)}{b-a}+1\right\}[a+c]}{2}$
$=\left[\frac{c-a}{b-a}+\frac{1}{2}\right](c+a)$
$S_n=\frac{c^2-a^2}{b-a}+\frac{c+a}{2}$
$=\frac{c+a}{2}+\frac{c^2-a^2}{b-a}$
यदि किसी A.P का p वाँ पद x है और q वाँ पद y है तो दिखलाइए कि (p+q) पदो का जोड़ है:
[If the pth term of an A.P is x and q is term is y. Show that the sum of (p+q)terms is
$\frac{p+q}{2}\left\{x+y+\frac{x-y}{p-q}\right\}$]
Sol :
ap=x , aq=y
$\begin{aligned}a+(p-1)d=&x..(i)\\a+(q-1)d=&y..(ii)\\-\phantom{a}-\phantom{(q-1)d}&-\phantom{y} \\\hline (p-1)d-(q-1)d=&x-y\end{aligned}$
(p-1-q+1)d=x-y
$d=\frac{x-y}{p-q}$
d का मान समीकरण (i) मे रखने पर,
a+(p-1)d=x
$a+(p-1)\left(\frac{x-y}{p-q}\right)=x$
$a=x-\frac{(p-1)(x-y)}{p-q}$
$S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$
$S_{p+q}=\frac{p+q}{2}\left[2\left\{x-\frac{(p-1)(x-y)}{p-q}\right\}+(p+q-1)\frac{(x-y)}{p-q}\right]$
$=\frac{p+q}{2}\left[2x-\frac{2(p-1)(x-y)}{p-q}+\frac{(p-1)(x-y)}{p-q}+\frac{q(x-y)}{p-q}\right]$
$=\frac{p+q}{2}\left[2x-\frac{(p-1)(x-y)}{p-q}+\frac{q(x-y)}{p-q}\right]$
$S-{p+q}=\frac{p+q}{2}\left[2x-(p-1-q)\left(\frac{x-y}{p-q}\right)\right]$
$=\frac{p+q}{2}\left[2x-{(p-q)-1}\left(\frac{x-y}{p-q}\right)\right]$
$=\frac{p-q}{2}\left[2x-(x-y)+\frac{x-y}{p-q}\right]$
$=\frac{p+q}{2}\left[2x-x+y+\frac{x-y}{p-q}\right]$
$S_{p+q}=\frac{p+q}{2}\left[x+y+\frac{x-y}{p-q}\right]$
(i) दो A.P के n पदो का जोड़ (3n+8):(7n+15) के अनुपात मे है तो उनके 12 वे पदो का अनुपात ज्ञात कीजिए ।
Sol :
$\frac{S_n}{S_n}=\frac{3n+8}{7n+15}$
$\dfrac{\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]}{\frac{n}{2}[2A+(n-1)D]}=\frac{3n+8}{7n+15}$
n=23 पर,
$\frac{2a+(23-1)d}{2A+(23-1)D}=\frac{3(23)+8}{7(23)+15}$
$\frac{2a+22d}{2A+22D}=\frac{69+8}{161+15}$
$\frac{2(a+11d)}{2(A+11D)}=\frac{77}{176}$
$\frac{a_{12}}{A_{12}}=\frac{7}{16}$
=7:16
यदि किसी A.P के m पदो का योगफल तथा n पदो के योगफल का अनुपात m2:n2 हो तो साबित कीजिए कि इसके m वाँ पदो का अनुपात (2m-1):(2n-1) है।
Sol :
$\frac{S_m}{S_n}=\frac{m^2}{n^2}$
$\dfrac{\frac{m}{2}[2a+(m-1)d]}{\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]}=\frac{m^2}{n^2}$
$\frac{2a+(m-1)d}{2a+(n-1)d}=\frac{m^2}{n^2}\times \frac{n}{m}$
m के जगह 2m-1 तथा n के जगह 2n-1 रखने पर,
$\frac{2a+(2m-1-1)d}{2a+(2n-1-1)d}=\frac{2m-1}{2n-1}$
$\frac{2a+(2m-2)d}{2a+(2n-2)d}=\frac{2m-1}{2n-1}$
$\frac{2[a+(m-1)d]}{2[a+(n-1)d]}=\frac{2m-1}{2n-1}$
$\frac{a_m}{a_n}=(2m-1):(2n-1)$
एक व्यक्ति 700 प्रति माह वेतन पर नियुक्त किया गया। नियुक्ति की शर्ते थी कि दूसरे वर्ष उसे 740 प्रति माह, तीसरे वर्ष 780 प्रति माह और इसी तरह वेतन वृद्धि होगी। ज्ञात कीजिए कि 10 वर्ष के अन्त तक उसे कुल कितना वेतन मिलगा।
Sol :
प्रथम 10 वर्षो का वेतनः
8400,8880,9360...10 वर्षो तक
a=8400 ,
d=a2-a1
=8880-8400
d=480
n=10
10 वर्षो तक कुल वेतन $S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$
$=\frac{10}{2}[2\times 8400 +(10-1)480]$
=5[16800+4320]
=5×21120
=105600
किसी बहुभुज के अन्तः कोण A.P मे है। यदि न्यूनतम कोण 75° हो तथा पदांतर 10° हो तो भुजाओ की संख्या ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना बहुभुज मे n भुजाएँ है।
न्यूनतम कोण , a=75° ,d=10°
$S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$
$=\frac{n}{2}[2\times 75 +(n-1)10]$
$=\frac{n}{2}[150 +10n-10]$
$=\frac{n}{2}[10n+140]$
Sn=5n2+70n
∵n भुजाओ वाले बहुभुज के अंतः कोणो का योग
=(n-2)×180°
∴5n2+70n=(n-2)×180°
5(n2+14n)=(n-2)×180°
n2+14n$=\frac{(n-2)\times 180}{5}$
n2+14n=36n-72
n2+14n-36n+72=0
n2+22n+72=0
n2-18n-4n+72=0
n(n-18)-4(n-18)=0
(n-18)(n-4)=0
$\begin{array}{l|l}n-18=0&n-4=0\\n=18&n=4\end{array}$
a18=a+17d
=75+17(10)
=75+170=245
बहुभुज का प्रत्येक अंता कोण 180° से छोटा होना चाहिए।
∴भुजाओ की संख्या=4
10 प्रश्नो की जाँत परिक्षा मे किसी विद्यार्थी को कहा जाता है कि बाद के प्रश्न का अंक ठीक पहले के प्रश्न के अंक से 2 अधिक है। यदि जाँच परीक्षा के प्रश्न का तीसरा प्रश्न 5 अंक का हो तो वह विद्यार्थी 8 प्रश्नो को हल कर अधिक से अधिक कितना अंक प्राप्त कर सकेगा।
Sol :
तीसरे प्रश्न से शुरू करने पर प्रश्नो के प्राण्तांक
5+7+9+....8 प्रश्नो तक
a=5 ,
d=a2-a1
=7-5=2
n=8
-3(n2-11n+10=0)
n2-11n+10=0
n2-10n-n+10=0
n(n-10)-1(n-10)=0
$\begin{array}{l|l}n-10=0&n-1=0\\n=10&n=1\end{array}$
श्रेणी: 15+12+9+...
द्वितीय पदो से शुरू करने पर 9 पदो का योग =0
n=1 ,10
Question 4
Sol :
2+5+8+11+...n पदो तक≥200
a=2 ,
d=a2-a1
=3
$S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$
$\frac{n}{2}\left[2\times 2+(n-1)3\right]$≥200
n(3n+1)≥400
3n2+n-400≥0
$\begin{array}{l|l}n\leq \frac{-1-\sqrt{1^2-4\times 3\times 400}}{2\times 3}&n\geq \frac{-1-\sqrt{1^2-4\times 3\times (-400)}}{2\times 3}\\n\leq \frac{-1-\sqrt{4801}}{6}&n\geq \frac{-1+\sqrt{4801}}{6}\\n\leq \frac{-1-69.3}{6}&n\geq \frac{-1+69.3}{6}\\n\leq \frac{-70.3}{6}&n\geq \frac{68.3}{6}\\n\leq -11.7&n\geq 11.3\end{array}$
n का मान धनात्मक होगा।
∴n=12
Question 5
[Find the sum of all odd numbers lying between 100 and 200]
Sol :
100 और 200 के बीच मे स्थित विषम संख्याँएः
101,103,105,....199
माना विषम संख्याओ की संख्या n है।
a=101,
d=a2-a1
=103-101=2
an=199
a+(n-1)d=199
101+(n-1)2=1999
(n-1)2=199-101
$(n-1)=\frac{98}{2}$
n=50
$S_n=\frac{n}{2}\left[a+a^n\right]$
$=\frac{50}{2}\left[101+199\right]$
=25×300
=7500
Question 6
[Find the sum of all integers of 3 digits which are divisible by 7]
Sol :
7 से विभाज्य 3 अंकीय संख्या
105,112,119....994
माना 7 से विभाज्य 3 अंकीय संख्याओ की संख्या n है।
a=105,
d=a2-a1
=112-105d=7
an=994
a+(n-1)d=994
105+(n-1)7=994
(n-1)7=994-105
(n-1)7=889
$n-1=\frac{889}{7}$
n=127+1
n=128
$S_n=\frac{n}{2}\left[a+a_n\right]$
$S_n=\frac{128}{2}\left[105+994\right]$
=64×1099
=70336
Question 7
Sol :
1 और 100 के बीच मे 2 या 5 से विभाज्य संख्याँए:
(2+4+6+....100)+(5+10+15+....+100)-(10+20+30+...100)
CASE-I
2 से विभाज्य संख्याँए
2+4+6+....+100
माना 2 से विभाज्य उपर दिए गए अनुक्रम मे n संख्याँए है।
a=2 ,
d=a2-a1
=4-2=2an=100
a+(n-1)d=100
2+(n-1)2=100
(n-1)2=98
$n-1=\frac{98}{2}$
n=50
$S_n=\frac{n}{2}\left[a+a_n\right]$
$S_n=\frac{50}{2}\left[2+100\right]$
=25×102
=2550
CASE-II
5 से विभाज्य संख्याँए:
5+10+15+...100
माना दिए गए अनुक्रम मे n संख्याँए है।
a=5 ,
d=10-5
=5
an=100
a+(n-1)d=100
5+(n-1)5=100
(n-1)5=95
$n-1=\frac{95}{5}$
n=20
$S_n=\frac{20}{2}\left[5+100\right]$
=10×105
=1050
CASE-III
2 तथा 5 से विभाज्य संख्याँएः
10+20+30+....100
a=10, an=100 , n=10
$S_n=\frac{10}{2}\left[10+100\right]$
=5×110
=550∴1 से 100 बीच 2 या 5 से विभाज्य संख्याओ का योग
=2550+1050-550
=3050
Question 8
Sol :
Question 10
[Find the maximum sum of the A.P 30,27,24,21,18,...]
Sol :
A.P: 30,27,24,21,18,...
माना A.P का n वाँ पद शून्य से बड़ा है।
a=30 ,
d=27-30=-3
an>0
a+(n-1)d>0
30+(n-1)(-3)>0
(n-1)(-3)>-30
$\frac{(n-1)(-3)}{-3}<\frac{-30}{-3}$
n<10+1
n<11
∴n=10
$S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$
$S_n=\frac{10}{2}\left[2\times 30+(10-1)(-3)\right]$
=5[60+9(-3)]
=5[60-27]
=5×33
=165
Question 11
Sol :
$S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$
S8=64 ,S19=64
$\frac{8}{2}\left[2a+(8-1)d\right]=64$
$2a+7d=\frac{64}{4}$
2a+7d=16..(i)
$\frac{19}{2}\left[2a+(19-1)d\right]=361$
$\frac{19}{2}\left[2a+18d\right]=361$
$\frac{19}{2}\times 2 \left[a+9d\right]=361$
$a+9d=\frac{361}{19}$
a+9d=19..(i)×2
समीकरण (i) तथा (ii) से,
$\begin{aligned}2a+7d=&16\\2a+18d=&38\\\phantom{2a}-\phantom{18d}&-\phantom{38}\\ \hline -11d=-22\end{aligned}$
$d=\frac{22}{11}=2$
d का मान समीकरण (ii) मे रखने पर,
a+9d=19
a+9(2)=19
a+18=19
a=1
$S_n=\frac{n}{2}\left[2\times 1+(n-1)2\right]$
$S_n=\frac{n}{2}\left[2+2n-2\right]$
$=\frac{n}{2}\times 2n=n^2$
Question 12
Sol :
$S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$
$S_4=\frac{1}{2}S_{10}$
$\frac{4}{2}\left[2a+(4-1)d\right]=\frac{1}{2}\times \frac{10}{2}\left[2a+(10-1)d\right]$
4[2a+3d]=5[2a+9d]
8a+12d=10a+45d
12d-45d=10a-8a
-33d=2a..(i)
अब,
$S_4=\frac{1}{2}S_{4+p}$
$\frac{4}{2}\left[2a+(4-1)d\right]=\frac{1}{2}\times \frac{4+p}{2}\left[2a+(4+p-1)d\right]$
$4[-33d+3d]=\frac{4+p}{2}\left[-33d+3d+pd\right]$
$4(-30d)=\frac{4+p}{2}[-30d+pd]$
$-120d=\frac{4+p}{2}(-30+p)d$
-240=-120+4p-30p+p2
0=240-120-26p+p2
0=p2-26p+120
या p2-26p+120=0
p2-20p-6p+120=0
p(p-20)-6(p-20)=0
(p-20)(p-6)=0
$\begin{array}{l|l}p-20=0&p-6=0\\p=20&p=6\end{array}$
Question 13
Sol :
$a_m=\frac{1}{n}$ , $a_n=\frac{1}{m}$
$\begin{aligned}a+(m-1)d=&\frac{1}{n}..(i)\\a+(n-1)d=&\frac{1}{m}..(ii)\\\phantom{a}-\phantom{(n-1)d}&-\phantom{\frac{1}{m}}\\ \hline (m-1)d-(n-1)d=&\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\end{aligned}$
$(m-1-n+1)d=\frac{m-n}{nm}$
$(m-n)d=\frac{m-n}{nm}$
$d=\frac{1}{mn}$
d का मान समीकरण (i) मे रखने पर,
$a+(m-1)d=\frac{1}{n}$
$a+(m-1)\frac{1}{mn}=\frac{1}{n}$
$a+\frac{1}{n}-\frac{1}{mn}=\frac{1}{n}$
$a=\frac{1}{mn}$
$S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$
$S_{mn}=\frac{mn}{2}[2\times \frac{1}{mn}+(mn-1)\frac{1}{mn}]$
$=\frac{mn}{2}\left[\frac{2}{mn}+1-\frac{1}{mn}\right]$
$=\frac{mn}{2}\left[\frac{1}{mn}+1\right]$
$=\frac{mn}{2}\left[\frac{1+mn}{mn}\right]$
$=\frac{mn+1}{2}$
Question 14
Sol :
$S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$
Sm=n , Sn=m
$\frac{m}{2}[2a+(m-1)d]=n$
$2a+(m-1)d=\frac{2n}{m}$..(i)
Sn=m
$\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]=m$
$2a+(n-1)d=\frac{2m}{n}$..(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) से,
$\begin{aligned}2a+(m-1)d=&\frac{2n}{m}\\2a+(n-1)d=&\frac{2m}{n}\\\phantom{2a}-\phantom{(n-1)d}&-\phantom{\frac{2m}{n}}\\ \hline (m-1)d-(n-1)d=&\frac{2n}{m}-\frac{2m}{n} \end{aligned}$
$(m-1-n+1)d=\frac{2n^2-2m^2}{mn}$
$(m-n)d=\frac{-2(m^2-n^2)}{mn}$
$(m-n)d=\frac{-2(m-n)(m+n)}{mn}$
$d=\frac{-2(m+n)}{mn}$
$d=-2\left(\frac{m}{mn}+\frac{n}{mn}\right)$
$d=-\frac{2}{n}-\frac{2}{m}$
d का मान समीकरण (i) मे रखने पर,
$2a+(m-1)d=\frac{2n}{m}$
$2a+(m-1)\left(-\frac{2}{n}-\frac{2}{m}\right)=\frac{2n}{m}$
$2a\left[a+(m-1)\left[-\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\right]\right]=\frac{2n}{m}$
$a-\frac{m}{n}-1+\frac{1}{n}+\frac{1}{m}=\frac{n}{m}$
$a=\frac{n}{m}+\frac{m}{n}-\frac{1}{n}-\frac{1}{m}+1$
$=\frac{m+n}{2} \left[2\times \left(\frac{n}{m}+\frac{m}{n}-\frac{1}{n}-\frac{1}{m}+1\right)+(m+n-1) \left(\frac{-2}{n}-\frac{2}{m}\right)\right]$
$S_{m+n}=\frac{m+n}{2}\left[2\left(\frac{n}{m}+\frac{m}{n}-\frac{1}{n}-\frac{1}{m}+1\right)+(m+n-1) \left(-\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\right)\right]$
$=(m+n) \left[\frac{n}{m}+\frac{m}{n}-\frac{1}{n}-\frac{1}{m}+1-\frac{m}{n}-1-1-\frac{n}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\right]$
=(m+n)(-1)=-(m+n)
Question 15
Sol :
Sn=S1 ,S2n=S2 ,S3n=S3
R.H.S
3(S2-S1)
=3[S2n-Sn]
$=3\left[\frac{2n}{2}\left\{2a+(2n-1)d\right\}-\frac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\}\right]$
$=\frac{3n}{2}\left[2{2a+(2n-1)d}\right]-{2a+(n-1)d}$
$=\frac{3n}{2}\left[4a+(4n-2)d-2a-(n-1)d\right]$
$=\frac{3n}{2}\left[2a+(4n-2-n+1)d\right]$
$=\frac{3n}{2}\left[2a+(3n-1)d\right]=S_{3n}=S_3$
Question 16
Sol :
A.P: a,a+d,a+2d,a+3d....a2n+1
S=S2n+1$=\frac{2n+1}{2}\left[2a+(2n+1-1)d\right]$
$S=\frac{2n+1}{2}[2a+2nd]$..(i)
$S_1=\frac{n+1}{2}[2a+(n+1-1)2d]$
$S_1=\frac{n+1}{2}[2a+2nd]$..(ii)
समीकरण (i) मे (ii) से भाग देने पर,
$\frac{S}{S_1}=\dfrac{\frac{2n+1}{2}[2a+2nd]}{\frac{n+1}{2}[2a+2nd]}$
$=\frac{2n+1}{n+1}$
Question 17
Sol :
प्रथम पद=a , a3=b, an=c
$\begin{array}{l|l}a_3=b&a_n=c\\a+2d=b&a+(n-1)d=c\\2d=b-a&a+(n-1)\left(\frac{b-a}{2}\right)=c\\d=\frac{b-a}{2}&(n-1)\left(\frac{b-a}{2}\right)=c-a\\&n-1=\frac{2(c-a)}{b-a}\\&n=\frac{2(c-a)}{b-a}+1\end{array}$
$S_n=\frac{n}{2}\left[a+a_n\right]$
$=\dfrac{\left\{\frac{2(c-a)}{b-a}+1\right\}[a+c]}{2}$
$=\left[\frac{c-a}{b-a}+\frac{1}{2}\right](c+a)$
$S_n=\frac{c^2-a^2}{b-a}+\frac{c+a}{2}$
$=\frac{c+a}{2}+\frac{c^2-a^2}{b-a}$
Question 18
[If the pth term of an A.P is x and q is term is y. Show that the sum of (p+q)terms is
$\frac{p+q}{2}\left\{x+y+\frac{x-y}{p-q}\right\}$]
Sol :
ap=x , aq=y
$\begin{aligned}a+(p-1)d=&x..(i)\\a+(q-1)d=&y..(ii)\\-\phantom{a}-\phantom{(q-1)d}&-\phantom{y} \\\hline (p-1)d-(q-1)d=&x-y\end{aligned}$
(p-1-q+1)d=x-y
$d=\frac{x-y}{p-q}$
d का मान समीकरण (i) मे रखने पर,
a+(p-1)d=x
$a+(p-1)\left(\frac{x-y}{p-q}\right)=x$
$a=x-\frac{(p-1)(x-y)}{p-q}$
$S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$
$S_{p+q}=\frac{p+q}{2}\left[2\left\{x-\frac{(p-1)(x-y)}{p-q}\right\}+(p+q-1)\frac{(x-y)}{p-q}\right]$
$=\frac{p+q}{2}\left[2x-\frac{2(p-1)(x-y)}{p-q}+\frac{(p-1)(x-y)}{p-q}+\frac{q(x-y)}{p-q}\right]$
$=\frac{p+q}{2}\left[2x-\frac{(p-1)(x-y)}{p-q}+\frac{q(x-y)}{p-q}\right]$
$S-{p+q}=\frac{p+q}{2}\left[2x-(p-1-q)\left(\frac{x-y}{p-q}\right)\right]$
$=\frac{p+q}{2}\left[2x-{(p-q)-1}\left(\frac{x-y}{p-q}\right)\right]$
$=\frac{p-q}{2}\left[2x-(x-y)+\frac{x-y}{p-q}\right]$
$=\frac{p+q}{2}\left[2x-x+y+\frac{x-y}{p-q}\right]$
$S_{p+q}=\frac{p+q}{2}\left[x+y+\frac{x-y}{p-q}\right]$
Question 19
Sol :
$\frac{S_n}{S_n}=\frac{3n+8}{7n+15}$
$\dfrac{\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]}{\frac{n}{2}[2A+(n-1)D]}=\frac{3n+8}{7n+15}$
n=23 पर,
$\frac{2a+(23-1)d}{2A+(23-1)D}=\frac{3(23)+8}{7(23)+15}$
$\frac{2a+22d}{2A+22D}=\frac{69+8}{161+15}$
$\frac{2(a+11d)}{2(A+11D)}=\frac{77}{176}$
$\frac{a_{12}}{A_{12}}=\frac{7}{16}$
=7:16
Question 20
Sol :
$\frac{S_m}{S_n}=\frac{m^2}{n^2}$
$\dfrac{\frac{m}{2}[2a+(m-1)d]}{\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]}=\frac{m^2}{n^2}$
$\frac{2a+(m-1)d}{2a+(n-1)d}=\frac{m^2}{n^2}\times \frac{n}{m}$
m के जगह 2m-1 तथा n के जगह 2n-1 रखने पर,
$\frac{2a+(2m-1-1)d}{2a+(2n-1-1)d}=\frac{2m-1}{2n-1}$
$\frac{2a+(2m-2)d}{2a+(2n-2)d}=\frac{2m-1}{2n-1}$
$\frac{2[a+(m-1)d]}{2[a+(n-1)d]}=\frac{2m-1}{2n-1}$
$\frac{a_m}{a_n}=(2m-1):(2n-1)$
Question 21
Sol :
प्रथम 10 वर्षो का वेतनः
8400,8880,9360...10 वर्षो तक
a=8400 ,
d=a2-a1
=8880-8400
d=480
n=10
10 वर्षो तक कुल वेतन $S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$
$=\frac{10}{2}[2\times 8400 +(10-1)480]$
=5[16800+4320]
=5×21120
=105600
Question 22
Sol :
माना बहुभुज मे n भुजाएँ है।
न्यूनतम कोण , a=75° ,d=10°
$S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$
$=\frac{n}{2}[2\times 75 +(n-1)10]$
$=\frac{n}{2}[150 +10n-10]$
$=\frac{n}{2}[10n+140]$
Sn=5n2+70n
∵n भुजाओ वाले बहुभुज के अंतः कोणो का योग
=(n-2)×180°
∴5n2+70n=(n-2)×180°
5(n2+14n)=(n-2)×180°
n2+14n$=\frac{(n-2)\times 180}{5}$
n2+14n=36n-72
n2+14n-36n+72=0
n2+22n+72=0
n2-18n-4n+72=0
n(n-18)-4(n-18)=0
(n-18)(n-4)=0
$\begin{array}{l|l}n-18=0&n-4=0\\n=18&n=4\end{array}$
a18=a+17d
=75+17(10)
=75+170=245
बहुभुज का प्रत्येक अंता कोण 180° से छोटा होना चाहिए।
∴भुजाओ की संख्या=4
Question 23
Sol :
तीसरे प्रश्न से शुरू करने पर प्रश्नो के प्राण्तांक
5+7+9+....8 प्रश्नो तक
a=5 ,
d=a2-a1
=7-5=2
n=8
$S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$
$S_n=\frac{8}{2}[2\times 5 +(8-1)2]$
=4[10+14]
=4×24=96
$S_n=\frac{8}{2}[2\times 5 +(8-1)2]$
=4[10+14]
=4×24=96
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