Exercise-18.3
TYPE-I ढाल अन्तः खण्ड रुप मे सरल रेखा के समीकरण पर आधारित प्रश्नः
Question 1
उस सरल रेखा का समीकरण निकाले जिसकी ढाल 3 तथा y-अन्तः खण्ड -2 है।[Find the equation of the line with slope 3 and y intercept -2]
Sol :
सरल रेखा का समीकरण जिसका ढाल m=3 तथा y-अक्ष पर अन्तः खण्ड , c=-2
y=mx+c
y=3x-2
0=3x-y-2
3x-y-2=0
Question 2
(i) उस सरल रेखा का समीकरण निकाले जो y-अक्ष पर अन्तः खण्ड 7 काटता है तथा जिसका ढाल 3 है ।(ii) उस सरल रेखा का समीकरण निकाले जो x-अक्ष से 75° कोण बनाती है तथा y-अक्ष की धनात्मक दिशा से 3 इकाई लम्बाई का अन्तः खण्ड काटती है ।
Sol :
माना रेखा ⟂ x-अक्ष से 75 का कोण बनाती है तथा वह बिंदु (0,3) से गुजरती है ।
c=3 , m=tan75°
m=tan(45°+30°)
$m=\frac{\tan 45^{\circ}+\yan 30^{\degree}}{1-\tan 45^{\circ}\tan 30^{\circ}}$
$m=\frac{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-1\frac{1}{\sqrt{3}}$
$=\dfrac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}$
$=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$
$m=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}$
$=\frac{3+\sqrt{3}+\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3})^2-1^2}$
$=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}$
$=\frac{2(2+\sqrt{3})}{2}$
=2+√3
∴सरल रेखा का समीकरण
y=(2+√3)x+3
Question 3
उन रेखाओ के समीकरण निकाले जो अक्षो से बराबर झुकी है तथा y-अक्ष से 4 अन्तःखण्ड काटती है ।[Find the equation of the straight lines which cut off an intercept 4 from the y-axis and are equally inclined to the axes]
Sol :
m=tan 135°
=tan (180°-45°)
=-1=-tan 45°
y=-1x+4
x+y-4=0
m=tan 45°=1
y=1x+4
0=x-y+4
Question 4
उस सरल रेखा का समीकरण निकाले जो x-अक्ष की धनात्मक दिशा से 2 लम्बाई का अन्तःखण्ड काटती है तथा y-अक्ष की धनात्मक दिशा से 135° का कोण बनाती है ।[Find the equation of the line which intercepts a length 2 on the positive direction of the x-axis and is inclined at 135° with the positive direction of y-axis]
Sol :
माना रेखा l,x-अक्ष पर बिन्दु (2,0) से गुजरती है ,जो y-अक्ष के धनात्मक दिशा मे 135° का कोण बनाती है ।
m=tan135°
=tan(180°-45°)
=-tan45°-1
रेखा का समीकरण
y=-1(x-2)
y=-x+2
x+y-2=0
Question 5
(i) उस सरल रेखा का समीकरण निकाले जो x-अक्ष पर अन्तःखण्ड 4 काटती है और जिसकी ढाल 2 है ।[Find the equation of a line which cuts off an intercept 4 on the x-axis and has the slope 2]
(ii) उन रेखाओ के समीकरण निकाले , जिसके लिए $\tan \theta =\frac{1}{2}$ , जहाँ θ रेखा का झुकाव है तथा
(a) y-अन्तःखण्ड $-\frac{3}{2}$ है ।
(b) x-अन्तःखण्ड 4 है ।
[Find the equation of the lines for which $\tan \theta =\frac{1}{2}$ , where θ is the inclination of the line and
(i) y-intercept is $-\frac{3}{7}$
(ii) x-intercept is 4]
Sol :
Question 6
(i) मूल बिंदु से रेखा y=mx+c पर लम्ब इससे बिन्दु (-1,2) पर मिलती है । m तथा c के मान निकाले ।[The perpendicular from the origin to the line y=mx+c meets it at the point (-1,2) . Find the values of m and c]
Sol :
माना मूल बिंदु O(0,0) से रेखा AB पर खिचे गए लंब पाद के निर्देशांक (-1,2) है ।
C(-1,2) रेखा AB पर स्थित बिंदु है ।
2=m(-1)+c
2=-m+c..(i)
∵OC⟂AB
∴m(OC)×m(AB)=-1
$\left(\frac{2-0}{-1-0}\right) \times m =-1$
$\frac{2}{-1} \times m =-1$
$m=\frac{1}{2}$
समीकरण (i) से ,
-m+c=2
$-\frac{1}{2}+c=2$
$c=2+\frac{1}{2}$
$c=\frac{5}{2}$
(ii) बिन्दुओ (h,3) तथा (4,1) से गुजरती हुई रेखा 7x-9y-19=0 को लम्बवत प्रतिच्छेद करती है । h का मान निकाले ।
[The line through the points(h,3) and (4,1) intersects the line 7x-9y-19=0 at right angle. Find the value of h]
Sol :
C(-1,2) रेखा AB पर स्थित बिंदु है ।
2=m(-1)+c
2=-m+c..(i)
∵OC⟂AB
∴m(OC)×m(AB)=-1
$\left(\frac{2-0}{-1-0}\right) \times m =-1$
$\frac{2}{-1} \times m =-1$
$m=\frac{1}{2}$
समीकरण (i) से ,
-m+c=2
$-\frac{1}{2}+c=2$
$c=2+\frac{1}{2}$
$c=\frac{5}{2}$
(ii) बिन्दुओ (h,3) तथा (4,1) से गुजरती हुई रेखा 7x-9y-19=0 को लम्बवत प्रतिच्छेद करती है । h का मान निकाले ।
[The line through the points(h,3) and (4,1) intersects the line 7x-9y-19=0 at right angle. Find the value of h]
Sol :
माना बिंदु A(h,3) तथा B(4,1) से गुजरते वाली रेखा AB , रेखा CD पर लंब है ।
रेखा AB का ढाल$=\frac{1-3}{4-h}=\frac{-2}{4-h}$
रेखा CD का समीकरण
7x-9y-19=0
7x-19=9y
$\frac{7}{9}x-\frac{19}{9}=y$
रेखा CD का ढाल $=\frac{7}{9}$
∴m(AB)×m(CD)=-1
$\frac{-2}{4-h} \times \frac{7}{9}=-1$
$\frac{14}{36-9h}=1$
14=36-9b
9h=36-14
9h=22
$h=\frac{22}{9}$
(iii) k के मान ज्ञात कीजिए जबकि रेखा (k-3)x-(4-k2)y+k2-7k+6=0
(a) x-अक्ष के समांतर है ।
(b) y-अक्ष के समांतर है ।
(c) मूल बिंदु से जाती है ।
Sol :
(k-3)x-(4-k2)y+k2-7k+6=0
(k-3)x+k2-7k+6=(4-k2)y
$\frac{k-3}{4-k^2}x+\frac{k^2-7k+6}{4-k^2}=y$
(a) ढाल $m=\frac{k-3}{4-k^2}$
$c=\frac{k^2-7k+6}{4-k^2}$
x-अक्ष के समान्तर रेखा का ढाल =0
$\frac{k-3}{4-k^2}=0$
k-3=0
k=3
(b) y-अक्ष के समान्तर रेखा का ढाल$=\frac{1}{0}$
$\frac{k-3}{4-k^2}=\frac{1}{0}$
4-k2=0
-k2=-4
k=±√4
k=±2
(c) मूल बिंदु से जाती रेखा का अंतः खण्ड , c=0
$\frac{k^2-7k+6}{4-k^2}=0$
k2-7k+6=0
k2-6k-k+6=0
k(k-6)-1(k-6)=0
(k-6)(k-1)=0
$\begin{array}{l|l}k-6=0&k-1=0\\k=6&k=1\end{array}$
[Find the equation of a line through the origin which makes an angle of 45° with the positive direction of x-axis]
Sol :
रेखा का ढाल , m=tan45°=1
मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण
y=mx
y=1.x
y=x
0=x-y
x-y=0
(ii) बिन्दु (-2,3) से गुजरती हुई रेखा का समीकरण निकाले जिसकी ढाल -4 है ।
(iii) बिन्दु (0,0) से गुजरती हुई रेखा का समीकरण निकाले जिसकी ढाल m है ।
बिन्दु (-1,2) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण जिसकी ढाल 4 है ।
y-2=4(x+1)
y-2=4x+4
0=4x+4-y+2
4x-y+6=0
[Find the equation of the line intersecting x-axis at a distance of 3 units to the left of the origin and having slope -2]
Sol :
रेखा AB का ढाल$=\frac{1-3}{4-h}=\frac{-2}{4-h}$
रेखा CD का समीकरण
7x-9y-19=0
7x-19=9y
$\frac{7}{9}x-\frac{19}{9}=y$
रेखा CD का ढाल $=\frac{7}{9}$
∴m(AB)×m(CD)=-1
$\frac{-2}{4-h} \times \frac{7}{9}=-1$
$\frac{14}{36-9h}=1$
14=36-9b
9h=36-14
9h=22
$h=\frac{22}{9}$
(iii) k के मान ज्ञात कीजिए जबकि रेखा (k-3)x-(4-k2)y+k2-7k+6=0
(a) x-अक्ष के समांतर है ।
(b) y-अक्ष के समांतर है ।
(c) मूल बिंदु से जाती है ।
Sol :
(k-3)x-(4-k2)y+k2-7k+6=0
(k-3)x+k2-7k+6=(4-k2)y
$\frac{k-3}{4-k^2}x+\frac{k^2-7k+6}{4-k^2}=y$
(a) ढाल $m=\frac{k-3}{4-k^2}$
$c=\frac{k^2-7k+6}{4-k^2}$
x-अक्ष के समान्तर रेखा का ढाल =0
$\frac{k-3}{4-k^2}=0$
k-3=0
k=3
(b) y-अक्ष के समान्तर रेखा का ढाल$=\frac{1}{0}$
$\frac{k-3}{4-k^2}=\frac{1}{0}$
4-k2=0
-k2=-4
k=±√4
k=±2
(c) मूल बिंदु से जाती रेखा का अंतः खण्ड , c=0
$\frac{k^2-7k+6}{4-k^2}=0$
k2-7k+6=0
k2-6k-k+6=0
k(k-6)-1(k-6)=0
(k-6)(k-1)=0
$\begin{array}{l|l}k-6=0&k-1=0\\k=6&k=1\end{array}$
Question 7
मूल बिन्दु से गुजरती हुई एक रेखा का समीकरण निकाले जो x-अक्ष की धनात्मक दिशा से 45° का कोण बनाती है ।[Find the equation of a line through the origin which makes an angle of 45° with the positive direction of x-axis]
Sol :
रेखा का ढाल , m=tan45°=1
मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण
y=mx
y=1.x
y=x
0=x-y
x-y=0
Question 8
(i) बिन्दु (-1,2) से गुजरती हुई रेखा का समीकरण निकाले जिसकी ढाल 4 है ।(ii) बिन्दु (-2,3) से गुजरती हुई रेखा का समीकरण निकाले जिसकी ढाल -4 है ।
(iii) बिन्दु (0,0) से गुजरती हुई रेखा का समीकरण निकाले जिसकी ढाल m है ।
Sol :
बिन्दु (x,y) से गुजरने वाली रेखा समीकरण जिसकी ढाल m हो ,
y-y1=m(x-x1)
y-y1=m(x-x1)
बिन्दु (-1,2) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण जिसकी ढाल 4 है ।
y-2=4(x+1)
y-2=4x+4
0=4x+4-y+2
4x-y+6=0
Question 12
-2 ढाल वाली उस रेखा का समीकरण निकाले जो x-अक्ष का मूल बिंदु के बाई और 3 इकाई की दूरी पर प्रतिच्छेद करती है ।[Find the equation of the line intersecting x-axis at a distance of 3 units to the left of the origin and having slope -2]
Sol :
बिन्दु (-3,0) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण जिसका ढाल -2 है ।
y-0=-2(x+3)
y=-2x-6
2x+y+6=0
Question 15
अक्षो से बराबर हुई उन रेखाओ के समीकरण निकाले जो बिन्दु(1,2) से गुजरती है ।[Find the equation of the straight lines which pass through the point(1,2) and are equally inclined to the axes.]
Sol :
.यदि रेखा अक्षो पर बराबर झुकी हो तो x-अक्ष के धनात्मक दिशा मे कोण 45° या 35° होगा।
ढाल=tan45° or tan35°
=1 or -1
Question 16
बिन्दुओ (3,4) तथा (1,2) से जाती हुई रेखा की ढाल निकाले , साथ ही इसका समीकरण भी निकाले ।[Find the slope of the line passing through the points (3,4) and (1,2).Also , find its equation]
Sol :
बिन्दुओ (3,4) तथा (1,2) से जाते हुए रेखा का ढाल.
$m=\frac{2-4}{1-3}=\frac{-2}{-2}$
=1
रेखा का समीकरण , जो बिन्दु (3,4) से गुजरती है तथा जिसका ढाल 1 है ।
y-4=1(x-3)
y-4=x-3
0=x-3-y+4
0=x-y+1
Question 17
(-3,5) से होकर जानेवाली और बिन्दु(2,5) और (-3,6) से जाने वाली रेखा पर लम्ब रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ।[Find the equation of the line passing through (-3,5) and perpendicular to the line through the points (2,5) and (-3,6)]
Sol :
माना बिन्दु A(-3,5) से होकर जाने वाली रेखा AB , रेखा CD पर लंब है ।
m(AB)×m(CD)=-1
$m(AB)\times \left(\frac{6-5}{-3-2}\right)=-1$
$m(AB)\times \left(\frac{1}{-5}\right)=-1$
m(AB)=5
बिन्दु (-3,5) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण जिसका ढाल 5 है ।
y-5=5(x+3)
y-5=5x+15
0=5x-y+15+5
5x-y+20=0
Question 18
(i) बिन्दुओ A(1,0) तथा B(2,3) को मिलाने वाली रेखा के लम्ब अर्धक का समीकरण निकाले ।[Find the equation of the right bisector of the line segment joining the points A(0,1) and B(2,3)]
Sol :
माना रेखा CD , AB का लंब अर्धक हो
D का निर्देशांक$=\left(\frac{1+2}{2},\frac{0+3}{2}\right)$
$=\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$
m(CD)×m(AB)=1
$m(CD)\times \frac{3-0}{2-1}=-1$
$m(CD)\times \frac{3}{1}=-1$
$m(CD)=-\frac{1}{3}$
बिन्दु $\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण जिसका ढाल $=-\frac{1}{3}$ है ।
$y-\frac{3}{2}=-\frac{1}{3}\left(x-\frac{3}{2}\right)$
Question 19
मूल बिन्दु से किसी रेखा पर डाला गया लंब रेखा से बिन्दु (-2,9) पर मिलता है , रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ।[The perpendicular from the origin to a line meets it at the point (-2,9) find the equation of the line]
Sol :
माना मूल बिन्दु O(0,0) है खिचा गया लंब OC है जो रेखा AB पर लंब है ।
$m(OC)=\frac{9-0}{2-0}=\frac{9}{-2}$
OC⟂AB
m(OC)×m(AB)=-1
$\frac{9}{-2} \times m(AB)=-1$
$m(Ab)=\frac{2}{3}$
रेखा AB का समीकरण जो बिंदु (-2,3) से गुजरती है तथा जिसका ढाल $\frac{2}{9}$ है ।
$y-9=\frac{2}{9}\left(x+2\right)$
9y-81=2x+4
2x-9y+4+81=0
2x-9y+85=0
Question 20
एक रेखा (1,0) तथा (2,3) बिन्दुओ को मिलानेवाली रेखा खंड पर लंब है तथा उसको 1:n के अनुपात मे विभाजित करती है । रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ।[A line perpendicular to the segment joining the points (1,0) and (2,3) divides it in the ratio 1:n. Find the equation of the line]
Sol :
माना रेखा CD , रेखा AB 1:n मे विभाजीत करती है ।
CD⟂AB
C का निर्देशांक$=\left(\frac{1\times 2+n \times 1}{1+n},\frac{1\times 3 + n \times 0}{1+n}\right)$
$=\left(\frac{2+n}{1+n}, \frac{3}{1+n}\right)$
$m(AB)=\frac{3-0}{2-1}$
=3..(i)
CD⟂AB
m(AB)×m(CD)=-1
From (i)
$-(CD)=-\frac{1}{3}$
रेखा CD का समीकरण
$y-\frac{3}{1+n}=\frac{-1}{3}\left(x-\frac{2+1}{1+n}\right)$
$\frac{(1+n)y-3}{1+n}=\frac{-1}{3}\left(\frac{(1+n) \times x-2-n}{1+n}right)$
3(1+n)y-9=-(1+n)x+2+n
(1+n)x+3(1+n)y=n+11
Question 22
बिन्दुओ (2,3) तथा (5,-2) से जाती हुई रेखा का समीकरण निकाले ।[Find the equation of the line passing through the points (2,3) and (5,-2)]
Sol :
माना रेखा AB के बिन्दु A तथा B के नियामक (2,3) तथा (5,-2) है ।
रेखा का समीकरण
$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$
Question 24
उस रेखा का समीकरण निकाले जो निम्नलिखित दो बिन्दुओ से गुजरती है ।[Find the equation of the straight line which passes through the following two points]
(i) (a,b),(a+rcos𝛼,b+rsin𝛼)
Sol :
$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$
रेखा का समीकरण
$y-b=\frac{b+r\sin \alpha}{a+r\cos \alpha}(x-a)$
$y-b=\frac{r\sin \alpha}{r \cos \alpha}(x-a)$
ycos𝛼-bcos𝛼=xsin𝛼-asin𝛼
0=xsin𝛼-ycos𝛼+bcos𝛼-asin𝛼
Question 25
उस त्रिभुज की भुजाओ के समीकरण निकाले जिसके शीर्ष (2,1),(-2,3) तथा (4,5) है ।[Find the equation of the sides of the triangle whose vertices are (2,1),(-2,3) and (4,5)]
Sol :
Question 26
रेखा के समीकरण की संकल्पना का प्रयोग करते हुए साबित करे कि तीन बिन्दुएँ(3,0) ,(-2,-2) तथा (8,2) संरेख है ।[Using the concept of equation of a line , prove that the three points (3,0),(-2,-2) and (8,2) are collinear]
Sol :
माना A(3,0) ,B(-2,-2) and C(8,2) तीन बिन्दुएँ है ।
रेखा AB का समीकरण ,
$y-0=\frac{-2-0}{-2-3}(x-3)$
$y=\frac{-2}{-5}(x-3)$
$y=\frac{2}{5}(x-3)$
5y=2x-6
2x-5y-6=0
रेखा BC का समीकरण ,
$y-2=\frac{2-(-2)}{8-(-2)}(x+2)$
$y+2$=\frac{4}{10}(x+2)$
5y+10=2x+4
0=2x-5y-6
Question 27
ΔPQR के शीर्ष P(2,1),Q(-2,3) और R(4,5) है । शीर्ष R से जाने वाली माध्यिता का समीकरण ज्ञात कीजिए।[The vertices of a triangle PQR are P(2,1), Q(-2,3) and R(4,5) . Find the equation of the median through the vertex R]
Sol :
माना ΔPQR का माध्यिता RS है ।
S, PQ का मध्य बिन्दु होगा।
S का निर्देशांक $=\left(\frac{-2+2}{2},\frac{3+1}{2}\right)$
=(0,2)
RS का समीकरण,
$y-4=\frac{2-5}{0-4}(x-4)$
$y-4=\frac{-3}{-4}(x-4)$
4y-16=3x-12
0=3x-4y+4
Question 28
फारेनहाइ़ट ताप F और परम ताप K एक रैखिक समीकरण को संतुष्ट करते है ,दिया है कि K=272 जब F=32 और K=373 जब F=212 तो K को F के पदो मे व्यक्त करे और F का मान ज्ञात कीजिए जब K=0[The Fahrenheit temperature F and absolute temperature K satisfy a linear equation. Given that K=273 when F=32 and K=373 when F=212. Express K in terms of F and find the value of F when K=0]
Sol :
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