Exercise 18.4
Question 1
(i) एक रेखा का समीकरण निकाले जिसका x-अक्ष तथा y-अक्ष पर अन्तःखण्ड क्रमतः 2 और -3 है ।[Find the equation of the line whose intercepts on x and y axes are 2 and -3 respectively.]
Sol :
रेखा का समीकरण, जब x तथा y-अक्ष पर अन्तःखण्ड क्रमतः a तथा b है ।
$\frac{x}{a}+\frac{b}{a}=1$
$\frac{x}{2}+\frac{b}{-3}=1$
$\frac{3x-2y}{6}=1$
3x-2y=6
Question 2
रेखा का समीकरण ज्ञात करे जो निर्देशांक से समान अन्तःखण्ड काटती है और बिन्दु (2,3) से जाती है ।[Find the equation of the straight line which passes through the point (2,3) and cuts off equal intercepts on the axes]
Sol :
माना रेखा AB x तथा y-अक्ष पर समान अन्तःखण्ड a काटती है ।
रेखा AB का समीकरण
$\frac{x_1}{a}+\frac{y_1}{a}=1$
रेखा (2,3) से गुजर रही है ।
∴$\frac{2}{a}+\frac{3}{a}=1$
$\frac{5}{a}=1$
a=5
∴रेखा का समीकरण
$\frac{x}{5}+\frac{y}{5}=1$
x+y=5
Question 5
बिन्दु(2,3) से गुजरती हुई उस रेखा का समीकरण निकाले जिसता x-अक्ष पर अन्तः खण्ड y-अक्ष पर अन्तः खण्ड का दुगुना है ।[Find the equation of the straight line which passes through the point (2,3) and whose intercept on the x-axis is double that on y-axis]
Sol :
Question 7
बिन्दु (3,-4) से गुजरती हुई उस रेखा का समीकरण निकाले जो अक्षो से बराबर लेकिन विपरीत चिन्ह के अन्तः खण्ड काटता है।[Find the equation of the straight line passing through the point (3,-4) and cutting off intercepts, equal but of opposite signs , from the axes]
Sol :
Question 8
एक रेखा बिन्दु (a,b) से गुजरती है तथा यह बिन्दु रेखा का अक्षो के बीट अन्तः खण्डित भाग को समद्विभाजित करती है ।साबित करे कि इस रेखा का समीकरण $\frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}=2$ है ।[A straight line passes through the point (𝛼,ꞵ) and this point bisects the part of the line intercepted between the axes. Show that the equation of the straight line is $\frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}=2$]
Sol :
माना बिन्दु P(𝛼,ꞵ) रेखा AB का मध्य बिन्दु है ।
माना x तथा y अक्ष पर अन्तः खण्ड क्रमशः a तथा b है ।
$\left(\frac{a+0}{2},\frac{0+b}{2}\right)=(\alpha , \beta)$
$\begin{array}{l|l}\frac{a}{2}=\alpha & \frac{b}{2}=\beta \\ a=2\alpha & b=2 \beta \end{array}$
रेखा का समीकरण
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$
$\frac{x}{2\alpha}+\frac{y}{2 \beta}=1$
$\frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}=2$
Question 9
उस सरल रेखाओ के समीकरण निकाले जिसमे से प्रत्येक बिन्दु (3,2) से जाती है तथा x-अक्ष और y-अक्ष से क्रमशः a और b अन्तः खण्ड काटती है ताकि a-b=2[Find the equation of the straight lines each of which passes through the point (3,2) and cuts off intercepts a and b respectively on the x and y-axis such that a-b=2]
Sol :
माना रेखा AB का x तथा y-अक्ष पर अन्तः खण्ड a तथा b है ।
$\frac{x_1}{a}+\frac{y_1}{b}=1$
रेखा (3,2) से गुजर रही है ।
$\frac{3}{2+b}+\frac{2}{b}=1$
$\frac{3b+4+2b}{b(2+1)}=1$
$\frac{5b+4}{b^2+2b}=1$
b2+2b=5b+4
b2-3b-4=0
b2-4b+b-4=0
b(b-4)+1(b-4)=0
(b-4)(b+1)=0
b=4,b=-1
a=2+b
b=4⇒a=2+4
b=-1⇒a=2-1=1
a=1
(i) $\frac{x}{6}+\frac{y}{4}=1$
(ii) $\frac{x}{1}+\frac{y}{-1}=1$
x-y=1
Question 10
(i) एक रेखा बिन्दु (-2,3) से जाती है तथा यह बिन्दु रेखा के अक्षो के बीच अन्तः खण्डित भाग के समद्विभाजित करती है , रेखा का समीकरण निकाले ।[Find the equations to the straight lines which pass through the point (-2,3) and cut the axes at A(a,0) and B(0,b) so that a+b=2]
Sol :
$\left(\frac{a+0}{2},\frac{0+b}{2}\right)=1$
$\begin{array}{l|l}\frac{a}{2}=-2&\frac{b}{2}=3\end{array}$
a=-4 , b=6
...
(ii) बिन्दु (2,2) से जाने वाली रेखा का समीकरण निकाले जिसके द्वारा अक्षो से कटे अन्तः खण्डो का योग 9 है ।
[Find the equation of the line passing through the point (2,2) and cutting off intercepts on the axes whose sum is 9]
Sol :
माना रेखा AB x तथा y-अक्ष पर अन्तः खण्ड a तथा b है ।
रेखा का समीकरण
$\frac{x_1}{a}+\frac{y_1}{b}=1$
रेखा (2,2) से गुजर रही है ।
$\frac{2}{a}+\frac{2}{9-a}=1$
Question 11
(i) एक रेखा बिन्दु (3,-2) से जाती है तथा यह बिन्दु रेखा के अक्षो के बीच अन्तः खण्डित भाग को समद्विभाजित करती है , रेखा का समीकरण निकाले।Sol :
माना A(a,0) तथा B(0,b) दो बिन्दु रेखा पर स्थित है ।
P(3,-2) , रेखा खंड AB को समद्विभाजित करता है ।
P, AB का मध्य बिन्दु है ।
$\left(\frac{a+0}{2},\frac{0+b}{2}\right)=(3,-2)$
$\left(\frac{a}{2},\frac{b}{2}\right)=(3,-2)$
$\frac{a}{2}=3$ , $\frac{b}{2}=-2$
a=6 ,b=-4
रेखा AB का समीकरण,
$\frac{x}{6}+\frac{y}{-4}=1$
$\frac{2x-3y}{12}=1$
2x-3y=12
(ii) अक्षो के बीच रेखा खण्ड को बिन्दु R(h,k), 1:2 के अनुपात मे विभक्त करता है । रेखा का समीकरण ज्ञात करे ।
[Point R(h,k) divides a line segment between the axes in the ratio 1:2. Find the equation of the line]
Sol :
माना रेखा AB का अक्षो पर अंत खण्ड a तथा b है ।
R, AB को 1:2 मे विभक्त करता है ।
$\left(\frac{1\times 0 2+a}{1+2},\frac{1\times b+2\times 0}{1+2}\right)=(h,k)$
$\left(\frac{2a}{3},\frac{b}{3}\right)=(h,k)$
$\frac{2}{3}a=h$ , $\frac{b}{3}=k$
$a=\frac{3h}{2}$, b=3k
∴रेखा AB का समीकरण
$\dfrac{x}{\frac{3h}{2}}+\frac{y}{3k}=1$
$\frac{2x}{3h}+\frac{y}{3k}=1$
$\frac{2kx+hy}{3hk}=1$
2kx+hy=3hk
Question 12
बिन्दु P(1,-7) से जाती हुई उस रेखा का समीकरण निकाले जो अक्षो से क्रमशः A तथा B पर मिलती है ताकि 4AP-3BP=0[Find the equation of the line which passes through point P(1,-7) and meets the axes at A and B respectively so that 4AP-3BP=0]
Sol :
4AP-3BP=0
4AP=3BP
$\frac{AP}{BP}=\frac{3}{4}$
=3:4
[For the straight line √3y-3x=3 find the intercepts on the x-axis and y-axis]
Sol :
√3y-3x=3
y=0 पर ,
√3(0)-3x=3
-3x=3
x=-1
x=0 पर ,
√3y-3(0)=3
√3y=3
$y=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$
x तथा y-अक्ष का अंतः खण्ड क्रमशः -1 तथा $\sqrt{3}$ है ।
Sol :
3x+4y=6
$\frac{3x}{6}+\frac{4y}{6}=1$
$\frac{x}{2}+\dfrac{y}{\frac{3}{2}}=1$
अन्तः खण्ड $2,\frac{3}{2}$
नयी रेखा का अंतः खण्ड 4 तथा 3 होगा ।
∴रेेखा का समीकरण
$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1$
$\frac{3x+4y}{12}=1$
3x+4y=12
Sol :
4AP=3BP
$\frac{AP}{BP}=\frac{3}{4}$
=3:4
Question 13
रेखा √3y-3x=3 के लिए x-अक्ष तथा y-अक्ष पर अन्तः खण्ड निकाले ।[For the straight line √3y-3x=3 find the intercepts on the x-axis and y-axis]
Sol :
√3y-3x=3
y=0 पर ,
√3(0)-3x=3
-3x=3
x=-1
x=0 पर ,
√3y-3(0)=3
√3y=3
$y=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$
x तथा y-अक्ष का अंतः खण्ड क्रमशः -1 तथा $\sqrt{3}$ है ।
Question 14
उस रेखा का समीकरण निकाले जिसका अक्षो पर अन्तः खण्ड रेखा 3x+4y+6 के अक्षो पर अन्तः खण्ड का दुगुना है ।Sol :
3x+4y=6
$\frac{3x}{6}+\frac{4y}{6}=1$
$\frac{x}{2}+\dfrac{y}{\frac{3}{2}}=1$
अन्तः खण्ड $2,\frac{3}{2}$
नयी रेखा का अंतः खण्ड 4 तथा 3 होगा ।
∴रेेखा का समीकरण
$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1$
$\frac{3x+4y}{12}=1$
3x+4y=12
Question 15
बिन्दु (2,1) से गुजरती हुई रेखा का समीकरण निकाले जो रेखा 3x-5y=15 के अक्षो के बीच अन्तः खण्डित भाग को समद्विभाजित करती है ।Sol :
3x-5y=15
$\frac{3x}{15}-\frac{5y}{15}=1$
$\frac{x}{5}+\frac{y}{-3}=1$
रेखा का अक्षो पर अंतः खण्ड 5 तथा -3 है ।
PQ रेखा , AB को समद्विभाजित करती है ।
Q का निर्देशांक $=\left(\frac{5+0}{2},\frac{0-3}{2}\right)$
$=\left(\frac{5}{2},\frac{-3}{2}\right)$
रेखा PQ का समीकरण
$y-1=\dfrac{-\frac{3}{2}-1}{\frac{5}{2}-2}(x-2)$
$y-1=\dfrac{\frac{-3-2}{2}}{\frac{5-4}{2}}(x-2)$
y-1=-5(x-2)
y-1=-5x+10
5x+y=11
Question 16
मूल बिन्दु से गुजरती हुई उन रेखाओ के समीकरण निकाले जो रेखा 2x+3y=6 के अक्षो के बीच अन्तः खण्डित भाग को समत्रिभाग करती है ।Sol :
2x+3y=6
$\frac{2x}{6}+\frac{3y}{6}=1$
$\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1$
Question 17
साबित करे कि बिन्दु (5,1),(11,4) तथा (1,-1) एक रेखा पर है तथा इसका अक्षो पर और अक्षो के बीच अन्तः खण्ड निकाले।Sol :
माना A(5,1), B(11,4) तथा C(1,-1) तीन बिन्दुएँ है ।
रेखा AB का समीकरण
$y-1=\frac{4-1}{11-5}(x-5)$
$y-1=\frac{3}{6}(x-5)$
2y-2=x-5
x-2y-3=0
रेखा BC का समीकरण
$y-4=\frac{-1-4}{1-11}(x-11)$
$y-4=\frac{-5}{-10}(x-11)$
2y-8=x-11
x-2y-3=0
समीकरण से ,
x-2y=3
$\frac{x}{3}-\frac{2y}{3}=1$
$\frac{x}{3}+\dfrac{y}{\frac{-3}{2}}=1$
अक्षो पर अंतः खण्ड $3,-\frac{3}{2}$
...
[Find the equation of the line where the perpendicular distance p of the line from origin and the angle 𝛼 made by the perpendicular with x-axis are given as]
(i) p=3 ,𝛼=45°
(ii) p=1 ,𝛼=90°
(iii) p=1 ,𝛼=90°
(iv) p=4 ,𝛼=15°
(v) p=5 ,𝛼=30°
Sol :
(i) p=3 , 𝛼=45°
रेखा का समीकरण
xcos𝛼 , ysin𝛼=p
xcos45°+ysin45°=3
$x\times \frac{1}{\sqrt{2}}+y \times \frac{1}{\sqrt{2}}=3$
$\frac{x+y}{\sqrt{3}}=3$
x+y=3√2
[Find the coordinates of the point at a distance 6 units from the point (1,1) in the direction making an angle of 60° with the positive direction of the x-axis]
Sol :
रेखा AB का समीकरण
$y-1=\frac{4-1}{11-5}(x-5)$
$y-1=\frac{3}{6}(x-5)$
2y-2=x-5
x-2y-3=0
रेखा BC का समीकरण
$y-4=\frac{-1-4}{1-11}(x-11)$
$y-4=\frac{-5}{-10}(x-11)$
2y-8=x-11
x-2y-3=0
समीकरण से ,
x-2y=3
$\frac{x}{3}-\frac{2y}{3}=1$
$\frac{x}{3}+\dfrac{y}{\frac{-3}{2}}=1$
अक्षो पर अंतः खण्ड $3,-\frac{3}{2}$
...
Question 19
उस रेखा का समीकरण निकाले जिस पर मूल बिन्दु से खीचे गए लम्ब की लम्बाई p तथा इस लम्ब का x-अक्ष से बना कोण 𝛼 निम्न प्रकार दिया गया है ।[Find the equation of the line where the perpendicular distance p of the line from origin and the angle 𝛼 made by the perpendicular with x-axis are given as]
(i) p=3 ,𝛼=45°
(ii) p=1 ,𝛼=90°
(iii) p=1 ,𝛼=90°
(iv) p=4 ,𝛼=15°
(v) p=5 ,𝛼=30°
Sol :
(i) p=3 , 𝛼=45°
रेखा का समीकरण
xcos𝛼 , ysin𝛼=p
xcos45°+ysin45°=3
$x\times \frac{1}{\sqrt{2}}+y \times \frac{1}{\sqrt{2}}=3$
$\frac{x+y}{\sqrt{3}}=3$
x+y=3√2
Question 23
(i) x-अक्ष की धन दिशा से 60° का कोण बनाती हुई रेखा पर बिन्दु (1,1) से 6 इकाई की दूरी पर के बिन्दु के निर्देशांक निकाले ।[Find the coordinates of the point at a distance 6 units from the point (1,1) in the direction making an angle of 60° with the positive direction of the x-axis]
Sol :
माना रेखा l , x-अक्ष के साथ 60° का कोण बनाती है , जो बिन्दु A(1,1) से गुजरती है ।
माना p तथा Q रेखा पर स्थित बिन्दु है , जो बिन्दु A से 6 इकाई दूरी पर है ।
p का निर्देशांक=(1+6cos60° ,1+6sin60°)
$=\left(1+6 \times \frac{1}{2}, 1+6 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
=(4,1+3√3)
(ii) बिन्दु (-1,2) से किस दिशा मे रेखा खीची जानी चाहिए ताकि इसका रेखा x+y=4 से प्रतिच्छेद बिन्दु से 3 इकाई की दूरी पर हो ।
[Find the direction in which a straight line must be drawn through the point (-1,2) so that its point of intersection with the line x+y=4 may be at a distance of 3 units from this point]
Sol :
माना रेखा AP , x-अक्ष के साथ θ को बनाती है ।
AP=AQ=3 इकाई
जहाँ P तथा Q , रेखा x+y=4 पर स्थित है ।
P का निर्देशांक =(-1+3cosθ ,2+3sinθ)
बिन्दु P, रेखा x+y=4 पर स्थित है ।
-1+3cosθ+2+3sinθ=4
3cosθ+3sinθ=3θ
cosθ+sinθ=1
θ=0° , 90°
Question 24
बिन्दु (-1,3) से 1 ढाल वाली दिशा मे रेखा 2x+y=3 की दूरी निकाले ।[Find the distance of the line 2x+y=3 from the point (-1,3) in the direction whose slope is 1]
Sol :
माना रेखा l से बिन्दु A(-1,3) से ढाल 1 की दिशा मे खिची गई रेखा खंड AP है ।
tanθ=1
tanθ=tan45°
θ=45°
P का निर्देशांक=(-1+pcos45° ,3+psin45°)
$=\left(-1+\frac{P}{\sqrt{2}},3+\frac{P}{\sqrt{2}}\right)$
रेखा l का समीकरण
2x+y=3
$2\left(-1+\frac{P}{\sqrt{2}}+3+\frac{P}{\sqrt{2}}\right)=3$
$-2+\frac{2P}{\sqrt{2}}+3+\frac{P}{\sqrt{2}}=3$
$\frac{3P}{\sqrt{2}}+1=3$
$\frac{3P}{\sqrt{2}}=2$
$P=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
Question 25
बिन्दु A(4,-1) से रेखा 3x-4y+1=0 के समान्तर एक रेखा खीची जाती है । इस रेखा पर उन दो बिन्दुओ के निर्देशांक निकाले जो A से 5 इकाई की दूरी पर है ।[A line is drawn through A(4,-1) parallel to the line 3x-4y+1=0. Find the coordinates of the two point on this line which are at a distance of 5 units from A]
Sol :
माना रेखा l के समान्तर रेखा PQ है । जो बिन्दु A(4,-1) से गुजरती है ।
AP=AQ=5 इकाई
रेखा l का समीकरण
3x-4y+1=0
$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}=y$
$\sin \theta =\frac{3}{5}$ , $\cos \theta =\frac{4}{5}$
बिन्दु P का निर्देशांक$=4+5 \times \frac{4}{5} , -1+5\times \frac{3}{5}$
=(8,2)
बिन्दु Q का निर्देशांक$=4-5 \times \frac{4}{5} , -1-5\times \frac{3}{5}$
=(0,-4)
[Find the distance of the point (3,5) from the line 3x+3y=14 measured parallel to the line x-2y=1]
Sol :
AP=AQ=5 इकाई
रेखा l का समीकरण
3x-4y+1=0
$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}=y$
$\sin \theta =\frac{3}{5}$ , $\cos \theta =\frac{4}{5}$
बिन्दु P का निर्देशांक$=4+5 \times \frac{4}{5} , -1+5\times \frac{3}{5}$
=(8,2)
बिन्दु Q का निर्देशांक$=4-5 \times \frac{4}{5} , -1-5\times \frac{3}{5}$
=(0,-4)
Question 26
बिन्दु (3,5) की रेखा 3x+3y=33 से रेखा x-2y=1 के समान्तर दूरी निकीले ।[Find the distance of the point (3,5) from the line 3x+3y=14 measured parallel to the line x-2y=1]
Sol :
माना बिन्दु A(3,5) रेखा l से p दूरी पर है , जहाँ AP||m
रेखा m का समीकरण
x-2y=1
x-1=2y
$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}=y$
$\tan \theta=\frac{1}{2}$
$\cos \theta =\frac{2}{\sqrt{5}} ,\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{5m}}$
बिन्दु P का निर्देशांक$=\left(3+P\times \frac{2}{\sqrt{3} ,5+P\times \frac{1}{\sqrt{5}}}\right)$
$=\left(3+\frac{2P}{\sqrt{5}} , 5+\frac{P}{\sqrt{5}}\right)$
रेखा l का समीकरण
x+y=11
$3+\frac{2P}{\sqrt{5}}+5+\frac{P}{\sqrt{5}}=11$
$8+\frac{3P}{\sqrt{5}}=11$
$\frac{3P}{\sqrt{5}}=3$
P=√5
Question 27
किसी वर्ग के एक विकर्ण के छोरो के निर्देशांक (1,1) तथा (-2,-1) है । शेष शीषो के निर्देशांक तथा दूसरे विकर्ण का समीकरण निकाले ।[The co-ordinates of the extremities of one diagonal of a square are (1,1) and (-2,-1) . Find the co-ordinates of its other vertices and the equation of the other diagonal]
Sol :
Question 28
AB एक सम षटभुज ABCDEF की भुजा है जिसकी लम्बाई a है । A को मूल बिन्दु तथा AB और AE को x-अक्ष और y-अक्ष मानते हुए रेखा AC,AF तथा BE के समीकरण निकाले ।[AB is a side of a regular hexagon ABCDEF and is of length a. With A as the origin and AB and AE as the x-axis and y-axis respectively, find the equation of line AC,AF and BE]
Sol :
माना ABCDEF एक सम षटभुज है । जिसकी प्रत्येक भुजा a है ।
सम षटभुज का प्रत्येक बाहय कोण
$=\frac{360}{6}=60^{\circ}$
$\sin 60=\frac{CP}{a}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}a=CP$
$\cos 60=\frac{BP}{a}$
$\frac{1}{2}=\frac{BP}{a}$
$\frac{a}{2}=BP$AC का समीकरण
$y-0=\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}a-0}{\frac{3a}{2}-0}(x-0)$
$y=\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\frac{3a}{2}}(x)$
$\sqrt{3}y=x$
$6=x-\sqrt{3}y$
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