Exercise 18.7
Question 1
रेखाएँ 9x+3y=4 तथा 2x+4y+5=0 के बीच का अधिक कोण निकाले ।[Find the obtuse angle between the straight line 9x+3y-4=0 and 2x+4y+5=0]
Sol :
a1=9 ,b1=3
a2=2 ,b2=4
$\tan \theta =\left|\frac{a_2b_1-a_1b_2}{b_1b_2+a_1a_2}\right|$
$\tan \theta =\left|\frac{2\times 3-9\times 4}{3\times 4+9\times 2}\right|$
$=\left|\frac{6-36}{12+18}\right|$
$\tan \theta =\left|\frac{-30}{30}\right|$
θ=135°
Question 2
रेखाएँ x=a तथा by+c=0 के बीच का अधिक कोण निकाले ।[Find the obtuse angle between the lines x=a and by+c=0]
Sol :
a1=1 ,b1=0
a2=0 ,b2=b
$\tan \theta =\left|\frac{a_2b_1-a_1b_2}{b_1b_2+a_1a_2}\right|$
$\tan \theta =\left|\frac{0\times 0-1\times b}{0\times b+1\times 0}\right|$
$=\left|\frac{-b}{0}\right|$
θ=90°
a2=0 ,b2=b
$\tan \theta =\left|\frac{a_2b_1-a_1b_2}{b_1b_2+a_1a_2}\right|$
$\tan \theta =\left|\frac{0\times 0-1\times b}{0\times b+1\times 0}\right|$
$=\left|\frac{-b}{0}\right|$
θ=90°
Question 4
साबित करे कि रेखाएँ $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ तथा $\frac{x}{b}-\frac{y}{a}=1$ परस्पर लम्ब है ।[Prove that the lines $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ and $\frac{x}{b}-\frac{y}{a}=1$ are perpendicular to each other]
Sol :
$a_1=\frac{1}{a}, b_{1}=\frac{1}{b}$
$a_2=\frac{1}{b}, b_{2}=\frac{-1}{a}$
a1a2+b1b2=$\frac{1}{a} \times \frac{1}{b}+\frac{1}{b} \times \left(-\frac{1}{a}\right)$
$=\frac{1}{ab}-\frac{1}{ab}$
=0
∴रेखाएँ परस्पर लंब है ।
Question 5
साबित करे कि k(≠0) के सभी मानो के लिए रेखा k2x+ky+1=0 , रेखा x-ky=1 पर लम्ब है ।[Prove that the line k2x+ky+1=0 is perpendicular to the line x-ky=1 for all real values k(≠0) ]
Sol :
रेखाएँ लंम्ब है ।
a1a2+b1b2=k2×1+k.(-k)
=k2-k2
=0
अतः k∈R
[For what value of k is the line x-y+2+k(2x+3y)=0 parallel to the line 3x+y=0?]
Sol :
x-y+2+k(2x+3y)=0
x-y+2+2kx+3ky=0
(1+2k)x+(3k-1)y+2=0..(i)
3x+y=0..(ii)
∵रेखाएँ समांतर है ,रेखाएँ लंम्ब है ।
a1a2+b1b2=k2×1+k.(-k)
=k2-k2
=0
अतः k∈R
Question 6
k के किस मान के लिए रेखा x-y+2+k(2x+3y)=0 रेखा 3x+y=0 के समान्तर है ?[For what value of k is the line x-y+2+k(2x+3y)=0 parallel to the line 3x+y=0?]
Sol :
x-y+2+k(2x+3y)=0
x-y+2+2kx+3ky=0
(1+2k)x+(3k-1)y+2=0..(i)
3x+y=0..(ii)
∴$\frac{1+2k}{3}=\frac{3k-1}{1}$
9k-3=1+2k
7k=4
$k=\frac{4}{7}$
Question 7
साबित करे कि रेखाएँ 2x-3y+1=0, x+y=3, 2x-3y=2 तथा x=4-y एक समान्तर चतुर्भुज बनाते है ।[Prove that the lines 2x-3y+1=0, x+y=3, 2x-3y=2 and x=4-y form a parallelogram]
Sol :
माना ABCD एक चतुर्भुज है ।
रेखा AB तथा CD के बीच का कोण,
a1=2 ,b1=-3
a2=2 ,b2=-3
$\tan \theta =\left|\frac{a_2b_1-a_1b_2}{b_1b_2+a_1b_2}\right|$
$\tan \theta=\left|\frac{-6-(-6)}{4+9}\right|$
tanθ=0
θ=0°
AB||DC
AD||BC
∴ABCD एक समानतर चतुर्भुज है ।
Question 8
0 से π के बीच θ का मान निकाले यदि रेखा xcosθ+ysinθ=2 रेखा x-y=3 पर लम्ब है।[Find the value θ between 0 and π if xcosθ+ysinθ=2 is perpendicular to the line x-y=3]
Sol :
a1=cosθ ,b1=sinθ
a2=1 ,b2=-1
∵रेखाएँ एक-दूसरे पर लम्ब है ।
a1a2+b1b1=0
cosθ×1+sinθ(-1)=0
cosθ-sinθ=0
cosθ=sinθ
1=tanθ
$\theta =\frac{\pi}{4}$
Question 10
रेखा 7x-9y-19=0 बिन्दुओ (h,3) और (4,1) से जाने वाली रेखा को समीकरण पर प्रतिच्छेद करती है । h का मान ज्ञात कीजिए।[The line 7x-9y-19=0 is perpendicular to the line, through the points (h,3) and (4,1).Find the value of x]
Sol :
रेखा AB का समीकरण
7x-9y-19=0
7x-19=9y
$\frac{7}{9}x-\frac{19}{9}=y$
$m_1=\frac{7}{9}$
रेखा CD का ढाल (m2) $=\frac{3-1}{h-4}=\frac{2}{h-4}$
∵AB⟂CD
∴m1m2=-1
$\frac{7}{9}\times \left(\frac{2}{h-4}\right)=-1$
$\frac{14}{9h-36}=-1$
14-9h+36
9h=36-14
9h=22
$h=\frac{22}{9}$
Question 11
जाँच करे कि निम्नलिखित रेखा युग्मो मे से कौन प्रतिच्छेदी, समानान्तर , लम्ब तथा सन्निपाती है ।[Examine which of the following pairs of lines are intersecting , parallel perpendicular and coincident]
(i) x-2y+3=0 तथा(and) 2x-4y+5=0
Sol :
a1=1 ,b1=-2 ,c1=3
a2=2 ,b2=-4 ,c2=5
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2}=\frac{3}{5}$
(ii) 2x+3y+5=0 तथा(and) 4x+6y+10=0
(iii) x-y+1=0 तथा(and) x+y+2=0
(iv) x-y+2=0 तथा(and) 2x-3y+5=0
[Two line passing through the point (2,3) make an angle of 45° . If the slope of one of the lines is 2, find the slope of the other]
Sol :
Sol :
a1=1 ,b1=-2 ,c1=3
a2=2 ,b2=-4 ,c2=5
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2}=\frac{3}{5}$
(ii) 2x+3y+5=0 तथा(and) 4x+6y+10=0
(iii) x-y+1=0 तथा(and) x+y+2=0
(iv) x-y+2=0 तथा(and) 2x-3y+5=0
Question 12
(i) बिन्दु (2,3) से गुजरती हुई दो रेखाएँ 45° का कोण बनाती है । यदि इनमे से एक की ढाल 2 है , तो दूसरी की ढाल निकाले ।[Two line passing through the point (2,3) make an angle of 45° . If the slope of one of the lines is 2, find the slope of the other]
Sol :
माना दूसरी रेखा का ढाल=m2
m1=2
θ=45°
$\tan \theta =\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1.m_2}\right|$
$\tan 45^{\circ} =\left|\frac{2-m_2}{1+2m_2}\right|$
$1=\left|\frac{2-m_2}{1+2m_2}\right|$
$\begin{array}{l|l}1=\frac{2-m_2}{1+2m_2}&1=-\left(\frac{2-m_2}{1+2m_2}\right)\\1+2m_2=2-m_2&1+2m_2=-2+m_2\\3m_2=1&m_2=-3\\m_2=\frac{1}{3}&\end{array}$
(ii) बिन्दु (2,3) से जाती हुई दो रेखाएँ 60° पर प्रतिच्छेद करती है । यदि एक रेखा की ढाल 2 है , तो दूसरी का समीकरण निकाले ।
[Two lines passing through the point (2,3) intersects each other at an angle of 60°. If slope of one line is 2, find the equation of the other line]
Sol :
Question 13
रेखा x-2y=3 से 45° का कोण बनाने वाली रेखाओ की ढाल निकाले ।[Find the slope of the line which makes an angle of 45° with line x-2y=3]
Sol :
माना AB तथा CD दो रेखाएँ है ।
रेखाओ के बीच का कोण 45° है ।
रेखा AB का समिकरण
x-2y=3
x-3=2y
$\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}=y$
$m_1=\frac{1}{2}$
रेखा CD का ढाल $m_2=\tan \theta =\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1.m_2}\right|$
Question 14
बिन्दु (2,-1) से जाती हुई रेखा 6x+5y=8 से 45° का कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण निकाले ।[Find the equation of the straight lines passing through (2,-1) and making angle 45° with line 6x+5y=8]
Sol :
माना दो रेखाएँ AB तथा CD एक-दूसरे के साथ 45° का कोण बनाती है ।
रेखा AB का समीकरण
6x+5y=8
6x-8=5y
$\frac{6}{5}x-\frac{8}{5}=y$
$m_1=\frac{6}{5}$ ,m(CD)=m2
$\begin{array}{l|l}\tan \theta =\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1.m_2}\right|\end{array}$
$\begin{array}{l|l}\tan 45^{\circ} =\left|\frac{\frac{6}{5}-m_2}{1+\frac{6}{5}m_2}\right|\end{array}$
Question 15
(i) किसी समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के पाद (समकोणीय भुजाओ) के समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इसके कर्ण का समीकरण x-2y-3=0 है तथा समकोण वाला शीर्ष (1,6) पर है ।[Find the equation of the legs of a right isosceles triangle if the equation of its hypotenuse is x-2y-3=0 and the vertex of the right angle is at the point (1,6)]
Sol :
माना ABC एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज
∠B=90°
हम जानते है कि समकोण समद्विबाहु त्रिभुज का प्रत्येक न्यूकोण 45° का हागा हो
रेखा AC का समीकरण
x-2y-3=0
x-3=2y
$y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$
$m_1=m(AC)=\frac{1}{2}$
माना रेखा BC का ढाल m2 है
$\tan \theta =\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1.m_2}\right|$
$\tan 45^{\circ} =\left|\frac{\frac{1}{2}-m_2}{1+\frac{1}{2}.m_2}\right|$
$1=\left|\dfrac{\frac{1-2m_2}{2}}{\frac{2+m_2}{2}}\right|$
$1=\left|\frac{1-2m_2}{2+m_2}\right|$
$\begin{array}{l|l}1=\frac{1-2m_2}{2+m_2}&1=-\left(\frac{1-2m_2}{2+m_2}\right)\\2+m_2=1-2m_2&2+m_2=-1+2m_2\\3m_2=-1&-m_2=-3\\m_2=-\frac{1}{3}&m_2=3\end{array}$
रेखा का समीकरण जिसका ढाल $m_2=-\frac{1}{3}$ तथा बिन्दु (1,6) से गुजर रही है ।
y-y1=m2(x-x1)
$y-6=-\frac{1}{3}(x-1)$
3y-18=-x+1
x+3y-19=0
(ii) समकोण त्रिभुज के कर्ण के अंत बिन्दु (1,3) और (-4,1) है । त्रिभुज के पाद (समकोण भुजाओ) के समीकरण ज्ञात कीजिए।
[The hypotenuse of a right triangled its ends at the points (1,3) and (-4,1).Find the equation of the legs(perpendicular sides) of the triangle]
Sol :
Question 17
बिन्दु (1,2) से जाती हुई एक वर्ग की दो भुजाओ के समीकरण निकाले जिसका एक विकर्ण 4x+7y=12 है ।[Find the equation of the two straight line through (1,2) forming the two sides of a square of which 4x+7y=12 is one diagonal]
Sol :
Question 18
बिन्दु P(1,2) से जाती हुई एक रेखा x-अक्ष की धन दिशा से 60° का कोण बनाती है तथा यह P के परितः दक्षिणावर्त्त दिशा मे 15° से घुमायी जाती है । सरल रेखा के नई स्थिति का समीकरण निकाले ।[A line through the point P(1,2) makes an angle of 60° with the positive direction of x-axis an d is rotated about P in the clockwise direction through an angle 15°. Find the equation of the straight line in the new position]
Sol :
θ=45°
m=tanθ , tan45°=1
Question 19
एक रेखा ढाल दूसरी रेखा की ढाल का दुगुना है । यदि दोनो के बीच के कोण का स्पर्शज्या(tangent)$\frac{1}{3}$ है, तो रेखाओ के ढाल निकाले।[The slope of a line is double of the slope of another line.If tangent of the angle between them $\frac{1}{3}$ , find the slope of the line]
Sol :
माना एक रेखा का ढाल m1=x
दूसरे रेखा का ढाल m2=2x
$\tan \theta =\frac{1}{3}$
$\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_!.m_2}\right|=\frac{1}{3}$
Question 20
उन रेखाओ का समीकरण निकाले जो बिन्दु(4,5) से गुजरती है तथा रेखाओ5x-12y+6=0 और 3x=4y+7 से बराबर कोण बनाती है ।
[Find the equation of the line which pass through the point (4,5) and make equal angles with the line
5x-12y+6=0 and 3x=4y+7 ]
Sol :
माना रेखा l का ढाल=m
रेखा P का ढाल$=\frac{5}{12}=m_1$
रेखा Q का ढाल$=\frac{3}{4}=m_2$
$\tan \theta=\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1.m_2}\right| $
$\left|\dfrac{m-\frac{3}{4}}{1+m\frac{3}{4}}\right|=\pm \left|\dfrac{m-\frac{5}{12}}{1+m\frac{5}{12}}\right|$
$\left|\dfrac{\frac{4m-3}{4}}{\frac{4+3m}{4}}\right|=\pm \left|\dfrac{\frac{12m-5}{12}}{\frac{12+5m}{12}}\right|$
$\left|\frac{4m-3}{4+3m}\right|=\pm \left|\frac{12m-5}{12+5m}\right|$
$\frac{4m-3}{4+3m}=\frac{12m-5}{12+5m}$
(4m-3)(12+5m)=(12m-5)(4+3m)
48m+20m2-36-15m=48m+36m2-20-15m
-36+20=36m2-20m2
-16=16m2
$m=\sqrt{-1}$
Again $\frac{4m-3}{4+3m}=-\left(\frac{12m-5}{12+5m}\right)$
(4m-3)(12+5m)=(-12m+5)(4+3m)
48m+20m2-36-15m=48m+36m2-20-15m
20m2+33m-36=-36m2-33m+20
20m2+33m-36+36m2+33m-20=0
56m2+66m-56=0
2(28m2+33m-28)=0
28m2+33m-28=0
28m2+49m-16m-28=0
7m(4m+7)-4(4m+7)=0
(4m+7=0)(7m-4)=0
$\begin{array}{l|l}4m+7=0&7m-4=0\\m=-\frac{7}{4}&m=\frac{4}{7}\end{array}$
रेखा का समीकरण $m=-\frac{7}{4}$, (x,y)=(4,5)
y-y1=m(x-x1)
[If the lines y=3x+1 and 2y=x+3 are equally inclined to the line y=mx+4 , find the value of m]
Sol :
रेखा P का ढाल$=\frac{5}{12}=m_1$
रेखा Q का ढाल$=\frac{3}{4}=m_2$
$\tan \theta=\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1.m_2}\right| $
$\left|\dfrac{m-\frac{3}{4}}{1+m\frac{3}{4}}\right|=\pm \left|\dfrac{m-\frac{5}{12}}{1+m\frac{5}{12}}\right|$
$\left|\dfrac{\frac{4m-3}{4}}{\frac{4+3m}{4}}\right|=\pm \left|\dfrac{\frac{12m-5}{12}}{\frac{12+5m}{12}}\right|$
$\left|\frac{4m-3}{4+3m}\right|=\pm \left|\frac{12m-5}{12+5m}\right|$
$\frac{4m-3}{4+3m}=\frac{12m-5}{12+5m}$
(4m-3)(12+5m)=(12m-5)(4+3m)
48m+20m2-36-15m=48m+36m2-20-15m
-36+20=36m2-20m2
-16=16m2
$m=\sqrt{-1}$
Again $\frac{4m-3}{4+3m}=-\left(\frac{12m-5}{12+5m}\right)$
(4m-3)(12+5m)=(-12m+5)(4+3m)
48m+20m2-36-15m=48m+36m2-20-15m
20m2+33m-36=-36m2-33m+20
20m2+33m-36+36m2+33m-20=0
56m2+66m-56=0
2(28m2+33m-28)=0
28m2+33m-28=0
28m2+49m-16m-28=0
7m(4m+7)-4(4m+7)=0
(4m+7=0)(7m-4)=0
$\begin{array}{l|l}4m+7=0&7m-4=0\\m=-\frac{7}{4}&m=\frac{4}{7}\end{array}$
रेखा का समीकरण $m=-\frac{7}{4}$, (x,y)=(4,5)
y-y1=m(x-x1)
Question 21
यदि रेखाएँ y=3x+1 ,2y=x+3 रेखा y=mx+4 पर समान रुप से झुकी (आनत) हो तो m का मान ज्ञात कीजिए।[If the lines y=3x+1 and 2y=x+3 are equally inclined to the line y=mx+4 , find the value of m]
Sol :
माना रेखा p तथा q , रेखा r पर समान रुप से झूकी है ।
$m(p)=\frac{1}{2}$
m(q)=3
m(r)=m
$\left|\frac{m-3}{1+m.3}\right|=\pm \left|\dfrac{m-\frac{1}{2}}{1+m.\frac{1}{2}}\right|$
$\left|\frac{m-3}{1+3m}\right|=\pm \left|\dfrac{\frac{2m-1}{2}}{\frac{2+m}{2}}\right|$
$\left|\frac{m-3}{1+3m}\right|=\pm \left|\frac{2m-1}{2+m}\right|$
Question 22
बिन्दु (1,2) से होकर जोनेवाली एक प्रकाश किरण x-अक्ष के बिन्दु A से परावर्तित होती है और परावर्तित किरण बिन्दु(5,3) से होकर जाती है । A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।[A ray of light passing through the point (1,2) reflects on the x-axis at point A and the reflected ray passes through the point (5,3). Find the coordinates of A]
Sol :
माना आपतित किरण PA परावर्तित होकर बिन्दु Q(5,3) से जाती है तथा x-अक्ष के धनात्मक दिशा मे θ कोण बनाती है ।
∴आपतित किरण x-अक्ष के धन दिशा मे 180°-θ बनाएगी ।
माना A(x,0) है ।
$\tan \theta =\frac{3-0}{5-x}=\frac{3}{5-x}$..(i)
$\tan (180^{\circ}-\theta)=\frac{2-0}{1-x}=\frac{2}{1-x}$
$-\tan (180^{\circ}-\theta)=\frac{-2}{1-x}$..(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) से ,
$\frac{3}{5-x}=\frac{-2}{1-x}$
3-3x=-10+2x
13=5x
$x=\frac{13}{5}$
∴A$\left(\frac{13}{5},0\right)$
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