KC Sinha Mathematics Solution Class 11 Chapter 15 (Sequence and Series) अनुक्रम और श्रेणी Exercise 15.10

Exercise 15.10

Question 1 

किसी अनुक्रम के n पदो का जोड़ 2n²+4 है तो इसका n वाँ पद निकालिए । क्या यह अनुक्रम A.P मे है?
Sol :
S_n=2n²+4

S_n+1=2(n-1)²+4
=2(n²-2n+1²)²+4
=2n²-4n+2+4

S_n+1=2n²-4n+6

a_n=S_n-S_n-1

=(2n²+4)-(2n²-4n+6)

=2n²+4-2n²-4n+6

a_n=4n-2

a₁=4(1)-2

=4-2=2

a₂=4(2)-2

=8-2=6

a₃=4(3)-2

=12-2=10

d=a₂-a₁

=6-2=4

या a₃-a₂

=10-6=4

∴अनुक्रम A.P मे है ।

Question 2

किसी श्रेणी के n पदो का योगफल ज्ञात कीजिए यदि उसका n वाँ पद n(n-1)(n+1) हो।

Sol :

a_n=n(n-1)(n+1)

a_n=n(n²-1²)

a_n=n³-n

∑a_n=∑(n³-n)

=∑n³-∑n

$=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2-\frac{n(n+1)}{2}$

$=\frac{n(n+1)}{2}[\frac{n(n+1)}{2}-1]$

$=\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{n^2+n-2}{2}\right]$

$=\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{n^2+2n-n-2}{2}\right]$

$=\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{n(n+2)-1(n+2)}{2}\right]$

$=\frac{n(n+1)}{2}\times \frac{(n+2)(n-1)}{2}$

∑a_n या $S_n=\frac{1}{4}n(n^2-1)(n+2)$

Question 3

किसी series के 80 पदो का योगफल ज्ञात कीजिए यदि उसका n वाँ पद n(n²+1) हो ।
Sol :
a_n=n(n²+1)

=n³-n

S_n =∑a_n 

$=\frac{1}{4}n(n^2-1)(n+2)$

$S_{80}=\frac{1}{4}\times 80 (80^2-1)(80+2)$

=20(6400-1)(82)
=20×6399×82
=10494360

Question 4

निम्नाकित श्रेणीयो का योगफल ज्ञात कीजिए।
[Find the sum of the following series]
1³+3³+5³+... to n terms
Sol :
दिये गये श्रेणी के पद A.P मे नही है।

लेकिन घन हटाने पर,

1,3,5... सभी पद A.P मे है।

वर्ग हटाने के बाद श्रेणी का n वाँ पद

t_n =1+(n-1)2
=1+2n-2

t_n =2n-1

∴दी गई श्रेणी का nवाँ पद
a_n=(2n-1)³
=(2n)³-3(2n)².1+3.2n.1²-1³
a_n=8n³-12n²+6n-1

S_n =∑a_n 

=∑(8n³-12n²+6n-1)
=8∑n³-12∑n²+6∑n-∑1

$=8\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2-12\times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{6n(n+1)}{2}-n$

$=8\left[\frac{n^2(n+2)^2}{4}\right]$-2n(2n²+n+2n+1)+3n(n+1)-n

=n[2n(n²+n+2.n.1+1²)-2(2n²+3n+1)+3(n+1)-1]

=n[2n³+4n²+2n-4n²-6n-2+3n+3-1]

=n[2n³-n-3+3]

S_n=n²(2n²-1)

Question 5

निम्नाकित श्रेणीयो का योगफल ज्ञात कीजिए।
[Find the sum of the following series]
1²+4²+7²+10²... to n terms

Sol :

दी गई श्रेणी का n वाँ पद 

a_n=[1+(n-1)3]²

a_n=[1+3n-3]²

a_n=(3n-2)²
a_n=(3n)²-2.3n.2+2²
a_n=9n²-12n+4

S_n=∑a_n
=∑(9n²-12n+4)
=9∑n²-12∑n+∑4

$=9\times \frac{n(n+1)(n+2)}{6}-12\times \frac{n(n+1)}{2}+4n$

$=n\left[\frac{3(2n^2+n+2n+1)}{2}-6(n+1)+4\right]$

$=n\left[\frac{3(2n^2+3n+1)-12(n+1)+8}{2}\right]$

$=\frac{1}{2}n$[6n²+9n+3-12n-12+8]

S_n$=\frac{1}{2}n$[6n²-3n-1]

Question 6

निम्नांकित श्रेणीयो का योगफल ज्ञात कीजिए।
[Find the sum of the following series]
1²-2+3²+4+5²+6...to 2n terms
Sol :
=(1²-2+3²+4+5²+6...to n terms)+(2+4+6+....n terms)

दी गई श्रेणी का n वाँ पद

a_n=[1+(n-1)2]²+[2+(n-1)2]

=[1+2n-2]²+[2+2n-2]

a_n=(2n-1)²+2n

a_n=(2n)²-2.2n.1+1²+2n

a_n=4n²-2n+1

S_n=∑a_n

=∑(4n²-2n+1)

=4∑n²-2∑n+∑1

$=4\times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-2\times \frac{n(n+1)}{2}+n$

$=n\left[\frac{2}{3}(2n^2+n+2n+1)-(n+1)+1\right]$

$=n\left[\frac{2(2n^2+3n+1)-3(n+1)+3}{3}\right]$

$=\frac{1}{3}n$[4n²+6n+2-3n-3+3]

$S_n=\frac{1}{3}n$[4n²+3n+2]

Question 7

निम्नांकित श्रेणीयो का योगफल ज्ञात कीजिए
[Find the sum of the following series]
1²-2²+3²-4²+...to n terms
Sol :
CASE-I
जब n एक सम संख्या है।
1²-2²+3²-4²+5²-6²+...+(n-1)²-n²

=(1²-2²)+(3²-4²)+(5²-6²)+...+[(n-1)²-n²]

=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+(5-6)(5+6)+...+(n-1-n)(n-1+n)

=-(1+2)-(3+4)-(5+6)+...[(n-1)+n]

=-[1+2+3+4+5+6+...(n-1)+n]

$=-\frac{n(n+1)}{2}$


CASE-II
जब n एक विषय संख्या हो
1²-2²+3²-4²+5²-6²+...+(n-1)²-n²

=(1²-2²)+(3²-4²)+(5²-6²)+...+[(n-1)²-n²]

=(1+2)(1+2)+(3-4)(3+4)+(5-6)(5+6)+...+[(n-2-n+1)(n-2+n-1)]+n²

=-(1+2)-(3+4)-(5+6)...[(n-2)+(n)]+n²

=-[1+2+3+4+5+6+...+(n-2)+(n-1)]+n²

$=-\frac{(n-1)}{2}$[1+n-1]+n²

$=-\frac{n}{2}(n-1)+n^2$

$=-n\left[\frac{1}{2}(n-1)-n\right]$

$=-n\left[\frac{n-1-2n}{2}(2)-n\right]$

$=-n\left[\frac{-n-1}{2}\right]=\frac{n(n+1)}{2}$

Question 8

निम्नांकित श्रेणीयो का योगफल ज्ञात कीजिए
[Find the sum of the following series]

3.8+6.11+9.14+...to n terms

Sol :

3,6,9...to n terms A.P मे है।

8,11,14,... to n terms A.P मे है।

दी गई श्रेणी n वाँ पद
a_n=[3+(n-1)3][8+(n-1)3]

=[3+3n-3][8+3n-3]
=3n(3n+5)
=9n²+15n

S_n=∑a_n

=∑9n²+15n

=9∑n²+15∑n

$=9\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+15.\frac{n(n+1)}{2}$

$=\frac{n(n+1)}{2}\left[3(2n+1)+15\right]$

$=\frac{n(n+1)}{2}$[6n+3+15]

S_n=$\frac{6n(n+1)(n+3)}{2}$

=3n(n+1)(n+3)

Question 11

(ii) दिखाये कि[Show that]
$\frac{1\times 2^2+2\times 3^2+...+n\times (n+1)^2}{1^1\times 2+2^2\times 3+...+n^2\times (n+1)}=\frac{3n+5}{3n+1}$
Sol :
श्रेणीः 1×2²+2×3²+...n×(n+1)²

दी गई श्रेणी का n वाँ पद

a_n=n(n+1)²
=n(n²+2n+1)
a_n=n³+2n²+n

S_n=∑a_n
=∑(n³+2n²+n)
=∑n³+2∑n²+n

$=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}$

$=\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{n(n+1)}{2}+\frac{2(2n+1)}{3}+1\right]$

$=\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{3n^2+3n+8n+4+6}{6}\right]$

$=\frac{n(n+1)[3n^2+11n+10]}{12}$

$=\frac{n(n+1)[3n^2+6n+5n+10]}{12}$

$=\frac{n(n+1)[3n(n+2)+5(n+2)]}{12}$

$=\frac{n(n+1)(n+2)(3n+5)}{12}$

∴1×2²+2×3²+...n×(n+1)²$=\frac{n(n+1)(n+2)(3n+5)}{12}$...(i)

श्रेणीः 1²×2+2²×3+...n²(n+1)

n वाँ पद, a_n=n²(n+1)

S_n=∑(n³+n²)
=∑n³+∑n²

$=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$=\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{n(n+1)}{2}+\frac{2n+1}{3}\right]$

$=\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{3n^2+3n+4n+2}{6}\right]$

$=\frac{n(n+1)[3n^2+7n+2]}{12}$

$=\frac{n(n+1)[3n^2+7n+2]}{12}$

$=\frac{n(n+1)[3n^2+6n+n+2]}{12}$

$=\frac{n(n+1)[3n(n+2)+1(n+2)]}{12}$

$=\frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{12}$

∴1×2²+2×3²+...n²(n+1)$=\frac{n(n+1)(n+2)(3n+5)}{12}$...(ii)

समीकरण (i) मे (ii) से भाग देने पर,

$\frac{1\times 2^2+2\times 3^2+...n\times (n+1)^2}{1^2\times 2+2^2\times 3...n^2\times (n+1)}=\dfrac{\frac{n(n+1)(n+2)(3n+5)}{12}}{\frac{n(n+5)(n+2)(3n+1)}{12}}$

$=\frac{3n+5}{3n+1}$

Question 12

निम्नांकित श्रेणीयो का योगफल कीजिए
[Find the sum of the following series]
1+(1+3)+(1+3+5)+...n terms
Sol :
दी गई श्रेणी का n वाँ पद

a_n=1+3+5+7+...+n पदो तक

a_n=$\frac{n}{2}$[2×1+(n-1)2]
$=\frac{n}{2}$[2+2n-2]
$=\frac{n}{2}\times 2n$
a_n=n²

S_n=∑a_n=a_n$=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Question 13

निम्नांकित श्रेणीयो का योगफल ज्ञात कीजिए
[Find the sum of the following series]
1²+(1²+2²)+(1²+2²+3²)+...to n terms
Sol :
दी गई श्रेणी का n वाँ पद

a_n=1²+2²+3²+...n²

a_n=$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$=\frac{1}{6}$n(2n²+n+3n+1)

$=\frac{1}{6}$n(2n²+3n+1)

a_n=$\frac{1}{6}$(2n³+3n²+n)


S_n=∑a_n
$=\sum \frac{1}{6}$(2n³+3n²+n)

$=\frac{1}{6}$∑(2n³+3n²+n)

$=\frac{1}{6}$[2∑n³+3∑n²+∑n]

$=\frac{1}{6}\left[2\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2+\frac{3n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}\right]$

$=\frac{1}{6}\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{2n(n+1)}{2}+2n+1+1\right]$

$=\frac{1}{12}$n(n+1)[n²+2+2n+2]


$=\frac{1}{12}$n(n+1)[n(n+1)+2(n+1)]

$=\frac{1}{12}$n(n+1)(n+1)(n+2)

S_n=$=\frac{1}{12}$n(n+1)²(n+2)

Question 14

निम्नांकित श्रेणीयो का योगफल ज्ञात कीजिए
[Find the sum of the following series]
1.2.3+2.3.5.+3.4.7+...to n terms
Sol :
1,2,3...n terms A.P मे है।

2,3,4...n terms A.P मे है।

3,5,7...n terms A.P मे है।

दी गई श्रेणी का n वाँ पद

a_n=[1+(n-1)1][2+(n-1)1][3+(n-1)2]
=[1+n-1][2+n-1][3+2n-2] a_n=n(n+1)(2n+1)
a_n=n(2n²+n+2n+1)
a_n=n(2n²+3n+1)

a_n=2n³+3n²+1n

S_n=∑a_n=∑(2n³+3n²+n)

Question 17

निम्नांकित श्रेणियो का योगफल ज्ञात कीजिए
[Find the sum of the following series]
(n²-1)+2(n²-2²)+3(n²-3²)+...to n terms
Sol :
=1.n²-1.1²+2.n²+3n²-3.3²+... to n terms

=n²(1+2+3+...n terms)-1³-2³-3³... to n terms

=n²(1+2+3+...n terms)-(1³+2³+3³... to n terms)

$=\frac{n^2.n(n+1)}{2}-\left[\frac{2(n+1)}{2}\right]^2$

$=\frac{n^2(n+1)}{2}\left[\frac{2n-n+1}{2}\right]$

$=\frac{1}{4}n^2(n+1)(n-1)$

$=\frac{1}{4}n^2(n^2-1^2)$
$=\frac{1}{4}n^2(n^2-1)$

Question 18

निम्नांकित श्रेणियो का योगफल ज्ञात कीजिए
[Find the sum of the following series]
1²+(1²+2²)+(1²+2²+3²)+...to 10 terms

Sol :
S_n$=\frac{1}{2}$n(n+1)²(n+2)
n=10,

S₁₀=$\frac{1}{12}$×10(10+1)²(10+2)

$=\frac{1}{12}$×10×121×12

=1210

Question 20

निम्नांकित श्रेणियो का योगफल ज्ञात कीजिए
[Find the sum of the following series]
$1++\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+$.....to n terms
Sol :
दी गई श्रेणी का n वाँ पद

a_n$=\frac{1}{1+2+3+...n}$

$=\dfrac{1}{\frac{n(n+1)}{2}}$

a_n=$\frac{2}{n(n+1)}$


माना $\frac{2}{n(n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}$

$\frac{2}{n(n+1)}=\frac{A(n+1)+Bn}{n(n+1)}$

A=2, B=-2

2=An+A+Bn
2=(A+B)n+A

n के गुणांक तथा अचर को अलग अलग करने पर

∴A+B=0, A=2

2+B=0
B=-2

∵$a_n=\frac{2}{n(n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}$

$a_n=\frac{2}{n}-\frac{2}{n+1}$

n=1 पर,
$a_1=\frac{2}{1}-\frac{2}{2}$
n=2 पर,
$a_2=\frac{2}{2}-\frac{2}{3}$

n=3 पर,
$a_3=\frac{2}{3}-\frac{2}{4}$

....

....

....

n के जगह n-1 , $a_{n-1}=\frac{2}{n-1}-\frac{2}{n}$

n $a_n=\frac{2}{n}-\frac{2}{n+1}$

जोड़ने पर,

$S_n=\frac{2}{1}-\frac{2}{n+1}$

$=\frac{2(n+1)-2}{n+1}$

$=\frac{2n+2-2}{n+1}=\frac{2n}{n+1}$

Question 22

निम्नांकित श्रेणी का n वाँ पदो तक का योगफल ज्ञात कीजिए
[Find the n th term and sum to n terms of the following series]2+6+12+20+...
Sol :
$\begin{aligned}S_n&=2+6+12+20+...t_{n-1}+t_n\\S_n&=\phantom{2+}2+6+12+20+...+t_{n-1}+t_{n}\\ -\phantom{S_n}&=\phantom{2}-\phantom{2}-\phantom{6}-\phantom{12}-\phantom{20}...-\phantom{t_{n-1}}-\phantom{t_{n}}\\ \hline 0&=2+4+6+8+...t_{n}\end{aligned}$

t_n=2+4+6+8+...n terms

$t_n=\frac{n}{2}$[2×2+(n-1)2]

$=\frac{n}{2}$[4+2n-2]

$=\frac{n}{2}$[2n+2]

t_n=$\frac{n}{2}$×2(n+1)

t_n=n²+n

S_n=∑t_n
=∑(n²+n)

=∑n²+∑n

$=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}$

$=\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{2n+1}{3}+1\right]$

$=\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{2n+1+3}{3}\right]$

$=\frac{n(n+1)(2n+4)}{6}$

$=\frac{2}{6}$n(n+1)(n+2)

$=\frac{1}{3}$n(n+1)(n+2)

Question 27

एक आदमी अप्रैल माह मे प्रथम दिन 1 ₹, दूसरे दिन 3 ₹,तीसरे दिन 6₹ तथा चौथे दिन 10 ₹ और इसी तरह वह पूरा महीना जमा करता है । 30 अप्रैल को कितना जमा करना होगा तथा अप्रैल मे कुल कितना जमा होगा ?
Sol :
माना वह आदमी n दिन पैसे जमा करता है।

माना

$\begin{aligned}S_n&=1+3+6+10+\dots +a_{n-1}+a_n\\S_n&=\phantom{1+}1+3+6+10+\dots a_{n-1}+a_{n}\\\phantom{S_n}&\phantom{1}-\phantom{1}-\phantom{3}-\phantom{6}-\phantom{10}\dots \phantom{a_{n-1}}-\phantom{a_{n}}\\ \hline 0&=1+2+3+4+\dots a_n\end{aligned}$

a_n=1+2+3+4+... n terms

a_n$=\frac{n(n+1)}{2}$

a_n$=\frac{1}{2}$[n²+n]


S_n=∑a_n
=∑$\frac{1}{2}$[n²+n]

$=\frac{1}{2}$[∑n²+∑n]

$=\frac{1}{2}\left[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}\right]$

$=\frac{1}{2}\times \frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{2n+1}{3}+1\right]$

$=\frac{1}{2}\times \frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{2n+1+3}{3}\right]$

$=\frac{n(n+1)}{4}\left[\frac{2n+4}{3}\right]$

$=\frac{1}{12}$n(n+1)2(n+2)

S_n$=\frac{1}{6}$n(n+1)(n+2)

a_n$=\frac{1}{2}$n(n+1)

30 वे दिन की जमा राशि $=\frac{1}{2}\times 30(30+1)$
=15×31
=465

30 दिनो मे कुल जमा राशि $=\frac{1}{6}\times 30(30+1)(30+2)$
=5×31×32
=4960

Question 28

कुछ आदमियो के बीच कुछ रूपये इस तरह बाँटे गये कि दूसरा आदमी पहले आदमी से 1 ₹ अधिक, तीसरा आदमी दूसरे आदमी से 2₹ अधिक और चौथा आदमी तीसरे आदमी से 3 ₹ अधिक इत्यादि पाता है। यदि पहला आदमी 1 ₹ और अंतिम आदमी 67 ₹ पाता हो तो आदमियो की संख्या बताइए।
Sol :
माना आदमियो की संख्या=n

a_n=67 ₹

अनुक्रमः 1,2,4,7...,67 (₹ मे)

$\begin{aligned}S_n&=1+2+4+7+\dots +a_{n}\\S_n&=\phantom{1+}1+2+4+7+\dots +a_{n-1}+a_n\\ -\phantom{S_n}-\phantom{1+}-\phantom{1}-\phantom{2}-\phantom{4}-\phantom{7}\dots -\phantom{a_{n-1}}-\phantom{a_n}\\ \hline 0&=1+1+2+3+\dots a_{n}\end{aligned}$

a_n=1+[1+2+3+....+(n+1) पदो तक]

a_n=1+$\frac{n+1}{2}$[2×1+(n-1-1)1]

67=1+$\frac{n-1}{2}$[2+n-2]

67=1+$\left(\frac{n-1}{2}\right)n$

66=$\frac{n^2-n}{2}$

132=n²-n
0=n²-n-132

या n²-n-132=0
n²-12n+11n-132=0
n(n-12)+11(n-12)=0
(n-12)(n+11)=0

$\begin{array}{l|l}n-12=0&n+11=0\\n=12&n=-11\end{array}$

∴आदमीयो की संख्या=12

Question 29

विषम प्राकृत संख्याओ को निम्न प्रकार समूहो मे बाँटा गया है
(1,3);(5,7,9,11);(13,15,17,19,21,23);....
दिखाइए कि n वे समूह के संख्याओ का योग 4n³ है।
Sol :
यहाँ प्रत्येक समूह की संख्याएँ A.P मे है।
जिनका सार्वअंतर 2 है।

अतः n वे समूह की संख्याएँ भी A.P  मे होगी ।
जिनका सार्वअंतर 2 है।

पहले , दूसरे ,तीसरे.....समूह मे पदो की
संख्याएँ क्रमशः 2,4,6... है।

इस A.P का n वाँ पद=2+(n-1)2
=242n-2=2n

यहाँ समूह के पहले पद क्रमशः
1,5,13,25,... है।

यदि सभी समूहो के पहले पदो का योग S है और a_n,n वे समूह का पहला पद हो , तो

$\begin{aligned}S&=1+5+313+25+....a_n\\S&=\phantom{+1}1+5+13+15+...+a_{n-1}+a_{n}\\-\pahntom{S}&\phantom{1+}-\phantom{1}-\phantom{5}-\phantom{13}-\phantom{15}...\phantom{a_{n-1}}-\phantom{a_{n}}\\0&=1+4+8+12+...+a_{n}\end{aligned}$

a_n=1+[4+8+12+...(n-1) वे पद]

=1+$\frac{n-1}{2}$[2×4+(n-1-1)4]

a_n=1+$\frac{n-1}{2}$[8+(n-2)4]

a_n=1+$\frac{n-1}{2}$[8+4n-8]

a_n=1+$\frac{n-1}{2}$(4n)

a_n=1+(n-1)2n

a_n=2n²-2n+1

n के समूह का प्रथम पद=2n²-2n+1

n वे समूह के अवयवो की संख्या=2n

सार्वअंतर, d=2

n वे समूह के अवयवो का योग,
$S_n=\frac{2n}{2}$[2(2n²-2n+1)+(2n-1)2]

=n[4n²-4n+2+4n-2]

=4n³



TYPE-5 जब श्रेणी के क्रमागत पदो का अन्तर G.P मे हो

Question 31

निम्नलिखित श्रेणी के n पदो का जोड़ ज्ञात कीजिए
[Find the sum to n terms of the following series]

(i) 2+5+14+41+..
Sol :
माना,

$\begin{array}{l|l}S_n&=2+5+14+41+...+a_n\\S_n&=\phantom{2+}2+5+14+41+...a_{n-1}+a_n\\-\phantom{S_n}&\phantom{2}-\phantom{2}-\phantom{5}-\phantom{14}-\phantom{41}...\phantom{a_{n-1}}-\phantom{a_n}\\0&=2+3+9+27+...-a_n\end{array}$

a_n=2+[3+9+27+...(n-1) पदो तक]

$a_n=2+\frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1}$

$=2+\frac{3}{2}(3^{n-1}-1)$

a_n=2+$\frac{3^n}{2}-\frac{3}{2}$

a_n=2-$\frac{3}{2}+\frac{1}{2}3^n$

$=\frac{4-3}{2}+\frac{1}{2}3^n$

$a_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}3^n$


S_n=∑a_n
=∑$\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}3^n\right)$

=$\sum \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum  3^n$

$=\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}$[3¹+3²+3³+...+3ⁿ]

$=\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}\times \frac{3(3^n-1)}{3-1}$

$=\frac{n}{2}+\frac{3}{4}(3^n-1)$