KC Sinha Mathematics Solution Class 11 Chapter 15 (Sequence and Series) अनुक्रम और श्रेणी Exercise 15.5

Exercise 15.5

Question 1

(i) 5 और 32 के बीच 8 A.M's रखिए।
[Insert 8 A.M's between 5 and 32]
Sol :
5 और 32 के बीच 8 AM:
5,A₁,A₂,A₃...A,32..A.P मे है।

a=5 ,b=32 ,n=8

$d=\frac{b-a}{n+1}=\frac{32-5}{8+1}$
$=\frac{27}{5}=3$

A₁=a+d
=5+3=8

A₂=a+2d
=5+2(3)
=5+6=11

A₃=a+3d
=5+3(3)
=5+9=14

A₄=a+4d
=5+4(3)
=5+12=17

A₅=a+5d
=5+5(3)
=5+15=20

A₆=a+6d
=5+6(3)
=5+18=23

A₇=a+7d
=5+7(3)
=5+21=26

A₈=a+8d
=5+8(3)
=5+24=29

Question 4

1 और 31 के बीच n A.M's ऐसे है कि 7 वाँ माध्य:(n-1) वा माध्य:=5:9 तो n का मान ज्ञात कीजिए।
Sol :
a=1 ,b=31,

$d=\frac{b-a}{n+1}$
$=\frac{31-1}{n+1}=\frac{30}{n+1}$

$\frac{A_7}{A_{n-1}}=\frac{5}{9}$

$\frac{a+7d}{a+(n-1)d}=\frac{5}{9}$

$\frac{1+7\left(\dfrac{30}{n+1}\right)}{1+(n+1)\left(\dfrac{30}{n+1}\right)}=\frac{5}{9}$

$\dfrac{\frac{n+1+210}{n+1}}{\frac{n+1+30n-30}{n+1}}=\frac{5}{9}$

$\frac{n+211}{31n-29}=\frac{5}{9}$

5(31n-29)=9(n+211)
155n-145=9n+1899
146n=2044
$n=\frac{2044}{146}$
n=14

Question 5

दिखलाइए कि दी गई राशियो के बीच प्रारम्म से और अन्त से समदूरस्थ समांतर माध्यो का जोड़ अचर होता है।
Sol :
माना a और b दो दी गई राशियाँ है जिनके बीच n A.M है।

a,A₁,A₂,A₃...A_n,b A.P है।

प्रारंभ से अंत से r वे A.M का जोड़
=a+rd+b-rd
=a+b अचर है।

अंत से r वाँ पद=a_n-(r-1)d

Question 6

x और y के बीच सम्बंध ज्ञात कीजिए यदि x और 2y के बीच मे r वाँ माध्य वही है जो 2x और y के बीच मे r वाँ माध्य है, यदि प्रत्येक स्थिति मे n  माध्य रखे रगे है ।
Sol :
x और 2y के बीच r वाँ AM=2x और y के बीच rवाँ AM

$x+r\left(\frac{2y-x}{n+1}\right)=2x+r\left(\frac{y-2x}{n+1}\right)$

$r\left(\frac{2y-x}{n+1}\right)-r\left(\frac{y-2x}{n+1}\right)=2x-x$

$\frac{r}{n+1}\left[2y-x-y+2x\right]=x$

$\frac{r}{n+1}(x+y)=x$

rx+ry=(n+1)x
ry=(n+1)x-rx
ty=(n+1-r)x

Question 7

यदि $\frac{a^n+b^n}{a^{n-1}+b^{n-1}}$ ,a तथा b के मध्य समांतर माध्य हो तो n का मान ज्ञात कीजिए।
Sol :
$\frac{a^n+b^n}{a^{n-1}+b^{n-1}}$ ,a और b का AM

$\frac{a^n+b^n}{a^{n-1}+b^{n-1}}=\frac{a+b}{2}$

2aⁿ+2bⁿ=aⁿ+ab^n-1+ba^n-1+bⁿ
2aⁿ+2bⁿ-aⁿ-bⁿ=ab^n-1+ba^n-1
aⁿ+bⁿ=ab^n-1+ba^n-1
aⁿ-ba^n-1-ab^n-1+bⁿ=0
a^n-1(a-b)-b^n-1(a-b)=0
(a-b)(a^n-1-b^n-1)=0
a^n-1-b^n-1=0
a^n-1=b^n-1
$\frac{a^{n-1}}{b^{n-1}}=1$

$\left(\frac{a}{b}\right)^{n-1}=\left(\frac{a}{b}\right)^0$