KC Sinha Mathematics Solution Class 11 Chapter 15 (Sequence and Series) अनुक्रम और श्रेणी Exercise 15.6

Exercise 15.6

TYPE-I सूत्र t_n=ar^n-1 के प्रयोग पर आधारित प्रश्न:

Question 1

एक अनुक्रम का n वाँ पद 2³ⁿ(-5)ⁿ है। क्या यह अनुक्रम G.P मे है? यदि है तो इस G.P का सर्व अनुपात ज्ञात कीजिए।
Sol :
a_n=2³ⁿ(-5)ⁿ
n=1,2,3 पर,

a₁=2³⁽¹⁾(-5)⁽¹⁾
=2³⁽¹⁾(-5)

=8(-5)=-40

a₂=2³⁽²⁾(-5)⁽²⁾
=2⁶(25)

=64×25

=1600

a₃=2³⁽²⁾(-5)⁽²⁾
=2⁹(-125)

=512×-125

=-64000

$\begin{array}{l|l}r=\frac{a_{2}}{a_1}=\frac{1600}{-40}&r=\frac{a_3}{a_2}=\frac{-64000}{1600}=-400\end{array}$

∴अनुक्रम G.P मे है। ,r=-40

Question 2

G.P 0.03,0.060.12...3.84 मे कितने पद है?

Sol :

G.P 0.03,0.060.12...3.84

माना G.P मे n पद 

a=0.03 , $r=\frac{a_2}{a_1}=\frac{0.06}{0.03}=2$

a_n=3.84

a.r^n-1=3.84

(0.03)×2r^n-1=3.84
$2^{n-1}=\frac{3.84}{0.03}$
2^n-1=2⁷
n-1=7

n=7+1=8

Question 3

गुणोतर श्रेढ़ी 5,25,125...का 10वाँ तथा nवाँ पद ज्ञात कीजिए?
Sol :
G.P: 5,25,125....

a=5 , $r=\frac{a_2}{a_1}=\frac{25}{5}=5$

a₁₀=ar⁹

=5.(5)⁹
=5¹⁰

a_n=ar^n-1

=5¹.(5)^n-1
=5ⁿ

Question 5

उस गुणोत्तर श्रेढ़ी का 12वाँ पद ज्ञात कीजिए , जिसका 8वाँ पद 192 तथा सार्व अनुपात 2 है।
Sol :
a₁₂=?

a₈=192 ,r=2
ar⁷=192
a(2)⁷=192
a×128=192
$a=\frac{192}{128}$
$a=\frac{3}{2}$
a₁₂=ar¹¹

$=\frac{3}{2}.2^{11}$
=3(2)¹⁰

Question 6

अनुक्रम का कौन सा पद:
(i) 2√3 ,6√3,....1458 है?
Sol :
माना n वाँ पद 1458 है।

a=2√3 ,$r=\frac{a_2}{a_1}=\frac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}$

a_n=1458
ar^n-1=1458
2√3×√3^n-1=1458
(√3)ⁿ=$\frac{1458}{2}$
(√3)ⁿ=(3)⁶
(√3)ⁿ=(3)^2×6
(√3)ⁿ=(3)¹²
n=12

Question 7

(i) किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी का 5 वाँ ,8 वाँ तथा 11वाँ पद क्रमशः p,q तथा s है तो दिखाइए कि qⁿ=ps
Sol :
G.P का: a₅=p ,a₈=q ,a₁₁=5

ar⁴=p..(i)
ar⁷=q..(ii)
ar¹⁰=5..(iii)

समीकरण (i) मे (ii) से भाग देने पर,
$\frac{a4^4}{ar^3}=\frac{p}{q}$
$\frac{1}{r^3}=\frac{p}{q}$

समीकरण (ii) मे (iii) से भाग देने पर,
$\frac{ar^7}{ar^{10}}=\frac{q}{5}$
$\frac{1}{r^{3}}=\frac{q}{5}$

∴$\frac{p}{q}=\frac{q}{5}$

q²=ps

(ii) यदि किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी का 4वाँ तथा 16वाँ पद क्रमशः x,y तथा z है, तो सिद्ध कीजिए कि x,y,z गुणोत्तर श्रेढ़ी मे है।
Sol :
G.P का : a₄=x ,a₁₁=y ,a₁₆=2
ar³=x..(i)
ar⁹=y..(ii)
ar¹⁵=z..(iii)

समीकरण (i) मे (ii) से भाग देने पर,

$\frac{ar^3}{ar^9}=\frac{x}{y}$
$\frac{1}{r^6}=\frac{x}{y}$

समीकरण (ii) मे (iii) से भाग देने पर,

$\frac{ar^9}{ar^15}=\frac{y}{z}$
$\frac{1}{r^6}=\frac{y}{z}$

∴$\frac{x}{y}=\frac{y}{z}$
या $\frac{y}{x}=\frac{z}{y}$

∴x,y,z G.P मे है।

Question 8

एक आदमी प्रथम दिन 2₹ , दूसरे दिन 4₹, तीसरे दिन 8₹ तथा चौथे दिन 16₹ जमा करता है।इसी तरह और आगे भी करता है ।10वाँ दिन का उसका जमा रकम क्या होगा?
Sol :
G.P: 2,4,8,16....

a=.2 , $r=\frac{a_2}{a_1}=\frac{4}{2}=2$

10वाँ दिन की जमा राशि

a₁₀=ar⁹
=2×2⁹=2¹⁰
=1024

Question 9

(i) किसी G.P का 5वाँ और 8वाँ पद क्रमशः 48 और 384 है तो G.P को ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना G.P का प्रथम पद=a
सार्व अनुपात=r

a₅=48 ,a₈=384

ar⁴=48..(i)
ar⁷=384..(ii)

समीकरण (ii) मे (i) से भाग देने पर,

$\frac{ar^7}{ar^4}=\frac{384}{48}$

r³=(2)³
r=2

समीकरण (i) मे r का मान रखने पर,
ar⁴=48.
a(2)⁴=48.
a×16=48
$a=\frac{48}{16}$
a=3

G.P का प्रथम पद ,
a₁=3

a₂=ar
=3×2=6

a₃=ar²
=3×(2)²=12

a₄=ar³
=3×(2)³=24

∴G.P: 3,6,12,24,....

(iii) किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद 1 है।तीसरे एवं पाँचवे पदो का योग 90 हो तो गुणोत्तर श्रेढ़ी का सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना G.P का प्रथम पद=a
सार्व अनुपात=r

a=1 ,

a₃+a₅=90
ar²+ar⁴=90
r²+r⁴=90
r²+r⁴-90=0
r⁴+10r²-9r²-90=0
r²(r²+10)-9(r⁴-10)=0

(r²+10)(r⁴-10)=0

$\begin{array}{l|l}r^2+10=0&r^2-9=0\\r^2=-10&r^2=9\\r=\pm\sqrt{-10}&r=\pm\sqrt{9}\\&r=\pm3\end{array}$

Question 10

किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी का चौथा पद उसके दूसरे पद का वर्ग है तथा प्रथम पद -3 है तो 7वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना G.P का प्रथम पद=a
सार्व अनुपात=r

a₄=(a₂)² ,a=-3
ar³=(ar)²
ar³=a²r²

$\frac{r^3}{r^2}=\frac{a^2}{a}$
r=a
r=-3

a₇=ar⁶
=-3×(-3)⁶
=(-3)⁷
=-2187

Question 11

दिखाइए कि अनुक्रम a,ar,ar²,...ar^n-1 तथा A,AR,AR²,...AR^n-1 के संगत पदो का गुणनफल से बना अनुक्रम गुणोत्तर श्रेढ़ी होती है तथा सर्व अनुपात ज्ञात कीजिए।
Sol :
अनुक्रम a,ar,ar²,...ar^n-1 तथा A,AR,AR²,...AR^n-1 के संगत पदो का गुणनफल:
aA, aArR, aAr²R²,...aAr^n-1R^n-1 

सार्व अनुपात$=\frac{a_2}{a_1}=\frac{aArR}{aA}$
=rR

या $\frac{a_3}{a_2}=\frac{aAr^2R^2}{aArR}$
=rR

∴aA, aArR, aAr²R²,...aAr^n-1R^n-1 G.P मे है।

Question 12

एक G.P का 6वाँ पद और 10वाँ पद क्रमशः $\frac{1}{16}$ और $\frac{1}{256}$ है तो श्रेढ़ी ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना G.P का प्रथम पद=a
सार्व अनुपात=r

$a_6=\frac{1}{16}$,$a_10=\frac{1}{256}$

$ar^5=\frac{1}{16}$..(i)

$ar^9=\frac{1}{256}$..(ii)

समीकरण (ii) मे (i) से भाग देने पर,
$\dfrac{ar^9}{ar^5}=\dfrac{\frac{1}{256}}{\frac{1}{16}}$

$r^4=\frac{1}{16}$

$r^4=\left(\frac{1}{2}\right)^4$

$r=\frac{1}{2}$

$r^4=\left(-\frac{1}{2}\right)^4$

$r=-\frac{1}{2}$

r  का मान समीकरण (i) मे रखने पर,
$ar^5=\frac{1}{16}$

$a\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{1}{16}$
$a \times \frac{1}{32}=\frac{1}{16}$
$a= \frac{1}{16}\times 32$
a=2

इसी प्रकार,
$r=-\frac{1}{2}$
a=-2

CASE-I
a=2
,$r=\frac{1}{2}$

a₁=2
a₂=ar$=2\times \frac{1}{2}=1$

a₃=ar²$=2\times \left(\frac{1}{2}\right)^2$
$=2\times \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$

a₄=ar³$=2\times \left(\frac{1}{2}\right)^3$
$=2\times \frac{1}{8}=\frac{1}{4}$

G.P: 2,1.$\frac{1}{2},\frac{1}{4}$...


CASE-II
a=-2,
$r=-\frac{1}{2}$

a₁=a=-2

a₂=ar
$=-2\left(-\frac{1}{2}\right)$
=1

a₃=ar²
$=-2\left(-\frac{1}{2}\right)^2$
$=-2\left(\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{2}$

a₄=ar³
$=-2\left(-\frac{1}{2}\right)^3$
$=-2\left(\frac{1}{8}\right)=\frac{1}{4}$

G.P: -2,1,$-\frac{1}{2},\frac{1}{4}$....

Question 13

एक G.P का (p+q)वाँ पद a है और (p-q)वाँ पद b है तो दिखलाइए कि इसका p वाँ पद √ab है।

Sol :
माना G.P का प्रथम पद=A
सार्व अनुपात=r

A_p+q=a , A_p-q=b 

Ar^p+q-1=a..(i) ,Ar^p-q-1=b..(ii)

समीकरण (i) मेे (ii) से गुणा करने पर,

Ar^p+q-1.Ar^p-q-1=ab
A²r^p+q-1+p-q-1=ab
A²r^2p-2=ab
A²r^2(p-1)=ab
(Ar^p-1)²=ab
Ar^p-1=√ab

A_p=√ab

Question 14

यदि किसी G.P का p वाँ ,qवाँ और rवाँ पद क्रमशः a,b और c हो तो साबित कीजिए कि a^q-r,b^r-p,c^p-q=1
Sol :
माना G.P का प्रथम पद=A
सार्व अनुपात=R

A_p=a ,A_q=b, A_r=c

AR^p-1=a...(i)
AR^q-1.=b...(ii)
AR^r-1.=c...(iii)

समीकरण (i),(ii) तथा (iii) घात क्रमशः (q-r),(r-p) तथा (p-q) लेकर तानो समीकरण मे गुणा करने पर,

(AR^p-1)^(q-r).(AR^q-1)^(r-p).(AR^r-1)^(p-q)=a^q-r.b^r-p.c^p-q

A^q-r.R^pq-pr-q+r.A^r-p.R^qr-pq-r+p.A^p-q.R^pr-qr-p+q=a^q-r.b^r-p.c^p-q

A^q-r+r-p+p-q.R^{pq-pr-q+r+qr-pq-r+p+pr-qr-p+q}=a^q-r.b^r-p.c^p-q

A⁰.R⁰=a^q-r.b^r-p.c^p-q
1=a^q-r.b^r-p.c^p-q

Question 15

किसी कल्वर मे बैक्टीरिया का संख्या प्रत्येक घंटे पश्वात् दुगुनी हो जाती है।यदि प्रारंभ मे उसमे 30 बैक्टीरिया उपस्थित थे, तो बैक्टीरिया का संख्या दूसरे ,चैथे तथा n वे घंटो बाद क्या होगी?
Sol :
1 घंटे पश्चात बैक्टीरिया की संख्या a₁=30×2
a=60

सार्व अनुपात, r=2

2 घंटे पश्चात बैक्टीरिया की संख्या,
a₂=ar
=60×2
=120

4 घंटे पश्चात बैक्टीरिया का संख्या
a_r=ar³
=60×2³
=60×8=480

n घंटे पश्चात बैक्टीरिया का संख्या
a_n=ar^n-1
=60×2^n-1
=30×2×2^n-1
=30×2ⁿ

Question 16

G.P के तीन क्रमागत संख्याओ का जोड़ 19 है और उनका गुणनफल 216 है तो उन संख्याओ को ज्ञात कीजिए।
Sol:
माना G.P के तीन क्रमागत संख्याँए:

$\frac{a}{r}$a, ar है।

प्रश्न से,
$\frac{a}{r}\times a \times ar=216$

a³=216
a³=6³
a=6

$\frac{a}{r}+a+ar=19$

$\frac{6}{8}+6+6r=19$ (a का मान रखने पर)

$\frac{6+6r+6r^2}{r}=19$

6r²+6r+6=19r
6r²+6r+6-19r=0
6r²-13r+6=0
6r²-9r-4r+6=0
3r(2r-3)-2(2r-3)=0
(2r-3)(3r-2)=0

$\begin{array}{l|l}2r=3&3r-2=0\\2r=3&3r=2\\r=\frac{3}{2}&r=\frac{2}{3}\end{array}$

CASE-I
a=6 , $r=\frac{3}{2}$

प्रथम पद $=\frac{a}{r}=\dfrac{6}{\frac{3}{2}}$
$=\frac{6\times 2}{3}=4$

द्वितीय पद=a=6

तृतीय पद=ar
$=6\times \frac{3}{2}$
=9

G.P के तीन क्रमगत पद:
4,6 और 9


CASE-II
a=6 , $r=\frac{2}{3}$

प्रथम पद $=\frac{a}{r}=\dfrac{6}{\frac{2}{3}}$
$=\frac{6\times 3}{2}=9$

द्वितीय पद=a=6

तृतीय पद=ar
$=6\times \frac{2}{3}$
=4

∴G.P. के तीन क्रमागत पद
9,6 और 4

Question 19

एक G.P के तीन संख्याओ से एक दूसरे G.P के तीन संख्याओ को घटाने से प्राप्त शेषफल भी G.P. मे मिलती है। साबित कीजिए कि तीनो अनुक्रमो का सार्व अनुपात समान है।
Sol :
माना a,ar,ar² तथा A,Ar,Ar²... दो G.P है।

दोनो के संगत पदो का अंतरः
a-A,ar-Ar,ar²-Ar²...G.P मे है ।

प्रथम अनुक्रमः a,ar,ar²

सार्व अनुपातः $\frac{ar}{a}=r$

या $\frac{ar^2}{ar}=r$


द्वितीय अनुक्रमः
A,Ar,Ar²

सार्व अनुपातः $\frac{ar}{a}=r$

या $\frac{Ar^2}{Ar}=r$

तृतीय अनुक्रमः
a-A,ar-Ar,ar²-Ar²

सार्व अनुपातः
$\frac{ar-Ar}{a-A}=\frac{(a-A)r}{a-A}=r$

या $\frac{ar^2-Ar^2}{ar-Ar}=\frac{(a-A)r^2}{(A-a)r}=r$

∴तीनो G.P का सार्व अनुपात समान है।

Question 20

किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी के प्रथम तीन पदो का योगफल 16 है तथा अगले तीन पदो का योग 128 है तो गुणोत्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद, सार्व अनुपात तथा n पदो का योगफल ज्ञात कीजिए।
Sol :
माान G.P का प्रथम पद=a
सार्व अनुपात=r

∴a₁+a₂+a₃=16 , a₄+a₅+a₆=128

a+ar+ar²=16..(i)
ar³+ar⁴+ar⁵=128..(ii)

समीकरण (ii) मे (i) से भाग देने पर,
$\frac{ar^3+ar^4+ar^5}{a+ar+ar^2}=\frac{128}{16}$

$\frac{ar^3(1+r+r^2)}{a(1+r+r^2)}=8$

r³=2³
r=2

समीकरण (i) से ,
a+ar+ar²=16 (r=2 रखने पर)
a+2a+4a=16
7a=16
$a=\frac{16}{7}$

G.P के n पदो के योग $S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$
$=\dfrac{\frac{16}{7}(2^n-1)}{2-1}$
$=\frac{16}{7}(2^n-1)$

प्रथम पद $a=\frac{16}{7}$
सार्व अनुपात=2

Question 23

यदि a,b,c,d G.P मे हो तो दिखलाइए कि
[If a,b,c,d be in G.P then show that]
(i) (a+b)²,(b+c)²,(c+d)² G.P मे है (are in G.P)
Sol :
माना G.P का सार्व अनुपात r है।

∵a,b,c,d G.P मे है।
b=ar ,c=ar²,d=ar³

अनुक्रमः (a+b)²,(b+c)²,(c+d)²
⇒(a+ar)²,(ar+ar²)²,(ar²+ar³)²
⇒a²(1+r)²,a²r²(1+r)²,a²r⁴(1+r)²

सार्व अनुपात $\frac{a^2r^2(1+r)^2}{a^2(1+r)^2}=r^2$

या $\frac{a^2r^4(1+r)^2}{a^2r^2(1+r)^2}=r^2$

∴(a+b)²,(b+c)²,(c+d)² G.P. मे है।

(ii) (a-b)²,(b-c)²,(c-d)² G.P मे है (are in G.P)
Sol :

(iii) a²+b²+c², ab+bc+cd, b²+c²+d² G.P मे है (are in G.P)
Sol :
माना G.P का सार्व अनुपात r है।

∵a,b,c,d G.P मे है।
b=ar, c=ar²,d=ar³

अनुक्रमः a²+b²+c², ab+bc+cd, b²+c²+d²
⇒a²+(ar)²+(ar²)², a.ar+ar.ar²+ar².ar²,
(ar)²+(ar²)²+(ar³)²

⇒a²+a²r²+a²r⁴, a²r+a²r³+a²r⁵,a²r²+a²r⁴+a²r⁶

⇒a²(1+r²+r⁴),a²r(1+r²+r⁴),a²r²(1+r²+r⁴)


सार्व अनुपातः $\frac{a^2r(1+r^2+r^4)}{a^2(1+r^2+r^4)}=4$

या $\frac{a^2r^2(1+r^2+r^4)}{a^2r(1+r^2+4^4)}=r$

∴a²+b²+c²,ab+bc+cd, b²+c²+d² G.P मे है।


(iv) $a^2b^2c^2\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)=a^3+b^3+c^3$
Sol :
माना G.P का सार्व अनुपात r है।

∵a,b,c,d G.P मे है।
b=ar, c=ar²,d=ar³

L.H.S
$a^2b^2c^2\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)$

$=\frac{b^2c^2}{a}+\frac{a^2c^2}{b}+\frac{a^2b^2}{c}$

$=\frac{(ar)^2.(ar^2)^2}{a}+\frac{a^2(ar^2)^2}{ar}+\frac{a^2(ar)^2}{ar^2}$

$=\frac{a^4.r^6}{a}+\frac{a^4.r^4}{ar}+\frac{a^4r^2}{ar^2}$

=a³.r⁶+a³.r³+a³
=(ar²)³+(ar)²+a³
=c³+b³+a³

(v) (a²-b²)(b²+c³)=(b²-c²)(a²+b²)
Sol :
माना G.P का सार्व अनुपात r है।

∵a,b,c,d G.P मे है।

b=ar,c=ar²,d=ar³

L.H.S
=(a²-b²)(b²+c³)
=[a²-(ar)²][(ar)²+(ar²)²]
=a²(1-r²)a²r²(1+r²)
=a⁴r²(1-r²)(1+r²)

R.H.S
=(b²-c²)(a²+b²)
=[(ar)²-(ar)²][a²+(ar)²]
=(a²r²-a²r⁴)(a²+a²r²)
=a²r²(1-r²).a²(1+r²)
=a⁴r²(1-r²)(1+r²)

L.H.S=R.H.S

Question 24

यदि a,b,c,d G.P मे हो तो दिखाइए कि[If a,b,c,d be in G.P.., show that]
(i) $\frac{1}{a^2+b^2},\frac{1}{b^2+c^2},\frac{1}{c^2+d^2}$ G.P मे है(are in G.P)
Sol :
माना G.P का सार्व अनुपात r है।

∵a,b,c,d G.P मे है।

b=ar, c=ar²,d=ar³

अनुक्रमः $=\frac{1}{a^2+b^2},\frac{1}{b^2+c^2},\frac{1}{c^2+d^2}$

=$\frac{1}{a^2+(ar)^2}$ ,$\frac{1}{(ar)^2+(ar)^2}$, $$

=$\frac{1}{a^2+a^2r^2}$, $\frac{1}{a^2r^2+a^2r^4}$, $\frac{1}{a^2r^4+a^2r^6}$

=$\frac{1}{a^2(1+r^2)}$,$\frac{1}{a^2r^2(1+r^2)}$, $\frac{1}{a^2r^4(1+r^2)}$

सार्व अनुपात$=\dfrac{\frac{1}{a^2r^2(1+r^2)}}{\frac{1}{a^2(1+r^2)}}$

$=\frac{1}{r^2}$

या $\dfrac{\frac{1}{a^2r^4(1+r^2)}}{\frac{1}{a^2r^2(1+r^2)}}=\frac{1}{r^2}$

∴$\frac{1}{a^2b^2}$, $\frac{1}{b^2+c^2}$ ,$\frac{1}{c^2+d^2}$ G.P मे है।


(ii) a(b-c)³=d(a-b)³
Sol :
माना G.P का सार्व अनुपात r है।

∵a,b,c,d G.P मे है।

b=ar, c=ar²,d=ar³

L.H.S
a(b-c)³=a[ar-ar²]³
=a(ar)³(1-r)³
=a.a³.r³(1-r)³
=a⁴r³(1-r)³

R.H.S
d(a-b)³=ar³(a-ar)³
=ar³.a³(1-r)³
=a⁴r³(1-r)³

L.H.S=R.H.S

(iii) (a+b+c+d)²=(a+b)²+(c+d)²+2(b+c)²
Sol :
माना G.P का सार्व अनुपात r है।

∵a,b,c,d G.P मे है।

b=ar, c=ar²,d=ar³

L.H.S
(a+b+c+d)²=(a+ar+ar²+ar³)²
=a²(1+r+r²+r³)²
=a²(1+r+r²+r³)(1+r+r²+r³)
=a²(1+r+r²+r³+r+r²+r³+r⁴+r²+r³+r⁴+r⁵+r³+r⁴+r⁵+r⁶)
=a²(1+2r+3r²+4r³+3r⁴+2r⁵+r⁶)

R.H.S

(a+b)²+(c+d)²+2(b+c)²

=(a+ar)²+(ar²+ar³)²+2(ar+ar²)²
=a²(1+r)²+a²(r²+r³)+2a²(r+r²)²
=a²[(1+r)²+(r²+r³)²+2(r+r²)²]
=a²[1+2r+r²+r⁴+2r⁵+r⁶+2(r²+2r³+r⁴)]
=a²[1+2r+r²+r⁴+2r⁵+r⁶+2r²+4r³+2r⁴]
=a²[1++2r+3r²+4r³+3r⁴+2r⁵+r⁶)
L.H.S=R.H.S

(iv) (aⁿ+bⁿ),(bⁿ+cⁿ),(cⁿ+aⁿ)
Sol :
माना G.P का सार्व अनुपात r है।

∵a,b,c,d G.P मे है।

b=ar, c=ar²,d=ar³

अनुक्रमः aⁿ+bⁿ,
=aⁿ+(ar)ⁿ, (ar)ⁿ+(ar²)ⁿ,(ar²)ⁿ+(ar³)ⁿ
=aⁿ+aⁿrⁿ,aⁿrⁿ+aⁿr²ⁿ,aⁿr²ⁿ+aⁿr³ⁿ
=aⁿ(1+rⁿ),a^mrⁿ(1+rⁿ),aⁿr²ⁿ(1+rⁿ)

सार्व अनुपातः $=\frac{a^nr^n(1+r^n)}{a^n(1+r^n)}=r^n$

या $\frac{a^nr^{2n}(1+r^n)}{a^nr^n(1+r^n)}=r^n$

∴(aⁿ+bⁿ) ,(b^b+cⁿ), (cⁿ+dⁿ) G.P मे है।

Question 25

यदि a,b,c G.P मे हो तो दिखलाइए कि loga, logb, logc A.P मे है।
Sol :
∵a,b,c G.P मे है।

$\frac{b}{a}=\frac{c}{b}$

दोनो तरफ log लेने पर,

$\log \frac{b}{a}=\log \frac{c}{b}$

logb-loga=logc-logb

∴loga, logb, logc A.P मे है।

Question 26

(i) x के किस मान के लिए संख्याएँ x-2,x,x+3 गुणोत्तर श्रेणी मे है।
Sol :
x-2,x,x+3 G.P मे है।

$\frac{x}{x-2}=\frac{x+3}{x}$

x²=x²+3x-2x-6
0=x-6
6=x