KC Sinha Mathematics Solution Class 11 Chapter 15 (Sequence and Series) अनुक्रम और श्रेणी Exercise 15.7

Exercise 15.7

Question 1

निम्नांकित गुणोत्तर श्रेढ़ी का योगफल निर्दिष्ट पदो तक ज्ञात कीजिए
[Find the sum indicated terms of the following geometric progressions]

(i) 1,2,4,8...12 पदो तक (to 12 terms)
Sol :

(ii) 1,-3,9,-27...9 पदो तक(to 9 terms)
Sol :

(iii) 1,$\frac{1}{3}$ ,$\frac{1}{9}$, $\frac{1}{27}$...n पदो तक (to n terms)
Sol :
a=1 , $r=\dfrac{\frac{1}{3}}{1}=\frac{1}{3}$

$S_n=\frac{a(1+r^n)}{1-r}$

$=\dfrac{1\left(1-\frac{1}{3}\right)^n}{1-\frac{1}{3}}$

$=\dfrac{\left(1-\frac{1}{3^n}\right)}{\frac{3-1}{3}}$

$=\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{3^n}\right)$

(iv) 6,66,666,...n पदो तक (to n terms)
Sol :
6+66+666....n पदो तक
=6[1+11+111+....n पदो तक]

$=\frac{6}{9}\times 9 [1+11+111+...n~terms]$

$=\frac{6}{9}[1+11+111+...n~terms]$

$=\frac{6}{9}[(10^1-1)+(10^2-1)+(10^3-1)+...n~terms]$

$=\frac{6}{9}[10^1+10^2+10^3+...n~terms]-(1+1+1+...n~terms)$

a=10 ,$r=\frac{10^2}{10}=10$

$S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$

$=\frac{6}{9}\left[\frac{10(10^n-1)}{10-1}-n\times 1\right]$

$=\frac{6}{9}\left[\frac{10^{n-1}-10}{9}-n\times 1\right]$

$=\frac{6}{9}\left[\frac{10^{n+1}-10-9n}{9}\times 1\right]$

$=\frac{2}{27}(10^{n+1}-9n-10)$


(vi) 0.5,0.55,0.555...n पदो तक (to n terms)
Sol :
0.5,0.55,0.555...n पदो तक

=5[0.1+0.11+0.111+...n पदो तक]

$=\frac{5}{9}\times 9 [0.1+0.11+0.111+...n terms]$

$=\frac{5}{9} [0.9+0.99+0.999+...n terms]$

$=\frac{5}{9} [(1^1-0.1)+[1-(0.1)^2]+[1-(0.1)^3]+...n terms]$

$=\frac{5}{9} [(1+1+1+...n terms)-(0.1+(0.1)^2+10.1^3+...n terms)]$

a=0.1 , $r=\frac{(0.1)^2}{0.1}=0.1$

$S_n=\frac{a(1+r^n)}{1-r}$

$=\frac{5}{9}\left[n\times 1-\frac{0.1(1-(0.1)^n)}{1-0.1}\right]$

$=\frac{5}{9}\left[n-\frac{1}{9}\left(\frac{10^n-1}{10^n}\right)\right]$

$=\frac{5}{9}\left[n-\frac{10^n-1}{9\times 10^n}\right]$


(vii) 1,$-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}-\frac{1}{8}$,...n पदो तक (to n terms)

(viii) 1,-a,a²,-a³...n पदो तक (to n terms)

(ix) x³,x⁵,x⁷,...n पदो तक (to n terms)

(x) 0.15,0.015,0.0015...20 पदो तक (to 20 terms)

(xi) 7+77+777+...n पदो तक (to n terms)

Question 2

श्रेणी के n पदो तक का योगफल ज्ञात करे [Find the sum of n terms of the series]
$\left(x^2+\frac{1}{x^2+2}\right)+\left(x^4+\frac{1}{x^4+5}\right)+\left(x^6+\frac{1}{x^6+8}\right)$
Sol :
=(x²+x⁴+x⁶+..n पदो तक)+$\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^6}+...n~terms \right)$+(2+5+8+...n पदो तक)

CASE-I श्रेणीः
x²+x⁴+x⁶+..n पदो तक

a=x², $r=\frac{x^4}{x^2}=x^2$

$S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$
$=\frac{x^2(x^{2n}-1)}{x^2-1}$

CASE-II श्रेणीः
$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^6}+...n$ पदो तक

$a=\frac{1}{x^2}$ ,

$r=\dfrac{\frac{1}{x^4}}{\frac{1}{x^2}}$
$=\frac{1}{x^2}$


$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$=\dfrac{\frac{1}{x^2}\left(1-\frac{1}{x^{2n}}\right)}{1-\frac{1}{x^2}}$

$=\dfrac{\frac{1}{x^2}\left(\frac{x^{2n}-1}{x^{2n}}\right)}{\frac{x^2-1}{x^2}}$

$S_n=\frac{x^{2n}-1}{x^{2n}(x^2-1)}$


CASE-III श्रेणीः
2+5+8+...n पदो तक

a=2 , d=5-2=3

$S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$

$=\frac{n}{2}\left[2\times 2+(n-1)3 \right]$

$=\frac{n}{2}[4+3n-3]$

$=\frac{n(3n+1)}{2}$

∴$\left(x^2+\frac{1}{x^2}+2\right)+\left(x^4+\frac{1}{x^4}+5\right)+\left(x^6+\frac{1}{x^6}+8\right)$+...n पदो तक

$=\frac{x^2(x^{2n}-1)}{x^2-1}+\frac{x^{2n}-1}{x^{2n}(x^2-1)}+\frac{n(3n+1)}{2}$

$=\frac{x^{2n}-1}{x^2-1}\left[x^2+\frac{1}{x^{2n}}\right]+\frac{n(3n+1)}{2}$

Question 3

एक व्यक्ति प्रथम दिन 1₹, दूसरे दिन 3₹, तीसरे दिन 9₹, चौथे दिन 27₹ और इसी तरह संग्रह करना प्रारंभ करता है। 20 दिनो मे उसके पास कितना संग्रह होगा ?
Sol :
G.P: 1₹,3₹,9₹,27₹....20 दिनो

a=1₹, $r=\frac{3}{1}=3$

n=20

$S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}=\frac{1(3^{20}-1)}{3-1}$

$=\frac{3^{20}-1}{2}$

Question 4

श्रेणी 1+2+2²+... के कितने पदो को लिया जाय कि उसका योगफल 511 हो।
Sol :
माना पदो की संख्या n है।

G.P श्रेणीः 1+2+2²+...

a=1, $r=\frac{2}{1}=2$

S_n=511

$\frac{a(r^n-1)}{r-1}=511$

$\frac{1(2^n-1)}{2-1}=511$

2ⁿ-1=511
2ⁿ=512
2ⁿ=2⁹
n=9

Question 5

n का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिससे 1+2+2²+...2^n-1≥300
Sol :
1+2+2²+...2^n-1≥300

a=1, $r=\frac{2}{1}=2$

$S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$

$\frac{1(2^n-1)}{2-1}\geq 300$

2ⁿ-1≥300
2ⁿ≥301
2ⁿ>256
2ⁿ>2⁸
n>8
n=9

Question 7

गुणोत्तर श्रेढ़ी के कुछ पदो का योग 315 है, उसका प्रथम पद तथा सार्व अनुपात क्रमशः 5 तथा 2 है । अंतिम पद तथा पदो की संख्या ज्ञात कीजिए ?
Sol :
माना पदो की संख्या=n

S_n=315, a=5, r=2

$\frac{a(r^n-1)}{r-1}=315$

$\frac{5(2^n-1)}{2-1}=315$

2ⁿ-1$=\frac{315}{5}$
2ⁿ=64
2ⁿ=2⁶
n=6

a_n=ar^n-1

a₆=5(2)^6-1
=5×2⁵
=5×30
=160

∴ अंतीम पद=160
पदो की संख्या=6

Question 8

किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी के पदो की संख्या सम है। यदि उसके सभी पदो का योगफल, विषम स्थान पर रेखा पदो के योगफल का 5 गुना है, तो सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना गुणोत्तर श्रेढ़ी मे 2n पद है।

G.P: a,ar,ar²,...ar^2n-1

विषम स्थान पर के पदो की संख्या$=\frac{2n}{2}=n$

प्रश्न से,
a,ar,ar²,...ar^2n-1=5×(a,ar,ar⁴+...+ar^2n-2)

$\frac{a(r^{2n}-1)}{r-1}=5\times \frac{a(r^{2n}-1)}{r^2-1}$

$\frac{1}{r-1}=\frac{5}{r^2-1}$

$\frac{r^2-1^2}{r-1}=5$

$\frac{(r-1)(r+1)}{r-1}=5$

r+1=5
r=5-1=4

सार्व अनुपात=4

Question 9

दिखलाइए कि एक ही सार्व अनुपात वाले दो G.P के n पदो के योगफलो का अनुपात उनके n वे पदो के अनुपात के बराबर है।
Sol :
माना दोनो G.P का सार्व अनुपात r है तथा प्रथम पद क्रमशः a तथा A है।

G.P's a,ar,ar²,...ar^n-1

A,Ar,Ar²,..Ar^n-1

दोनो G.P के n पदो का अनुपात $=\dfrac{\frac{a(r^n-1)}{r-1}}{\frac{A(r^n-1)}{r-1}}=\frac{a}{A}$

दोनो G.P के n वे पदो का अनुपात $=\frac{ar^{n-1}}{Ar^{n-1}}$
$=\frac{a}{A}$
=a:A

Question 10

यदि G.P के n,2n,3n पदो के योगफल क्रमशः S₁,S₂,S₃, हो तो दिखलाइए कि
[If S₁,S₂,S₃, be the sum of  n,2n,3n , terms respectively of a G.P show that]
(S₂-S₁)²=(S₃-S₂)²
Sol :
S_n=S₁, S_2n=S₂, S_3n=S₃

L.H.S

$(S_2-S_1)^2=[S_{2n}-S_2]^2$

$=\left[\frac{a(r^{2n}-1)}{r-1}-\frac{a(r^n-1)}{r-1}\right]^2$

$=\left[\dfrac{a\{(r^n)^2-1^2\}}{r-1}-\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}\right]^2$

$=\left[\frac{a(r^n-1)(r^n+1)}{r-1}-\frac{a(r^n-1)}{r-1}\right]^2$

$=\frac{a^2(r^n-1)^2}{(r-1)^2}\left[r^n+1-1\right]^2$

$=\frac{a^2(r^n-1)^2}{(r-1)^2}r^{2n}$


R.H.S

S₁(S₃-S₂)

=S_n(S_3n-S_2n)

$=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\left[\frac{a(r^{3n}-1)}{r-1}-\frac{a(r^{2n}-1)}{r-1}\right]$

$=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\left[\frac{a\{(r^n)^3-1^3\}}{r-1}-\frac{a\{(r^n)^2-1^2\}}{r-1}\right]$

$=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\left[\frac{a(r^n-1)\{(r^n)^2+r^n.1+1^2\}}{r-1}-\frac{a(r^n-1)(r^n+1)}{r-1}\right]$

$=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\left[\frac{a(r^n-1)(r^{2n+r^{n}+1})}{r-1}-\frac{a(r^n-1)(r^n+1)}{r-1}\right]$

$=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\left[\frac{a(r^n-1)(r^{2n+r^n+1})}{r-1}-\frac{a(r^n-1)(r^n+1)}{r-1}\right]$

$=\frac{a^2(r^n-1)^2}{(r-1)^2}\left[r^{2n+r^n+1-r^n-1}\right]$

$=\frac{a^2(r^n-1)^2}{(r-1)^2}\times r^{2n}$

L.H.S=R.H.S

Question 11

यदि एक G.P जिसका प्रथम पद a और सार्व अनुपात r है , के n पदो का योगफल S_n से निरूपित होता है तो S₁+S₂+...S_2n-1 ज्ञात कीजिए ।

Sol :

प्रथम पद=a , सार्व अनुपात=r

n पदो का योगफल=S_n

$=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$ या $=\frac{a}{1-r}(1-r^n)$

S₁+S₂+....S_2n-1=$\frac{a}{1-r}(1-r)+\frac{a}{1-r}(1-r^2)+$...$\frac{a}{1-r}(1-r^{2n-1})$

$=\frac{a}{1-r}$[(1-r)+(1-r²)+...+(1-r^2n-1)]

$=\frac{a}{1-r}$[(1+1+1+...2n-1 पदो तक)-(r+r²+..+r^2n-1]

$=\frac{a}{1-r}\left[(2n-1)\times 1-\frac{r(1-r^{2n-1})}{1-r}\right]$

$=\frac{a}{1-r}[2n-1-\frac{r(1-r^{2n-1})}{1-r}]$

Question 12

किसी श्रेणी के n पद का जोड़ a.2ⁿ-b है , तो इसका n वाँ ज्ञात कीजिए । क्या इस श्रेणी के पद G.P मे है?
Sol :
S_n=a.2ⁿ-b , a_n=?

S_n-1=a.2^n-1-b
a_n=S_n-S_n-1
a_n=(a.2ⁿ-b)-(a.2^n-1-b)
=a.2ⁿ-b-a.2^n-1+b
a_n=a.2ⁿ-$\frac{a.2^n}{2}$
$=a.2^n\left(\frac{2-1}{2}\right)$
$a_n=a.2^n\times \frac{1}{2}$
a_n=a.2^n-1

n=1,2,3 पर

a₁=a.2^1-1=a.2⁰=a

a₂=a.2^2-1=a.2¹=2a

a₃=a.2^3-1=a.2²=4a

$r=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2a}{a}=2$
 या $\frac{a_3}{a_2}=\frac{4a}{2a}=2$

∴श्रेणी G.P मे है।

Question 13

यदि किसी श्रेणी का n वाँ पद 3.2ⁿ-4 है तो इसके 100 पदो का जोड़ ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना , a_n=3.2ⁿ-4

S₁₀₀=a₁+a₂+a₃+...a₁₀₀
=(3.2¹-4)+(3.2²-4)+(3.2³-4)+...(3.2¹⁰⁰-4)
=[3.2¹+3.2²+3.2³+....+3.2¹⁰⁰]-[4+4+4+..10 पदो तक]
=3[2¹+2²+2³+...2¹⁰⁰]-100×4
$=\frac{3\times \frac{2(2^{100}-1)}{2-1}-400$
=6(2¹⁰⁰-1)-400

Question 14

निम्नांकित श्रेणी का n वाँ पद और n पदो का योगफल ज्ञात कीजिए।
[Find the n th term and the sum to n terms of the series]
1+(1+2)+(1+2+2²)+...
Sol :
a_n=1+2+2²+...+2^n-1

a=1 , $r=\frac{2}{1}=2$

$a_n=\frac{1(2^n-1)}{2-1}$

$S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$

a_n=2²-1

n पदो का योग=a₁,a₂+...a_n
=(2¹-1)+(2²-1)+...
=(2¹+2²+...+2ⁿ)-(1+1+1+...n पदो तक)
$=\frac{2(2^n-1)}{2-1}-n\times 1$
=2(2ⁿ-1)-n
=2ⁿ⁺¹-2-n

Question 15

निम्नांकित श्रेणी का योगफल ज्ञात कीजिए
[Find the sum of the following series]
1+3x+9x²+27x³+..to ∞
Sol :
$S_{\infty}=\frac{a}{1-r}$

a=1,

$r=\frac{3x}{1}$
=3x

$S_{\infty}=\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-3x}$

Question 17

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}+...$
Sol :
$=\left(1+\frac{1}{2^2}+...\infty \right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^3}+\dots +\infty \right)$

$=\dfrac{1}{1-\frac{1}{2^2}}-\dfrac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2^2}}$

$=\dfrac{1}{1-\frac{1}{4}}-\dfrac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}$

$=\dfrac{1}{\frac{4-1}{4}}-\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{4-1}{4}}$

$=\dfrac{1}{\frac{3}{4}}-\dfrac{1}{\frac{3}{2}}$

$=\frac{4}{3}-\frac{2}{3}=\frac{4-2}{3}$

$=\frac{2}{3}$

Question 21

मान ज्ञात कीजिए
(Find the value of )
$9^{\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\dots \text{ to } \infty}$
Sol :
$9^{\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\dots \infty}$

$a=\frac{1}{3}$, $r=\dfrac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}$

$S_{\infty}=\frac{a}{1-r}$

$=\dfrac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$

$=\dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{3-1}{3}}=\frac{1}{2}$

$9^{\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\dots \infty}$

$=9^{\frac{1}{2}}=3^{2\times \frac{1}{2}}$

=3

Question 22

ज्ञात कीजिए (Find) $\frac{1}{1+x^2}\left\{1+\frac{2x}{1+x^2}+\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)^2+\dots \text{ to } \infty \right\}$ जहाँ (where) x≥0
Sol :
$=\frac{1}{1+x^2}\left\{1+\frac{2x}{1+x^2}+\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)^2+\dots \test{ to }\infty \right\}$

$=\frac{1}{1+x^2}\times \left(\dfrac{1}{1-\frac{2x}{1+x^2}}\right)$

$=\frac{1}{1+x^2}\times \left(\dfrac{1}{\frac{1+x^2-2x}{1+x^2}}\right)$

$=\frac{1}{x^2-2x+1}=\frac{1}{(x+1)^2}$

Question 23

साबित कीजिए कि (Prove that) $a^{\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{4}}a^{\frac{1}{8}}\dots \text{ to }\infty}=a$
Sol :
L.H.S
$a^{\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{4}}a^{\frac{1}{8}}\dots \text{ to }\infty}$

$a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots \text{ to } \infty }$

$a=\frac{1}{2}$ ,$r=\dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$

$=a^{\dfrac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}}$

$=a^{\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{2-1}{2}}}$

$=a^{\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}}$

=a

Question 24

$0.\overline{54}$ को परिमेय संख्या के रूप मे व्यक्त कीजिए।
Sol :
$0.\overline{54}$=0.545454....∞

=0.54+0.0054+0.000054+...∞

=54[0.01+0.0001+0.000001+...+∞]

$=54\times \dfrac{0.01}{1-0.01}$

$=54\times \frac{0.01}{0.99}$

$=54\times \frac{1}{99}=\frac{6}{11}$

Question 26

एक अपरिमित G.P का जोड़ जिसका सार्य अनुपात 1 से कम है 32 और इसके प्रथम दो का जोड़ 24 है, तो G.P ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना G.P का प्रथम पद=a, साई अनुपात=r है।
S_∞=32 , r<1

a+ar=24
a(1+r)=24
$a=\frac{24}{1+r}$

S_∞=32

$\frac{a}{1-r}=32$

$\dfrac{\frac{24}{1+r}}{1-r}=32$ [a का मान रखने पर]

$\dfrac{24}{1^2-r^2}=32$

$\frac{3}{1-r^2}=4$

3=4-4r²
4r²=4-3
$r^2=\frac{1}{4}$

$r=\pm \sqrt{\frac{1}{4}}=\pm \frac{1}{2}$

$r=\frac{1}{2}$ पर,

$a=\frac{24}{1+r}=\dfrac{24}{1+\frac{1}{2}}$
$=\dfrac{24}{\frac{2+1}{2}}$

$a=\dfrac{24}{\frac{3}{2}}=\frac{24}{3}\times 2$
=16

a₁=16,

a₂=ar$=16 \times \frac{1}{2}=8$

a₃=ar²$=16\times \left(\frac{1}{2}\right)^2$
$=16\times \frac{1}{4}=4$

G.P: 16, 8, 4,..

$r=-\frac{1}{2}$ पर,

$a=\frac{24}{1+r}=\dfrac{24}{1-\frac{1}{2}}$
$=\dfrac{24}{\frac{2-1}{2}}$

$a=\dfrac{24}{\frac{1}{2}}=48$

a₁=48,

a₂=ar$=48\left(-\frac{1}{2}\right)$
=-24

a₃=ar²$=48\left(-\frac{1}{2}\right)^2$
$=48\left(\frac{1}{4}\right)=12$

G.P: 48,-24,12...