Exercise 15.9
Question 1
2 और 162 के बीच 7 G.M's राखिए।Sol :
माना 2 और 162 के बीच 7 G.M's G1,G2,G3... G है।
2,G1,G2,G3,...G7,162 G.P मे है।
a=2 ,b=162, n=7
$r=\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{n+1}}$
$=\left(\frac{162}{2}\right)^{\frac{1}{7+1}}$
$=3^{4\times \frac{1}{8}}=3^{\frac{1}{2}}$
=√3
G1=ar=2√3
G2=ar2=2(√3)2=6
G3=ar3=2(√3)3
=2×3√3=6√3
G4=ar4=2(√3)4
=2×9=18
G5=ar5=2(√3)5
=2×9√3=18√3
G6=ar6=2(√3)6
=2×27=54
G7=ar7=2(√3)7
=2×27√3=54√3
2 और 162 के बीच के 7 G.M's
2√3,6,6√3,18,18√3,54,54√3
Question 3
यदि दो धनात्मक संख्याओ a तथा b के बीच समांतर माध्य तथा गुणोत्तर माध्य क्रमशः 10 तथा 8 है , तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।Sol :
$\frac{a+b}{2}=10$ , √ab=8
a+b=20..(i)
दोनो तरण वर्ग करने पर,
(√ab)2=82
ab=64
$b=\frac{64}{a}$
समीकरण (i) मे b का मान रखने पर,
a+b=20
$a+\frac{64}{a}=20$
$\frac{a^2+64}{a}=20$
a2+64=200
a2-20a+64=0
a(a-16)-4(a-16)=0
(a-16)(a-4)=0
$\begin{array}{l|l}a-16=0&a-4=0\\a=16&a=4\end{array}$
CASE-I
a=16
समीकरण (i) से
a+b=20
16+b=20
b=4
CASE-II
a=4
समीकरण (i) से
a+b=20
4+b=20
b=16
Question 6
दो-दी गई राशियो a तथा b के बीच विषम संख्याओ मे G.M's रखे गयो हो तो दिखलाइए कि मध्य G.M=√abSol :
माना दो-दी गई राशियो a तथा b के बीच
(2n+1) G.M's रखे गये है।
माना G.P का सार्व अनुपात r है।
$r=\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{2n+1+1}}$
$=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{\frac{1}{2n+2}}$
$=\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{2(n+1)}$
G.P का मध्य पर या रखे गए (2n+1) पदो मे मध्य का
G.M=$\left(\frac{2n}{2}+1\right)$ वाँ पद
=(n+1)वाँ पद
Gn+1=arn+1
$=a\left(\frac{b}{a}\right)^{(n+1)\times \frac{1}{2(n+1)}}$
$=a.\dfrac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}$
$=a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}$
$=(ab)^{\frac{1}{2}}$
=√ab
Question 7
यदि दो संख्याओ के बीच A.M तथा G.M क्रमशः A और G हो तो दिखलाइए कि वे संख्याएँ A+$\sqrt{A^2-G^2}$ और $A-\sqrt{A^2-G^2}$ है।Sol :
माना वह दो संख्याएँ a तथा b है।
$\frac{a+b}{2}=A$ , √ab=G
दोनो को वर्ग करके घटाने पर,
$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$-(√ab)2=A2-G2
$\frac{a^2+b^2+2ab}{4}$-ab=A2-G2
$\frac{a^2+b^2-4ab}{4}$=A2-G2
$\frac{a^2+b^2-2ab}{4}$=A2-G2
$\left(\frac{a-b}{2}\right)^2$=A2-G2
$\frac{a-b}{2}=\pm \sqrt{A^2-G^2}$
CASE-I
$\frac{a+b}{2}=A$ , $\frac{a-b}{2}=\sqrt{A^2-G^2}$
$\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2}=A+\sqrt{A^2-G^2}$
$\frac{a+b+a-b}{2}=A+\sqrt{A^2-G^2}$
$\frac{2a}{2}=A+\sqrt{A^2-G^2}$
a=A+√A2-G2
घटाने पर,
$\frac{a+b}{2}-\frac{a-b}{2}=A-\sqrt{A^2-G^2}$
$\frac{a+b-a+b}{2}=A-\sqrt{A^2-G^2}$
$\frac{2b}{2}=A-\sqrt{A^2-G^2}$
$b=A-\sqrt{A^2-G^2}$
CASE-II
$\frac{a+b}{2}=A$ , $\frac{a-b}{2}=-\sqrt{A^2-G^2}$
जोड़ने पर,
$\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2}=A-\sqrt{A^2-G^2}$
$\frac{a+b+a-b}{2}=A-\sqrt{A^2-G^2}$
$\frac{2a}{a}=A-\sqrt{A^2-G^2}$
$a=A-\sqrt{A^2-G^2}$
घटाने पर,
$\frac{a+b}{2}-\frac{a-b}{2}=A-\left(-\sqrt{A^2-G^2}\right)$
$\frac{a+b-a+b}{2}=A+\sqrt{A^2-G^2}$
$\frac{2b}{2}=A+\sqrt{A^2-G^2}$
$a=A+\sqrt{A^2-G^2}$
अतः अभिष्ट राशियाँ,
$A+\sqrt{A^2-G^2},A-\sqrt{A^2-G^2}$
Question 8
यदि दो संख्याओ a और b के बीच के A.M तथा G.M का अनुवाद m:n हो तो साबित कीजिए किa:b=m+$\sqrt{m^2-n^2}:m-\sqrt{m^2-n^2}$
Sol :
a और b के बीच के A.M तथा G.M का अनुपात=m:n
$\dfrac{\frac{a+b}{2}}{\sqrt{ab}}=\frac{m}{n}$
$\frac{a+b}{2\sqrt{ab}}=\frac{m}{n}$
By componendo and dividendo
$\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{a+b-2\sqrt{ab}}=\frac{m+n}{m-n}$
$\frac{(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}}{(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}}=\frac{m+n}{m-n}$
$\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}=\frac{m+n}{m-n}$
$\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\right)^2=\frac{m+n}{m-n}$
$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\sqrt(\frac{m+n}{m-n})$
Again , by componendo and dividendo
$\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})+(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})-(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\frac{\sqrt{m+n}+\sqrt{m-n}}{\sqrt{m+n}-\sqrt{m-n}}$
$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{m+n}+\sqrt{m-n}}{\sqrt{m+n}-\sqrt{m-n}}$
$\frac{2\sqrt{a}}{2\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{m+n}+\sqrt{m-n}}{\sqrt{m+n}-\sqrt{m-n}}$
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{m+n}+\sqrt{m-n}}{\sqrt{m+n}-\sqrt{m-n}}$
दोनो तरफ वर्ग करने पर,
$\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{m+n}+\sqrt{m-n}}{\sqrt{m+n}-\sqrt{m-n}}\right)^2$
$\frac{a}{b}=\frac{\left(\sqrt{m+n}+\sqrt{m-n}\right)^2}{\left(\sqrt{m+n}-\sqrt{m-n}\right)^2}$
$\frac{a}{b}=\frac{(\sqrt{m+n})^2+(\sqrt{m-n})^2+2\sqrt{m+n}.\sqrt{m-n}}{(\sqrt{m+n})^2+(\sqrt{m-n})^2-2\sqrt{m+n}\sqrt{m-n}}$
$\frac{a}{b}=\frac{m+n+m-n+2\sqrt{m^2-n^2}}{m+n+m-n-2\sqrt{m^2-n^2}}$
$\frac{a}{b}=\frac{2m+2\sqrt{m^2-n^2}}{2m-2\sqrt{m^2-n^2}}$
$\frac{a}{b}=\frac{2(m+\sqrt{m^2-n^2})}{2(m-\sqrt{m^2-n^2)}}$
a:b=(m+√m2+n2):(m-√m2-n2)
Question 9
यदि दो दी गई राशिओ a तथा b के बीच एक G.M.G और दो A.M's p तथा q रखे नये हो तो साबित कीजिए किG2=(2p-q)(2p-p)
Sol :
a,G,b, G.P मे है।
$\frac{G}{a}=\frac{b}{G}$
G2=ab..(i)
a,p,q,b A.P मे है।
माना इस A.P का सार्वअंतर d है ।
$d=\frac{b-a}{2+1}=\frac{b-a}{3}$
p=a+d
$=a+\frac{b-a}{3}$
$=\frac{3a+b-a}{3}$
$=\frac{2a+b}{3}$
$P=\frac{2a+b}{3}$
2a+b=3p..(i)
q=a+2d
$=a+2\left(\frac{b-a}{3}\right)$
$=\frac{3a+2b-2a}{3}$
$q=\frac{a+2b}{3}$
a+2b=3q..(ii)
समीकरण (i) मे 2 से तथा समीकरण (ii) मे 1 से गुणा करने पर,
$\begin{aligned}4a+2b=&6p\\a+2b=&3q\\-\phantom{a}-\phantom{2b}&-\phantom{3q}\\ 3a=6p-3q\end{aligned}$
3a=3(2p-q)
a=2p-q
a का मान समीकरण (ii) मे रखने पर,
a+2b=3q
2p-q+2b=3q
2b=3q-2p+q
2b=4q-2p
2b=2(2q-p)
b=(2q-p)
∵G2=ab=(2p-q)(2q-p)
Question 10
यदि दो दी गई संख्याओ के बीच एक A.M, A और दो G.M's p तथा q रखे गये हो तो दिखलाइए कि$\frac{p^2}{q}+\frac{q^2}{p}=2A$
Sol :
माना a और b दो दी गई संखयाएँ है।
a,A,b A.P मे है ।
$A=\frac{a+b}{2}$
2A=a+b..(i)
a,p,q,b G.P मे है ।
माना G.P का सार्व अनुपात r है।
$r=\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{2+1}}$
$=\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{3}}$
p=ar
$=a\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{3}}$
$=a.\dfrac{b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}}$
$=a^{\frac{2}{3}}.b^{\frac{1}{3}}$
q=ar2
$=a\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{2}{3}}$
$=a\dfrac{b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}}$
$=a^{\frac{1}{3}}.b^{\frac{2}{3}}$
L.H.S
$\frac{p^2}{q}+\frac{q^2}{p}$
$=\dfrac{\left(a^{\frac{2}{3}}.b^{\frac{1}{3}}\right)^2}{a^{\frac{1}{3}}.b^{\frac{2}{3}}}+\dfrac{\left(a^{\frac{1}{3}}.b^{\frac{2}{3}}\right)^2}{a^{\frac{2}{3}}.b^{\frac{1}{3}}}$
$=\dfrac{a^{\frac{4}{3}.b^{\frac{2}{3}}}}{a^{\frac{1}{3}}.b^{\frac{2}{3}}}+\dfrac{a^{\frac{2}{3}.b^{\frac{4}{3}}}}{a^{\frac{2}{3}}.b^{\frac{1}{3}}}$
$=a^{\frac{3}{3}}+b^{\frac{3}{3}}$
=a+b (समीकरण (i) से )
Question 11
यदि $0<\theta <\frac{\pi}{2}$ , तो tanθ+cotθ का न्यूनतम मान निकाले।Sol :
0<2θ<π
tanθ+cotθ$=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$
$=\frac{\sin^2 \theta+\cos^2 \theta}{\cos \theta \sin \theta}$
$=\frac{1}{\sin \theta \cos \theta}$
$=\frac{2}{2\sin \theta \cos \theta}=\frac{2}{\sin 2\theta}$
=2cosec2θ
=2cosec2θ≥2
[cosec2θ>0
0<2θ<π]
न्यूनतम मान=2
Question 12
यदि किसी A.P तथा G.P दोनो का p वाँ, q वाँ तथा r वाँ पद a,b,c हो तो साबित कीजिए किabbcca=acbacb
Sol :
माना A.P का प्रथम पद A1 तथा सार्व अनुपात D है ।
A1+(p-1)D=a..(i)
A1+(q-1)D=b..(ii)
A1+(r-1)D=c..(iii)
समीकरण (i) तथा (ii) से,
$\begin{aligned}A_1+(p-1)D=&a\\A_1+(q-1)D=&b\\-\phantom{A_1}-\pahntom{(q-1)D}&-\phantom{b}\\(p-1)D-(q-1)D=a-b\end{aligned}$
(p-1-q+1)D=a-b
(p-q)D=a-b
इसी प्रकार,
(q-r)D=b-c
(r-p)D=c-a
माना G.P का प्रथम पद A तथा सार्व अनुपात R है।
ARp-1=a..(iv)
ARq-1=b...(v)
ARr-1=c...(vi)
समीकरण (iv) का घात (b-c), समीकरण (v) का घात (c-a) तथा समीकरण (vi) का घात (a-b) लेकर तीनो समीकरण मे गुणा करने पर,
(ARp-1)(b-c),(ARq-1)(c-a),(ARr-1)(a-b)=ab-c,bc-a,ca-b
(ARp-1)(q-r)D,(ARq-1)(r-p)D,(ARr-1)(p-q)D=ab-c,bc-a,ca-b
[Aq-r.Rpq-pr-q+r.Ar-p.Rqr-pq-r+p.Ap-q.Rpr-qr-p+q]=ab-c.bc-a.ca-b
A0R0=ab-c.bc-a.ca-b
$1=\frac{a^b}{a^c}\times \frac{b^c}{b^a} \times \frac{c^a}{c^b}$
acbacb=abbcca
Question 13
धनात्मक पदो वाले एक A.P तथा एक G.P का प्रथम पद है और उनके प्रथम, द्वितीय तथा तृतीय पदो का योग क्रमशः $1,\frac{1}{2}$ और 2 है। उनके चतुर्थ पदो का जोड़ ज्ञात कीजिए।Sol :
माना A.P तथा G.P दोनो के प्रथम पद a है।
A.P का सार्वअनुपात d तथा G.P का सार्वअनुपात r है।
A.P: a,a+d,a+2d,a+3d...
G.P: a,ar,ar2,ar3....
a+a=1
2a=1
$a=\frac{1}{2}$
a+d+ar$=\frac{1}{2}$
$a=\frac{1}{2}$ पर,
$\frac{1}{2}+d+\frac{1}{2}r=\frac{1}{2}$
$d=-\frac{1}{2}r$..(i)
a+2d+ar2=2
$a=\frac{1}{2}$ पर,
$\frac{1}{2}+2d+\frac{1}{2}r^2=2$
$2d+\frac{1}{2}r^2=2-\frac{1}{2}$
$2\left(-\frac{1}{2}r\right)+\frac{1}{2}r^2=\frac{4-1}{2}$
$-r+\frac{1}{2}r^2=\frac{3}{2}$
$\frac{-2r+r^2}{2}=\frac{3}{2}$
r2-2r-3=0
r2-3r+r-3=0
r(r-3)+1(r-3)=0
(r-3)(r+1)=0
$\begin{array}{l|l}r-3=0&r+1=0\\r=3&r=-1\end{array}$
r का मान समीकरण (i) मेरखने पर,
r=3 पर,
$d=-\frac{1}{2}(3)=-\frac{3}{2}$
r=1 पर,
$d=-\frac{1}{2}(-1)=-\frac{1}{2}$
A.P और G.P के चतुर्थ पदो का योगः
(a+3d)+ar3=?
CASE-I
$a=\frac{1}{2}$ , r=3, $d=-\frac{3}{2}$
(a+3d)+ar3=$\frac{1}{2}+3\left(-\frac{3}{2}\right)+\frac{1}{2}(3)^3$
$=\frac{1}{2}-\frac{9}{2}+\frac{27}{2}$
$=\frac{1-9+27}{2}=\frac{19}{2}$
CASE-II
$a=\frac{1}{2}$, r=-1, $d=\frac{1}{2}$
$(a+3d)+ar^3=\frac{1}{2}+3\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}(-3)^2$
$=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-\frac{1}{2}$
$\frac{3}{2}$
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