KC Sinha Solution Class 12 Chapter 23 अवकल समीकरण (Differential Equations) Exercise 23.2

 Exercise 23.2

Question 1

यदि A,B,a,b स्वेच्छ अचर हो तो निम्नलिखित वक्रो के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

[If A,B,a,b are arbitrary constant, find the D.E of the following family of curves]

(i) Ax²+By²=1

Sol :

Ax²+By²=1..(1)

Differentiating w.r.t to x

$2Ax+2By\frac{dy}{dx}=0$

$2\left[Ax+By\frac{dy}{dx}\right]=0$

$Ax+By\frac{dy}{dx}=0$...(2)

Differentiating w.r.t to x

$A+B\left[y\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{dy}{dx}.\frac{dy}{dx}\right]=0$

$A=-B\left[y\frac{d^2y}{dx^2}+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]$

$\frac{A}{B}=-\left[y\frac{d^2y}{dx^2}+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]$...(3)

From equation (2)

$Ax+By\frac{dy}{dx}=0$

$Ax=-By\frac{dy}{dx}$

$\frac{A}{B}=\frac{-y}{x}.\frac{dy}{dx}$...(4)

From (3) and (4)

$-\left[y\frac{d^2y}{dx^2}+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]=-\frac{y}{x}\frac{dy}{dx}$

$xy\frac{d^2y}{dx^2}+x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=y\frac{dy}{dx}$

$xy\frac{d^2y}{dx^2}+x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-y\frac{dy}{dx}=0$

$Ax+By\frac{dy}{dx}=0$...(2)

$By\frac{dy}{dx}=-Ax$

$\frac{y}{x}\frac{dy}{dx}=\frac{-A}{B}$

Differentiating w.r.t to x

$\dfrac{x\left[y\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{dy}{dx}.\frac{dy}{dx}\right]-y\frac{dy}{dx}}{x^2}=0$

$x\frac{d^2y}{dx^2}+x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-y\frac{dy}{dx}=$

(ii) xy=Ae^x+Be^-x+x²

Sol :

xy-x²=Ae^x+Be^-x..(1)

Differentiating w.r.t x

$x\frac{dy}{dx}+y\times 1-2x=Ae^x+Be^{-x}(-1)$

$x\frac{dy}{dx}+y-2x=Ae^x+Be^{-x}$..(2)

$x\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{dy}{dx}\times 1+\frac{dy}{dx}-2=Ae^x+Be^{-x}$..(3)

From eq(1) Ae^x+Be^-x=xy-x² putting in (3)

$x\frac{d^2y}{dx^2}+2\frac{dy}{dx}-2=xy-x^2$

$x\frac{d^2y}{dx^2}+2\frac{dy}{dx}=xy-x^2+2$

(iii) y=Ae^2x+Be^-3x

Sol

y=Ae^2x+Be^-3x...(1)

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=2Ae^{2x}-3Be^{-3x}$...(2)

Differentiating w.r.t x

$\frac{d^2y}{dx^2}=2\times 2Ae^{2x}+3\times 3Be^{-3x}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=4Ae^{2x}+9Be^{-3x}$..(3)

$\begin{aligned}2\frac{dy}{dx}=&4Ae^{2x}-6Be{-3x}\\\frac{d^2y}{dx^2}&=4Ae^{2x}+9Be^{-3x}\\-\phantom{\frac{d^2y}{dx^2}}=&-\phantom{4Ae^{2x}}-\phantom{9Be^{-3x}} \\ \hline 2\frac{dy}{dx}-\frac{d^2y}{dx^2}=&-15Be^{-3x} \end{aligned}$

$Be^{-3x}=\frac{-1}{15}\left[2\frac{dy}{dx}-\frac{d^2y}{dx^2}\right]$

$Be^{-3x}=\frac{1}{15}\left[\frac{d^2y}{dx^2}-2\frac{dy}{dx}\right]$..(4)

From (2)×3+(3)

$\begin{aligned}3\frac{dy}{dx}&=6Ae^{2x}-9Be^{-3x}\\\frac{d^2y}{dx^2}&=4Ae^{2x}+9Be^{-3x}\\ \hline 3\frac{dy}{dx}+\frac{d^y}{dx}&=10Ae^{2x}\end{aligned}$

$Ae^{2x}=\frac{1}{10}\left[3\frac{dy}{dx}+\frac{d^2y}{dx^2}\right]$..(5)

Putting eq(4) and (5) in eq(1)

$y=\frac{1}{10}\left[3\frac{dy}{dx}+\frac{d^2y}{dx^2}\right]+\frac{1}{15}\left[\frac{d^2y}{dx^2}-2\frac{dy}{dx}\right]$

$y=\frac{3}{10}\frac{dy}{dx}+\frac{1}{10}\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{1}{15}\frac{d^2y}{dx^2}-\frac{2}{15}\frac{dy}{dx}$

$y=\frac{1}{6}\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{1}{6}\frac{dy}{dx}$

$y=\frac{1}{6}\left[\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{dy}{dx}\right]$

$\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{dy}{dx}-6y=0$

(iv) x²+y²=a²

Sol :

Differentiating w.r.t to x

$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$

$x+y\frac{dy}{dx}=0$

(v) y=ae^3x+be^-2x

Sol :

y-ae^3x=be^-2x

e^2xy-ae^5x=b...(1)

Differentiating w.r.t x

$e^2x\frac{dy}{dx}+2ye^{2x}-5ae^{5x}=0$

$e^{2x}\frac{dy}{dx}+2ye^{2x}=5ae^{5x}$

$e^{-3x}\frac{dy}{dx}+2ye^{-3x}=5a$

$e^{-3x}\left(\frac{dy}{dx}+2y\right)=5a$

Differentiating w.r.t x

$e^{-3x}\left[\frac{d^2y}{dx^2}+2\frac{dy}{dx}\right]+\left[\frac{dy}{dx}+2y\right]e^{-3x}\times (-3)=0$

$e^{-3x}\frac{d^2y}{dx^2}+2e^{-3x}\frac{dy}{dx}-3e^{-3x}\frac{dy}{dx}-6ye^{-3x}=0$

$e^{-3x}\frac{d^2y}{dx^2}-e^{-3x}\frac{dy}{dx}-6ye^{-3x}=0$

$e^{-3x}\left[\frac{d^2y}{dx^2}-\frac{dy}{dx}-6y\right]=0$

$\frac{d^2y}{dx^2}-\frac{dy}{dx}-6y=0$

(vi) $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

Sol :

Differentiating w.r.t to x

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\frac{dy}{dx}=0$

$\frac{1}{b}\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{a}$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{b}{a}$

Differentiating w.r.t to x

$\frac{d^2y}{dx^2}=0$

(vii) y=e^2x(a+bx)

ye^-2x=a+bx

Sol :

Differentiating w.r.t x

-2y^-2x+e^-2x$\frac{dy}{dx}$=0+b

$e^{-2x}\left[-2y+\frac{dy}{dx}\right]=b$

Differentiating w.r.t x

$e^{-2x}\left[-2\frac{dy}{dx}+\frac{d^2y}{dx^2}\right]+\left[-2y+\frac{dy}{dx}\right]e^{-2x}(-2)=0$

$-2e^{-2x}\frac{dy}{dx}+e^{-2x}\frac{d^2y}{dx^2}+4ye^{2x}-2e^{-2x}\frac{dy}{dx}=0$

$e^{-2x}\frac{d^2y}{dx^2}-4e^{-2x}\frac{dy}{dx}+4ye^{-2x}=0$

$e^{-2x}\left[\frac{d^2y}{dx^2}-4\frac{dy}{dx}+4y\right]=0$

$\frac{d^2y}{dx^2}-4\frac{dy}{dx}+4y=0$

(viii) y=acosx+bsinx

Sol :

y=acosx+bsinx...(1)

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=-an \sin nx +bn \cos nx$...(2)

$\frac{d^2y}{dx^2}=-an^2 \cos nx-bn^2 \sin nx$

=-n²[acosnx+bsinnx]...(3)

From (1) acosnx+bsinnx=y putting in eq(3)

$\frac{d^2y}{dx^2}=-n^2y$

$\frac{d^2y}{dx^2}+n^2y=0$

Question 2

वक्रो के कुल y=Acosx+Bsinx का अवकल समीकरण ज्ञात करे जहाँ A और B प्राचल है।

Sol :

y=Acosx+Bsinx

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=-A\sinx+Bcosx$

Again , differentiating w.r.t x

$\frac{d^2y}{dx^2}=-A\cos x-B\sin x$

$\frac{d^2y}{dx^2}=-(A\cos x+B\sin x)$

$\frac{d^2y}{dx^2}=-y$

$\frac{d^2y}{dx^2}+y=0$

Question 3

वक्रो के कुल (2x+a)²+y²=a² का अवकल समीकरण ज्ञात करे , जहाँ a एक प्राचल है।

Sol :

(2x+a)²+y²=a²

4x²+4ax+a²+y²=a²

$4a=\frac{-(4x^2+y^2)}{x}$

4x²+4ax+y²=0

Differentiating w.r.t x

$8x+4a+2y\frac{dy}{dx}=0$

$8x-\frac{(4x^2+y^2)}{x}+2y\frac{dy}{dx}=0$

$\frac{8x^2-4x^2-y^2+2xy\frac{dy}{dx}}{x}=0$

$2xy\frac{dy}{dx}-y^2+4x^2=0$

Question 4

वक्रो के कुल (x+a)²-2y²=a² का अवकल समीकरण ज्ञात करे ,जहाँ a एक स्वेच्छ अचर है।

Sol :

(x+a)²-2y²=a²

x²+2ax+a²-2y²=a²

x²+2ax-2y²=0

$2a=\frac{2y^2-x^2}{x}$

Differentiating w.r.t x

$2x+2a-4y.\frac{dy}{dx}=0$

$2x+\frac{2y^2-x^2}{x}-4y\frac{dy}{dx}=0$

$\frac{2x^2+2y^2-x^2-4xy\frac{dy}{dx}}{x}=0$

$x^2+2y^2-4xy\frac{dy}{dx}=0$

$x^2+2y^2=4xy\frac{dy}{dx}$

Question 5

वक्रो के कुल y=asin(bx+c) ,जहाँ a और c स्वेच्छ अचर है, के अवकल समीकरण का निर्माण करे।

Sol :

y=asin(bx+c)

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=ab\cos (bx+c)$

Again, Differentiating w.r.t x

$\frac{d^2y}{dx^2}=-ab^2\sin (bx+c)$

$\frac{d^2y}{dx^2}=-b^2y$

$\frac{d^2y}{dx^2}+b^2y=0$

Question 6

स्वेच्छ अचरो को नही शामिल करने वाला अवकल समीकरण बनाएँ जो, y=ae^bx जहाँ a और b स्वेच्छ अचर है, तो संतुष्ट होता है।

Sol :

y=ae^bx

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=abe^{bx}$

$\frac{dy}{dx}=by$

$b=\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}$

Again, differentiating w.r.t x

$\frac{d^2y}{dx^2}=b\frac{dy}{dx}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}\times \frac{dy}{dx}$

$y\frac{d^2y}{dx^2}=\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$

Question 7

a को विलुप्त करते हुए (x-a)²+2y²=a² के संगत अवकल समीकरण बनाएँ।

Sol :

(x-a)²+2y²=a²

x²-2ax+a²+2y²=a²

x²-2ax+2y²=0

$2a=\frac{x^2+2y^2}{x}$

Differentiating w.r.t x

$2x-2a+4y\frac{dy}{dx}=0$

$2x-\frac{x^2+2y^2}{x}+4y\frac{dy}{dx}=0$

$\frac{2x^2-x^2-2y^2+4xy\frac{dy}{dx}}{x}=0$

$4xy\frac{dy}{dx}+x^2-2y^2=0$

4xy=2y²-x²

Question 8

दिखाएँ कि जिसका हल $y=2(x^2-1)+ce^{-x^2}$ है वह अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+2y=4x^3$ है।

Sol :

$y=2(x^2-1)+ce^{-x^2}$

$ce^{-x^2}=y-2x^2+2$

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=2(2x)+ce^{-x^2}\times (-2x)$

$\frac{dy}{dx}=4x+(y-2x^2+2)(-2x)$

$\frac{dy}{dx}=4x-2xy+4x^3-4x$

$\frac{dy}{dx}+2xy=4x^3$

अतः $y=2(x^2-1)+ce^{-x^2}$ अवकल समीकरण

$\frac{dy}{dx}+2xy=4x^3$ का एक हल है।

Question 9

x=Acos(nt+α), जहाँ n अचर है तथा A, α प्राचल है द्वारा प्रदत्त ,(simple harmonic motion) का अवकल समीकरण बनाएँ।

Sol :

x=Acos(nt+α)

Differentiating w.r.t t

$\frac{dx}{dt}=-A\sin (nt+\alpha)$

Again ,Differentiating w.r.t t

$\frac{d^x}{dt^2}=-An^2\cos(nt+\alpha)$

$\frac{d^2x}{dt^2}=-n^2x$

$\frac{d^2x}{dt^2}+n^2x=0$

Question 10

ऐसे परवलयो के कुल का अवकल समीकरण निर्मित कीजिए ,जिनका शीर्ष मूलबिन्दु पर है और जिनका अक्ष धनात्मक y-अक्ष की दिशा मे है।

Sol :

परवलय के कुल का समीकरण जिसका शीर्ष मूलबिंदु पर है और जिसका अक्ष y-अक्ष के धनात्मक दिशा मे है

x²=4ay

Differentiating w.r.t x

$2x=4a\frac{dy}{dx}$

$2x=\frac{x^2}{y}\times \frac{dy}{dx}$

$x^2\frac{dy}{dx}=2xy$

$x^2\frac{dy}{dx}-2xy=0$

$x\left(x\frac{dy}{dx}-2y\right)=0$

$x\frac{dy}{dx}-2y=0$

Question 11

ऐसे वृत्तो के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनका केन्द्र y-अक्ष पर है और जिनकी त्रिज्या 3 इकाई है।

Sol :

वृत्त के कुल का समीकरण जो y-अक्ष पर स्थित हो तथा त्रिज्या 3 इकाई है।

(x-0)²+(y-a)a²=3²

x²+(y-a)²=9

Differentiating w.r.t x

$2x+2(y-a)\frac{dy}{dx}=0$

$2\left[x+(y-a)\frac{dy}{dx}\right]=0$

$x+(y-a)\frac{dy}{dx}=0$

$(y-a)\frac{dy}{dx}=-x$

दोनो तरफ वर्ग करने पर

$(y-a)^2 \left(\frac{dy}{dx}\right)^2=(-x)^2$

$(9-x^2)\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=x^2$

$(x^2-9)\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=-x^2$ (-1 से गुणा करने पर)

$(x^2-9)\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+x^2=0$

[Diagram to be added]

Question 12

y-अक्ष को मूलबिन्दु पर स्पर्श करनेवाले वृत्तो के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

Sol :

y-अक्ष को मूल बिंदु पर स्पर्श करने वाले वृत्तो के कुल समीकरण 

(x-a)²+(y-0)²=a²

x²-2ax+y²=0

$2a=\frac{x^2+y^2}{x}$

Differentiating w.r.t x

$2x-2a+2y\frac{dy}{dx}=0$

$2x-\frac{x^2+y^2}{x}+2y\frac{dy}{dx}=0$

$\frac{2x^2-x^2-y^2+2xy\frac{dy}{dx}}{x}=0$

$x^2-y^2+2xy\frac{dy}{dx}=0$

$2xy\frac{dy}{dx}=y^2-x^2$

Question 13

ऐसे अतिपरवलयो के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी नाभियाँ x-अक्ष पर है तथा जिनका केन्द्र मूलबिन्दु है।

Sol :

उस अतिपरवलयो के कुल का समीकरण जिसका नाभियाँ x-अक्ष पर हो तथा जिसका केन्द्र मूलबिन्दु है।

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Differentiating w.r.t x

$\frac{2x}{a^2}-\frac{2y}{b^2}\times \frac{dy}{dx}=0$

$\frac{-2y}{b^2}\times \frac{dy}{dx}=\frac{-2x}{a^2}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{b^2x}{a^2y}$

$\frac{b^2}{a^2}=\frac{y}{x}\times \frac{dy}{dx}$

Again ,Differentiating w.r.t x

$\frac{d^2}{dx^2}=\frac{b^2}{a^2}\left[\dfrac{1.y-x\frac{dy}{dx}}{y^2}\right]$

$\frac{d^2}{dx^2}=\frac{y}{x}\times \frac{dy}{dx} \left[\frac{y-x\frac{dy}{dx}}{y^2}\right]$

$xy\frac{d^2y}{dx^2}=y\frac{dy}{dx}-x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$

$xy\frac{d^2y}{dx^2}+x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=y\frac{dy}{dx}$

Question 14

ऐसे दीर्घवृत्तो के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी नाभियाँ y-अक्ष पर है तथा जिनका केन्द्र मूलबिन्दु है।

Sol :

ऐसे दीर्घवृत्तो के कुल का समीकरण जिसकी नाभियाँ y-अक्ष पर है तथा जिसका केन्द्र मूल बिन्दु है।

$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$ ; a>b

Differentiating w.r.t x

$\frac{2x}{b^2}+\frac{2y}{a^2}\times \frac{dy}{dx}=0$

$\frac{2y}{a^2}\times \frac{dy}{dx}=\frac{-2x}{b^2}$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{a^2}{b^2}\times \frac{x}{y}$

$-\frac{a^2}{b^2}=\frac{y}{x}\times \frac{dy}{dx}$

Again, Differentiating w.r.t x

$\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{a^2}{b^2}\left[\frac{1\times y-x\frac{dy}{dx}}{y^2}\right]$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{y}{x}\times \frac{dy}{dx}\left[\frac{y-x\frac{dy}{dx}}{y^2}\right]$

$xy\frac{d^2y}{dx^2}=y\frac{dy}{dx}-x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$

$xy\frac{d^2y}{dx^2}+x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=y\frac{dy}{dx}$

[Diagram to be added]

Question 15

मूलबिन्दु से जाती हुई ऐसी वृत्तो के अवकल समीकरण ज्ञात करे जिनका केन्द्र x-अक्ष पर है।

Sol :

मूलबिन्दु से जाती हुए वृत्तो का समीकरण जिसका केन्द्र x-एक्ष पर है।

(x-a)²+(y-0)²=a²

x²-2ax+a²+y²=a²

x²-2ax+y²=0

$2a=\frac{x^2+y^2}{x}$

Differentiating w.r.t x

$2x-2a+2y\frac{dy}{dx}=0$

$2x-\frac{x^2+y^2}{x}+2y\frac{dy}{dx}=0$

$=\dfrac{2x^2-x^2-y^2+2xy\frac{dy}{dx}}{x}=0$

$2xy\frac{dy}{dx}+x^2-y^2=0$

$2xy\frac{dy}{dx}=y^2-x^2$

Question 16

नियत बिन्दुओ (a,0) तथा (-a,0) से गुजरते हुए वृत्तो के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात करे।

Sol :

माना वृत्त का केन्द्र (0,α) है।

वृत्त का समीकरण

(x-0)²+(y-α)²=(0-a)²+(α-0)²

x²+y²-2xy+α²=a²+α²

x²+y²-2αy=a²

$2\alpha =\frac{x^2+y^2-a^2}{y}$

Differentiating w.r.t x

$2x+2y\frac{dy}{dx}-2\alpha \frac{dy}{dx}=0$

$2x+2y\frac{dy}{dx}-\frac{(x^2+y^2-a^2)}{y}\frac{dy}{dx}=0$

$2x+\dfrac{2y^2\frac{dy}{dx}-\left(x^2+y^2-a^2\right)\frac{dy}{dx}}{y}=0$

$2x+\dfrac{(2y^2-x^2-y^2+a^2)\frac{dy}{dx}}{y}=0$

$2x+\dfrac{(-x^2+y^2+a^2)\frac{dy}{dx}}{y}=0$

$\dfrac{-(x^2-y^2-a^2)\frac{dy}{dx}}{y}=-2x$

$(x^2-y^2-a^2)\frac{dy}{dx}=2xy$
[Incomplete]