KC Sinha Solution Class 12 Chapter 22 Application of the Integral समाकल के अनुप्रयोग Exercise 22.1

 Exercise 22.1

Question 1

वक्र y=x² ,रेखाओ x=1, x=2 तथा x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
[Find the area bounded by the curve y=x² , lines x=1, x=2 and x-axis]
Sol :
ar(ABCDA)=$\int_{1}^{2}ydx$

$=\int_{1}^{2}x^2dx$

$=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{1}^{2}$

$=\frac{2^3}{3}-\frac{1^3}{3}$

$=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}$

$=\frac{7}{3}$ वर्ग इकाई

[Diagram to be added]

Question 2

वक्र y=x⁴ ,रेखाओ x=1, x=5 एवं x-अक्ष से घिरे का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
[Find the area bounded by the curve y=x⁴ , lines x=1, x=5 and x-axis]
Sol :
ar(ABCDA)$=\int_{1}^{5}x^4dx$

$=\left[\frac{x^5}{5}\right]_{1}^5$

$=\frac{5^5}{5}-\frac{1^5}{5}$

=625-0.2
=624.8 वर्ग इकाई

[Diagram to be added]

Question 3

रेखा y=x, x-अक्ष तथा कोटियों x=-1 और x=2 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
[Find the area bounded by the line y=x, the x-axis and the ordinates x=-1 and x=2]
Sol :
छायांकित भाग का क्षेत्रफल=ar(ΔOAB)+ar(ΔCOD)

$=-\int_{-1}^{0}xdx+\int_{0}^{2}xdx$

$=-\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0}+\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2}$

$=-\left[\frac{0^2}{2}-\frac{(-1)^2}{2}\right]+\left[\frac{2^2}{2}-\frac{0}{2}\right]$

$=\frac{1}{2}+2$

$=\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}$ वर्ग इकाई

[Diagram to be added]

Question 4

रेखा y=3x+2, x-अक्ष एवं कोटियो x=-1 एंव x=1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
[Find the area of the region bounded by the line y=3x+2, the x-axis and the ordinates x=-1 and x=1]
Sol :
ar(ABCDA)$=\int_{-1}^{1}(3x+2)dx$

$=\left[\frac{3x^2}{2}+2x\right]_{-1}^{1}$

$=\left[\frac{3(1)^2}{2}+2(1)\right]-\left[\frac{3(-1)^2}{2}+2(-1)\right]$

$=\frac{3}{2}+2-\frac{3}{2}+2$

=4 वर्ग इकाई

[Diagram to be added]

Question 5

समाकलन का प्रयोग कर 2y=5x+7, x-अक्ष एंव रेखाओ x=2 तथा x=8  से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करे ।
Sol :
ar(ABCDA)$=\int_{2}^{8}(\frac{5}{2}x+\frac{7}{2})dx$

$=\left[\frac{5}{4}x^2+\frac{7}{2}x\right]_{2}^{8}$

$=\left[\frac{5}{4}(8)^2+\frac{7}{2}(8)\right]-\left[\frac{5}{4}(2)^2+\frac{7}{2}(2)\right]$

$=\left[\frac{5}{4}(64)+28\right]-\left[\frac{5}{4}(4)+7\right]$

=[80+28]-12

=108-12=96 वर्ग इकाई

[Diagram to be added]

Question 9

परवलय y²=4ax, इसका अक्ष तथा दो कोटियो x=a एवं x=2a से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करे । 
Sol :
y²=4ax

$y=2\sqrt{a}x^\frac{1}{2}$

ar(ABCDA)$=\int_{a}^{2a}2\sqrt{a}.x^{\frac{1}{2}}dx$

$=2\sqrt{a}\left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]^{2a}$

$=\frac{4}{a}\sqrt{a}\left[x^{\frac{3}{2}}\right]_{a}^{2a}$

$=\frac{4}{3}\sqrt{a}\left[(2a)^{\frac{3}{2}}-a^{\frac{3}{2}}\right]$

$=\frac{4}{3}\sqrt{a}\left[2\sqrt{2}.a^{\frac{3}{2}}-a^{\frac{3}{2}}\right]$

$=\frac{4}{3}a^{\frac{1}{2}}.a^{\frac{3}{2}}(2\sqrt{2}-1)$

$=\frac{4}{3}a^2(2\sqrt{2}-1)$ वर्ग इकाई

[Diagram to be added]

Question 10

वक्र y²=x सरल रेखाओ x=1, x=4 तथा x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करे।
Sol :
ar(ABCDA)$=\int_{1}^{4}x^{\frac{1}{2}}dx$

$=\left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]^{4}$

$=\frac{2}{3}(4)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}}$

$=\frac{2}{3}(2)^{2\times \frac{3}{2}}-\frac{2}{3}$

$=\frac{16}{3}-\frac{2}{3}$

$=\frac{14}{3}$ वर्ग इकाई

[Diagram to be added]

Question 11

वक्र y²=4x तथा सरल रेखा x=3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करे ।

[Find the area of the region bounded by the curve y²=4x and the line x=3] 

Sol :

y²=4x ⇒$y=2x^{\frac{1}{2}}$

छायांकित भाग का क्षेत्रफल =2×ar(OABO)

$2\int_{0}^{3}2x^{\frac{1}{2}}$

$=4\int_{0}^{3}x^{\frac{1}{2}}dx$

$=4\left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^3$

$=4\left[\frac{2}{3}(3)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}(0)^{\frac{3}{2}}\right]$

$=4\left[\frac{2}{3}\times 3\sqrt{3}-0\right]$

=8√3

[Diagram to be added]

Question 12

प्रथम चतुर्थाश मे y²=4x ,x=1 तथा x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करे ।

Sol :

y²=4x ⇒y=2√x=$2x^{\frac{1}{2}}$

ar(ABCDA)$=\int_{1}^{4}2x^{\frac{1}{2}}dx$

$=2\left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{4}$

$=2\left[\frac{2}{3}(4)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}}\right]$

$=2\left[\frac{16}{3}-\frac{2}{3}\right]$

$=2\times \frac{14}{3}$

$=\frac{28}{3}$ वर्ग  इकाई

[Diagram to be added]

Question 14

परवलय x²=y, y-अक्ष तथा रेखा y=1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करे।

Sol :

x=√y ⇒$x=y^{\frac{1}{2}}$

ar(OABO)$=\int_{0}^{1}y^{\frac{1}{2}}dy$

$=\left[\frac{2}{3}y^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1}$

$=\frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}(0)^{\frac{3}{2}}$

$=\frac{2}{3}$ वर्ग  इकाई

[Diagram to be added]

Question 15

प्रथम चतुर्थाश मे x²=4x, y=2, y=4 तथा y-अक्ष से घिरे क्षेत्रफल ज्ञात करे।

Sol :

x²=4y ⇒x=√4y ⇒$x=2y^{\frac{1}{2}}$

ar(ABCDA)$=\int_{2}^{4}2y^{\frac{1}{2}}dy$

$=2\int_{2}^{4}y^{\frac{1}{2}}dy$

$=2\left[\frac{2}{3}y^{\frac{3}{2}}\right]_{2}^{4}$

$=\frac{4}{3}\left[y^{\frac{3}{2}}\right]_{2}^{4}$

$=\frac{4}{3}\left[(4)^{\frac{3}{2}}-(2)^{\frac{3}{2}}\right]$

$=\frac{4}{3}\left[2^{2\times \frac{3}{2}-2\sqrt{2}}\right]$

$=\frac{4}{8}\left[8-2\sqrt{2}\right]$

$=\frac{8}{3}\left[4-\sqrt{2}\right]$ वर्ग  इकाई

[Diagram to be added]

Question 16

परवलय y²=4ax और उसके नभिलंब से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

[Find the area bounded by the parabola y²=4ax and its latus rectum]

Sol :

y²=4ax ⇒$y=2\sqrt{a}x^{\frac{1}{2}}$

छायांकित भाग का क्षेत्रफल=2×ar(OABO)

$=2\times \int_{0}^{a}2\sqrt{a}x^{\frac{1}{2}}dx$

$=4\sqrt{a}\int_{0}^{a}x^{\frac{1}{2}}dx$

$=4\sqrt{a}\left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{a}$

$=\frac{8}{3}a^{\frac{1}{2}}\left[x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{a}$

$=\frac{8}{3}a^{\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{3}{2}-0^{\frac{3}{2}}}\right)$

$=\frac{8}{3}a^2$ वर्ग  इकाई

[Diagram to be added]

Question 17

समाकलन का उपयोग करते हुए परवलर y²=16x तथा रेखा x=4 का मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रपल ज्ञात करे।

Sol :

y²=16x ⇒y=4√x ⇒$y=4x^{\frac{1}{2}}$

छायांकित भाग का क्षेत्रफल 

=2×ar(OABO)

$=2\times \int_{0}^{4}4x^{x\frac{1}{2}}dx$

$=8\int_{0}^{4}x^{\frac{1}{2}}dx$

$=8\left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{4}$

$=\frac{16}{3}\left[x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{4}$

$=\frac{16}{3}\left[(4)^{\frac{3}{2}}-0^{\frac{3}{2}}\right]$

$=\frac{16}{3}(2)^{2\times \frac{3}{2}}$

$=\frac{128}{3}$ वर्ग  इकाई

[Diagram to be added]

Question 19

वक्र y²=4ax, रेखा y=2a तथा y-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करे।

[Find the area bounded by the curve y²=4ax,the line y=2a and y-axis ]

Sol :

$x=\frac{1}{4a}y^2$

ar(OABO)$=\frac{1}{4a}\int_{0}^{2a}y^2 dy$

$=\frac{1}{4a}\left[\frac{y^3}{3}\right]_{0}^{2a}$

$=\frac{1}{4a}\left[\frac{(2a)^3}{3}-\frac{0^3}{3}\right]$

$=\frac{1}{4a}\left[\frac{8a^3}{3}\right]$

$=\frac{2}{3}a^2$ वर्ग  इकाई

[Diagram to be added]

Question 20

वक्रो x=y² तथा x=4 के बीच का क्षेत्रफल रेखा x=a द्वारा दो बराबर भागो मे विभाजित होता है, तो a का मान ज्ञात करे।

Sol :

y²=x ⇒$y=x^{\frac{1}{2}}$

ar(OCDO)=ar(ABDCA)

$\int_{0}^{a}x^{\frac{1}{2}}dx$

$=\int_{a}^{4}x^{\frac{1}{2}}dx$

$\left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{a}$

$=\left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_{a}^{4}$

$=\frac{2}{3}(a)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}(0)^{\frac{3}{2}}$

$=\frac{2}{3}(4)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}(a)^{\frac{3}{2}}$

$a^{\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}\times 8 \times \frac{3}{4}$

$a^{\frac{3}{2}}=4$

$a=(4)^{\frac{2}{3}}$

$a=[(4)^2]^{\frac{1}{3}}$

$a=(16)^{\frac{1}{3}}$

[Diagram to be added]

Question 21

निम्नलिखित दीर्घवृत्तो से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करे ।

[Find the area of the region bounded by the following ellipses]

(i) $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ 

Sol :

$\frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$

$\frac{y^2}{3^2}=1-\frac{x^2}{2^2}$

$\frac{y^2}{3^2}=\frac{2^2-x^2}{2^2}$

$y^2=\frac{3^2}{2^2}(2^2-x^2)$

$y=\sqrt{\frac{3^2}{2^2}(2^2-x^2)}$

$=\frac{3}{2}\sqrt{2^2-x^2}$

दीर्घवृत्त से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल=4×ar(OABO)

$=4\times \int_{0}^{2}\frac{3}{2}\sqrt{2^2-x^2}dx$

$=6\int_{0}^{2}\sqrt{2^2-x^2}$

$=6\left[\frac{x}{2}\sqrt{2^2-x^2}+\frac{2^2}{2}\sin^{-1}\frac{x}{2}\right]_{0}^{2}$

$=6\left[\left(0+2\times \frac{\pi}{2}\right)-(0+0)\right]$

=6π वर्ग  इकाई

[Diagram to be added]

(ii) $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$

Sol :

[Diagram to be added]

Question 22

वक्र $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ के आलेख का चित्र खीचे तथा वक्र के नीचे और x-अक्ष के ऊपर के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करे ।

Sol :

$\frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$

$\frac{y^2}{3^2}=1-\frac{x^2}{2^2}$

$\frac{y^2}{3^2}=\frac{2^2-x^2}{2^2}$

$y^2=\frac{3^2}{2^2}(2^2-x^2)$

$y=\sqrt{\frac{3^2}{2^2}(2^2-x^2)}$

$=\frac{3}{2}\sqrt{2^2-x^2}$

घायांकित भाग का क्षेत्रफल=2×ar(OABO)

$=2\times \int_{0}^{2}\frac{3}{2}\sqrt{2^2-x^2}dx$

[Diagram to be added]

Question 23

समाकलन का उपयोग कर ΔABC का क्षेत्रफल निकाले जिसके शीर्ष A(2,3),B(4,7) तथा C(6,2) है।

Sol :

भाग ΔABC के प्रत्येक शीर्ष से x-अक्ष पर लंब AP, BQ तथा CR खिचा है।

दो बिंदुओ (x₁,y₁) तथा (x₂,y₂) से होकर जानेवाली रेखा का समीकरण

$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$

रेखा AB का समीकरण 

$y-3=\frac{7-3}{4-2}(x-2)$

$y-3=\frac{4}{2}(x-2)$

y-3=2x-4

y=2x-1

रेखा BC का समीकरण 

$y-7=\frac{2-7}{6-4}(x-4)$

$y-7=\frac{-5}{2}(x-4)$

$y=\frac{-5}{2}x+10+7$

$y=17-\frac{5}{2}x$

रेखा AC का समीकरण

 $y-3=\frac{2-3}{6-2}(x-2)$

$y=3=\frac{-1}{4}(x-2)$

$y-3=\frac{-1}{4}x+\frac{1}{2}$

$y=\frac{7}{2}-\frac{1}{4}x$

ΔABC का क्षेत्रफल=ar(ABQP)+ar(BCRQ)-ar(ACRP)

$=\int_{2}^{4}(2x-1)dx+\int_{4}^{6}\left(17-\frac{5}{2}x\right)dx-\int_{2}^{6}\left(\frac{7}{2}-\frac{1}{4}x\right)dx$

$=\left[x^2-x\right]_{2}^{4}+\left[17x-\frac{5}{4}x\right]_{4}^{6}-\left[\frac{7}{2}x-\frac{1}{8}x^2\right]_{2}^{6}$

=12-2+(102-45)-(68-20)-$\left[\left(21-\frac{9}{2}\right)-\left(7-\frac{1}{2}\right)\right]$

=10+57-48-$\left[21-\frac{9}{20}-7+\frac{1}{2}\right]$

=10+9-14+4

=23-14

=9 वर्ग  इकाई

[Diagram to be added]

Question 25

(i) समाकलन विधि का उपयोग करते हुए, रेखाओ 2x+y=4, 3x-2y=6 एवं x-3y+5=0 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना तीनो रेखाओ के आपस मे प्रतिच्छेद करने से ΔABC बना है।

A का निर्देशांक (2,0)

B का निर्देशांक (4,3)

C का निर्देशांक (1,2)

ΔABC का क्षेत्रफल=ar(PQBC)-ar(ΔPAC)-ar(ΔAQB)

$=\int_{1}^{4}\left(\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}\right)dx-\int_{1}^{2}(4-2x)dx-\int_{2}^{4}\left(\frac{3}{2}x-3\right)dx$

$=\left[\frac{x^2}{6}+\frac{5}{3}x\right]_{1}^{4}-\left[4x-x^2\right]_{1}^{2}-\left[\frac{3}{4}x^2-3x\right]_{2}^{4}$

$=\left(\frac{8}{3}+\frac{20}{3}\right)-\left(\frac{1}{6}+\frac{5}{3}\right)-[4-3]-[0-(-3)]$

$=\frac{8}{3}+\frac{20}{3}-\frac{1}{6}-\frac{5}{3}-1-3$

$=\frac{23}{3}-\frac{1}{6}-4$

$=\frac{46-1-24}{6}$

$=\frac{46-25}{6}=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}$ वर्ग  इकाई

[Diagram to be added]

Question 26

प्रथम चतुर्थांश मे वृत 4x²+9y²=36 तथा निर्देशांक अक्षो से क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करे।

Sol :

4x²+9y²=36

दोनो तरफ 36 से भाग देने पर

$\frac{4x^2}{36}+\frac{9y^2}{36}=\frac{36}{36}$

$\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1$

$y=\frac{2}{3}\sqrt{3^2-x^2}$

ar(OABO)$=\frac{2}{3}\int_{0}^{3}\sqrt{3^2-x^2}dx$

$=\frac{2}{3}\left[\frac{x}{2}\sqrt{3^2-x^2}+\frac{3^2}{2}\sin^{-1}\frac{x}{3}\right]_{0}^{3}$

$=\frac{2}{3}\left[\frac{9}{2}\times \frac{\pi}{2}-0\right]$

$=\frac{2}{3}\times \frac{9\pi}{4}$ वर्ग  इकाई

[Diagram to be added]

Question 27

सरल रेखा $x=\frac{a}{2}$ द्वारा विभाजित वृत x²+y²=a² के भागो मे से छोटे भाग का क्षेफफल निकाले।

Sol :

वृत का समीकरण 

x²+y²=a²

$y=\sqrt{a^2-x^2}$

ABCA का क्षेत्रफल $=\int_{\frac{a}{2}}^{a}\sqrt{a^2-x^2}dx$

$=\left[\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\sin^{-1}\frac{x}{a}\right]_{\frac{a}{2}}^{a}$

$=\frac{a^2}{2}\times \frac{\pi}{2}-\left(\frac{a}{4}\times \frac{\sqrt{3}a}{2}+\frac{a^2}{2}\times \frac{\pi}{6}\right)$

$=\frac{a^2 \pi}{4}-\frac{\sqrt{3}}{8}a^2-\frac{a^2}{12}\pi$

$=\frac{3a^2\pi-a^2 \pi}{12}-\frac{\sqrt{3}}{8}a^2$

$=\frac{2a^2\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}}{8}a^2$

$=\frac{a^2}{2}\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$

छोटे भाग का क्षेत्रफल=2×ar(ABCA)

$=2\times \frac{a^2}{2}\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$ वर्ग इकाई

$=a^2\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$ वर्ग इकाई

[Diagram to be added]

Question 28

सरल रेखा $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ द्वारा विभाजित वृत x²+y²=a² के भागो मे से छोटे भाग का क्षेत्रफल निकाले।

Sol :

[Diagram to be added]

Question 29

सरल रेखा y=2x, x=0 तथा y=2 से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल समाकलन द्वारा निकाले।

[Find the area of the triangle formed by the straight lines y=2x, x=0 and y=2 by integration]

Sol :

ΔOAC का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}ydy$

$=\frac{1}{2}\left[\frac{y^2}{2}\right]_{0}^{2}$

$=\frac{1}{2}(2-0)=1$ वर्ग इकाई

[Diagram to be added]

Question 30

x-अक्ष और वक्र y=sin x के बीच x=0 से x=π तक के क्षेत्र का क्षेत्रफल निकाले।

Sol :

OABO का क्षेत्रफल$=\int_{0}^{\pi} \sin xdx$

$=\left[-\cos x\right]_{0}^{\pi}$

=-cos π-(-cos 0)

=-(-1)-(-1)

=1+1=2  वर्ग इकाई

[Diagram to be added]

Question 31

x-अक्ष और वक्र y=cos x के बीच x=0 से x=2π तक के क्षेत्र का क्षेत्रफल निकाले।

[Find the area between x-axis and the curve y=cos x from x=0 and x=2π]

Sol :

छायांकित भाग का क्षेत्रफल

$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos xdx-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\cos xdx+\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}\cos xdx$

$=\left[\sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\left[\sin x\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}+\left[\sin x\right]_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}$

=1-0-(-1-1)+(0+1)

=1+2+1=4 वर्ग इकाई

[Diagram to be added]

Question 32

$y=2\sqrt{1-x^2}$ , x∈[0,1] का रफ आलेख खीचे तथा वक्र और x-अक्ष के बीचका क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करे ।

Sol :

OABO का क्षेत्रफल

$=2\int_{0}^{1}\sqrt{1^2-x^2}dx$

$=2\left[\frac{x}{2}\sqrt{1^2-x^2}+\frac{1^2}{2}\sin ^{-1}\frac{x}{1}\right]_{0}^{1}$

$=2\left[\frac{1}{2}\times \frac{\pi}{2}-0\right]$

$=2\times \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$ वर्ग इकाई

[Diagram to be added]

Question 33

वक्र y=x|x| , x-अक्ष एवं कोटियो x=-1 तथा x=1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करे ।

Sol :

y=x|x| $=\left\{\begin{array}-x^2,& \text{if }x<0\\x^2,&\text{if } x\geq 0\end{array}\right.$

छायांकित भाग का क्षेत्रफल

$=-\int_{-1}^{0}(-x^2)dx+\int_{0}^{1}x^2dx$

$=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{0}+\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}$

$=0-\left(\frac{-1}{3}\right)+\frac{1}{3}-0$

$=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ वर्ग इकाई

[Diagram to be added]

Question 34

वक्र y=4x-x², x-अक्ष तथा कोटियो x=1 तथा x=3 के बीच घिरे का क्षेत्रफल निकाले।

Sol :

Question 35

परवलय y²=x , रेखा y+x=2 तथा x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करे ।

Sol :

y²=x रेखा y+x=2 or x=2y

y²=2-y

y²+y-2=0

y²+2y-y-2=0

y(y+2)-1(y+2)=0

(y+2)(y-1)=0

y=-2,1

∵y=1 ⇒x=1

छायांकित भाग का क्षेत्रफल=ar(OCBO)+ar(ACBA)

$=\int_{0}^{1}x^{\frac{1}{2}}dx+\int_{1}^{2}(2-x)dx$

$=\left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1}+\left[2x-\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{2}$

$=\frac{2}{3}-0+2-\frac{3}{2}$

$=\frac{4+12-9}{6}=\frac{7}{6}$ वर्ग इकाई

[Diagram to be added]

Question 36

वक्रो y=x²+2, y=x, x=0 एवं x=3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Sol :

y=x²+2..(i) ,y=x..(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से,

x²+2=x

$x=\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\times 1\times 2}}{2\times 1}$

$x=\frac{1\pm \sqrt{-7}}{2}\notin R$

छायांकित भाग का क्षेत्रफल=ar(OADEO)-ar(OAC)

$\int_{0}^{3}(x^2+2)dx-\int_{0}^{3}xdx$

$=\left[\frac{x^2}{3}+2x\right]_{0}^{3}-\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{3}$

$=9+6-0-\frac{9}{2}+0$

$=15-\frac{9}{2}=\frac{30-9}{2}=\frac{21}{2}$ वर्ग इकाई

[Diagram to be added]

Question 37

परवलय x²=y ,रेखा y=x+2 एवं x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Sol :

x²=y..(i) ,y=x+2..(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से ,

x²=x+2

x²-x-2=0

x²-2x+x-2=0

x(x-2)+1(x-2)=0

(x-2)(x+1)=0

x=-1,2

[Diagram to be added]

x=-1,y=1

x=2,y=4

छायांकित भाग का क्षेत्रफल=ar(ABCDA)-ar(AOBCOD)

$=\int_{-1}^{2}(x+2)dx-\int_{-1}^{2}x^2dx$

$=\left[\frac{x^2}{2}+2x\right]_{-1}^{2}-\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2}$

$=\left(6+\frac{3}{2}\right)-\left(\frac{8}{3}+\frac{1}{3}\right)$

$=6+\frac{3}{2}-3$

$=3+\frac{3}{2}$

$=\frac{6+3}{2}=\frac{9}{2}$ वर्ग इकाई

Question 38

परवलय y=x² तथा y=|x| से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करे।

Sol :

CASE-I

y=x² तथा y=x

∴x²=x

x(x-1)=0

x=0,1

[Diagram to be added]

x=1,y=1

x=0,y=0

ODAO का क्षेत्रफल=ar(OCAO)-ar(OCADO)

$=\int_{0}^{1}xdx-\int_{0}^{1}x^2dx$

$=\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1}-\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}$

$=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3-2}{6}$

$=\frac{1}{6}$ वर्ग इकाई

छायांकित भाग का क्षेत्रफल=2×(ODAO) का क्षेत्रफल

$=2\times \frac{1}{6}$

$=\frac{1}{3}$ वर्ग इकाई

Question 39

वक्र $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ तथा सरल रेखा $\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1$ से घिरे लघु क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Sol :

$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ तथा रेखा का समीकरण

$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1$

$\frac{3x+4y}{12}=1$

3x+4y=12

[Diagram to be added]

वक्र का समीकरण 

$=\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$

$y=\frac{3}{4}\sqrt{4^2-x^2}$

रेखा का समीकरण 

3x+4y=12

4y=12-3x

$y=3-\frac{3}{4}x$ या $y=\frac{3}{4}(4-x)$

छायांकित भाग का क्षेत्रफल=ar(OADBO)-ar(OABO)

$=\frac{3}{4}\int_{0}^{4}\sqrt{4^2-x^2}dx-\frac{3}{4}\int_{0}^{4}(4-x)dx$

$=\frac{3}{4}\left[\frac{x}{2}\sqrt{4^2-x^2}+\frac{4^2}{x}\sin^{-1}\frac{x}{4}\right]_{0}^{4}-\frac{3}{4}\left[4x-\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{4}$

$=\frac{3}{4}\left[8\times \frac{\pi}{2}-0\right]-\frac{3}{4}[8-0]$

$=\frac{3}{4}(4\pi)-\frac{3}{4}(8)$

=3π-6

=3(π-2) वर्ग इकाई

Question 40

दीर्घवृत $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ एवं $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1$ से घिरे लघु क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Sol :

दीर्घवृत $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$

$\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1$

$y=\frac{2}{3}\sqrt{3^2-x^2}$

रेखा का समीकरण $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1$

$\frac{2x+3y}{6}=1$

2x+3y=6

$y=\frac{2}{3}(3-x)$

[Diagram to be added]

छायांकित भाग का क्षेत्रफल=ar(OABCO)-ar(ΔOAC)

$=\frac{2}{3}\int_{0}^{3}\sqrt{3^2-x^2}dx-\frac{2}{3}\int_{0}^{3}(3-x)dx$

$=\frac{2}{3}\left[\frac{x}{2}\sqrt{3^2-x^2}+\frac{3^2}{2}\sin^{-1}\frac{x}{3}\right]_{0}^{3}-\frac{2}{3}\left[3x-\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{3}$

$=\frac{2}{3}\left[\frac{9}{2}\times \frac{\pi}{2}-0\right]-\frac{2}{3}\left[9-\frac{9}{2}-0\right]$

$=\frac{2}{3}\left(\frac{9\pi}{4}\right)-\frac{2}{3}\left(\frac{9}{2}\right)$

$=\frac{3\pi}{2}-3$

$=\frac{3\pi-6}{2}=\frac{3}{2}(\pi-2)$ वर्ग इकाई

Question 41

परवलय y²=4x के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करे जो रेखा y=x से कटता है।

Sol :

y²=4x..(i), y=x..(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से,

x²=4x

x²-4x=0

x(x-4)=0

x=0,4

[Diagram to be added]

x=0,y=0

x=4,y=4

छायांकित भाग का क्षेत्रफल=ar(OABCO)-ar(ΔOAB)

$=2\int_{0}^{4}x^{\frac{1}{2}}dx-\int_{0}^{4}xdx$

$=2\left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{4}-\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{4}$

$=2\left[\frac{2}{3}(4)^{\frac{3}{2}}-0\right]-\left[\frac{4^2}{2}-0\right]$

$=2\left[\frac{2}{3}\times (2)^{2\times \frac{3}{2}}\right]-\frac{16}{2}$

$=2\times \frac{2}{3}\times 8-8$

$=\frac{32}{3}-8$

$=\frac{32-24}{3}=\frac{8}{3}$ वर्ग इकाई

Question 42

वक्रो y=x तथा y²=4x के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करे।

Sol :

y=x..(i) ,y=x²..(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से,

x²=x

x²-x=0

x(x-1)=0

x=0,1

[Diagram to be added]

x=0,y=0

x=1,y=1

छायांकित भाग का क्षेत्रफल=ar(OABO)-ar(ΔABCO)

$=\int_{0}^{1}xdx-\int_{0}^{1}x^2dx$

$=\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1}-\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}$

$=\left(\frac{1}{2}-0\right)-\left(\frac{1}{3}-0\right)$

$=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$

$=\frac{3-2}{6}=\frac{1}{6}$ वर्ग इकाई

Question 43

वृत x²+y²=25 तथा सरल रेखा x+y=5 के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करे।

Sol :

वृत ः x²+y²=25 

x²+y²=5² 

$y=\sqrt{5^2-x^2}$

सरल रेखा 

x+y=5

y=5-x

[Diagram to be added]

छायांकित भाग का क्षेत्रफल

=ar(OABCO)-ar(ΔOAC)

$=\int_{0}^{5}\sqrt{5^2-x^2}dx-\int_{0}^{5}(5-x)dx$

$=\left[\frac{x}{2}\sqrt{5^2-x^2}+\frac{5^2}{2}\sin^{-1}\frac{x}{5}\right]_{0}^{5}-\left[5x-\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{5}$

$=\frac{25}{2}\times \frac{\pi}{2}-0-\left[25-\frac{25}{2}-0\right]$

$=\frac{25}{4}\pi-\frac{25}{2}$

$=\frac{25\pi-50}{4}=\frac{25}{4}(\pi-2)$ वर्ग इकाई

Question 44

y²=4ax तथा x²=y के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करे।

Sol :

y²=4ax..(i) तथा x²=y..(ii)

(x²)²=4ax (समीकरण (ii) से)

x⁴-4ax=0

x(x³-4a)=0

x=0, $(4a)^{\frac{1}{3}}$

[Diagram to be added]

x=0,y=0²=0

$x=(4a)^{\frac{1}{3}},y=(4a)^{\frac{2}{3}}$

छायांकित भाग का क्षेत्रफल

=ar(OABCO)-ar(OABDO)

$=2\sqrt{a}\int_{0}^{(4a)^{\frac{1}{3}}}-\int_{0}^{(4a)^{\frac{1}{3}}}$

$=2\sqrt{a}\left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{(4a)^{\frac{1}{3}}}-\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{(4a)^{\frac{1}{3}}}$

$=2\sqrt{a}\left[\frac{2}{3}(4a)^{\frac{1}{3}\times \frac{3}{2}}-0\right]-\left[\frac{(4a)^{\frac{1}{3}\times 3}}{3}-0\right]$

$=\frac{4}{3}\sqrt{a}\times \sqrt{4a}-\frac{4a}{3}$

$=\frac{8}{3}a-\frac{4a}{3}$

$=\frac{4a}{3}$ वर्ग इकाई

Question 45

वक्रो y=4x² तथा y²=2x से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल निकाले।

Sol :

वक्रः y=4x²..(i) तथा y²=2x..(ii)

y=4x² समीकरण (ii) मे रखने पर,

(4x²)²=2x

16x⁴=2x

$x^3=\frac{2}{16}$

$x^3=\left(\frac{1}{2}\right)^3$

$x=\frac{1}{2}$

समीकरण (i) से , y=4x²

$y=4\left(\frac{1}{2}\right)^2$

y=1

[Diagram to be added]

छायांकित भाग का क्षेत्रफल

=OBADO का क्षेत्रफल -OBACO का क्षेत्रफल 

$=\sqrt{2}\int_{0}^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}dx$

$=\sqrt{2}\left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{\frac{1}{2}}-4\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{\frac{1}{2}}$

$=\sqrt{2}\left[\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{2}}-0\right]-4\left[\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^3}{3}-0\right]$

$=\sqrt{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{2\sqrt{2}}-4\times \frac{1}{24}$

$=\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{2-1}{6}=\frac{1}{6}$ वर्ग इकाई

Question 46

प्रथम चतुर्थाश मे वृत x²+y²=32 ,रेखा y=x एवं x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Sol :

वृत का समीकरण

x²+y²=(4√2)²

$y=\sqrt{(4\sqrt{2})^2-x^2}$

∵y=x रेखा का समीकरण

∴x²+x²=32

2x²=32

x²=16

x=±4

x=4 पर,y=4 ;

x=-4, y=-4

[Diagram to be added]

छायांकित भाग का क्षेत्रफल

=ar(OACO)+ar(ABCA)

$=\int_{0}^{4}xdx+\int_{4}^{4\sqrt{2}}\sqrt{(4\sqrt{2})^2-x^2}dx$

$=\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{4}+\left[\frac{x}{2}\sqrt{(4\sqrt{2})^2-x^2}+\frac{(4\sqrt{2})}{2}\sin^{-1}\frac{x}{4\sqrt{2}}\right]_{4}^{4\sqrt{2}}$

$=\frac{4^2}{2}-\frac{0^2}{2}+16\times \frac{\pi}{2}-\left(2\times 4+16\times \frac{\pi}{4}\right)$

=8+8π-8-4π

=4π वर्ग इकाई

Question 47

वृत 4x²+4y²=9 का क्षेत्रफल ज्ञात करे जो परवलय y²=4x के अंदर है।

Sol :

वृत का समीकरण 

4x²+4y²=9...(i)

$x^2+y^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2$

$y=\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-x^2}$

परवलय का समीकरण y²=4x

∴4x²+4(4x)=9 (समीकरण (i) से)

4x²+16x-9=0

4x²+18x-2x-9=0

2x(2x+9)-1(2x+9)=0

(2x+9)(2x-1)=0

$x=\frac{-9}{2},\frac{1}{2}$

[Diagram to be added]

$x=-\frac{9}{2}$ पर, 

$y^2=4\left(-\frac{5}{2}\right)$

$y=\sqrt{-18}\notin R$

$x=\frac{1}{2}$पर, 

$y^2=4\left(\frac{1}{2}\right)$

y=±√2

ar(OABO)=ar(OCBO)+ar(CABC)

$=2\int_{0}^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}dx+\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-x^2}dx$

$=2\left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{\frac{1}{2}}+\left[\frac{x}{2}\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-x^2}+\dfrac{\left(\frac{3}{2}\right)^2}{2}\sin^{-1}\dfrac{x}{\frac{3}{2}}\right]_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}$

$=2\left[\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{2}}-0\right]+\left[\frac{9}{8}\times \frac{\pi}{2}-\left(\frac{1}{4}\sqrt{2}+\frac{9}{8}\sin^{-1}\frac{1}{3}\right)\right]$

$=\frac{4}{3}\times \frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{9\pi}{16}-\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{9}{8}\sin^{-1}\frac{1}{3}$

$=\frac{\sqrt{2}}{3}-\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{9}{8}\left(\frac{\pi}{2}-\sin^{-1}\frac{1}{3}\right)$

$=\frac{4\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{12}+\frac{9}{8}\left(\frac{\pi}{2}-\sin^{-1}\frac{1}{3}\right)$

$=\frac{\sqrt{2}}{12}+\frac{9}{8}\left(\frac{\pi}{2}-\sin^{-1}\frac{1}{3}\right)$

वृत्त तथा परवलय द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल

=2×ar(OABO)

$=2\left[\frac{\sqrt{2}}{12}+\frac{9}{8}\left(\frac{\pi}{2}-\sin^{-1}\frac{1}{3}\right)\right]$

$=\frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{9}{4}\left(\frac{\pi}{2}-sin^{-1}\frac{1}{3}\right)$

वर्ग इकाई

Question 48

पहले वृत्त का समीकरण x²+y²+=4 एवं (x+2)²+y²=4 के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Sol :

पहले वृत्त का समीकरण

x²+y²+=2² ⇒y²=2²-x²..(i)

$y=\sqrt{2^2-y^2}$

दूसरे वृत्त का समीकरण

(x-2)²+y²=2²

y²=2²-(x-2)²..(ii)

$y=\sqrt{2^2-(x-2)^2}$

समीकरण (i) तथा (ii) से,

2²-x²=2²-(x-2)²

x²=x²-2.x.1+2²

4x=4

x=1 ⇒y=±√3

[Diagram to be added]

ar(OCBAO)=ar(OCAO)+ar(BACB)

$=\int_{0}^{1}\sqrt{2^2-(x-2)^2}dx+\int_{1}^{2}\sqrt{2^2-x^2}dx$

$=\left[\frac{x-2}{2}\sqrt{2^2-(x-2)^2}+\frac{2^2}{2}\sin^{-1}\frac{x-2}{2}\right]_{0}^{1}+\left[\frac{x}{2}\sqrt{2^2-x^2}+\frac{2^2}{2}\sin^{-1}\frac{x}{2}\right]_{1}^{2}$

$=-\frac{1}{2}\times \sqrt{3}+2\left(-\frac{\pi}{6}\right)-\left[-1\times 0+2\times \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right]+2\times \frac{\pi}{2}-\left(\frac{1}{2}\times \sqrt{3}+2\times \frac{\pi}{6}\right)$

$=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{3}+\pi+\pi-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{3}$

$=2\pi-\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}$

$=\frac{6\pi-2\pi}{3}-\sqrt{3}=\frac{4\pi}{3}-\sqrt{3}$ वर्ग इकाई

दोनो वृत्तो से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल=2×ar(OCBAO)

$=2\left(\frac{4\pi}{3}-\sqrt{3}\right)$ वर्ग इकाई

Question 49

y=|x-5| का आलेख खींचिए $\int_{0}^{1}|x-5|dx$ का मान ज्ञात कीजिए। आलेख यह समाकल क्या निरूपित करता है।

Sol :

y=|x-5|$=\left\{\begin{array}{l}x-5,\text{if }x\geq 5\\ -(x-5), \text{if }x<5\end{array}\right.$

CASE-I

y=x-5, if x≥5

x	5	6	7
y	0	1	2

CASE-II

-(x-5),if x<5

x	4	3	2
y	1	2	3

[Diagram to be added]

$=\int_{0}^{1}|x-5|dx=-\int_{0}^{1}(x-5)dx$

$=-\left[\frac{x^2}{2}-5x\right]_{0}^{1}$

$=-\left[\frac{1}{2}-5-0\right]$

$=-\left(-\frac{9}{2}\right)=\frac{9}{2}$

समाकल का मान वक्र y=|x-5|, x-अक्ष तथा x=0,x=1 से घिरे क्षेत्र के क्षेत्रफल को निरुपित करता है।

Question 50

(i) y=|x+1| का आलेख खींचे $\int_{0}^{1}|x+1|dx$ का मान ज्ञात कीजिए। आलेख समाकल क्या निरुपित करता है।

Sol :

y=|x+| $=\left\{\begin{array}{l}x+1, \text{if } x\leq -1\\ -(x+1),\text{if } x<-1\end{array}\right.$

CASE-I

y=x+1, x≥-1

(ii) निम्नलिखित फलन का आलेख खींचे।

(Sketch the graph of the following function)

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}|x-2|+2, x\leq 2\\x^2-2, x>2\end{array}\right.$

$\int_{0}^{4} f(x)dx$ का मान ज्ञात करे । आलेख पर यह समाकल क्या निरूपित करता है?

Sol :

f(x)=|x-2|+2,x≤2

Let y=f(x)

y=-(x-2)+2

x	2	1	0
y	2	3	4

y²=x²-2, x>2

x	3	4	5	6
y	7	14	23	34

[Diagram to be added]

$\int_{0}^{4}f(x)dx=\int_{0}^{2}(4-x)dx+\int_{0}^{4}(x^2-2)dx$

$=\left[4x-\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2}+\left[\frac{x^3}{3}-2x\right]_{2}^{4}$

=8-2-0+$\frac{64}{3}$-8$\left(\frac{8}{3}-4\right)$

$=\frac{64}{3}-\frac{8}{3}+2$

$=\frac{64-8+6}{3}=\frac{62}{3}$ वर्ग इकाई

समाकल ः

y=f(x): x=0,x=4 तथा x-अक्ष से घिरे क्षेत्र के क्षेत्रफल को निरूपित करना है

Question 51

समाकलन विधि का उपयोग करते हुए वक्र |x|+|y|=1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

[Using integration find , the area bounded by the curve |x|+|y|=1]

Sol :

|x|+|y|=1

CASE-I

x>0, y>0

x+y=1

CASE-II

x>0, y<0

x-y=1

CASE-III

x<0, y>0

-x+y=1

CASE-IV

x<0, y<0

-x-y=1

[Diagram to be added]

छायांकित भाग का क्षेत्रफल 

=4×ar(OAB)

$=4\times \int_{0}^{1}(1-x)dx$

$=4\times \left[x-\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1}$

$=4\left[1-\frac{1}{2}-0\right]$

$=4\times \frac{1}{2}=2$ वर्ग इकाई

Question 52

क्षेत्र {(x,y): x²≤y≤x} का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

[Find the area of the region {(x,y): x²≤y≤x}]

Sol :

परवलय ः x²=y..(i) तथा रेखा y=x..(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से,

x²=x

x²-x=0

x(x-1)=0

x=0,1

[Diagram to be added]

x=0,y=0

x=1,y=1

छायांकित भाग का क्षेत्रफल

=ar(OBAO)-ar(OBACO)

$=\int_{0}^{1}xdx-\int_{0}^{1}x^2dx$

$=\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1}-\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}$

$=\frac{1}{2}-0-\frac{1}{3}+0$

$=\frac{1}{6}$ वर्ग इकाई

Question 53

क्षेत्र {(x,y): x²+y²}≤1≤x+y} का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

[Find the area of the region {(x,y): x²+y²}≤1≤x+y}]

Sol :

दिए गए असमिका को समीकरण मे लेने पर

x²+y²=1..(i) , 

x+y=1..(ii) 

y=1-x

समीकरण (i) से,

x²+(1-x²+)=1

x²+1-2x+x²=1

2x(x-1)=0

x=0,1

x=0,y=1

x=1,y=0

[Diagram to be added]

1≤x+y

1≤0+0

1≤0 असत्य

छायांकित भाग की क्षेत्रफल

=ar(OABCO)-ar(OAOC)

$=\int_{0}^{1}\sqrt{1^2-x^2}dx-\int_{0}^{1}(1-x)dx$

$=\left[\frac{x}{2}\sqrt{1^2-x^2}+\frac{1^2}{2}\sin^{-1}\frac{x}{1}\right]_{0}^{1}-\left[x-\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1}$

$=\left[\frac{1}{2}\times \frac{\pi}{2}-0\right]-\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)-0\right]$

$=\left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\right)$ वर्ग ईकाइ

Question 54

क्षेत्र {(x,y):x²+y²≤2ax ,y²≥ax, x≥0, y≥0} का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

[Find the area of the region {(x,y):x²+y²≤2ax ,y²≥ax, x≥0, y≥0}]

Sol :

Let R={(x,y): x²+y²≤2ax ,y²≥ax, x≥0, y≥0}

R={(x,y): x²+y²≤2ax}∩{(x,y): y²≥ax, x≥0, y≥0}∩{(x,y): x≥0, y≥0}

R=R₁∩R₂∩R₃

R₁ के लिए , x²+y²=2ax (समीकरण रूप मे)

x²-2ax+a²+y²=a²

(x-a)²+y²=a²⇒y=$\sqrt{a^2-(x-a)^2}$

R₂ के लिए , y²=ax..(ii) (समीकरण रूप मे)

$y=\sqrt{a}x^{\frac{1}{2}}$

समीकरण (i) मे y² का मान रखने पर,

x²+ax=2ax

x²-ax=0

x(x-a)=0

x=0, a

x=0,y=0

x=a,y=±a

[Diagram to be added]

छायांकित भाग का क्षेत्रफल

=ar(OABCO)-ar(OABDO)

$=\int_{0}^{a}\sqrt{a^2-(x-a)^2}dx-\sqrt{a}\int_{0}^{a}{x^\frac{1}{2}}$

$=\left[\frac{x-a}{2}\sqrt{a^2-(x-a)^2}+\frac{a^2}{2}\sin^{-1}\frac{x-a}{a}\right]_{0}^{a}-\sqrt{a}\left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{a}$

$=0-\left[\frac{-a}{2}\times 0+\frac{a^2}{2}\times \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right]-\sqrt{a}\times \frac{2}{3}(a)^{\frac{3}{2}}-0$

$=\frac{\pi}{4}a^2-\sqrt{a}\times \frac{2}{3}\times (\sqrt{a})^3$

$=\frac{\pi}{4}a^2-\frac{2}{3}a^2$

$=\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2}{3}\right)a^2$ वर्ग इकाई

Question 55

{(x,y): y≥x²}तथा y=|x| से धिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करे।

[Find the area bounded by {(x,y): y≥x²}]

Sol :

समीकरण रूप मे असमिका

y=x²..(i) ,y=x..(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से

x²=x

x²-x=0

x(x-1)=0

⇒x=0,1

x=0,y=0

x=1,y=1

ar(OCBO)=ar(OABO)-ar(OABCO)

$=\int_{0}^{1}xdx-\int_{0}^{1}x^2dx$

$=\frac{1}{6}$ वर्ग इकाई

छायांकित भाग का क्षेत्रफल 

=2×ar(OCBO)

$=2\times \frac{1}{6}$ वर्ग इकाई

$=\frac{1}{3}$ वर्ग इकाई

[Incomplete]