KC Sinha Solution Class 12 Chapter 23 अवकल समीकरण (Differential Equations) Exercise 23.3

 Exercise 23.3

Question 1

सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन संगत अवकल समीकरण का हल है:
[Verify that the given function is a solution of the corresponding differential equation]

(i) $y=e^{-3x}: \dfrac{d^2y}{dx^2}+\dfrac{dy}{dx}-6y=0$
Sol :
y=e^-3x

Differential w.r.t x

$\dfrac{dy}{dx}=-3e^{-3x}$

$3e^{-3x}=-\dfrac{dy}{dx}$

Again ,differentiating

$\dfrac{d^2y}{dx^2}=9e^{-3x}$

$\dfrac{d^{2}y}{dx^2}=6e^{-3x}+3e^{-3x}$

$\dfrac{d^{2}y}{dx^2}+\dfrac{dy}{dx}-6y=0$

∴फलन y=e^-3x संगत अवकल समीकरण $\dfrac{d^2y}{dx^2}+\dfrac{dy}{dx}-6y=0$ का हल है।

(ii) y=e^x+1: y^''-y^'=0

Sol :

y=e^x+1

Differentiating w.r.t x

y^'=e^x

Again, Differentiating w.r.t x

y^''=e^x

y^''=y^'

y^''-y^'=0

अतः फलन y=e^x+1 संगत अवकल समीकरण y^''-y^'=0 का हल है।

(iii) y=Ax : xy^'=y(x≠0)

Sol :

y=Ax ⇒$A=\frac{y}{x}$

Differentiate w.r.t x

y^'=A

$y{'}=\frac{y}{x}$

xy^'=y

अतः फलन y=Ax संगत अवकाल समीकरण xy^'=y का हल है।

(iv) y=cos x+c : y^'+sinx=0

Sol :

y=cosx+c

Differentiating w.r.t x

y^'+sinx=0

अतः फलन y=cosx+c संगत अवकल समीकरण y^'+sinx=0 का हल है।

(v) y=x²+2x+c : y^'-2x-2=0

Sol :

y=x²+2x+c

Differentiating w.r.t x

y^'=2x+2

y^'-2x-2=0

अतः y=x²+2x+c संगत अवकल समीकरण y^'-2x-2=0 का हल है।

(vi) $y=\sqrt{a^2-x^2}$ ,-a<x<a :$x+y\frac{dy}{dx}=0$(y≠0)

Sol :

$y=\sqrt{a^2-x^2}$

दोनो तरफ वर्ग करने पर

y²=a²-x²

Differentiating w.r.t x

$2y\dfrac{dy}{dx}=-2x$

$x+y\frac{dy}{dx}=0$

अतः फलन $y=\sqrt{a^2-x^2}$ संगत अवकल समीकरण $x+y\frac{dy}{dx}=0$ का हल है।

(vii) $y=\sqrt{1+x^2} : y{'}=\frac{xy}{1+x^2}$

Sol :

$y=\sqrt{1+x^2}$

Differentiating w.r.t x

$y{'}=\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\times 2x$

$y{'}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

$y{'}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\times \frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}$

$y{'}=\frac{x\sqrt{1+x^2}}{1+x^2}$

$y{'}=\frac{xy}{1+x^2}$

अतः फलन $y=\sqrt{1+x^2}$ संगत अवकल समीकरण $y '=\frac{xy}{1+x^2}$ का हल है।

(viii) y=xsin x: xy^'$=y+x\sqrt{x^2-y^2}$ (x≠0 तथा x>y या x<-y)

Sol :

y=xsinx ⇒$sinx=\frac{y}{x}$

Differentiating w.r.t x

y^'=1.sinx+xcosx

y^'=sinx+xcosx

$y{'}=\frac{y}{x}+x\sqrt{1-\left(\frac{y}{x}\right)^2}$

$y{'}=\frac{y}{x}+x\sqrt{\frac{x^2-y^2}{x^2}}$

$y{'}=\frac{y}{x}+x\frac{\sqrt{x^2-y^2}}{x}$

$y{'}=\frac{y+x\sqrt{x^2-y^2}}{x}$

xy^'=y+$x\sqrt{x^2-y^2}$

अतः फलन y=xsinx संगत अवकल समीकरण 

xy^'=y+$x\sqrt{x^2-y^2}$ का हल है

(ix) $xy=ae^{x}+be^{-x}+x^2 : x\frac{d^2y}{dx^2}+2\frac{dy}{dx}-xy+x^2-2=0$

Sol :

xy=ae^x+be^-x ⇒ae^x+be^-x=xy-x²

Differentiating w.r.t x

$1.y+x\frac{dy}{dx}=ae^x-be^{-x}+2x$

$y+x\frac{dy}{dx}=ae^{x}-be^{-x}+2x$

Again, differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}+1.\frac{dy}{dx}+x\frac{d^2y}{dx^2}=ae^x+be^{-x}+2$

$x\frac{d^2y}{dx^2}+2\frac{dy}{dx}=xy-x^2+2$

$x\frac{d^2y}{dx^2}+2\frac{dy}{dx}-xy+x^2-2=0$

अतः xy=ae^x+be^-x+x² संगत अवकल समीकरण $x\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{2dy}{dx}-xy+x^2-2=0$ का हल है।

(x) y=xsin3x :$\frac{d^2y}{dx^2}+9y-6 \cos 3x =0$

Sol :

y=xsin3x

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=1.\sin 3x+3x \cos 3x$

$\frac{dy}{dx}=\sin 3x+3x \cos 3x$

Again , differentiating w.r.t x

$\frac{d^2y}{dx^2}=3\cos 3x+3\left[1.\cos 3x+x(-\sin 3x).3\right]$

$\frac{d^2y}{dx^2}=3\cos 3x+3\cos 3x-9x\sin 3x$

$\frac{d^2y}{dx^2}=6\cos 3x-9y$

$\frac{d^2y}{dx^2}+9y-6\cos 3x=0$

अतः फलन y=xsin 3x संगत अवकल समीकरण 

$\frac{d^2y}{dx^2}+9y-6\cos 3x=0$ का हल है।

(xi) x²=2y² log y : $\left(x^2+y^2\right)\frac{dy}{dx}-xy=0$

Sol :

x²=2y² log y ⇒ $\log y=\frac{x^2}{2y^2}$

Differentiating w.r.t x

$2x=4y\frac{dy}{dx}\log y+2y^2\times \frac{1}{y}\times \frac{dy}{dx}$

$2x=2y\left[2\log y+1\right]\frac{dy}{dx}$

$x=y\left[2\log y+1\right]\frac{dy}{dx}$

$x=y\left[2\frac{x^2}{xy^2}+1\right]\frac{dy}{dx}d$

$x=y\left[\frac{x^2+y^2}{y^2}\right]\frac{dy}{dx}$

$xy=(x^2+y^2)\frac{dy}{dx}$

$0=(x^2+y^2)\frac{dy}{dx}-xy$

या $\left(x^2+y^2\right)\frac{dy}{dx}-xy=0$

अतः फलन x²=2y² log y संगत अवकल समीकरण

$\left(x^2+y^2\right)\frac{dy}{dx}-xy=0$ का हल है।

[incomplete]

Question 2

सत्यापित करे कि दिया हुआ अस्पष्ट फलन संगत अवकल समीकरण का हल है।

[Verify that the following implicit function is a solution of the corresponding differential equation]

(i) $xy=log y+c : y{'}=\frac{y^2}{1-xy}(xy\neq 1)$

Sol :

xy=log y+c 

Differentiating w.r.t x

$1.y+x.y'=\frac{1}{y}.y'$

$y=\frac{y'}{y}-xy'$

$y=\left(\frac{1}{y}-x\right)y'$

$\left(\frac{1-xy}{y}\right)y'=y$

$y'=\frac{y^2}{1-xy}$

∴ xy=log y+c संगत अवकल समीकरण $y'=\frac{y^2}{1-xy}$ का हल है।

(ii) $x+y=\tan^{-1}y: y^2y'+y^2+1=0$

Sol :

x+y=tan^-1y

Differentiating w.r.t x

$1+y'=\frac{1}{1+y^2}\times y'$

(1+y')(1+y²)=y'

1+y²+y'+y²y'=y'

⇒y²y'+y²+1=0

अतः x+y=tan^-1y संगत अवकल समीकरण

y²y'+y²+1=0 का हल है।

(iii) y-cosy=x:(ysiny+cosy+x)y'=y

Sol :

y-cosy=x ⇒y=x+cosy

Differentiating w.r.t x

y'+siny y'=1

(1+siny)y'=1

y से गुणा करने पर

y(1+siny)y'=y

(x+cosy)(1+siny)y'=y

(x+xsiny+cosy+sinycosy)y'=y

[siny(x+cosy)+cosy+x]y'=y

[ysiny+cosy+x]y'=y

अतः y-cosy=x संगत अवकल समीकरण

(ysiny+cosy+x)y'=y का एक हल है।

Question 3

दिखाएँ कि y=be^x+ce^2x अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}-3\frac{dy}{dx}+2y=0$ का हल है।

Sol :

y=be^x+ce^2x

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=be^{x}+2ce^{2x}$

Again ,Differentiating w.r.t x

$\frac{d^2y}{dx^2}=be^{x}+4ce^{2x}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=3be^{x}+6ce^{2x}-2be^x-2ce^{2x}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=3(be^x+2ce^{2x})-2(be^x+ce^{2x})$

$\frac{d^2y}{dx^2}=3\frac{dy}{dx}-2y$

$\frac{d^2y}{dx^2}=3\frac{dy}{dx}-2y$

$\frac{d^2y}{dx^2}-3\frac{dy}{dx}-2y=0$

अतः y=be^x+ce^2x संगत अवकल समीकरण

$\frac{d^2y}{dx^2}-3\frac{dy}{dx}+2y=0$ का हल है।

Question 4

सत्यापित करे कि y=4sin3x अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}+9y=0$ का हल है।

Sol :

y=4sin3x

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=12\cos 3x$

Again ,differentiating w.r.t x

$\frac{d^2y}{dx^2}=-36\sin 3x$

$\frac{d^2y}{dx^2}=-9\times 4\sin 3x$

$\frac{d^2y}{dx^2}=-9y$

$\frac{d^2y}{dx^2}+9y=0$

∴y=4sin3x संगत अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}+9y=0$ का हल है।

Question 5

दिखाएँ कि फलन y=Acos2x-Bsin2x अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}+4y=0$ का एक हल है।

Sol :

y=Acos2x-Bsin2x 

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=-2A\sin 2x-2B\cos 2x$

Again ,differentiating w.r.t x

$\frac{d^2y}{dx^2}=-4A\cos 2x+4B\sin 2x$

$\frac{d^2y}{dx^2}=-4(A\cos 2x-B\sin 2x)$

$\frac{d^2y}{dx^2}=-4y$ 

$\frac{d^2y}{dx^2}+4y=0$ 

अतः y=Acos2x-Bsin2x अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}+4y=0$ हल है।

Question 6

सत्यापित करे कि y=acosx+bsinx अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}+y=0$ का एक हल है।

Sol :

y=acosx+bsinx

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=-a\sin x+b\cos x$

Again, differentiating w.r.t x

$\frac{d^2y}{dx^2}=-a\cos x-b\sin x$

 

$\frac{d^2y}{dx^2}=-(a\cos x+b\sin x)$

$\frac{d^2y}{dx^2}=-y$

$\frac{d^2y}{dx^2}+y=0$

अतः y=acos x+bsin x अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}+y=0$ का हल है।

Question 7

दिखाएँ कि $y=2(x^2-1)+ce^{-x^2}$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+2xy=4x^3$ का हल है।

Sol :

$y=2(x^2-1)+ce^{-x^2}$ ⇒$ce^{-x^2}=y-2(x^2-1)$ 

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=2(2x)+(-2x)ce^{-x^2}$

$\frac{dy}{dx}=4x-2x\left[y-2x^2+2\right]$

$\frac{dy}{dx}=4x-2xy+4x^3-4x$

$\frac{dy}{dx}+2xy=4x^3$

अतः $y=2(x^2-1)+ce^{-x^2}$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+2xy=4x^3$ का हल है।

Question 8

दिकाएँ कि y=e^-x+ax+b अवकल समीकरण $e^x\frac{d^2y}{dx^2}=1$ का एक हल है।

Sol :

y=e^-x+ax+b

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=(-1)e^{-x}+ax$

Again , differentiating w.r.t x

$\frac{d^2y}{dx^2}=e^{-x}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{e^{-x}}$

$e^{x}\frac{d^2y}{dx^2}=1$

अतः y=e^-x+ax+b अवकल समीकरण $e^x\frac{d^2y}{dx^2}=1$ का हल है।

Question 9

सत्यापित करे कि y=ax³+bx²+c अवकल समीकरण $\frac{d^3y}{dx^3}=6a$ का हल है।

Sol :

y=ax³+bx²+c

Differentiating w.r.t x

$\frac{d^3y}{dx^3}=3ax^2+2bx$

Again , differentiating w.r.t x

$\frac{d^2y}{dx^2}=6ax+2b$

Again , differentiating w.r.t x

$\frac{d^3y}{dx^3}=6a$

अतः y=ax³+bx²+c अवकल समीकरण $\frac{d^3y}{dx^2}=6a$ का हल है।

Question 10

सत्यापित करे कि y=e^x(acosx+bsinx) अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}-2\frac{dy}{dx}+2y=0$ का हल है।

Sol :

y=e^x(acosx+bsinx)

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=e^{x}$

$\frac{dy}{dx}=y+e^x(-a\sin x+b \cos x)$

Again , differentiating w.r.t x

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dy}{dx}+e^{x}(-a\sin x+b\cos x)+e^x(-a\cos x-b\sin x)$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dy}{dx}+\frac{dy}{dx}-y-e^x(a\cos x+b\sin x)$

$\frac{d^2y}{dx^2}=2\frac{dy}{dx}-y-y$

$\frac{d^2y}{dx^2}-2\frac{dy}{dx}+2y=0$

अतः y=e^x(acosx+bsinx) अवकल समीकरण 

$\frac{d^2y}{dx^2}-2\frac{dy}{dx}+2y=0$ का हल है।

Question 11

सत्यापित करे कि $y=\frac{a}{x}+b$ अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{2}{x}\frac{dy}{dx}=0$ का एक हल है।

Sol :

$y=\frac{a}{x}+b$

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=\frac{-a}{x^2}$

Again , differentiating w.r.t x

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2a}{x^3}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{-2}{x}\left(\frac{-a}{x^2}\right)$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{-2}{x}\frac{dy}{dx}$

$\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{2}{x}\frac{dy}{dx}=0$

अतः $y=\frac{a}{x}+b$ अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{2}{x}\frac{dy}{dx}=0$ का हल है।

Question 12

सत्यापित करे कि y=ae^bx अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{y}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$ का हल है।

Sol :

y=ae^bx 

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=abe^{bx}$

Again , differentiating w.r.t x

$\frac{d^2y}{dx^2}=ab^2e^{bx}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{y}.y.ab^2.e^{bx}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{y}ae^{bx}.ab^2.e^{bx}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{y}\left(a^2b^2e^{2bx}\right)$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{y}(abe^{bx})^2$

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{y}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$

अतः y=ae^bx अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{y}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$ का हल है

Question 13

सत्यापित करे कि $y=ce^{\tan  ^{-1}x}$ अवकल समीकरण $(1+x^2)\frac{d^2y}{dx^2}+(2x-1)\frac{dy}{dx}=0$ का एक हल है।

Sol :

$y=ce^{\tan  ^{-1}x}$

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=ce^{\tan ^{-1}x}\times \frac{1}{1+x^2}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{1+x^2}$

$(1+x^2)\frac{dy}{dx}=y$

Again , differentiating w.r.t x

$(2x)\frac{dy}{dx}+(1+x^2)\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dy}{dx}$

$(1+x^2)\frac{d^2y}{dx^2}+2x\frac{dy}{dx}-\frac{dy}{dx}=0$

$(1+x^2)\frac{d^2y}{dx^2}+(2x-1)\frac{dy}{dx}=0$

अतः $y=ce^{\tan  ^{-1}x}$ अवकल समीकरण $(1+x^2)\frac{d^2y}{dx^2}+(2x-1)\frac{dy}{dx}=0$ का एक हल है

Question 14

सत्यापित करे कि $y=e^{m\cos ^{-1}x}$ अवकल समीकरण $(1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}-m^2y=0$ का एक हल है।

Sol :

$y=e^{m\cos ^{-1}x}$ 

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=e^m\cos ^{-1}x\times \frac{m(-1)}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-my}{\sqrt{1-x^2}}$ ⇒ $\sqrt{1-x^2}\frac{dy}{dx}=-my$

Again, differentiating w.r.t x

$\frac{d^2y}{dx^2}=-m\left[\dfrac{\frac{dy}{dx}\sqrt{1-x^2}-y\times \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}\times (-2x)}}{(\sqrt{1-x^2})^2}\right]$

$(1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}=-m\left[-my-\frac{xy}{\sqrt{1-x^2}}\right]$

$(1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}=m^2y-\frac{mxy}{\sqrt{1-x^2}}

$(1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}=m^2y+x\frac{dy}{dx}$

$(1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}-m^2y=0$

अतः $y=e^{m\cos ^{-1}x}$ अवकल समीकरण $(1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}-m^2y=0$ का एक हल है

Question 15

सत्यापित करे कि y=c₁e^axcosbx+c₂e^axsinbx , जहाँ c₁ तथा c₂ स्वेच्छ अचर है,अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}-2a\frac{dy}{dx}+(a^2+b^2)=0$ का एक हल है।

Sol :

y=c₁e^axcosbx+c₂e^axsinbx 

Differentiating w.r.t x

$\frac{dy}{dx}=c_1\left[ae^{ax}\cos bx+e^{ax}(-b\sin bx)\right]+c_2 \left[ae^{ax}\sin bx+e^{ax}b\cos bx\right]$

$\frac{dy}{dx}=a\left[c_1e^{ax}\cos bx+c_2 e^{ax}\sin bx\right]+b\left[-c_1e^{ax}\sin bx+c_2e^{ax}\cos bx\right]$

$\frac{dy}{dx}=ay+b\left[-c_1e^{ax}\sin bx+c_2 e^{ax}\cos bx\right]$

Again, differentiating w.r.t x

$\frac{d^2y}{dx^2}=a\frac{dy}{dx}+b\left[-c_1\left[ae^{ax}\sin bx+e^{ax}b\cos bx\right]+c_2\left[ae^{ax}\cos bx+e^{ax}(-b\sin bx)\right]\right]$

$\frac{d^2y}{dx^2}=a\frac{dy}{dx}-abc_1e^{ax}\sin bx-b^2c_1e^{ax}\cos bx +abc_2 e^{ax}\cos bx -b^2c_2e^{ax}\sin bx$

$\frac{d^2y}{dx^2}=a\frac{dy}{dx}+a\left[\frac{dy}{dx}-ay\right]-b^2y$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{ady}{dx}+\frac{ady}{dx}-a^2y-b^2y$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2ady}{dx}-(a^2+b^2)y$

$\frac{d^2y}{dx^2}-2a\frac{dy}{dx}+(a^2+b^2)y=0$

अतः y=c₁e^axcosbx+c₂e^axsinbx अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}-2a\frac{dy}{dx}+(a^2+b^2)=0$ का एक हल है