Exercise 23.3
Question 1
सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन संगत अवकल समीकरण का हल है:
[Verify that
the given function is a solution of the corresponding differential
equation]
(i) $y=e^{-3x}:
\dfrac{d^2y}{dx^2}+\dfrac{dy}{dx}-6y=0$
Sol :
y=e-3x
Differential
w.r.t x
$\dfrac{dy}{dx}=-3e^{-3x}$
$3e^{-3x}=-\dfrac{dy}{dx}$
Again ,differentiating
$\dfrac{d^2y}{dx^2}=9e^{-3x}$
$\dfrac{d^{2}y}{dx^2}=6e^{-3x}+3e^{-3x}$
$\dfrac{d^{2}y}{dx^2}+\dfrac{dy}{dx}-6y=0$
∴फलन y=e-3x संगत अवकल समीकरण $\dfrac{d^2y}{dx^2}+\dfrac{dy}{dx}-6y=0$ का हल है।
(ii) y=ex+1: y''-y'=0
Sol :
y=ex+1
Differentiating w.r.t x
y'=ex
Again, Differentiating w.r.t x
y''=ex
y''=y'
y''-y'=0
अतः फलन y=ex+1 संगत अवकल समीकरण y''-y'=0 का हल है।
(iii) y=Ax : xy'=y(x≠0)
Sol :
y=Ax ⇒$A=\frac{y}{x}$
Differentiate w.r.t x
y'=A
$y{'}=\frac{y}{x}$
xy'=y
अतः फलन y=Ax संगत अवकाल समीकरण xy'=y का हल है।
(iv) y=cos x+c : y'+sinx=0
Sol :
y=cosx+c
Differentiating w.r.t x
y'+sinx=0
अतः फलन y=cosx+c संगत अवकल समीकरण y'+sinx=0 का हल है।
(v) y=x2+2x+c : y'-2x-2=0
Sol :
y=x2+2x+c
Differentiating w.r.t x
y'=2x+2
y'-2x-2=0
अतः y=x2+2x+c संगत अवकल समीकरण y'-2x-2=0 का हल है।
(vi) $y=\sqrt{a^2-x^2}$ ,-a<x<a :$x+y\frac{dy}{dx}=0$(y≠0)
Sol :
$y=\sqrt{a^2-x^2}$
दोनो तरफ वर्ग करने पर
y2=a2-x2
Differentiating w.r.t x
$2y\dfrac{dy}{dx}=-2x$
$x+y\frac{dy}{dx}=0$
अतः फलन $y=\sqrt{a^2-x^2}$ संगत अवकल समीकरण $x+y\frac{dy}{dx}=0$ का हल है।
(vii) $y=\sqrt{1+x^2} : y{'}=\frac{xy}{1+x^2}$
Sol :
$y=\sqrt{1+x^2}$
Differentiating w.r.t x
$y{'}=\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\times 2x$
$y{'}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
$y{'}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\times \frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}$
$y{'}=\frac{x\sqrt{1+x^2}}{1+x^2}$
$y{'}=\frac{xy}{1+x^2}$
अतः फलन $y=\sqrt{1+x^2}$ संगत अवकल समीकरण $y '=\frac{xy}{1+x^2}$ का हल है।
(viii) y=xsin x: xy'$=y+x\sqrt{x^2-y^2}$ (x≠0 तथा x>y या x<-y)
Sol :
y=xsinx ⇒$sinx=\frac{y}{x}$
Differentiating w.r.t x
y'=1.sinx+xcosx
y'=sinx+xcosx
$y{'}=\frac{y}{x}+x\sqrt{1-\left(\frac{y}{x}\right)^2}$
$y{'}=\frac{y}{x}+x\sqrt{\frac{x^2-y^2}{x^2}}$
$y{'}=\frac{y}{x}+x\frac{\sqrt{x^2-y^2}}{x}$
$y{'}=\frac{y+x\sqrt{x^2-y^2}}{x}$
xy'=y+$x\sqrt{x^2-y^2}$
अतः फलन y=xsinx संगत अवकल समीकरण
xy'=y+$x\sqrt{x^2-y^2}$ का हल है
(ix) $xy=ae^{x}+be^{-x}+x^2 : x\frac{d^2y}{dx^2}+2\frac{dy}{dx}-xy+x^2-2=0$
Sol :
xy=aex+be-x ⇒aex+be-x=xy-x2Differentiating w.r.t x
$1.y+x\frac{dy}{dx}=ae^x-be^{-x}+2x$
$y+x\frac{dy}{dx}=ae^{x}-be^{-x}+2x$
Again, differentiating w.r.t x
$\frac{dy}{dx}+1.\frac{dy}{dx}+x\frac{d^2y}{dx^2}=ae^x+be^{-x}+2$
$x\frac{d^2y}{dx^2}+2\frac{dy}{dx}=xy-x^2+2$
$x\frac{d^2y}{dx^2}+2\frac{dy}{dx}-xy+x^2-2=0$
अतः xy=aex+be-x+x2 संगत अवकल समीकरण $x\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{2dy}{dx}-xy+x^2-2=0$ का हल है।
(x) y=xsin3x :$\frac{d^2y}{dx^2}+9y-6 \cos 3x =0$
Sol :
y=xsin3x
Differentiating w.r.t x
$\frac{dy}{dx}=1.\sin 3x+3x \cos 3x$
$\frac{dy}{dx}=\sin 3x+3x \cos 3x$
Again , differentiating w.r.t x
$\frac{d^2y}{dx^2}=3\cos 3x+3\left[1.\cos 3x+x(-\sin 3x).3\right]$
$\frac{d^2y}{dx^2}=3\cos 3x+3\cos 3x-9x\sin 3x$
$\frac{d^2y}{dx^2}=6\cos 3x-9y$
$\frac{d^2y}{dx^2}+9y-6\cos 3x=0$
अतः फलन y=xsin 3x संगत अवकल समीकरण
$\frac{d^2y}{dx^2}+9y-6\cos 3x=0$ का हल है।
(xi) x2=2y2 log y : $\left(x^2+y^2\right)\frac{dy}{dx}-xy=0$
Sol :
x2=2y2 log y ⇒ $\log y=\frac{x^2}{2y^2}$
Differentiating w.r.t x
$2x=4y\frac{dy}{dx}\log y+2y^2\times \frac{1}{y}\times \frac{dy}{dx}$
$2x=2y\left[2\log y+1\right]\frac{dy}{dx}$
$x=y\left[2\log y+1\right]\frac{dy}{dx}$
$x=y\left[2\frac{x^2}{xy^2}+1\right]\frac{dy}{dx}d$
$x=y\left[\frac{x^2+y^2}{y^2}\right]\frac{dy}{dx}$
$xy=(x^2+y^2)\frac{dy}{dx}$
$0=(x^2+y^2)\frac{dy}{dx}-xy$
या $\left(x^2+y^2\right)\frac{dy}{dx}-xy=0$
अतः फलन x2=2y2 log y संगत अवकल समीकरण
$\left(x^2+y^2\right)\frac{dy}{dx}-xy=0$ का हल है।
[incomplete]
Question 2
सत्यापित करे कि दिया हुआ अस्पष्ट फलन संगत अवकल समीकरण का हल है।
[Verify that the following implicit function is a solution of the corresponding differential equation]
(i) $xy=log y+c : y{'}=\frac{y^2}{1-xy}(xy\neq 1)$
Sol :
xy=log y+c
Differentiating w.r.t x
$1.y+x.y'=\frac{1}{y}.y'$
$y=\frac{y'}{y}-xy'$
$y=\left(\frac{1}{y}-x\right)y'$
$\left(\frac{1-xy}{y}\right)y'=y$
$y'=\frac{y^2}{1-xy}$
∴ xy=log y+c संगत अवकल समीकरण $y'=\frac{y^2}{1-xy}$ का हल है।
(ii) $x+y=\tan^{-1}y: y^2y'+y^2+1=0$
Sol :
x+y=tan-1y
Differentiating w.r.t x
$1+y'=\frac{1}{1+y^2}\times y'$
(1+y')(1+y2)=y'
1+y2+y'+y2y'=y'
⇒y2y'+y2+1=0
अतः x+y=tan-1y संगत अवकल समीकरण
y2y'+y2+1=0 का हल है।
(iii) y-cosy=x:(ysiny+cosy+x)y'=y
Sol :
y-cosy=x ⇒y=x+cosy
Differentiating w.r.t x
y'+siny y'=1
(1+siny)y'=1
y से गुणा करने पर
y(1+siny)y'=y
(x+cosy)(1+siny)y'=y
(x+xsiny+cosy+sinycosy)y'=y
[siny(x+cosy)+cosy+x]y'=y
[ysiny+cosy+x]y'=y
अतः y-cosy=x संगत अवकल समीकरण
(ysiny+cosy+x)y'=y का एक हल है।
Question 3
दिखाएँ कि y=bex+ce2x अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}-3\frac{dy}{dx}+2y=0$ का हल है।
Sol :
y=bex+ce2x
Differentiating w.r.t x
$\frac{dy}{dx}=be^{x}+2ce^{2x}$
Again ,Differentiating w.r.t x
$\frac{d^2y}{dx^2}=be^{x}+4ce^{2x}$
$\frac{d^2y}{dx^2}=3be^{x}+6ce^{2x}-2be^x-2ce^{2x}$
$\frac{d^2y}{dx^2}=3(be^x+2ce^{2x})-2(be^x+ce^{2x})$
$\frac{d^2y}{dx^2}=3\frac{dy}{dx}-2y$
$\frac{d^2y}{dx^2}=3\frac{dy}{dx}-2y$
$\frac{d^2y}{dx^2}-3\frac{dy}{dx}-2y=0$
अतः y=bex+ce2x संगत अवकल समीकरण
$\frac{d^2y}{dx^2}-3\frac{dy}{dx}+2y=0$ का हल है।
Question 4
सत्यापित करे कि y=4sin3x अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}+9y=0$ का हल है।
Sol :
y=4sin3x
Differentiating w.r.t x
$\frac{dy}{dx}=12\cos 3x$
Again ,differentiating w.r.t x
$\frac{d^2y}{dx^2}=-36\sin 3x$
$\frac{d^2y}{dx^2}=-9\times 4\sin 3x$
$\frac{d^2y}{dx^2}=-9y$
$\frac{d^2y}{dx^2}+9y=0$
∴y=4sin3x संगत अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}+9y=0$ का हल है।
Question 5
दिखाएँ कि फलन y=Acos2x-Bsin2x अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}+4y=0$ का एक हल है।
Sol :
y=Acos2x-Bsin2x
Differentiating w.r.t x
$\frac{dy}{dx}=-2A\sin 2x-2B\cos 2x$
Again ,differentiating w.r.t x
$\frac{d^2y}{dx^2}=-4A\cos 2x+4B\sin 2x$
$\frac{d^2y}{dx^2}=-4(A\cos 2x-B\sin 2x)$
$\frac{d^2y}{dx^2}=-4y$
$\frac{d^2y}{dx^2}+4y=0$
अतः y=Acos2x-Bsin2x अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}+4y=0$ हल है।
Question 6
सत्यापित करे कि y=acosx+bsinx अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}+y=0$ का एक हल है।
Sol :
y=acosx+bsinx
Differentiating w.r.t x
$\frac{dy}{dx}=-a\sin x+b\cos x$
Again, differentiating w.r.t x
$\frac{d^2y}{dx^2}=-a\cos x-b\sin x$
$\frac{d^2y}{dx^2}=-(a\cos x+b\sin x)$
$\frac{d^2y}{dx^2}=-y$
$\frac{d^2y}{dx^2}+y=0$
अतः y=acos x+bsin x अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}+y=0$ का हल है।
Question 7
दिखाएँ कि $y=2(x^2-1)+ce^{-x^2}$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+2xy=4x^3$ का हल है।
Sol :
$y=2(x^2-1)+ce^{-x^2}$ ⇒$ce^{-x^2}=y-2(x^2-1)$
Differentiating w.r.t x
$\frac{dy}{dx}=2(2x)+(-2x)ce^{-x^2}$
$\frac{dy}{dx}=4x-2x\left[y-2x^2+2\right]$
$\frac{dy}{dx}=4x-2xy+4x^3-4x$
$\frac{dy}{dx}+2xy=4x^3$
अतः $y=2(x^2-1)+ce^{-x^2}$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+2xy=4x^3$ का हल है।
Question 8
दिकाएँ कि y=e-x+ax+b अवकल समीकरण $e^x\frac{d^2y}{dx^2}=1$ का एक हल है।
Sol :
y=e-x+ax+b
Differentiating w.r.t x
$\frac{dy}{dx}=(-1)e^{-x}+ax$
Again , differentiating w.r.t x
$\frac{d^2y}{dx^2}=e^{-x}$
$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{e^{-x}}$
$e^{x}\frac{d^2y}{dx^2}=1$
अतः y=e-x+ax+b अवकल समीकरण $e^x\frac{d^2y}{dx^2}=1$ का हल है।
Question 9
सत्यापित करे कि y=ax3+bx2+c अवकल समीकरण $\frac{d^3y}{dx^3}=6a$ का हल है।
Sol :
y=ax3+bx2+c
Differentiating w.r.t x
$\frac{d^3y}{dx^3}=3ax^2+2bx$
Again , differentiating w.r.t x
$\frac{d^2y}{dx^2}=6ax+2b$
Again , differentiating w.r.t x
$\frac{d^3y}{dx^3}=6a$
अतः y=ax3+bx2+c अवकल समीकरण $\frac{d^3y}{dx^2}=6a$ का हल है।
Question 10
सत्यापित करे कि y=ex(acosx+bsinx) अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}-2\frac{dy}{dx}+2y=0$ का हल है।
Sol :
y=ex(acosx+bsinx)
Differentiating w.r.t x
$\frac{dy}{dx}=e^{x}$
$\frac{dy}{dx}=y+e^x(-a\sin x+b \cos x)$
Again , differentiating w.r.t x
$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dy}{dx}+e^{x}(-a\sin x+b\cos x)+e^x(-a\cos x-b\sin x)$
$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dy}{dx}+\frac{dy}{dx}-y-e^x(a\cos x+b\sin x)$
$\frac{d^2y}{dx^2}=2\frac{dy}{dx}-y-y$
$\frac{d^2y}{dx^2}-2\frac{dy}{dx}+2y=0$
अतः y=ex(acosx+bsinx) अवकल समीकरण
$\frac{d^2y}{dx^2}-2\frac{dy}{dx}+2y=0$ का हल है।
Question 11
सत्यापित करे कि $y=\frac{a}{x}+b$ अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{2}{x}\frac{dy}{dx}=0$ का एक हल है।
Sol :
$y=\frac{a}{x}+b$
Differentiating w.r.t x
$\frac{dy}{dx}=\frac{-a}{x^2}$
Again , differentiating w.r.t x
$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2a}{x^3}$
$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{-2}{x}\left(\frac{-a}{x^2}\right)$
$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{-2}{x}\frac{dy}{dx}$
$\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{2}{x}\frac{dy}{dx}=0$
अतः $y=\frac{a}{x}+b $ अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{2}{x}\frac{dy}{dx}=0$ का हल है।
Question 12
सत्यापित करे कि y=aebx अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{y}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$ का हल है।
Sol :
y=aebx
Differentiating w.r.t x
$\frac{dy}{dx}=abe^{bx}$
Again , differentiating w.r.t x
$\frac{d^2y}{dx^2}=ab^2e^{bx}$
$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{y}.y.ab^2.e^{bx}$
$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{y}ae^{bx}.ab^2.e^{bx}$
$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{y}\left(a^2b^2e^{2bx}\right)$
$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{y}(abe^{bx})^2$
$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{y}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$
अतः y=aebx अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{y}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$ का हल है
Question 13
सत्यापित करे कि $y=ce^{\tan ^{-1}x}$ अवकल समीकरण $(1+x^2)\frac{d^2y}{dx^2}+(2x-1)\frac{dy}{dx}=0$ का एक हल है।
Sol :
$y=ce^{\tan ^{-1}x}$
Differentiating w.r.t x
$\frac{dy}{dx}=ce^{\tan ^{-1}x}\times \frac{1}{1+x^2}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{1+x^2}$
$(1+x^2)\frac{dy}{dx}=y$
Again , differentiating w.r.t x
$(2x)\frac{dy}{dx}+(1+x^2)\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dy}{dx}$
$(1+x^2)\frac{d^2y}{dx^2}+2x\frac{dy}{dx}-\frac{dy}{dx}=0$
$(1+x^2)\frac{d^2y}{dx^2}+(2x-1)\frac{dy}{dx}=0$
अतः $y=ce^{\tan ^{-1}x}$ अवकल समीकरण $(1+x^2)\frac{d^2y}{dx^2}+(2x-1)\frac{dy}{dx}=0$ का एक हल है
Question 14
सत्यापित करे कि $y=e^{m\cos ^{-1}x}$ अवकल समीकरण $(1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}-m^2y=0$ का एक हल है।
Sol :
$y=e^{m\cos ^{-1}x}$
Differentiating w.r.t x
$\frac{dy}{dx}=e^m\cos ^{-1}x\times \frac{m(-1)}{\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{-my}{\sqrt{1-x^2}}$ ⇒ $\sqrt{1-x^2}\frac{dy}{dx}=-my$
Again, differentiating w.r.t x
$\frac{d^2y}{dx^2}=-m\left[\dfrac{\frac{dy}{dx}\sqrt{1-x^2}-y\times \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}\times (-2x)}}{(\sqrt{1-x^2})^2}\right]$
$(1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}=-m\left[-my-\frac{xy}{\sqrt{1-x^2}}\right]$
$(1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}=m^2y-\frac{mxy}{\sqrt{1-x^2}}
$(1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}=m^2y+x\frac{dy}{dx}$
$(1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}-m^2y=0$
अतः $y=e^{m\cos ^{-1}x}$ अवकल समीकरण $(1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}-m^2y=0$ का एक हल है
Question 15
सत्यापित करे कि y=c1eaxcosbx+c2eaxsinbx , जहाँ c1 तथा c2 स्वेच्छ अचर है,अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}-2a\frac{dy}{dx}+(a^2+b^2)=0$ का एक हल है।
Sol :
y=c1eaxcosbx+c2eaxsinbx
Differentiating w.r.t x
$\frac{dy}{dx}=c_1\left[ae^{ax}\cos bx+e^{ax}(-b\sin bx)\right]+c_2 \left[ae^{ax}\sin bx+e^{ax}b\cos bx\right]$
$\frac{dy}{dx}=a\left[c_1e^{ax}\cos bx+c_2 e^{ax}\sin bx\right]+b\left[-c_1e^{ax}\sin bx+c_2e^{ax}\cos bx\right]$
$\frac{dy}{dx}=ay+b\left[-c_1e^{ax}\sin bx+c_2 e^{ax}\cos bx\right]$
Again, differentiating w.r.t x
$\frac{d^2y}{dx^2}=a\frac{dy}{dx}+b\left[-c_1\left[ae^{ax}\sin bx+e^{ax}b\cos bx\right]+c_2\left[ae^{ax}\cos bx+e^{ax}(-b\sin bx)\right]\right]$
$\frac{d^2y}{dx^2}=a\frac{dy}{dx}-abc_1e^{ax}\sin bx-b^2c_1e^{ax}\cos bx +abc_2 e^{ax}\cos bx -b^2c_2e^{ax}\sin bx$
$\frac{d^2y}{dx^2}=a\frac{dy}{dx}+a\left[\frac{dy}{dx}-ay\right]-b^2y$
$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{ady}{dx}+\frac{ady}{dx}-a^2y-b^2y$
$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2ady}{dx}-(a^2+b^2)y$
$\frac{d^2y}{dx^2}-2a\frac{dy}{dx}+(a^2+b^2)y=0$
अतः y=c1eaxcosbx+c2eaxsinbx अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}-2a\frac{dy}{dx}+(a^2+b^2)=0$ का एक हल है
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