Exercise 24.1
Question 1
किसी वक्र की ढाल किसी बिन्दु पर उस बिन्दु के कोटि की दुगुनी का प्रतिलोम है। वक्र बिन्दु (4,3) से गुजरती है। वक्र का समीकरण ज्ञात करे ।
Sol :
माना वक्र की ढाल $\frac{dy}{dx}$ है, जो बिन्दु (x,y) से गुजर रहा है।
प्रश्न से,
$\frac{d y}{d x}=\frac{1}{2y}$
2ydy=dx
Integrating both sides
$2 \int y d y=\int d x$
$\frac{2 y^{2}}{2}=x+c$
y2=x+c
वक्र बिन्दु(4,3) से गुजर रहा है
32=4+c
c=5
∴वक्र का समीकरण
y2=x+5
Question 2
एक वक्र बिन्दु(5,3) से गुजरती है तथा इसके किसी बिन्दु(x,y) पर इसकी ढाल और कोटि का गुणनफल इसके भुज के बराबर है। वक्र का समीकरण ज्ञात करे।
Sol :
प्रश्न से, किसी बिन्दु(x,y) पर वक्र की स्पर्श रेखा का ढाल$=\frac{dy}{dx}$
$y \frac{d y}{d x}=x$
y=dy=xdx
Integrating both sides
$\int y d y=\int x d x$
$\frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}+c$
∵वक्र बिंदु (5,3) से गुजरता है।
$\frac{3^{2}}{2}=\frac{5^{2}}{2}+c$
$\frac{9}{2}-\frac{25}{2}=c$
$c=\frac{-16}{2}$
c=-8
∴वक्र का समीकरण
$\frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}-8$
$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=8$
$\frac{x^{2}-y^{2}}{2}=8$
x2-y2=16
Question 3
दिखाएँ कि बिंदु(1,0) से जाती हुई समीकरण (1+y2)dy-xydy=0 को संतुष्ट करने वाली वक्र का समीकरण x2-y2=1
Sol :
(1+y2)dy-xydy=0
-xydy=-(1+y2)dy
$\frac{y}{1+y^{2}} d y=\frac{d x}{x}$
Integrating both sides
$\frac{1}{2} \int \frac{2 y}{1+y^{2}} d y=\int \frac{d x}{x}$
$\frac{1}{2} \log |{1} 1+y^{2} |=\log |x|+\log|c|$
$\frac{1}{2} \log\left|1+y^{2}\right|=\log |c x|$
log|1+y2|=2log|cx|
log|1+y2|=log|c2x2|
1+y2=c2x2
∵वक्र(1,0) से गुजर रहा है।1+02=c2(1)2
1=c2
∴वक्र का समीकरण
∴वक्र का समीकरण
1+y2=1.x2
x2-y2=1
x2-y2=1
Question 4
दर्शाइए कि वक्रो का कुल, जिनके किसी बिन्दु(x,y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{x^{2}+y^{2}}{2 x y}$ है, x2-y2=cx द्वारा प्रदत है।
Sol :
माना स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+y^{2}}{2 x}$...(i)
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है।
y=vx ⇒$v=\frac{y}{x}$
Differentiating wr.t x
$\frac{d y}{dx}=\frac{dv}{d x} \cdot x+v$...(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) से,
$\frac{d v}{dx} \cdot x+v=\frac{x^{2}+y^{2}}{2 x y}$
$\frac{d v}{d x} \cdot x+v=\frac{x^{2}+(v x)^{2}}{2 x \cdot v x}$
$\frac{dv}{d x} \cdot x+v=x^{2} \frac{\left(1+v^{2}\right)}{2 v x^{2}}$
$\frac{d v}{dx} \cdot x=\frac{1+v^{2}}{2 v}-v$
$\frac{d v}{dx} \cdot x=\frac{1+v^{2}-2 v^{2}}{2 v}$
$\frac{d v}{dx} \cdot x=\frac{1-v^{2}}{2 v}$
$\frac{2 v}{1-v^{2}} dv=\frac{d x}{x}$
Integrating both sides
$-\int -\frac{2 v}{1-v^{2}} d v=\int \frac{dx}{x}$
-log|1-v2|=log|x|+log|k|
-log|1-v2|=log|kx|
$\log \left|1-\frac{y^{2}}{x^{2}} \right|=-\log|k x|$
$\log\left|\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}}\right|=\log \left|\frac{1}{k x}\right|$
$\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}}=\frac{1}{k x}$
$x^{2}-y^{2}=\frac{1}{kx} \cdot x^2$
$x^{2}-y^{2}=\frac{1}{k} \cdot x$
x2-y2=cx , जहाँ $c=\frac{1}{k}$
Question 5
बिन्दु(-2,3) से गुजरने वाले ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी बिन्दु(x,y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{2 x}{y^{2}}$ है।
Sol :
माना स्पर्श रेखा की प्रवणता, $\frac{dy}{d x}=\frac{2 x}{y^{2}}$
y2dy=2xdx
Integrating both sides
$\int y^{2} d y=2 \int x d x$
$\frac{y^{3}}{3}=\frac{2x^{2}}{2}+c$
$\frac{y^{3}}{3}=x^{2}+c$
वक्र बिन्दु(-2,3) से गुजर रहा है।
$\frac{3^{3}}{3}=(-2)^{2}+c$
9=4+c
c=5
∴वक्र का समीकरण
$\frac{y^{3}}{3}=x^{2}+5$
y3=3x2+15
$y=\left(3 x^{2}+15\right)^{\frac{1}{3}}$
Question 6
बिन्दु(1,1) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण xdy=(2x2+1)dx(x≠0) है।
Sol :
xdy=(2x2+1)
$d y=\frac{\left(2 x^{2}+1\right)}{x} d x$
Integrating both sides
$\int d y=\int\left(2 x+\frac{1}{x}\right) dx$
y=x2+log|x|+c
∵वक्र बिन्दु(1,1) से रहा है।
1=12+log|1|+c
1=1+c
c=0
∴वक्र का समीकरण y=x2+log x
Question 7
बिन्दु $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण sin x cos x dx+cos x sin y dy=0 है।
Sol :
sin x cos x dx+cos x sin y dy=0
cos x sin y dy=-sin x cos y dx
$-\frac{\sin y}{\cos y} d y=\frac{\sin x}{\cos x} d x$
Integrating both sides
$-\int \tan y d y=\int \tan x d x$
log|cos y|=log|sec x|+log |c|
log |cos y|=log|c sec x|
log y=cosec x
∵वक्र, बिन्दु $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ से गुजर रहा है।
$\cos \frac{\pi}{4}=c. sec 0$
$\frac{1}{\sqrt{2}}=c$
∴वक्र का समीकरण
$\cos y=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sec x$
$\sqrt{2} \cos y=\sec x$
Question 8
बिन्दु (0,0) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसका अवकल समीकरण y=ex sin x है।
Sol :
y=ex sin x
$\frac{d y}{dy}=e^{x} \sin x$
dy=ex sin x dx
Integrating both sides
$\int d y=\int e^{x} \sin x d x$
Let,
$I=\int e^{x} \sin x dx$
$I=\operatorname{sin} x \int e^{x} d x-\int\left\{\frac{d(\sin x)}{dx } \int e^{x} d x\right\} dx$
I=exsin x- ∫cos x.ex dx
$I=e^{x} \operatorname{sin} x- \left[ \operatorname{cos} x \int e^{x} dx-\int \left\{\frac{d(\cos x)}{dx}\right\} \int e^x dx\right] dx$
I=exsin x-[excos x-∫sin x.ex dx
I=exsin x-excos x-I
2I=ex(sin x-cos x)
$I=\frac{e^{x}}{2}(\sin 2-\cos x)$
∴$y=\frac{e^{x}}{2}(\sin y-\cos x)+c$
2y=ex(sin x-cos x)+c
∵वक्र , बिन्दु(0,0) से गुजर रहा है
2(0)=e0(sin 0-cos 0)+c
0=1(-1)+c
c=1
∴वक्र का समीकरण
2y=ex(sin x-cos x)+1
2y-1=ex(sin x-cos x)
Question 9
किसी जीवाणु समूह मे जीवाणुओ की संख्या 1,00,000 है। 2 घंटो मे इनकी संख्या मे 10% की वृद्धि होती है। कितने घंटो मे जीवनाणुओ की संख्या 2,00,000 हो जाएगी , यदि जीवाणुओ के वृद्धि की दर उनके उपस्थित संख्या के समानुपाती है।
Sol :
माना जीवाणुओ की संख्या=y
जीवाणुओ के वृद्धि की दर$=\frac{d y}{d t}$
प्रश्न से,
$\frac{d y}{d t} \propto y$
$\frac{d y}{d t}=k y$ , जहाँ k एक नियतांक है।
$\frac{d y}{y}=k d t$
Integrating both sides
$\int \frac{d y}{y}=k \int d t$
log|y|=kt+c
जब t=0,
y=1,00,000
log|100000|=k(0)+c
c=log |100000|
जब t=2h
$y=100000+100000 \times \frac{10}{100}$
y=110000
log|110000|=k(2)+log|100000|
log|110000|-log|100000|=2k
$\log \left|\frac{110000}{100000}\right|=2 k$
$\frac{1}{2} \log \left|\frac{11}{10}\right|=k$
माना t1 समय मे जीवाणुओ 200000 हो जाएगी।
log|200000|=$\frac{1}{2}\log \left|\frac{11}{10}\right|.t_1 +\log |100000|$
$\log 2=\frac{1}{2} \log \left|\frac{11}{10}\right| t_1$
$\frac{2 \log{2}}{\log \left|\frac{11}{10}\right|}=t_1$
Question 10
एक गोलाकार गुब्बारे का आयतन, जिसे हवा भरकर फुलाया जा रहा है, स्थिर गति से बदल रहा है यदि आरंभ मे इस गुब्बारे की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना गुब्बारे की त्रिज्या r है तथा आयतन v है।
$\frac{d v}{d t}=k$ (माना) जहाँ k एक नियतांंक है ।
dv=kdt
Integrating both sides
$\int d v=k \int d t$
v=kt+c
$\frac{4}{3} \pi r^{3}=kt+c$
जब t=0⇒r=3 इकाई
$\frac{4}{3} \pi(3)^{3}=k \times 0+c$
36π=c
जब t=3s⇒r=6 इकाई
$\frac{4}{3} \pi(6)^{3}=k(3)+36 \pi$
$\frac{4 \pi}{3}(216)=3 k+36 \pi$
288π-36π=3k
3k=252π
$k=\frac{252}{3}\pi$
k=84π
माना t समय बाद गुब्बारे की त्रिज्या R है।
$\frac{4}{3} \pi R^{3}=84 \pi t+36 \pi$
$\frac{4}{3}\pi R^{3}=4\pi(21t+9)$
R3=(63t+27)
$R=(63 t+27)^{1 / 3}$
Question 11
किसी बेक मे मूलधन की वृद्धि 5% वार्षिक की दर से होती है । इस बैक मे 1000 जमा कराए जाते है। ज्ञात कीजिए कि 10 वर्ष बाद यह राशि कितनी हो जाएगी ? (e0.5=1.648)
Sol :
माना की मूलधन P है।
मूलधन k वृधि दर $\frac{d P}{d t}=5 \%$ of P
$\frac{d P}{d t}=\frac{5}{\operatorname{100}}P$
$\frac{d P}{P}=\frac{1}{20} d t$
Integrating both sides
$\int \frac{dP}{P}=\frac{1}{2 v} \int d t$
log |P|=$=\frac{1}{20} t+c$
जब t=0, ⇒P=1000
log |1000|$=\frac{1}{20} \times 0+C$
c=log |1000|
जब t=10, ⇒P=मूलधन
$\left.\log |P|=\frac{1}{20} \times 10 \log \mid 1000\right]$
$\operatorname{log}|p|-\log | 1000 |=\frac{1}{2}$
$\frac{p}{1000}=e^{0.5}$
$\frac{p}{1000}=1.648$
P=1648
Question 12
किसी बैक मे मूलधन की वृद्धि r% वार्षिक की दर से होती है। यदि 100 रूपये 10 वर्षो मे दुगुने हो जाते है ,तो r का मान ज्ञात कीजिए |(loge2=0.693)
Sol :
माना मूलधन P है।
मूलधन मे वृद्धि दर $\frac{d p}{d t}=r \%$ of P
$\frac{d P}{d t}=\frac{r}{100} P$
$\frac{d p}{p}=\frac{r}{100} d t$
Integrating both sides
$\int \frac{d p}{p}=\frac{r}{100} \int d t$
$\log |P|=\frac{r}{100}t+c$
जब t=0, P=100
$\log |100|=\frac{x}{100} \times 0+c$
c=log |100|
जब t=10 वर्ष, P=200
$\left.\log |200|=\frac{r}{100} \times 10+\log |100|\right]$
$\log |200|-\log |100|=\frac{r}{10}$
$\log \frac{200}{100} \mid=\frac{r}{10}$
$0.6931=\frac{r}{10}$
r=6.931 %
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