KC Sinha Solution Class 12 Chapter 24 अवकल समीकरण के अनुप्रयोग (Application of Differential Equation) Exercise 24.1

  Exercise 24.1

Question 1

किसी वक्र की ढाल किसी बिन्दु पर उस बिन्दु के कोटि की दुगुनी का प्रतिलोम है। वक्र बिन्दु (4,3) से गुजरती है। वक्र का समीकरण ज्ञात करे ।

Sol :

माना वक्र की ढाल $\frac{dy}{dx}$ है, जो बिन्दु (x,y) से गुजर रहा है।

प्रश्न से,

$\frac{d y}{d x}=\frac{1}{2y}$

2ydy=dx

Integrating both sides

$2 \int y d y=\int d x$

$\frac{2 y^{2}}{2}=x+c$

y²=x+c

वक्र बिन्दु(4,3) से गुजर रहा है

3²=4+c

c=5

∴वक्र का समीकरण

y²=x+5

Question 2

एक वक्र बिन्दु(5,3) से गुजरती है तथा इसके किसी बिन्दु(x,y) पर इसकी ढाल और कोटि का गुणनफल इसके भुज के बराबर है। वक्र का समीकरण ज्ञात करे।

Sol :

प्रश्न से, किसी बिन्दु(x,y) पर वक्र की स्पर्श रेखा का ढाल$=\frac{dy}{dx}$

$y \frac{d y}{d x}=x$

y=dy=xdx

Integrating both sides

$\int y d y=\int x d x$

$\frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}+c$

∵वक्र बिंदु (5,3) से गुजरता है।

$\frac{3^{2}}{2}=\frac{5^{2}}{2}+c$

$\frac{9}{2}-\frac{25}{2}=c$

$c=\frac{-16}{2}$

c=-8

∴वक्र का समीकरण 

$\frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}-8$

$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=8$

$\frac{x^{2}-y^{2}}{2}=8$

x²-y²=16

Question 3

दिखाएँ कि बिंदु(1,0) से जाती हुई समीकरण (1+y²)dy-xydy=0 को संतुष्ट करने वाली वक्र का समीकरण x²-y²=1

Sol :

(1+y²)dy-xydy=0

-xydy=-(1+y²)dy

$\frac{y}{1+y^{2}} d y=\frac{d x}{x}$

Integrating both sides

$\frac{1}{2} \int \frac{2 y}{1+y^{2}} d y=\int \frac{d x}{x}$

$\frac{1}{2} \log |{1} 1+y^{2} |=\log |x|+\log|c|$

$\frac{1}{2} \log\left|1+y^{2}\right|=\log |c x|$

log|1+y²|=2log|cx|

log|1+y²|=log|c²x²|

1+y²=c²x²

∵वक्र(1,0) से गुजर रहा है।

1+0²=c²(1)²

1=c²
∴वक्र का समीकरण 

1+y²=1.x²
x²-y²=1

Question 4

दर्शाइए कि वक्रो का कुल, जिनके किसी बिन्दु(x,y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{x^{2}+y^{2}}{2 x y}$ है, x²-y²=cx द्वारा प्रदत है।

Sol :

माना स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+y^{2}}{2 x}$...(i)

यह एक समघातीय अवकल समीकरण है।

y=vx ⇒$v=\frac{y}{x}$

Differentiating wr.t x

$\frac{d y}{dx}=\frac{dv}{d x} \cdot x+v$...(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से,

$\frac{d v}{dx} \cdot x+v=\frac{x^{2}+y^{2}}{2 x y}$

$\frac{d v}{d x} \cdot x+v=\frac{x^{2}+(v x)^{2}}{2 x \cdot v x}$

$\frac{dv}{d x} \cdot x+v=x^{2} \frac{\left(1+v^{2}\right)}{2 v x^{2}}$

$\frac{d v}{dx} \cdot x=\frac{1+v^{2}}{2 v}-v$

$\frac{d v}{dx} \cdot x=\frac{1+v^{2}-2 v^{2}}{2 v}$

$\frac{d v}{dx} \cdot x=\frac{1-v^{2}}{2 v}$

$\frac{2 v}{1-v^{2}} dv=\frac{d x}{x}$

Integrating both sides

$-\int -\frac{2 v}{1-v^{2}} d v=\int \frac{dx}{x}$

-log|1-v²|=log|x|+log|k|

-log|1-v²|=log|kx|

$\log \left|1-\frac{y^{2}}{x^{2}} \right|=-\log|k x|$

$\log\left|\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}}\right|=\log \left|\frac{1}{k x}\right|$

$\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}}=\frac{1}{k x}$

$x^{2}-y^{2}=\frac{1}{kx} \cdot x^2$

$x^{2}-y^{2}=\frac{1}{k} \cdot x$

x²-y²=cx , जहाँ $c=\frac{1}{k}$

Question 5

बिन्दु(-2,3) से गुजरने वाले ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी बिन्दु(x,y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{2 x}{y^{2}}$ है।

Sol :

माना स्पर्श रेखा की प्रवणता, $\frac{dy}{d x}=\frac{2 x}{y^{2}}$

y²dy=2xdx

Integrating both sides

$\int y^{2} d y=2 \int x d x$

$\frac{y^{3}}{3}=\frac{2x^{2}}{2}+c$

$\frac{y^{3}}{3}=x^{2}+c$

वक्र बिन्दु(-2,3) से गुजर रहा है।

$\frac{3^{3}}{3}=(-2)^{2}+c$

9=4+c

c=5

∴वक्र का समीकरण

$\frac{y^{3}}{3}=x^{2}+5$

y³=3x²+15

$y=\left(3 x^{2}+15\right)^{\frac{1}{3}}$

Question 6

बिन्दु(1,1) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण xdy=(2x²+1)dx(x≠0) है।

Sol :

xdy=(2x²+1)

$d y=\frac{\left(2 x^{2}+1\right)}{x} d x$

Integrating both sides

$\int d y=\int\left(2 x+\frac{1}{x}\right) dx$

y=x²+log|x|+c

∵वक्र बिन्दु(1,1) से रहा है।

1=1²+log|1|+c

1=1+c

c=0

∴वक्र का समीकरण y=x²+log x

Question 7

बिन्दु $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण sin x cos x dx+cos x sin y dy=0 है।

Sol :

sin x cos x dx+cos x sin y dy=0

cos x sin y dy=-sin x cos y dx

$-\frac{\sin y}{\cos y} d y=\frac{\sin x}{\cos x} d x$

Integrating both sides

$-\int \tan y d y=\int \tan x d x$

log|cos y|=log|sec x|+log |c|

log |cos y|=log|c sec x|

log y=cosec x

∵वक्र, बिन्दु $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ से गुजर रहा है।

$\cos \frac{\pi}{4}=c. sec 0$

$\frac{1}{\sqrt{2}}=c$

∴वक्र का समीकरण

$\cos y=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sec x$

$\sqrt{2} \cos y=\sec x$

Question 8

बिन्दु (0,0) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसका अवकल समीकरण y=e^x sin x है।

Sol :

y=e^x sin x

$\frac{d y}{dy}=e^{x} \sin x$

dy=e^x sin x dx

Integrating both sides

$\int d y=\int e^{x} \sin x d x$

Let, 

$I=\int e^{x} \sin x dx$

$I=\operatorname{sin} x \int e^{x} d x-\int\left\{\frac{d(\sin x)}{dx } \int e^{x} d x\right\} dx$

I=e^xsin x- ∫cos x.e^x dx

$I=e^{x} \operatorname{sin} x- \left[ \operatorname{cos} x \int e^{x} dx-\int \left\{\frac{d(\cos x)}{dx}\right\} \int e^x dx\right] dx$

I=e^xsin x-[e^xcos x-∫sin x.e^x dx

I=e^xsin x-e^xcos x-I

2I=e^x(sin x-cos x)

$I=\frac{e^{x}}{2}(\sin 2-\cos x)$

∴$y=\frac{e^{x}}{2}(\sin y-\cos x)+c$

2y=e^x(sin x-cos x)+c

∵वक्र , बिन्दु(0,0) से गुजर रहा है

2(0)=e⁰(sin 0-cos 0)+c

0=1(-1)+c

c=1

∴वक्र का समीकरण 

2y=e^x(sin x-cos x)+1

2y-1=e^x(sin x-cos x)

Question 9

किसी जीवाणु समूह मे जीवाणुओ की संख्या 1,00,000 है। 2 घंटो मे इनकी संख्या मे 10% की वृद्धि होती है। कितने घंटो मे जीवनाणुओ की संख्या 2,00,000 हो जाएगी , यदि जीवाणुओ के वृद्धि की दर उनके उपस्थित संख्या के समानुपाती है।

Sol :

माना जीवाणुओ की संख्या=y

जीवाणुओ के वृद्धि की दर$=\frac{d y}{d t}$

प्रश्न से,

$\frac{d y}{d t} \propto y$

$\frac{d y}{d t}=k y$ , जहाँ k एक नियतांक है।

$\frac{d y}{y}=k d t$

Integrating both sides

$\int \frac{d y}{y}=k \int d t$

log|y|=kt+c

जब t=0, 

y=1,00,000

log|100000|=k(0)+c

c=log |100000|

जब t=2h

$y=100000+100000 \times \frac{10}{100}$

y=110000

log|110000|=k(2)+log|100000|

log|110000|-log|100000|=2k

$\log \left|\frac{110000}{100000}\right|=2 k$

$\frac{1}{2} \log \left|\frac{11}{10}\right|=k$

माना t₁ समय मे जीवाणुओ 200000 हो जाएगी।

log|200000|=$\frac{1}{2}\log \left|\frac{11}{10}\right|.t_1 +\log |100000|$

$\log 2=\frac{1}{2} \log \left|\frac{11}{10}\right| t_1$

$\frac{2 \log{2}}{\log \left|\frac{11}{10}\right|}=t_1$

Question 10

एक गोलाकार गुब्बारे का आयतन, जिसे हवा भरकर फुलाया जा रहा है, स्थिर गति से बदल रहा है यदि आरंभ मे इस गुब्बारे की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना गुब्बारे की त्रिज्या r है तथा आयतन v है।

$\frac{d v}{d t}=k$ (माना) जहाँ k एक नियतांंक है ।

dv=kdt

Integrating both sides

$\int d v=k \int d t$

v=kt+c

$\frac{4}{3} \pi r^{3}=kt+c$

जब t=0⇒r=3 इकाई

$\frac{4}{3} \pi(3)^{3}=k \times 0+c$

36π=c

जब t=3s⇒r=6 इकाई

$\frac{4}{3} \pi(6)^{3}=k(3)+36 \pi$

$\frac{4 \pi}{3}(216)=3 k+36 \pi$

288π-36π=3k

3k=252π

$k=\frac{252}{3}\pi$

k=84π

माना t समय बाद गुब्बारे की त्रिज्या R है।

$\frac{4}{3} \pi R^{3}=84 \pi t+36 \pi$

$\frac{4}{3}\pi R^{3}=4\pi(21t+9)$

R³=(63t+27)

$R=(63 t+27)^{1 / 3}$

Question 11

किसी बेक मे मूलधन की वृद्धि 5% वार्षिक की दर से होती है । इस बैक मे 1000 जमा कराए जाते है। ज्ञात कीजिए कि 10 वर्ष बाद यह राशि कितनी हो जाएगी ? (e^0.5=1.648)

Sol :

माना की मूलधन P है।

मूलधन k वृधि दर $\frac{d P}{d t}=5 \%$ of P

$\frac{d P}{d t}=\frac{5}{\operatorname{100}}P$

$\frac{d P}{P}=\frac{1}{20} d t$

Integrating both sides

$\int \frac{dP}{P}=\frac{1}{2 v} \int d t$

log |P|=$=\frac{1}{20} t+c$

जब t=0, ⇒P=1000

log |1000|$=\frac{1}{20} \times 0+C$

c=log |1000|

जब t=10, ⇒P=मूलधन

$\left.\log |P|=\frac{1}{20} \times 10 \log \mid 1000\right]$

$\operatorname{log}|p|-\log | 1000 |=\frac{1}{2}$

$\frac{p}{1000}=e^{0.5}$

$\frac{p}{1000}=1.648$

P=1648

Question 12

किसी बैक मे मूलधन की वृद्धि r% वार्षिक की दर से होती है। यदि 100 रूपये 10 वर्षो मे दुगुने हो जाते है ,तो r का मान ज्ञात कीजिए |(log_e2=0.693)

Sol :

माना मूलधन P है।

मूलधन मे वृद्धि दर $\frac{d p}{d t}=r \%$ of P

$\frac{d P}{d t}=\frac{r}{100} P$

$\frac{d p}{p}=\frac{r}{100} d t$

Integrating both sides

$\int \frac{d p}{p}=\frac{r}{100} \int d t$

$\log |P|=\frac{r}{100}t+c$

जब t=0, P=100

$\log |100|=\frac{x}{100} \times  0+c$

c=log |100|

जब t=10 वर्ष, P=200

$\left.\log |200|=\frac{r}{100} \times 10+\log |100|\right]$

$\log |200|-\log |100|=\frac{r}{10}$

$\log \frac{200}{100} \mid=\frac{r}{10}$

$0.6931=\frac{r}{10}$

r=6.931 %