KC Sinha Solution Class 12 Chapter 25 सदिश बीजगणित (Vector Algebra) Exercise 25.3

 Exercise 25.3

Question 1

दिखाएँ कि निम्नलिखित तीन बिन्दुएँ संरेख है।
[Prove that the following three points are collinear]
(i) $-2 \vec{a}+3 \vec{b}+5 \vec{c}, \vec{a}+2 \vec{b}+3 \vec{c}, 7 \vec{a}-\vec{c}$
Sol :

माना बिन्दुएँ A,B तथा C का स्थिति सदिश

$\overrightarrow{O A}=-2 \vec{a}+3 \vec{b}+5\vec{c}$

$\overrightarrow{OB}=\vec{a}+2 \vec{b}+3 \vec{c}$

$\overrightarrow{O C}=7 \vec{a}-\vec{c}$

$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}$

$=(\vec{a}+2 \vec{b}+3\vec{c})-(-2 \vec{a}+3 \vec{b}+5 \vec{c})$

$=\vec{a}+2 \vec{b}+3 \vec{c}+2 \vec{a}-3 \vec{b}-5 \vec{c}$

$=3 \vec{a}-\vec{b}-2 \vec{c}$

$\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O B}$

$=(7 \vec{a}-\vec{c})-(\vec{a}+2 \vec{b}+3 \vec{c})$

$=7 \vec{a}-\vec{c}-\vec{a}-2 \vec{b}-3 \vec{c}$

$=6 \vec{a}-2 \vec{b}-4 \vec{c}$

$=2(3 \vec{a}-\vec{b}-2 \vec{c}]$

$\overrightarrow{B C}=2 \cdot \overrightarrow{A B}$

∴A,B,C संरेख है। या 

$-2 \vec{a}, 3 \vec{b}+5\vec{c}, \vec{a}+2 \vec{b}+3\vec{c}, 7\vec{a}-\vec{c}$ संरेख है।

(ii) $2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, 3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}, \hat{i}+4 \hat{j}-3 \hat{k}$
Sol :
माना बिन्दुएँ A,B तथा C का स्थिति सदिश

$\overrightarrow{O A}=2 \vec{i}+\vec{j}-\hat{k}$, $\overrightarrow{OB}=3 \vec{i}-2\vec{j}+\hat{k}$
$\overrightarrow{OC}=\hat{i}+4 \hat{j}-3 \hat{k}$

$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$
$=\left(3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}\right)-(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})$
$=3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}-2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$
$\overrightarrow{AB}=\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}$

$\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{OC}$
$=(\hat{i}+4\hat{j}-3\hat{k})-(3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k})$
$=\hat{i}+4\hat{j}-3\hat{k}-3\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}$
$=-2 \hat{i}+6 \hat{j}-4 \hat{k}$

$=-2(\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k})$

$\overrightarrow{B C}=-2 \overrightarrow{AB}$

∴A,B तथा C संरेख है।

Question 2

यदि बिन्दुएँ जिनका स्थिति सदिश $60 \hat{i}+3\hat{j} , 40\hat{i}-8\hat{j}$ तथा $a\hat{i}-52\hat{j}$ है, संरेख है तो साबित करे कि a=-40

Sol :

माना बिन्दुएँ A,B तथा C संरेख है।

$\overrightarrow{OA}=60\hat{i}+3 \hat{j}$ , $\overrightarrow{OB}=40\hat{i}-8 \hat{j}$ , $\overrightarrow{OC}=a\hat{i}-52 \hat{j}$

$\overrightarrow{AB}=\lambda \overrightarrow{BC}$ , जहाँ λ एक अदिश है।

$\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}=\lambda(\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{OB})$

$40 \hat{i}-8\hat{j}-60\hat{i}-3\hat{j}=\lambda [a\hat{i}-52\hat{j}-40\hat{i}+8\hat{j}]$

$-20\hat{i}-11\hat{j}=\lambda [(a-40)\hat{i}-44\hat{j}]$

$-20\hat{i}-11\hat{j}=\lambda (a-40)\hat{i}-44 \lambda \hat{j}$

$\begin{array}{l|l}-20=\lambda(a-40) & -11=-44 \lambda \\ -20=\frac{1}{4}(a-40) & \frac{11}{44}=\lambda \\ -80 =a-40 & \lambda=\frac{1}{4} \\ -40=a &\end{array}$

Question 3

दिखाएँ कि बिन्दुएँ A(1,2,3), B(3,4,7) तथा C(-3,-2,-5) संरेख है तथा ज्ञात करे कि B, AC को किस अनुपात मे बांँटता है।

Sol :

माना बिन्दुएँ A , B तथा C से स्थिति संदिश

$\overrightarrow{O A}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$

$\overrightarrow{O B}=3\hat{i}+4 \hat{j}+7 \hat{k}$

$\overrightarrow{O C}=-3\hat{i}-2 \hat{j}-5 \hat{k}$

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O B}$

$=-3\hat{i}-2 \hat{j}-5 \hat{k}-3\hat{i}-4 \hat{j}-7 \hat{k}$

$\overrightarrow{BC}=-6\hat{i}-6 \hat{j}-12 \hat{k}$

$\overrightarrow{BC}=-6(\hat{i}- \hat{j}-2 \hat{k})$

$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$

$=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}-3\hat{i}-4 \hat{j}-7 \hat{k}$

$\overrightarrow{BA}=-2\hat{i}-2 \hat{j}-4 \hat{k}$

$\overrightarrow{BA}=-2(\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})$

$\frac{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{BA}}=\frac{-6(\hat{i}- \hat{j}-2 \hat{k})}{-2(\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})}$

$\overrightarrow{B C}=3 \cdot \overrightarrow{B A}$

∴A,B,C संरेख है।

$\frac{\overrightarrow{B C}}{\overrightarrow{BA}}=3$

$\frac{B C}{B A}=\frac{3}{1}$

BC : BA = 3 : 1

Question 4

सदिश $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ संरेख नही है। यह ज्ञात करे कि x के किस मान के लिए सदिश $\vec{c}=(x-2) \vec{a}+\vec{b}$ तथा $\vec{d}=(2 x+1) \vec{a}-\vec{b}$ संरेख हैं ।

Sol :

∵$\vec{c}$ तथा $\vec{d}$ संरेख है।

$\vec{c}=\lambda \vec{d}$

$(x-2) \vec{a}+\vec{b}=\lambda[(2 x+1) \vec{a}-\vec{b}]$

$(x-2) \vec{a}+\vec{b}-(2 x+1) \lambda \vec{a}+\lambda \vec{b}=\vec{0}$

$[(x-2)-(2 x+1) \lambda] \vec{a}+(1+\lambda) \vec{b}=\overrightarrow{0}$

$[(x-2)-(2 x+1) \lambda] \vec{a}+(1+\lambda) \vec{b}=\vec{0}$

1+λ=0

λ=-1

और 

(x-2)-(2x+1)(-1)=0

3x-1=0

3x=1

$x=\frac{1}{3}$

Question 5

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ शून्येतर असमतलीय सदिश है, तो दिखाएँ कि निम्नलिखित सदिश समतलीय  है।
[If $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ are non-zero and non-coplanar vectors , show that the following vectors are coplanar]

(i) $2 \vec{a}-3 \vec{b}+4 \vec{c},-\vec{a}+3 \vec{b}-5 \vec{c}$ तथा $-\vec{a}+2 \vec{b}-3 \vec{c}$
Sol :
∵$2 \vec{a}-3 \vec{b}+4 \vec{c},-\vec{a}+3 \vec{b}-5 \vec{c}$ तथा $-\vec{a}+2 \vec{b}-3 \vec{c}$ समतलीय होगे

$2 \vec{a}-3 \vec{b}+4 \vec{c}=x \cdot(-\vec{a}+3 \vec{b}-5\vec{c})+y(-\vec{a}+2 \vec{b}+3\vec{c})$

$2 \vec{a}-3 \vec{b}+4 \vec{c}=-x \vec{a}+3 x \vec{b}-5 x \vec{c}-y \vec{a}+2 y \vec{b}-3y\vec{c}$

$2 \vec{a}-3 \vec{b}+4 \vec{c}=(-x-y) \vec{a}+(3 x+2 y) \vec{b}+(-5 x-3 y) \vec{c}$$(-x-y) \vec{a}+(3 x+2 y) \vec{b}+(-5 x-3 y) \vec{c}$

∴-x-y=2...(i) , 

3x+2y=-3...(ii),

-5x-3y=4...(iii)

समीकरण (i) तथा (ii) से

$\begin{aligned}-2x-2y=&4\\ 3x+2y=&-3\\ \hline x=&1\end{aligned}$

y=-3

x=1 तथा y=-3 समीकरण (iii) मे रखने पर

-5(1)-3(-3)=-5+9=4

∴$2 \vec{a}-3 \vec{b}+4 \overrightarrow{c} ,-\vec{a}+3 \vec{b}-5\vec{c}$ तथा $-\vec{a}+2 \vec{b}-3\vec{c}$ समतलीय है।

(ii) $5 \vec{a}+6 \vec{b}+7 \vec{c}, 7 \vec{a}-8 \vec{b}+9 \vec{c}, 3 \vec{a}+20 \vec{b}+5 \vec{c}$
Sol : 
माना बिन्दु A, B, C तथा D के स्थिति सदिश

$\overrightarrow{O A}=6 \vec{a}+2 \vec{b}-\vec{c}$

$\overrightarrow{O B}=2 \vec{a}-\vec{b}+3 \vec{c}$

$\overrightarrow{O C}=-\vec{a}+2 \vec{b}-4 \vec{c}$

$\overrightarrow{O D}=-12 \vec{a}-\vec{b}-3 \vec{c}$

$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}$

∵$\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{BC}$ तथा $\overrightarrow{CD}$ समतलीय है।

$\overrightarrow{AB}=x.\overrightarrow{BC}+y.\overrightarrow{CD}$

Question 6

Question 7

यदि $2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ तथा $3 \hat{i}+x \hat{j}+5 \hat{k}$ समतलीय है, तो x ज्ञात करे।

Sol :

$2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ तथा $3 \hat{i}+x \hat{j}+5 \hat{k}$ समतलीय है

$3\hat{i}+x\hat{j}+5\hat{k}=y.(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})+z(\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k})$ जहाँ y, z अदिश है।

$3\hat{i}+x\hat{j}+5\hat{k}=2y\hat{i}-y\hat{j}+y\hat{k})+z\hat{i}+2z\hat{j}-3z\hat{k})$

$3\hat{i}+x\hat{j}+5\hat{k}=(2y+z)\hat{i}+(-y+2z)\hat{j}+(y-3z)\hat{k}$

∴2y+z=3...(i)×3

-y+2z=x...(ii)

y-3z=5...(iii)

समीकरण (i) तथा (iii) से,

$\begin{aligned}6y+3z=&9\\y-3z=&5\\ \hline 7y=14 \end{aligned}$

y=2⇒z=-1

y=2 तथा z=-1 समीकरण (ii) मे रखने पर

x=-2+2(-1)

x=-2-2

x=-4

Question 8

जाँच करे कि निम्नलिखित सदिश समतलीय है या नही।
[Examine whether following vectors are coplanar or not]

$\vec{a}+\vec{b}-2 \vec{c}, \vec{a}-3 \vec{b}+\vec{c}$ तथा $2 \vec{a}-\vec{b}-\vec{c}$
Sol :

∵जाँच करना है कि ऊपर दिए गए तीन सदिश समतलीय है या नही

$\vec{a}+\vec{b}-2 \vec{c}=x\left(\vec{a}-3 \vec{b}+\vec{c}\right)+y(2 \vec{a}-\vec{b}-\vec{c})$ जहाँ x,y अदिश है।

$\vec{a}+\overrightarrow{b}-2 \vec{c}=x \vec{a}-3 x \vec{b}+x \vec{c}+2 y \vec{a}-y \vec{b}-y \overrightarrow{c}$

$\vec{a}+\vec{b}-2 \vec{c}=(x+2 y) \vec{a}+(-3 x-y) \vec{b}+(x-y) \vec{c}$

∴x+2y=1...(i) , -3x-y=1...(ii),  x-y=-2...(iii)

समीकरण (i) तथा (iii) से 

$\begin{aligned}x+2y=1&\\ x-y=-2& \\ -\phantom{x}+ \phantom{y}=+ \phantom{2}&\\ \hline 3y=3&\end{aligned}$

y=1⇒x=-1

x=-1 तथा y=1 समीकरण (iii) मे रखने पर

-3(-1)-1=3-1=2≠1

∴$\vec{a}+\vec{b}-2 \hat{c}, \vec{a}-3\vec{b}+\vec{c}, 2\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}$समतलीय नही है

Question 9

जाँच करे कि निम्नलिखित सदिश रैखिक आश्रित है या रैखिक स्वतंत्र है?

[Examine whether the following vectors form a linearly dependent or independent system?]
(i) $\hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}, 2 \hat{i}+6 \hat{j}+10 \hat{k}$

(ii) $\vec{a}=(1,-2,3), \vec{b}=(-2,3,-4), \vec{c}=(1,-1,5)$

(iii) $\vec{a}-3 \vec{b}+2 \vec{c}, 2 \vec{a}-9 \vec{b}-\vec{c}, 3 \vec{a}+2 \vec{b}-\vec{c}$

जहाँ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ शून्येत्तर असमतलीय सदिश है।

Sol :

(i)

माना $\vec{a}=\hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}, \hat{b}=2 \hat{i}+6 \hat{j}+10 \hat{k}$ 

$x \cdot \vec{a}+y \vec{b}=\vec{0}$

$x(\hat{i}+3 \hat{j}+5\hat{k})+y(2 \hat{i}+b \hat{j}+10\hat{k})=\vec{0}$

$x \hat{i}+3 x \hat{j}+5 x \hat{k}+2 y \hat{i}+6y \hat{j}+10y \hat{k}=\hat{0}$

$(x+2 y) \hat{i}+(3 x+6y) \hat{j}+(5 x+10y ) \hat{k}=\overrightarrow{0}$

x+2y=0...(i)

3x+6y=0...(ii)
5x+10y=0...(iii)

यहाँ x तथा y के अनेक हल होंगे

∴दोनो सदिश रैखिक आक्षित होंगे ।

(ii)

$\vec{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$ , $\vec{b}=-2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$ ,$\vec{c}=\hat{i}-\hat{j}+5 \hat{k}$

$x \cdot \vec{a}+y \cdot \vec{b}+z \cdot \hat{c}=0$ , जहाँ x, y, z अदिश है।

$x(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k})+y(-2 \hat{i}-3\hat{j}-4 \hat{k})+z(\hat{i}-\hat{j}+5 \hat{k})=0$

$x \hat{i}-2 x \hat{j}+3 x \hat{k}-2 y \hat{i}+3 y \hat{j}-4 y \hat{k}+z\hat{i}-z\hat{j}+5z\hat{k}=0$

$(x-2 y+2) \hat{i}+(-2 x+3 y-z) \hat{j}+(3 x-4 y+5 z) \hat{k}=0$

x-2y+z=0...(i)

-2x+3y-z=0...(ii)

3x-4y+5z=0...(iii)

समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर, 

-x+y=0...(iv)

समीकरण (ii) मे 5 से गुणा करने पर

समीकरण (iii) मे जोड़ने पर

$\begin{aligned}-10x+15y-5z=0&\\ 3x-4y+5z=0\\ \hline -7x+11y=0& ...(v)\end{aligned}$

समीकरण (iv) तथा (v) से,

x=0 , y=0, z=0

∴तीनो सदिश रैखिक स्वतंत्र है।

(iii)

$x \cdot(\vec{a}-3 \vec{b}+2 \vec{c})+y \cdot(2 \vec{a}-9 \vec{b}-\vec{c})+2(3 \vec{a}+2 \vec{b}-\vec{c})=0$

जहाँ x,y तथा z अदिश है।

incomplete

Question 10

बिन्दुओ P(2,3,4) तथा Q(4,1,-2) को मिलाने वाली रेखा खंड का मध्य बिन्दु ज्ञात करे।

Sol :

माना बिन्दु P तथा Q का स्थिति सदिश

$\vec{a}=2 \hat{t}+3 \hat{j}+4 \hat{k}$

$\vec{b}=4 \hat{j}+\vec{j}-2 \hat{k}$

माना R, PQ का मध्य बिन्दु है।

$\overrightarrow{O R}=\vec{r}$ (माना)

$\vec{r}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$

$=\frac{2\hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}+4 \hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}}{2}$

$=\frac{6 \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k}}{2}$

$=\frac{2\left(3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}\right)}{2}$

$\vec{r}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$

Question 11

दो बिन्दुओ P तथा Q पर विचार करे जिनका स्थिति $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=3 \vec{a}-2 \vec{b}$ तथा $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\vec{a}+\vec{b}$ है। एक बिन्दु R का स्थिति सदिश ज्ञात करे जो P तथा Q को मिलाने वाली रेखा खंच को 2 : 1 के अनुपात मे

(i) अंतः विभाजित करता है।

Sol :

अंतः विभाजितः

माना बिन्दु R, PQ को  2 : 1 के अनुपात मे विभाजित करता है।

m : n = 2 : 1

$\overrightarrow{OR}=\frac{m \cdot \overrightarrow{OQ}+n \cdot \overrightarrow{O P}}{m+n}$

$=\frac{2 \cdot(\vec{a}+\vec{b})+1(3 \vec{a}-2 \vec{b})}{2+1}$

$=\frac{2 \vec{a}+2 \vec{b}+3 \vec{a}-2 \vec{b}}{3}=\frac{5}{3} \vec{a}$

(ii) बाहा विभाजित करता है।

Sol :

माना बिन्दु R, PQ को m : n (2 : 1) के अनुपात मे बाध्य रूप से विभाजित करना है।

$\overrightarrow{O R}=\frac{m \overrightarrow{O Q}-n \overrightarrow{OP}}{m-n}$

$=\frac{2 \cdot(\vec{a}+\vec{b})-1\left(3 \vec{a}-2\vec{b}\right)}{2-1}$

$=\frac{2 \overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-3 \overrightarrow{a}+2 \vec{b}}{1}$

$\Rightarrow-\vec{a}+4 \vec{b}$

Question 12

बिन्दुओ $\mathrm{P}(\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})$ तथा $\mathrm{Q}(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ को मिलाने वाली रेखाखंड को  2 : 1 के अनुपात मे 

(i) अन्तः 

Sol :

Figure to be added

माना $\overrightarrow{OP}=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$

$\overrightarrow{OQ}=-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$

m :n=2 : 1

$\overrightarrow{O R}=\frac{m \overrightarrow{OQ}+n \overrightarrow{O P}}{m+n}$

$=\frac{2(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})+1(\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})}{2+1}$

$=-\frac{2\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}+\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}}{3}$

$=\frac{-\hat{i}+4\hat{j}+\hat{k}}{3}$

$\overrightarrow{OR}=\frac{-1}{3} \hat{i}+\frac{4}{3} \hat{j}+\frac{1}{3} \hat{k}$

(ii) बाह्य, विभाजित करने वाले बिन्दु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।

Sol :

Figure to be added

बाह्य, विभाजित

$\overrightarrow{OR}=\frac{m.\overrightarrow{OQ}-n.\overrightarrow{OP}}{m-n}$

$=\frac{2(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})-1(\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})}{2-1}$

$=\frac{-2 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}-\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}}{1}$

$\overrightarrow{OR}=-3\hat{i}+3\hat{k}$

Question 13

एक बिन्दु R का स्थिति सदिश ज्ञात करें जो बिन्दुओ $P((2 \vec{a}+\vec{b}))$ तथा $\mathrm{Q}(\vec{a}-3 \vec{b})$ को मिलाने वाली रेखाखंड को 1 : 2 के अनुपात मे बर्हिविभाजित करता है । यह भी दिखाएँ कि P रेखाखंड RQ का मध्य बिन्दु है।

Sol :

Figure to be added

माना $\overrightarrow{OP}=2 \vec{a}+\vec{b}, \overrightarrow{OB}= \vec{a}-3 \vec{b}$

m : n = 1 : 2

$\overrightarrow{OR}=\frac{m \overrightarrow{OQ}-n \overrightarrow{OP}}{m-n}$

$=\frac{1(\vec{a}-3 \vec{b})-2(2 \vec{a}+\vec{b})}{1-2}$

$=\frac{\vec{a}-3 \vec{b}-4 \vec{a}-2 \vec{b}}{-1}$

$\overrightarrow{OR}=\frac{-3 \vec{a}-5 \vec{b}}{-1}$

$\overrightarrow{O R}=3 \vec{a}+5 \vec{b}$

$\frac{\overrightarrow{OR}+\overrightarrow{OQ}}{2}$

$=\frac{3 \vec{a}+5 \vec{b}+\vec{a}-3 \vec{b}}{2}$

$=\frac{4 \vec{a}+2 \vec{b}}{2}$

$=\frac{2\left(2 \vec{a}+\vec{b}\right)}{2}$

$=2 \vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{OP}$

∴P, रेखाखंड RQ का मध्य बिन्दु है।

Question 14

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ क्रमशः तीन बिन्दुओ A,B,C के स्थिति सदिश है। बिन्दु P रेखाखंड AB को 2 : 1 के अनुपात मे अर्न्तविभाजित करता है तथा Q, BC को 3 : 2 के अनुपात मे बर्हिविभाजित करता है। दिखाएँ कि $3 \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-\vec{a}-8 \vec{b}+9 \vec{c}$

Sol :

∵A,B,C का स्थिति सदिश

$\overrightarrow{O A}=\vec{a}$ , $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ , $\overrightarrow{O C}=\vec{c}$

∵बिन्दु P, AB को 2 : 1 के अनुपात मे अंतः विभाजित करना है।

$\overrightarrow{O P}=\frac{m \overrightarrow{O B}+n \overrightarrow{O A}}{m+n}$

$=\frac{2 \vec{b}+1 \times \vec{a}}{2+1}$

$\overrightarrow{OP}=\frac{2 \vec{b}+\vec{a}}{3}$

∵बिन्दु Q, BC को 3 : 2 के अनुपात मे बर्हिविभाजित करता है

$\overrightarrow{OQ}=\frac{3 \times \vec{c}-2 \vec{b}}{3-2}$

$\overrightarrow{OQ}=3 \vec{c}-2 \vec{b}$

$3 \overrightarrow{PQ}=3[\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}]$

$=3\left[(3 \vec{c}-2 \vec{b})-\left(\frac{2 \vec{b}+\vec{a}}{3}\right)\right]$

$=3\left[\frac{9 \vec{c}-6 \vec{b}-2 \vec{b}-\vec{a}}{3}\right]$

$3\overrightarrow{PQ}=-\vec{a}-8 \vec{b}+9 \vec{c}$

Question 15

दिखाएँ कि किसी त्रिभुज मे किन्ही दो भुजाओ के मध्य बिन्दुओ को मिलानेवाली रेखा तीसरी भुजा के समान्तर और आधी होती है।

Sol :

Figure to be added

माना ΔABC के शीर्षो के स्थिति सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ तथा $\vec{c}$ है।

माना D तथा E क्रमशः भुजाओ AB तथा AC के मध्य बिन्दु है।

तो सिद्ध करना है $\overrightarrow{D E} \parallel \overrightarrow{B C}$ तथा 

$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}$

प्रमाण 

D का स्थिति सदिश $=\frac{\vec{b}+\vec{a}}{2}$

E का स्थिति सदिश $=\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}$

$\overrightarrow{D E}=\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}-\frac{\vec{b}+\vec{a}}{2}$

$=\frac{\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}-\vec{a}}{2}$

$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\left(\vec{c}-\vec{b}\right)$

$B C=\vec{c}-\vec{b}$

∴$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}$

∴DE||BC

Question 16

साबित करे कि समलम्ब चतुर्भुज के दो असमान्तर भुजाओ के मध्य बिन्दुओ को मिलानेवाली रेखा इसके समान्तर भुजाओ के समान्तर होती है तथा इसकी लम्बाई समान्तर भुजाओ की लम्बाई के योगफल का आधा होता है।

Sol :

Figure to be added

माना समांतर चतुर्भुज ABCD के शीर्षो के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ तथा $\vec{d}$ है।

माना बिन्दु P तथा Q क्रमशः BC तथा AD के मध्य बिन्दु है।

तो सिद्ध करना है 

$\overrightarrow{Q P} \| \overrightarrow{A B}$ तथा $\overrightarrow{Q P} \| \overrightarrow{DC}$

$Q P=\frac{1}{2}\left(AB+D C\right)$

प्रमाण 

∵$\overrightarrow{A B} \| \overrightarrow{DC}$

$\overrightarrow{A B}=\vec{b}-\vec{a}, \overrightarrow{DC}=\vec{c}-\vec{a}$

$\overrightarrow{A B}=\lambda \overrightarrow{D C}$

$\vec{b}-\vec{a}=\lambda(\vec{c}-\vec{d})$

∵Q , P क्रमशः AD तथा BC के मध्य बिन्दु है।

Q का स्थिति सदिश $=\frac{\vec{a}+\vec{d}}{2}$

P का स्थिति सदिश $=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$

$\overrightarrow{Q P}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}-\frac{\vec{a}+\vec{d}}{2}$

$=\frac{\vec{b}+\vec{c}-\vec{a}-\vec{d}}{2}$

$=\frac{1}{2}[\lambda(\vec{c}-\vec{d})+\vec{c}-\vec{d}]$

$\overrightarrow{Q P}=\frac{1}{2}(\lambda+1)(\vec{c}-\vec{d})$

$\overrightarrow{DP}=\frac{1}{2}(\lambda+1) \overrightarrow{DC}$

$\overrightarrow{Q P}=k \cdot \overrightarrow{DC}$  (जहाँ $k=\frac{1}{2}(\lambda+1)$)

∴$\overrightarrow{QP}||\overrightarrow{DC}$

इसीप्रकार , $\overrightarrow{QP}||\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{A B}=\vec{b}-\vec{a}, \overrightarrow{D C}=\overrightarrow{c}-\vec{d}$

$\overrightarrow{Q P}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}-\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$

$=\frac{1}{2}[\vec{b}+\vec{c}-\vec{a}-\vec{d}]$

$\overrightarrow{Q P}=\frac{1}{2}[(\vec{b}-\vec{a})+(\vec{c}-\vec{d})$

$\overrightarrow{|Q P|}=\frac{1}{2}[(|\vec{b}-\vec{a}|)+(|\vec{c}-\vec{d}|)$

$Q P=\frac{1}{2}\left[\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{DC}\right]$

Question 17

XY-तल मे x-अक्ष की धनात्मक दिशा से वामावर्त दिशा मे 30° का कोण बनाती हुई दिशा मे इकाई सदिश लिखे।

Sol :

Figure to be added

माना बिन्दु P(x,y) , XY तम मे स्थित है जहाँ OP=1

$\overrightarrow{O P}=x \hat{i}+y \hat{j}$

$\sin \theta=\frac{A P}{OP}$

$\sin 30^{\circ}=\frac{y}{1}$

$\frac{1}{2}=y$

$\cos \theta=\frac{O A}{OP}$

$\cos 30^{\circ}=\frac{x}{1}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}=x$

∴$\overrightarrow{OP}=\frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i}+\frac{1}{2}\hat{j}$

Question 18

सदिश विधि से एक क्षैतिक बल तथा उदग्र से 60° के कोण पर झुकी हुई दिशा मे बल ज्ञात करे जिनका परिणामी , उदग्र दिशा मे बल P है।

Sol :

Figure to be added

माना क्षैतिक बल AB तथा 60° के कोण पर आरोपित बल OA है।

OB=P

tan θ=  लम्ब / आधार

$\tan 60^{\circ}=\frac{A B}{O B}$

$\sqrt{3}=\frac{A B}{P}$

$A B=\sqrt{3} P$

$\overrightarrow{OA}=p \hat{i}+\sqrt{3}p \hat{j}$

$|\overrightarrow{D A}|=D A=\sqrt{P^{2}+(\sqrt{3} P)^{2}}$ $=\sqrt{p^{2}+3 p^{2}}=\sqrt{4 p^{2}}=2 p$

$A B=\sqrt{3} P$ ; OA=2P