Exercise 16.1
Question 1
Question 2
यदि (if) |x|<1 तो साबित कीजिए कि (show that)
$(1+x)^{-\frac{1}{5}}=1-\frac{x}{5}+\frac{3x^2}{25}-\frac{11x^3}{125}+...to~ \infty$
Sol :
L.H.S
$=(1+x)^{\frac{-1}{5}}+\frac{\frac{-1}{5} \cdot\left(-\frac{1}{5}-1\right)}{2 !} x^{2}+\frac{-1}{5} \frac{\left(-\frac{1}{5}-1\right)\left(-\frac{1}{5}-2\right)}{3 !} x^{3}+\dots \text{to}~ \infty$
$=1-\frac{x}{5}+\frac{\frac{-1}{5}\left(\frac{-6}{5}\right)}{2} x^{2}+\frac{\frac{-1}{5}\left(-\frac{6}{5}\right)\left(-\frac{11}{5}\right)}{6} x^{3}+\dots~\infty$
$=1-\frac{x}{5}+\frac{3}{25} x^{2}-\frac{11}{125} x^{3}+\ldots to~\infty$
Question 3
निम्नलिखित का प्रथम चार पद ज्ञात कीजिए [Find the first four terms of ]
$\left(\frac{2 x}{3}-\frac{3}{2 x}\right)^{-\frac{3}{2}}$
Sol :
$=\left(\frac{2 x}{3}\right)^{-\frac{3}{2}}\left[1-\frac{\frac{3}{2 x}}{\frac{2 x}{3}}\right]^{-\frac{3}{2}}$
$=\left(\frac{3}{2 x}\right)^{\frac{3}{2}}\left[1-\frac{9}{4 x^{2}}\right]^{-\frac{3}{2}}$
$=\left(\frac{3}{2 x}\right)^{3 / 2}\left[1+\left(\frac{-3}{2}\right) \cdot\left(\frac{-9}{4 x^{2}}\right)+\frac{-\frac{3}{2}\left(\frac{-3}{2}-1\right)}{2 !} \cdot\left(\frac{-9}{4 x^{2}}\right)^{2}+\frac{-\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}-1\right)\left(\frac{3}{2}-2\right)}{3 !}\right. \left.\left(\frac{-9}{4 x^{2}}\right)^{3}+\dots ~ \infty\right]$
$=\left(\frac{3}{2 x}\right)^{3 / 2}\left[1+\frac{3}{2} \cdot \frac{9}{4 x^{2}}+\frac{-\frac{3}{2}\left(\frac{-5}{2}\right)}{2} \cdot \frac{81}{16 x^{4}}+\frac{-3\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{-7}{2}\right)}{6} \cdot \frac{-729}{64 x^{6}}\dots\right.$
$=\left(\frac{3}{2 x}\right)^{\frac{3}{2}}\left[1+\frac{3}{2} \cdot \frac{9}{4 x^{2}}+\frac{15}{8} \cdot \frac{81}{16 x^{4}}+\frac{105}{48} \cdot \frac{729}{64 x^{6}}+\ldots\right]$
Question 4
निम्नांकित के विस्तार ज्ञात कीजिए , जब
[Expand the following |x|<2]
$\left(1-\frac{x}{2}\right)^{-1 / 2}$
Sol :
$\left(1-\frac{x}{2}\right)^{-\frac{1}{2}}=1+\left(\frac{-1}{2}\right) \cdot\left(-\frac{x}{2}\right)+\frac{-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}-1\right)}{2 !}\left(\frac{-x}{2}\right)^{2}+\ldots~\infty$
$=1+\frac{x}{4}+\frac{-\frac{1}{2}\left(\frac{-3}{2}\right)}{2} \cdot \frac{x^{2}}{4}+ \dots ~\infty$
$=1+\frac{x}{4}+\frac{3}{32} x^{2}+\dots ~ \infty$
Question 5
$(1-2 x)^{-\frac{5}{2}}$ के विस्तार मे x6 का गुणांक ज्ञात कीजिए ।
Sol :
$n=-\frac{-5}{2}$ , r=6
(1+x)n के विस्तार मे
$T_{r+1}=\frac{n(n-1)(n-2)_{-} \cdot \cdot(n-r+1)}{r!} \cdot x^{r}$
$T_{6+1}=\frac{\frac{-5}{2}\left(-\frac{5}{2}-1\right)\left(\frac{-5}{2}-2\right)\left(-\frac{5}{2}-3\right)\left(-\frac{5}{2}-4\right)\left(-\frac{5}{2}-5\right)}{6 !} \times(-2 x)^{6}$
$T_{7}=\frac{\frac{-5}{2}\left(-\frac{7}{2}\right)\left(-\frac{9}{2}\right)\left(-\frac{11}{2}\right)\left(\frac{-13}{2}\right)\left(-\frac{15}{2}\right)}{720} \times 2^{6} \cdot x^{6}$
$T_{7}=\frac{15015}{16} x^{6}$
x6 का गुणांक $=\frac{15015}{16}$
Question 6
Question 7
1001 का घनमूल दशमल के चार अंको तक शुध्द-शुध्द ज्ञात कीजिए ।
Sol :
$(1001)^{\frac{1}{3}}=(1000+1)^{\frac{1}{3}}$
$=(1000)^{\frac{1}{3}}\left[1+\frac{1}{1000}\right]^{\frac{1}{3}}$
$=10^{3 \times \frac{1}{3}}\left[1+\frac{1}{1000}\right]^{\frac{1}{3}}$
$=10\left[1+\frac{1}{1000}\right]^{\frac{1}{3}}$
$=10\left[1+\frac{1}{3} \times \frac{1}{1000}+\ldots~\infty\right]$
$=10\left[1+\frac{1}{3000}\right]$
=10[1+0.00033]
=10[1.00033]=10.0033
Question 8
दिखलाइए कि (show that) (1+2x+3x2+4x3+....to ∞$)^{\frac{3}{2}}$
=1+3x+6x2+10x3+... to ∞ जहाँ (where) |x|<1
Sol :
LHS
(1+2x+3x2+4x3+....to ∞$)^{\frac{3}{2}}$
$=(1-x)^{-2 \times \frac{3}{2}}$
=(1-x)-3
=1+3x+6x2+10x3+... to ∞
Question 9
निम्नलिखत श्रेणियो का योगफल ज्ञात कीजिए ।
[Find the sum of the following series]
(i) $1+\frac{1}{4}+\frac{1-4}{4-8}+\frac{1-4 \cdot 7}{4-8 \cdot 12}+\ldots$ to $\infty$
Sol :
=(1-x)-n
दिए गए श्रेणी से तुलना करने पर
$n x=\frac{1}{4}$ ,
$\frac{n(n+1)}{2 !} x^{2}=\frac{1.4}{4.8}$...(1)
वर्ग करने पर
$n^{2} x^{2}=\frac{1}{16}$
$x^{2}=\frac{1}{16 n^{2}}$
x2 का मान समीकरण (ii) मे रखने पर ,
$\frac{n(n+1)}{2} \times \frac{1}{16 n^{2}}=\frac{1.4}{4.8}$
$\frac{n+1}{4n}=1$
n+1=4n
4n-n=1
3n=1
$n=\frac{1}{3}$
∴n का मान समीकरण (i) मे रखने पर,
$n x=\frac{1}{4}$
$\frac{1}{y} \times x=\frac{1}{4}$
$x=\frac{3}{4}$
$1+\frac{1}{4}+\frac{1.4}{4.8}+\frac{1.4 .7}{4.8. 12}+\dots$ to $\infty=\left(1-\frac{3}{4}\right)^{-\frac{1}{3}}$
$=\left(\frac{4-3}{4}\right)^{-\frac{1}{3}}$
$=\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{3}}=4^{\frac{1}{3}}$
Question 10
यदि (if) y=x-x2+x3-x4.... to ∞
साबित कीजिए कि (show that) x=y+y2+y3.... to ∞
Sol :
y=x-x2+x3-x4.... to ∞
y=x(1-x+x2+x3-x4.... to ∞)
y=(1+x)-1
y+xy=x
y=x-xy
y=(1-y)x
$\frac{y}{1-y}=x$
x=y(1-y)-1
Question 11
$\frac{1}{1+x+x^{2}}$ के विस्तार मे दिखलाईए कि xn का गुणांक 1,0 या -1 है यदि n क्रमशः 3m , 3m-1 या 3m+1 के रूप का है।
Sol :
$\frac{1}{1+x+x^{2}}=\frac{1-x}{(1-x)\left(1+x+x^{2}\right)}$
$=\frac{1-x}{1^{3}-x^{3}}$
$=\frac{1-x}{1-x^{3}}=(1-x)\left(1-x^{3}\right)^{-1}$
=(1-x3)-1-x(1-x3)-1
$\frac{1}{1+x+x^{2}}$=[1+x3+x6+x9......x3n....to ∞]-x[1+x3+x6+x9+...+x3n+....to ∞]
=[1+x3+x6+x9......x3n....to ∞]-[x+x4+x7+x10+...+x3m+1+....to ∞]
x3m का गुणांक=1-0=1
x3m-1 का गुणांक=0-0=0
x3m+1 का गुणांक=0-1=-1
Question 12
सिद्ध करे कि xr का गुणांक $(1-4 x)^{-\frac{1}{2}}$ के विस्तार मे $\frac{\lfloor 2 r}{\left(\lfloor r)^{2}\right.}$ है।
Sol :
$(1-4x)^{-\frac{1}{2}}$ के विस्तार मे (r+1)वाँ पद
$T_{r+1}=\frac{\frac{-1}{2}\left(-\frac{1}{2}-1\right)\left(-\frac{1}{2}-2\right)\left(-\frac{1}{2}-3\right) \cdots \cdot\left(-\frac{1}{2}-r+1\right)}{r !}(-4x x)^{r}$
$=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{7}{2}\right) \ldots\left(-r+\frac{1}{2}\right)}{2 !}(-4)^{r} \cdot x^{r}$
$=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot-(2 r-1)}{(-2)^{r} \cdot r !}(-4)^{r} x^{r}$
$=\frac{1.2 .3 .4 .5.6.7.-(2 r-1).2r}{2.4 .6 .8 . . .2 r \cdot(-2)^{r} \cdot r!}(-4)^{r} \cdot x^{r}$
$=\frac{(2 r) !}{(-4)^{r} \cdot r ! \cdot r !} \cdot(-4)^{r} \cdot x^{r}$
$T_{r+1}=\frac{(2r) !}{(r !)^{2}} \cdot x^{r}$
xr का गुणांक $=\frac{(2 r) !}{(r!)^{2}}$
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