KC Sinha Solution Class 11 Chapter 17 बिंदुओं के निर्देशांक (Coordinates of Points) Exercise 17.1

 Exercise 17.1

Question 1

निम्नलिखित बिन्दुओ के बीच की दूरी निकाले
[Find the distance between the following pair of points]
(i) (0,0),(-5,12)
Sol :




दूरी सुत्रः $\sqrt{\left(x_{2}+x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$

OP=$\sqrt{\left(-5-0\right)^{2}+\left(12-0\right)^{2}}$
=√25+144=√169=13 इकाई


(ii) (4,5),(-3,2)
Sol :

(iii) (5,-12),(9,-9)
Sol :

(iv) (-3,4),(3,0)
Sol :


Question 2

P(x1,y1) और Q(x2,y2) के बिच की दूरी ज्ञात कीजिए जब
(i) PQ, y-अक्ष के समान्तर है।
(ii) PQ, x-अक्ष के समान्तर है।
Sol :
















(i) PQ, y-अक्ष के समांतर है।
∴x1=x2
दूरी सूत्र से ,
PQ$=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}$
$=\sqrt{\left(x_{2}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}$ (∵x1=x2)
$=\sqrt{\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}$
=|y1-y2|

(ii) PQ, x-अक्ष के समांतर है।
∴y1=y2
दूरी सूत्र से ,
$P Q=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}$
$=\sqrt{\left(x_1-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{2}\right)^{2}}$
$=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}}=\left|x_{1}-x_{2}\right|$















Question 3

a का मान निकाले यदि बिन्दु (a,2) तथा (3,4) के बीच की दूरी 8 है।
[Find a if the distance between (a,2) and (3,4) is 8]
Sol :



$P Q=\sqrt{\left(x_{2}-x_1\right)^{2}+\left(y_{2}-y_1\right)^{2}}$
या $P Q^{2}=\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}$

PQ=8 इकाई
दोनो तरफ वर्ग करने पर
$(3-a)^{2}+(4-2)^{2}=64$
$3^{2}-2 \cdot 3 \cdot a+a^{2}+2^{2}-64=0$
$a^{2}-6 a-51=0$
$a=\frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^{2}-4 \times 1 \times(-51)}}{2 \times 1}$
$a=\frac{6 \pm \sqrt{36+204}}{2}=\frac{1 \pm \sqrt{240}}{2}$
$a=\frac{6 \pm \sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5}}{2}$
$a=\frac{6 \pm 4 \sqrt{15}}{2}$
$a=\frac{2(3 \pm 2 \sqrt{15})}{2}$
$a=3 \pm 2 \sqrt{15}$

Question 4

एक रेखाखण्ड की लम्बाई 10 इकीइ है तथा इसका एक छोर (-2,3) है । यदि दूसरे छोर का 9 है तो साबित करे कि इसका भुज 6 या -10 है।
[A line segment is of length 10 units and one of its ends is (-2,3) . If the ordinate of the other end is 9, prove that the abscissa of the other end is 6 or -10]

Sol :
माना वह रेखाखंड PQ है ,जिसका Q छोर (-2,3) है तथा P(x,9) है।






PQ=10 इकाई
दोनो तरफ वर्ग करने पर
PQ2=102
$(x-(-2))^{2}+(9-3)^{2}=100$
$(x+2)^{2}+6^{2}=100$
x2+2.x.2+22+36-100=0
x2+4x-60=0
x2+10x-6x-60=0
x(x+10)-6(x+10)=0
(x+10)(x-6)=0

$\begin{array}{l|l}x+10=0 & x-6=0 \\ x=-10& x=6\end{array}$
∴दूसरे छोर का भुज 6 या -10 होगा ।

Question 5

x-अक्ष पर बिन्दु निकाले जो निम्नलिखित बिन्दुओ के युग्म से समान दूरी पर है।
[Find the point on x-axis which is equidistant from the following pair of points]

(i) (7,6) and (3,4) [NCERT]
(ii) (3,2) and (-5,-2)
Sol :
माना x-अक्ष स्थित बिन्दु P(x,0) जो बिन्दु A(7,6) तथा बिन्दु B(7,4) से समान दूरी पर है।










PA=PB
दोनो तरफ वर्ग करने पर
PA2=PB2
(x-7)2+(0-6)2=(x-3)2+(0-4)2
x2-2.x.7+72+(-6)2=x2-2.x.32+32+(-4)2
-14x+49+36=-6x+9+16
-14x+85=-6x+25
-14x+6x=25-85
-8x=-60
$x=\frac{60}{8}=\frac{15}{2}$
∴x-अक्ष पर स्थित बिन्दु $\left(\frac{15}{2}, 0\right)$

Question 7

दूरी सूत्र का प्रयोग कर जाँच करे कि बिन्दुओ का निम्नलिखित समूह संरेख है।
[Using distance formula , examine whether the following sets of points are collinear?]
(i) (3,5),(1,1),(-2,-5)
Sol. :

(ii) (5,1),(1,-1),(11,4)
Sol :
माना A(3,5) ,B(1,1) तथा C(-2,-5) निर्दशांक वाली तीन बिन्दुएँ है।
दूरी सूत्रः $\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$
AB$=\sqrt{(1-3)^{2}+(1-5)^{2}}=\sqrt{(-2)^{2}+(-4)^{2}}$
=√4+16=√20
=2√5 इकाई

BC$=\sqrt{(-2-1)^{2}+(-5-1)^{2}}=\sqrt{(-3)^{2}+(-6)^{2}}$
=√9+36=√45
=3√5 इकाई

AC$=\sqrt{(-2-3)^{2}+(-5-5)^{2}}=\sqrt{(-5)^{2}+(-10)^{2}}$
=√25+100=√125
=5√5 इकाई
AB+BC=AC
∴A,B and C संरेखी है।


(iii) (0,0),(9,6),(3,2)
Sol. :

(iv) (-1,2),(5,0),(2,1)
Sol. :

Question 9

साबित करे कि बिन्दुओ (a+rcosθ , b+r sinθ) तथा (a,b) के बीच की दूरी θ से स्वतन्त्र है।
[Prove that the distance between the points (a+rcosθ, b+rsinθ) and (a,b) is independent of θ]
Sol :





दूरी सुत्रः $\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}$
PQ$=\sqrt{(a+r \cos \theta-a)^{2}+\left(b+r \sin \theta-b\right)^{2}}$

$=\sqrt{r^{2} \cos ^{2} \theta+r^{2} \sin 2 \theta}$

$=\sqrt{r^{2}\left(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta\right.}=\sqrt{r^{2}}$

=r इकाई

Question 10

(i) दूरी सूत्र का प्रयोग कर दिखाएँ कि बिन्दु (cosec2θ ,0) ,(0 ,sec2θ) तथा (1,1) संरेख है।
Sol :
माना A(cosec2θ ,0) ,B(0 ,sec2θ) तथा C(1,1) तीन बिन्दुएँ है।
दूरी सुत्रः $\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$

AB$=\sqrt{\left(0-\operatorname{cosec}^{2} \theta\right)^{2}+\left(\operatorname{sec}^{2} \theta-0\right)^{2}}$
$=\sqrt{ \left.\left(\operatorname{cosec}^{2} \theta\right)^{2}+\sec ^{2} \theta\right)^{2}}$
$=\sqrt{\left(1+\cos ^{2} \theta\right)^{2}+\left(1+\tan ^{2} \theta\right)^{2}}$
$=\sqrt{\left(1+\frac{1}{\tan ^{2} \theta}\right)^{2}+\left(1+\tan ^{2}\right)^{2}}$
$=\sqrt{\left(\frac{\tan ^{2} \theta+1}{\tan ^{2} \theta}\right)^{2}+\left(1+\tan ^{2} \theta\right)^{2}}$
$=\sqrt{\left(1+\tan ^{2} \theta\right)^{2}\left[\frac{1}{\tan ^{4} \theta}+1\right]}$
$=\left(1+\tan ^{2} \theta\right) \sqrt{\frac{1+\tan ^{4} \theta}{\tan ^{4} \theta}}$
$=\frac{\sec ^{2} \theta}{\tan ^{2} \theta} \sqrt{1+\tan^4 \theta}$

BC$=\sqrt{(1-0)^{2}+\left(1-\sec ^{2} \theta\right)^{2}}$

$=\sqrt{1+\left(\sec ^{2} \theta-1\right)^{2}}$

$=\sqrt{1+\left(\tan ^{2} \theta\right)^{2}}$

$=\sqrt{1+\tan ^{4} \theta}$


AC$=\sqrt{\left(\operatorname{cosec}^{2} \theta-1\right)^{2}+(0-1)^{2}}$

$=\sqrt{\left(\left(\cot^{2} \theta\right)^{2}+1\right.}$

$=\sqrt{\cot ^{4} \theta+1}$

$=\sqrt{\frac{1}{\tan ^{4} \theta}+1}$

$=\sqrt{\frac{1+\tan ^{4} \theta}{\cot ^{4} \theta+1}}$

$=\frac{\sqrt{1+\tan ^{4} \theta}}{\tan ^{2} \theta}$


BC+AC
$=\sqrt{1+\tan ^{4} \theta}+\frac{\sqrt{1+\tan ^{4} \theta}}{\tan ^{2} \theta}$
$=\left(1+\frac{1}{\tan ^{2} \theta}\right) \sqrt{1+\tan ^{4} \theta}$
$=\left(\frac{\tan ^{2} \theta+1}{\tan ^{2} \theta}\right) \sqrt{1+\tan ^{4} \theta}$
$=\frac{\sec ^{2} \theta}{\tan ^{2} \theta} \sqrt{1+\tan ^{4} \theta}$
=AB
∴A,B तथा C संरेखी है।


Question 11

यदि बिन्दु P(x,y) बिन्दुओ (2,3) तथा (6,-1) से समान दूरी पर हो तो x तथा y मे सम्बन्ध निकाले ।
[If the point (x,y) is equidistant from the points (2,3) and (6,-1) , find the relation between x and y]
Sol :
माना बिन्दु P(x,y) , बिन्दुओ A(2,3) तथा B(6,-1) से समान दूरी पर है ।








PA=PB
दोनो तरफ वर्ग करने पर

PA2=PB2

(x-2)2+(y-3)2=(x-6)2+(y+1)2

x2-2.x.2+22+y2-2.y.3+32=x2-2.y.6+62+y2+2.y.1+12

-4x-6y+4+9=-12x+2y+36+1
-4x-6y+13=-12x+2y+37
-4x-6y+12x-2y=37-13
8x-9y=24
8(x-y)=24
$x-y=\frac{24}{8}$


Question 12

यदि बिन्दु P(x,y) बिन्दुओ (a+b,b-a) तथा (a-b, a+b) से समान दूरी पर हो तो साबित केर कि

[If the point P(x,y) be equidistant from the points (a+b,b-a) and (a-b,a+b) prove that]

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{x-y}{x+y}$

Sol :

माना बिन्दु P(x,y) , बिन्दुओ A(a+b,b-a) तथा B(a-b,a+b) से समान दूरी पर है।





दोनो तरफ वर्ग करने पर

PA2=PB2

[x-(a+b)]2+[y-(b-a)]2=[x-(a-b)]2+[y-(a+b)]2

x2-2.x(a+b)+(a+b)2+y2-2.y(b-a)+(b-a)2

=x2-2.x(a-b)+(a-b)2+y2-2.y(a+b)+(a+b)2

-2x(a+b)+2y(a-b)=-2x(a-b)-2y(a+b)

-2x(a+b)+2y(a+b)=-2x(a-b)-2y(a-b)

-2(a+b)(x-y)=-2(a-b)(x+y)

$\frac{x-y}{x+y}=\frac{a-b}{a+b}$


Question 12

साबित करे कि बिन्दु (3,4),(8,-6) तथा (13,9) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष है।

[Prove that the points (3,4),(8,-6) and (13,9) are the vertices of a right angled triangle]

Sol :

माना A(3,4) , B(8,-6) तथा C(13,9) तीन बिन्दुएँ है।

दूरी सुत्रः $\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$

AB$=\sqrt{(8-3)^{2}+(-6-4)^{2}}=\sqrt{5^{2}+(-10)^{2}}$

=√25+100=√125

BC$=\sqrt{(13-8)^{2}+(9+6)^{2}}=\sqrt{5^{2}+15^{2}}$

=√25+225=√250

AC$=\sqrt{(13-3)^{2}+(9-4)^{2}}=\sqrt{10^{2}+5^{2}}$

=√100+25=√125

$A B^{2}+AC^{2}=(\sqrt{25})^{2}+(\sqrt{125})^{2}=250$

$A B^{2}+AC^{2}=(\sqrt{25})^{2}+(\sqrt{125})^{2}=BC^2$

∴A , B तथा C समकोण त्रिभुज के शीर्ष है।

Question 13

साबित करें कि बिन्दु (3,4),(8,-6) तथा (13,9) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
[Prove that the points (3,4),(8,-6) and (13,9) are the vertices of a right angled triangle)]

Sol :

माना A(3,4), B(8,-6) and C(13,9) तीन बिन्दुएँ है।

दूरी सुत्रः $\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$

AB$=\sqrt{(8-3)^{2}+(-6-4)^{2}}=\sqrt{5^{2}+(-10)^{2}}$

=√25+100=√125


BC$=\sqrt{(13-8)^{2}+(9+6)^{2}}=\sqrt{5^{2}+15^{2}}$

=√25+225=√250


AC$=\sqrt{(13-3)^{2}+(9-4)^{2}}=\sqrt{10^{2}+5^{2}}$

=√100+25=√125

$A B^{2}+A c^{2}=(\sqrt{125})^{2}+(\sqrt{125})^{2}=250$

∴A, B तथा C समकोण त्रिभुज के शीर्ष है।


Question 14

यदि A(at2,2at) , $\mathrm{B}\left(\frac{a}{t^{2}},-\frac{2 a}{t}\right)$ तथा C(a,0) कोई तीन बिन्दु हो तो साबति करे कि $\frac{1}{\mathrm{AC}}+\frac{1}{\mathrm{BC}}$ , t से स्वतंत्र है।

Sol :

AC$=\sqrt{\left(a t^{2}-a\right)^{2}+(2 a t-0)^{2}}$

$=\sqrt{\left(a t^{2}\right)^{2}+a^{2}-2 \cdot a t^{2} \cdot a+(2at)^{2}}$

$=\sqrt{\left(a t^{2}\right)^{2}+a^{2}-2 a^{2} t^{2}+4 a^{2} t^{2}}$

$=\sqrt{\left(a t^{2}\right)^{2}+a^{2}+2 a^{2} t^{2}}$


AC$=\sqrt{(a+2)^{2}+a^{2}+2 \cdot a t^{2} \cdot a}$

$=\sqrt{\left(a+^{2}+a\right)^{2}}$

=at2+a=a+at2


BC$=\sqrt{\left(\frac{a}{t^{2}}-a\right)^{2}+\left(\frac{-2 a}{t}-0\right)^{2}}$

$=\sqrt{\left(\frac{a}{t^{2}}\right)^{2}+a^{2}-2 \cdot \frac{a}{t^{2}} \cdot a+\left(\frac{-2a}{t}\right)^{2}}$

$=\sqrt{\left(\frac{a}{t^{2}}\right)^{2}+a^{2}-\frac{2 a^{2}}{t^{2}}+\frac{4 a^{2}}{t^{2}}}$

$=\sqrt{\left(\frac{a}{t^{2}}\right)^{2}+a^{2}+2 \frac{a^{2}}{t^{2}}}$

$=\sqrt{\left(\frac{a}{t^{2}}\right)^{2}+a^{2}+2 \cdot \frac{a}{t^{2}} \cdot 9}$

$=\frac{a}{t^{2}}+a=\frac{a+a t^{2}}{t^{2}}$

$\frac{1}{A C}+\frac{1}{B C}=\frac{1}{a+a t^{2}}+\frac{1}{\frac{a+a t^{2}}{t^{2}}}$

$=\frac{1}{a+at^{2}}+\frac{t^{2}}{a+a t^{2}}$

$=\frac{1+t^{2}}{a+a t^{2}}$

$=\frac{1+t^{2}}{a\left(1+t^{2}\right)}=\frac{1}{a}$

∴$\frac{1}{A{C}}+\frac{1}{B C}$ , t स्वतंत्र है।


Question 15

यदि किसी समबाहु त्रिभुज के दो शीर्ष (0,0) तथा $(0,2 \sqrt{3})$ हो तो इसके तीसरे शीर्ष के निर्देशांक निकाले ।

Sol :

माना ΔABC एक समबाहु त्रिभुज है , जिसके शीर्षो के निर्देशांक A(0,0) , B$(0,2 \sqrt{3})$ तथा C(x,y) है।







AB=BC=AC

BC=AC

दोनो तरफ वर्ग करने पर,

BC2=AC2

(x-0)2+(y-2√3)2=(x-0)2+(y-0)2
y2-2.y.2√3+(2√3)2=y2
-4√3 y+12=0
-4√3 y=-12
$y=\frac{12}{4\sqrt{3}}$=√3


AB=AC
दोनो तरफ वर्ग करने पर,

AB2=AC2

(0-0)2+(2√3-0)2=(x-0)2+(y-0)2
12=x2+y2
12=x2+(√3)(∵y=√3)
12=x2+3
9=x2
x=±√9=±3
∴बिन्दु C का निर्देशांक (±3,√3) या (3,√3) और (-3,√3)

Question 16

उस त्रिभुज का परिकेन्द्र तथा परिवृत्त की त्रिज्या निकाले जिसके शीर्ष (-2,3),(2,1) तथा (4,0) है।
[Find the circumcentre and circum-radius of the triangle whose vertices are (-2,3),(2,-1) and (4,0)]
Sol :










माना बिन्दु O(x,y) , ΔABC का परिकेन्द्र है।
OA=OB=OC

OB=OC
दोनो तरफ वर्ग करने पर,

OB2=OC2

(x-2)2+(y+1)2=(x-4)2+(y-0)2
x2-2.x.2+22+y2+2.y.1+12=x2-2.x.4+42+y2
-4x+2y+4+1=-8x+16
-4x+2y+8x=16-5
4x+2y=11...(i)

OA=OC
दोनो तरफ वर्ग करने पर
OA2=OC2
(x+2)2+(y-3)2=(x-4)2+(y-0)2
x2+2.x.2+22+y2-2.y.3+32=x2-2.x.4+42+42
4x-6y+4+9=-8 x+16
4x-6y+8x=16-13
12x-6y=3
3(4x-2y)=3
$4 x-2 y=\frac{3}{3}$
4x-2y=1...(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से,
$\begin{aligned}4 x+2 y&=11 \\4 x-2 y&=1 \\ \hline 8 x&=12\end{aligned}$
$x=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$

x का मान समीकरण (i) मे रखने पर,
4x+2y=11
$4\left(\frac{3}{2}\right)+2 y=11$
6+2y=11
2y=5
$y=\frac{5}{2}$

ΔABC का परिकेन्द्र $\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)$

परिवृत्त की त्रिज्या=OC
$=\sqrt{\left(4-\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(0-\frac{5}{2}\right)^{2}}$
$=\sqrt{\left(\frac{8-3}{2}\right)^{2}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}}$
$=\sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^{2}+\left(\frac{-5}{2}\right)^{2}}$
$=\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{25}{4}}$
$=\sqrt{\frac{50}{4}}=\sqrt{\frac{2\times 5 \times 5}{2 \times 2}}=\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ इकाई

Question 17

यदि बिन्दु A(a,b) तथा B(c,d) मूल बिन्दु पर एक समकोण बनाते हो तो साबित करे कि ac+bd=0
[If the line segment joining the points A(a,b) and B(c,d) subtends a right angle at the origin , show that ac+bd=0] 
Sol :












माना बिन्दु A(a,b) तथा B(c,d) मूल बिन्दु O(0,0) पर समकोण बनाते है। 
पाईथागोरस प्रमेय मे,
OA2+OB2=AB2

a2+b2+c2+d2=(a-c)2+(b-d)2
a2+b2+c2+d2=a2-2ac+c2+b2-2b+d2
2ac+2bd=0
2(ac+bd)=0
(ac+bd)=0

Question 18

यदि बिन्दु A(a,b) तथा B(a,-b) को मिलाने वाली रेखा मूल बिन्दु पर θ कोण बनाना है , तो सिद्ध करे कि 
[If the line segment joining the points A(a,b) and B(a,-b) students an angle θ at the origin, show that]
$\cos \theta=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}$
Sol :













माना बिन्दु A(a,b) तथा B(a,-b) को मिलाने वाली रेखा AB मूल बिन्दु O(0,0) पर θ कोण बनाना है, जहाँ
θ=⍺+(-β)
θ=⍺-β
cosθ=cos(⍺-β)
=cos⍺.cosβ+sin⍺.sinβ

$=\frac{OC}{O A} \times \frac{O C}{OB}+\frac{A C}{OA} \times \frac{B C}{O B}$
$=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \times \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}+\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \times \frac{-b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$
$=\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}-\frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}$
cosθ$=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}$

Question 19

साबित करे कि बिन्दु (4,3),(6,4),(5,6) तथा (3,5) एक वर्ग के शीर्ष है।
[Prove that the points (4,3),(6,4),(5,6) and (3,5) are the vertices of a square]
Sol :
माना A(4,3), B(6,4), C(5,6) तथा D(3,5) चार बिन्दुएँ है।
दूरी सुत्रः $\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$

AB$=\sqrt{(6-4)^{2}+(4-3)^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}$
=√4+1=√5

BC$=\sqrt{(6-5)^{2}+(4-6)^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}$
=√1+4=√5

CD$=\sqrt{(5-3)^{2}+(6-5)^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}$
=√4+1=√5

AD$=\sqrt{(4-3)^{2}+(3-5)^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}$
=√1+4=√5

AC$=\sqrt{(5-4)^{2}+(6-3)^{2}}=\sqrt{1^{2}+3^{2}}$
=√1+9=√10

BD$=\sqrt{(6-3)^{2}+(4-5)^{2}}=\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}}$
=√9+1=√10

AB=BC=CD=AD
AC=BD
∴ABCD वर्ग है या (4,3),(6,4),(5,6) तथा (3,5) वर्ग के शीर्षो के निर्देशांक है।

Question 21

यदि ABCD एक आयत है तथा P इसके तल मे कोई बिन्दु है तो साबित करे कि 
[If ABCD be a rectangle and P be any point in the plane of the rectangle then prove that]
PA2+PC2=PB2+PD2
Sol :













माना A मूल बिन्दु है तथा AB और AD क्रमशः x तथा y अक्ष पर a तथा b इकाई लंबाई के है।
माना P आयत ABCD मे स्थित एक बिन्दु है, जिसका निर्देशांक (x,y) है।

L.H.S 
PA2+PC2=x2+y2+(a-x)2+(b-y)2
=x2+y2+a2-2ax+x2+b2-2by+y2
=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2

R.H.S
PB2+PD2=(a-x)2+(0-y)2+(0-x)2+(b-y)2
=a2-2ax+x2+y2+x2+b2-2by+y2
=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2
∴PA2+PC2=PB2+PD2

Question 22

नियामक ज्यामिति से साबित करे कि किसी आयत के विकर्णो के वर्ग का योगफल उसके भुजाओ के वर्ग के योगफल के बराबर है।
Sol :












माना ABCD एक आयत है, जिसका शीर्ष A(0,0) मूल बिन्दु है , तथा AB और AD क्रमशः x तथा y अक्ष पर है।
माना AB=a, AD=b
तो साबित करना है

L.H.S
AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2
AC2+BD2=a2+b2+(a-0)2+(0-b)2
=a2+b2+a2+b2
=2a2+2b2

R.H.S
AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2
=a2+b2+a2+b2
=2a2+2b2

LHS=RHS
अतः आयत के विकर्णो के वर्गो का योगफल उनके भुजाओ के वर्गो के योगफल के बराबर बोता है।

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