Exercise 17.4
Question 1
(i) यदि किसी चर बिन्दु P के नियामक (cos θ+sin θ, sin θ-cos θ)$ हैं, जहाँ θ एक चर राशि है, तो P का बिद्धपध निकालें
Sol :
माना बिन्दु P का निर्देशांक =(x,y)
x=cosθ+sinθ...(i), y=sinθ-cosθ...(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) को वर्ग करेके जोड़ने पर,
$x^{2}+y^{2}=(\cos \theta+\sin \theta)^{2}+(\sin \theta-\cos \theta)^{2}$
$=\cos ^{2} \theta+\sin^{2} \theta+2 \cos \theta \sin \theta+\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta-2\sin \theta\cos \theta$
$x^{2}+y^{2}=2$
Question 2
उस बिन्दु बिन्दुपथ निकाले जिसकी दूरी बिन्दु (1,2) से सदा 2 इकाई है।
[Find the locus of a point whose distance from the point (1,2) is always 2 units]
Sol :
माना बिन्दु P(x,y) का बिन्दु पथ O(1,2) से सदा 2 इकाई दूरी पर है।
OP=2
$OP^{2}=2^{2}$ (दोनो तरफ वर्ग करने पर)
$(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=4$
$x^{2}-2. x.1=1^2+1^{2}+y^{2}-2 \cdot y \cdot 2+2^{2}=4$
$x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+1=0$
Question 3
उन बिनुओं के बिद्दुपध का समीकरण मालूम करें जो (1,3) तथा (5,7) से बराबर दूरी पर स्थित हैं।
[Find the equation of locus of those points which are equidistance from (1,3) and (5,7)].
Sol :
माना बिन्दु P(x,y) का बिन्दुपध बिन्दु A(1,3) तथा B(5,7) से समान दूरी पर है ।
PA=PB
$PA^{2}=PB^{2}$ (दोनो तरफ वर्ग करने पर)
$(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=(x-5)^{2}+(y+7)^{2}$
$x^{2}-2 \cdot x+1+1^{2}+y^{2}-2 \cdot y \cdot 3+3^{2}=x^{2}-2 \cdot x \cdot 5+5^{2}+y^{2}-z.y.7 +7^{2}$
-2x+1-6y+9=-10x+25-14y+49
-2x-6y+10=-10x-14y+74
-2x-6y+10x+14y=74-10
8x+8y=64
8(x+y)=64
x+y=8
Question 4
सिद्ध करें कि दों प्रन्त बिन्दुओं से समान दूरी पर स्थित बिन्दु का बिन्दुपथ वह सरल रेखा है, जो प्रदत्त बिन्दुओं को मिलानेवाले रेखाखंड को लम्बवत् समद्विभाजित करती है ।
[Prove that the locus of the point equidistant from two given points is the straight line which bisects the line segment, joining the given points at right angles.]
Sol :
<Diagram to be added>
माना A(a,b) तथा B(c,d) दो प्रदन्त बिन्दु है जो बिन्दु P(x,y) से समान दूरी पर है।
तो सिद्ध करना है।
PO, AB को लंबवत समद्विभाजीत करता है।
हल
PA=PB
$P A^{2}=P B^{2}$ (दोनो तरफ वर्ग करने पर)
$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=(x-c)^{2}+(y-d)^{2}$
$x^{2}-2 a x+a^{2}+y^{2}-2 b y+b^{2}=x^{2}-2 c x+c^{2}+y^{2}-2 d y+d^{2}$
2cx+2dy-2ax-2by=$=c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}$
2(d-b)y-2(c-a)x$=c^{2}+d^{2}-a^{2}-6^{2}$
2(d-b)y=-2(c-a)+$c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}$
$y=\frac{-2(c-a)}{2(d-b)} x+\frac{c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}}{d-b}$
$y=\frac{-(c-a)}{(d-b)} x+\frac{c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}}{d-b}$
रेखा PO का ढ़ाल$=\frac{-(c-a)}{d-b}$
रेखा AB का ढ़ाल$=\frac{d-b}{c-a}$
दोनो रेखाो के ढ़ाल का गुणनफल$\frac{-(c-a)}{d-b} \times \frac{d-b}{c-a}$
=-1
∴PO⟂AB
PA=PB , समद्विबाहु त्रिभुज के ऊपर शीर्ष से खिचा गया लंब, सामने वाली भुजा को समद्विभाजीत करता है।
अतः दो प्रदन्त बिन्दुओ से समान दूरी पर स्थित बिन्दु का बिन्दुपथ वह सरल रेखा है , जो प्रदत्त बिन्दुओ को मिलाने वाली रेखाखंड लंबवत समद्विभाजीत करता है।
Question 5
A(1,2) , B(2,-1) दो स्थिर बिन्दु है और एक बिन्दु P इस तरह से घूमता है कि ΔPAB का क्षेत्रफल 3 के बराबर है , तो P का बिन्दुपथ निकाले ।
[A(1,2), B(2,-1) are two fixed points and a point P moves such that the area of ΔPAB is equal to 3 . Find the locus of P]
Sol :
<Diagram to be added>
माना बिन्दु P का निर्देशांक (x,y) है
ΔPAB का क्षेत्रफल = ±3
$\frac{1}{2}[1(-1-y)+2(y-2)+x(2+1)]=\pm 3$
-1-y+2y-4+2x+x= ±6
3x+y-5=±6
3x+y=5±6
3x+y=11 या -1
3x+y=11
3x+y=-1
Question 6
S बिन्दु (4,0) है और M बिन्दु P से y-अक्ष पर खीचे गए लम्ब का पाद है। यदि P इस प्रकार घूमता है कि दूरियाँ PS और PM बराबर होती है तो P का बिन्दुपध ज्ञात करे।
[S is the point (4,0) and M is the foot of the perpendicular drawn from a point P the y-axis . If P moves such that the distance PS and PM remains equal , find the locus of P]
Sol :
<Diagram to be added>
माना बिन्दु P का निर्देशांक (x,y) है तो M का निर्देशांक (0,y) होगा ।
∵PS=PM
दोनो तरफ वर्ग करने पर
$P S^{2}=P M^{2}$
$(x-4)^{2}+(y-0)^{2}=(x-0)^{2}+(y-y)^{2}$
$x^{2}-2 \cdot x \cdot 4+4^{2}+y^{2}=x^{2}+0$
$y^{2}-8 x+16=0$
Question 7
एक रेखाखण्ड AB जिसकी लम्बाई a+b है, इस तरह से घूमती है कि इसके छेर A और B सदा क्रमशः x-अक्ष और y -अक्ष पर रहते हैं। AB पर स्थित उस बिन्दु का बिन्दुपथ निकालें जो A से b की दूरी पर है ।
[A line segment AB of length a+b moves such that its extremities A and B always remain on the axis of x and axis of y respectively. Find the locus of the point of on AB at a distance b from A.]
Sol :
<Diagram to be added>
माना बिन्दु P(x,y) , जो बिन्दु A से b दूरी है।
AB=a+b
AP=b
BP=AB-AP=a+b-b=a
माना ∠PAQ=θ
∠BPR=θ (संगत कोण)
ΔPQA मे,
sinθ$=\frac{y}{b}$...(i)
cosθ$=\frac{x}{a}$...(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) को वर्ग करके जोड़ने पर
$\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=\left(\frac{y}{b}\right)^{2}+\left(\frac{x}{a}\right)^{2}$
$l=\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{x^{2}}{a^{2}}$
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
Question 8
यदि (2,3) और (-1,5) बिन्दुओं को मिलानेवाला रेखाखंड किसी बिन्दु, P पर समकोण बनाती है, तो P का बिनुपथ ज्ञात करें
[If the line segment joining two points (2,3) and (-1,5) subtends a right angle at any point P, find the locus of the point P.]
Sol :
<Diagram to be added>
माना A(2,3) तथा B(-1,5) को मिलाने वाली रेखा AB, बिन्दु P(x,y) पर समकोण बनती है।
$P A^{2}+P B^{2}=A B^{2}$ (प्राइथागोरस प्रमेय है)
$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}+(x+1)^{2}+(y-5)^{2}=(2+1)^{2}+(3-5)^{2}$
$x^{2}-2 \cdot x \cdot 2+2^{2}+y^{2}-2 \cdot 3 \cdot y+3^{2}+x^{2}+2 \cdot 3 \cdot 1+1^{2}+y^{2}-2 \cdot y \cdot 5+5^{2}=3^2+(2)^2$
$2x^{2}+2 y^{2}-4 x+2 x-6 y-10 y+y+4+1+25=4$
$2 x^{2}+2 y^{2}-2 x-16 y+26=0$
$2\left(x^{2}+y^{2}-x-8 y+13\right)=0$
$x^{2}+y^{2}-x-8 y+13=0$
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