KC Sinha Solution Class 11 Chapter 22 अतिपरवलय (Hyperbola) Exercise 22.1

Exercise 22.1

Question 1

अतिपरवलय का समीकरण निकालें जिसके लिए उत्कोन्द्रता 2, एक नाभि (2,2) तथा संगत नियता x+y=9 है ।

[Find the equation to the hyperbola for which eccentricity is 2, one focus is (2,2) and the corresponding directrix is x+y=9.]

Sol :

माना P(x,y) अतिपरवलय पर स्थित बिन्दु है।

$\frac{P S}{P M}=e$

PS=e.PM

$\sqrt{(x-2)^{2}+(y-2)^{2}}=2 \cdot\left|\frac{x+y-9}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}\right|$

$(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=4 \frac{(x+y-9)^{2}}{2}$

$x^{2}-4 x+4+y^{2}-4 y+4=2\left(x^{2}+y^{2}+9^{2}+2 x y-2 y .9-2.9.x\right)$

$x^{2}+y^{2}-4 x-4 y+8=2x^2+2y^2+16^2+4xy-36y-36x$

$0=2 x^{2}+2 y^{2}+162+4xy-36y-36x-x^{2}-y^{2}+4 x+4 y-8$

$x^{2}+y^{2}+4 x y-32 x-32 y+154=0$

Question 3

अनुप्रस्थ अक्ष तथा संयुग्मी अक्ष क्रमशः x-अक्ष तथा y-अक्ष के अनुदिश लेते हुए अतिपरवलय का समीकरण निकाले जिसके संयुग्मी अक्ष को लम्बाई 5 है तथा नाभियो के बीच की दूरी 13 है।

[Find the equation of the hyperbola whose conjugate axis is 5 and the distance between the foci is 13 , taking transverse and conjugate axes along x and y-axes respectively.]

Sol :

अनुप्रस्थ अक्ष तथा संयुग्मी अक्ष क्रमशः x-अक्ष तथा y-अक्ष के अनुदिशा लेते हुए अतिपरवलय का समीकरण

$\frac{x^{2}}{a^{2}} -\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ , $b^{2}=c^{2}-a^{2}$ या $a^{2}=c^{2}-b^{2}$

2b=5  ⇒ $b=\frac{5}{2}$

2c=13 ⇒ $c=\frac{13}{2}$

$a=\sqrt{\left(\frac{13}{2}\right)^{2}-\left(\frac{5}{2}\right)^{2}}$

$=\sqrt{\frac{165}{4}-\frac{25}{2}}$

$=\sqrt{\frac{144}{7}}=\frac{11}{2}$

=6

∴अतिपरवलय का समीकरण 

$\frac{x^{2}}{6^{2}}-\frac{y^{2}}{\left(\frac{5}{2}\right)^{2}}=1$

$\frac{3x^{2}}{36}-\frac{4 y^{2}}{25}=1$

$\frac{25 x^{2}-144 y^{2}}{900}=1$

$25 x^{2}-144 y^{2}=900$

Question 4

अतिपरवलय का समीकरण निकाले जिसकी नाभियाँ (0,±4) है तथा अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई 6 है।

[Find the equation of the hyperbola having foci (0,±4) and transverse axis of length 6]

Sol :

अतिपरवलय का अनुप्रस्थ अक्ष y-अक्ष के अनिुदिश होगा ।

C=4 , अनुप्रस्थ अक्ष की लंम्बाई =6 

2a=6

a=3

$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}$

=√16-9

=√7

∴अतिपरवलय का समीकरण 

$\frac{y^{2}}{3^{2}}-\frac{x^{2}}{(\sqrt{7})^{2}}=1$

$\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{7}=1$

Question 5

अतिपरवलय का समीकरण निकाले जिसके शीर्ष (0,±6) तथा उत्केन्द्रता 5/3 है।

[Find the equation of the hyperbola with vertices at (0, ±6) and eccentricity 5 / 3 .]

Sol :

अतिपरवलय का अनुप्रस्थ अक्ष y-अक्ष के अनिुदिश होगा ।

a=6 , $e=\frac{5}{3}$

$\frac{c}{a}=\frac{5}{3}$

$\frac{c}{6}=\frac{5}{3}$

c=10 , 

$b=\sqrt{10^{2}-6^{2}}$

b=8

∴अतिपरवलय का समीकरण 

$\frac{y^{2}}{6^{2}}-\frac{x^{2}}{8^{2}}=1$

$\frac{y^{2}}{36}-\frac{x^{2}}{64}=1$

Question 6

अतिपरवलय का समीकरण निकालें जिसके शीर्ष (0,±5) तथा नाभियाँ (0, ±8)$ हैं।

[Find the equation of the hyperbola having vertices (0,±5) and foci (0,±8)]

Sol :

अतिपरवलय का अनुप्रस्थ अक्ष y-अक्ष के अनुदिश होगा।

a=5 , c=8

$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{8^{2}-5^{2}}$

=√64-25

=√39

∴अतिपरवलय का समीकरण 

$\frac{y^{2}}{5^{2}}-\frac{x^{2}}{(\sqrt{39})^{2}}=1$

$\frac{y^{2}}{25}-\frac{x^{2}}{39}=1$

Question 7

Question 8

अतिपरवलय का समीकरण निकालें जब 

[Find the equation of the hyperbola having]

(i) नाभियाँ (±4,0) तथा नाभिलम्य की लम्बाई 12 है 

[foci (±4,0) and the length of latus rectum 12]

Sol :

अतिपरवलय का अनुप्रस्थ अक्ष x-अक्ष के अनुदिश होगा।

c= 4, $\frac{2 b^{2}}{a}=\frac{+6}{2}$

$\frac{c^{2}-a^{2}}{a}=6$

$\frac{4^{2}-a^{2}}{a}=6$

$16-a^{2}=6 a$

$0=a^{2}+6 a-16$

$0=a^{2}+8 a-2a-16$

0=a(a+8)-2(a+8)

0=(a+8)(a-2)

a=-8 ,2

a=2

$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}$

=√16-4

=√12

∴अतिपरवलय का समीकरण

$\frac{x^{2}}{2^{2}}-\frac{y^{2}}{(\sqrt{12})^{2}}=1$

$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$

Question 9

अतिपरवलय का समीकरण निकालें जब

[Find the equation of the hyperbola having]

(i) नाभियाँ (0,±13) तथा संयुग्मी अक्ष की लम्बाई 24 है।

[foci (0, ±13) and length of conjugate axis 24.]

Sol :

अतिपरवलय का अनुप्रस्थ अक्ष y-अक्ष के अनुदिश 

C=13 , 

2b=24

b=12

$a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}$

a=5

∴अतिपरवलय का समीकरण 

$\frac{y^{2}}{5^{2}}-\frac{x^{2}}{12^{2}}=1$

$\frac{y^{2}}{25}-\frac{x^{2}}{144}=1$

Question 10

अतिपरवलय का समीकरण निकालें जिसका शीर्ष (±7,0) है तथा $e=\frac{4}{3}$.

[Find the equation of the hyperbola having vertices (±7,0) and $e=\frac{4}{3}$ ]

Sol :

अतिपरवलय का अनुप्रस्थ अक्ष x-अक्ष के अनुदिश 

a=7 , $e=\frac{4}{3}$

$\frac{c}{a}=\frac{4}{3}$

$\frac{c}{7}=\frac{4}{3}$

$c=\frac{28}{3}$

$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}$

$=\sqrt{\left(\frac{28}{3}\right)^{2}-7^{2}}$

$=\sqrt{\frac{784}{9}-49}$

$=\sqrt{\frac{784-441}{9}}=\frac{\sqrt{34}]}{3}$

∴अतिपरवलय का समीकरण 

$\frac{x^{2}}{7^{2}}-\frac{y^{2}}{\left(\frac{\sqrt{343}}{3}\right)^{2}}=1$

$\frac{x^{2}}{45}-\frac{9 y^{2}}{343}=1$

Question 11

अतिपरवलय का समीकरण निकाले जिसका शीर्ष (±6,0) है तथा एक नियता x=4 है।

[Find the equation of the hyperbola whose vertices are (±6,0) and one of the directrices is x=4.]

Sol :

अतिपरवलय का अनुप्रस्थ अक्ष x-अक्ष के अनुदिश होगा ।

a=6 , नियता x=4

$\frac{a}{e}=4$

$\frac{6}{e}=4$

$e=\frac{6}{4}$

$\frac{c}{a}=\frac{3}{2}$

$\frac{c}{6}=\frac{3}{2}$

c=9

$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}$

$=\sqrt{9^{2}-6^{2}}$

=√81-36=√45

∴अतिपरवलय का समीकरण 

$\frac{x^{2}}{6^{2}}-\frac{y^{2}}{(\sqrt{45})^{2}}=1$

$\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{45}=1$

Question 12

अतिपरवलय का समीकरण निकाले यदि

(i) नाभिवों के बीच की दूरी 9 है तथा उत्केन्रता √3, है और अनुप्रस्थ अक्ष तथा संयुग्मी अक्ष क्रमश: x-अक्ष और y-अक्ष के अनुदिशा है ।

Sol :

2c=9 , $c=\frac{9}{2}$ , e=√3

$\frac{c}{a}=\sqrt{3}$

$\frac{9}{2 a}=\sqrt{3}$

$a=\frac{9}{2 \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$a=\frac{9 \sqrt{3}}{2 \times 3}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

$b=\sqrt{\left(\frac{9}{2}\right)^{2}-\left(\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)^{2}}$

$=\sqrt{\frac{81}{4}-\frac{27}{4}}$

$=\sqrt{\frac{54}{4}}=\frac{27}{2}$

∴अतिपरवलय का समीकरण 

$\frac{x^{2}}{\left(\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)^{2}}-\frac{y^{2}}{\left(\sqrt{ \left.\frac{27}{2}\right.}\right)^{2}}=1$

$\frac{4 x^{2}}{27}-\frac{2 y^{2}}{27}=1$

$4 x^{2}-2 y^{2}=27$

(ii) नाभियाँ (6,4) तथा (-4,4) हैं तथा उत्केन्दता 2 है।

[Find the equation to the hyperbola if]

Sol :

नाभियाो के बीच की दूरी

=2C$=\sqrt{(6+4)^{2}+(4-4)^{2}}$

2C+10

C=5

e=2

$\frac{c}{a}=2$

$\frac{5}{a}=2$

$a=\frac{5}{2}$

केन्द्रः $\left(\frac{6-4}{2}, \frac{4+4}{2}\right)=(1,4)$

$b=\sqrt{5^{2}-\left(\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{25-\frac{25}{4}}$

$6=\sqrt{\frac{7{5}}{4}}$

∴अतिपरवलय का समीकरण

$\frac{(x-1)^{2}}{\left(\frac{5}{2}\right)^{2}}-\frac{(y-4)^{2}}{\left(\sqrt{\frac{75}{4}}\right)^{2}}=1$

$\frac{4(x-1)^{2}}{25}-\frac{4(y-4)^{2}}{75}=1$

$\frac{12\left(x^{2}-2 x+1\right)-4\left(y^{2}-8 y+16\right)}{75}=1$

$12 x^{2}-24 x+12-4 y^{2}+32 y-64=75$

$12 x^{2}-4 y^{2}-24 x+32 y-127=0$

Question 13

एक अतिपरवलय के नाभियों के निर्दशांक (±6,0) हैं तथा इसका नाभिलम्ब 10 इकाई है। अतिपरवलय का समीकरण निकालें।

[The co-ordinates of the foci of a hyperbola are (±6,0) and its latus rectum is of 10 units. Find the equation of the hyperbola.]

Sol :

Question 15

अतिपरवलय $4x^{2}-9 y^{2}=36$ का अक्ष नाभियों के निर्देशांक, उत्केन्द्रता तथा नाभिलम्ब निकालें

[For the hyperbola $4 x^{2}-9 y^{2}=36$, find the axes, the coordinates of the

foci, the eccentricity, and the latus rectum.]

Sol :

$4 x^{2}-9y^{2}=36$

$\frac{4 x^{2}}{36}-\frac{9y^{2}}{36}=1$

$\frac{x^{2}}{3^{2}}-\frac{y^{2}}{2^{2}}=1$

अतिपरवलय x-अक्ष के अनुदिश होगा , जिसका केन्द्र मूल बिन्दु है।

a=3 , b=2

अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई =2a = 2×3 =6

संयुग्मी अक्ष की लम्बाई= 2b = 2×2= 4

$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{3^{2}+2^{2}}$

$c=\sqrt{13}$

नाभियाँ $(\pm c, 0)=(\pm \sqrt{13}, 0)$.

उत्केन्द्रता $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{13}}{3}$

नाभिलंव की लम्बाई $=\frac{2 b^{2}}{a}=\frac{2(2)^{2}}{3}=\frac{8}{3}$

Question 16

अतिपरवलय $4 x^{2}-25 y^{2}=100$ का शीर्ष, नाभियाँ, उत्केन्द्रता तथा नियताओं के समीकरण

निकालें ।

[Find the coordinates of the vertices, the foci, the eccentricity and the equations of directrices of the hyperbola $\left.4 x^{2}-25 y^{2}=100 .\right]$

$4 x^{2}-25 y^{2}=100$

$\frac{4 x^{2}}{100}-\frac{25 y^{2}}{100}=1$

$\frac{x^{2}}{5^{2}}-\frac{y^{2}}{2^{2}}=1$

अतिपरवलय का अनुप्रस्थ अक्ष x-अक्ष है तथा केन्द्र मूल बिन्दु हो।

a=5 , b=2

$c=\sqrt{5^{2}+2^{2}}=\sqrt{29}$

शीर्ष (±5,0) ; नाभियाँ $(\pm \sqrt{29}, 0)$

$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{29}}{5}$ , नियता का समीकरण $x=\pm \frac{5}{\frac{\sqrt{29}}{5}}$

Question 19

अतिपरवलय $16 x^{2}-9 y^{2}+32 x+36 y-164=0$ का केन्र, उत्केन्द्रता , नाभियाँ तथा नियताओं के समीकरण निकालें।

[Find the centre, eccentricity, foci and directrices of the hyperbola $\left.16 x^{2}-9 y^{2}+32 x+36 y-164=0 .\right]$

Sol :

$16 x^{2}-9 y^{2}+32 x+36 y-164=0$

$16\left(x^{2}+2 x\right)-9\left(y^{2}-4 y\right)=164$

$16\left[x^{2}+2 \cdot x \cdot 1+1^{2}-1^{2}\right]-9\left[y^{2}-2 \cdot y \cdot 2+2^{2}-2^{2}\right]=164$

$16(x+1)^{2}-16-9(y-2)^{2}+36=164$

$16(x+1)^{2}-9(y-2)^{2}=144$

$\frac{16(x+1)^{2}}{144}-\frac{9(y-2)^{2}}{144}=1$

$\frac{(x+1)^{2}}{3^{2}}-\frac{(y-2)^{2}}{4^{2}}=1$

अतिपरवलय का अनुप्रस्थ अक्ष x-अक्ष के समांतर होगा ।

$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

$a=3, b=4, c-\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$

X=x+1 , Y=y-2

(i) X=0 , Y=0

x+1=0 , y-2=0

x=-1 , y=2

केन्द्र (-1,2)

(ii) $e=\frac{5}{3}$

(iii) नाभिका

X=±C , Y=0

x+1=±5 ; y-2=0

x=4 , -6 ; y=2

नाभियाँ (4,2) तथा (-6 , 2)

(iv) नियता का समीकरण

$x=\pm \frac{a}{e}$

$x+1=\pm \frac{3}{\frac{5}{3}}$

$x+1=\pm \frac{9}{5}$

$\begin{array}{l|l}x+1=\frac{9}{5} & x+1=-\frac{9}{5} \\5 x+5=9 & 5 x+5=-9 \\ 5 x-4=0 & 5 x+14=0 \end{array}$

Question 22

अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, रेखाओं $7 x+13 y-87=0$ तथा $5 x-8 y+7=0$ के प्रतिच्धेद बिन्दु से जाती है तथा इसका नाभिलम्ब $\frac{32 \sqrt{2}}{5}$. है तो a तथा b निकालें

Sol :

रेखाओ का प्रतिच्छेद बिन्दु

7x+13y-87=0...(i)×5

5x-8y+7=0...(ii)×7

x=5 ; y=4

∵अतिपरवलय (5,4) से गुजर रहा है।

$\frac{5^{2}}{a^{2}}-\frac{4^{2}}{b^{2}}=1$

$\frac{25}{a^{2}}-\frac{16}{b^{2}}=1$...(iii)

∵नाभिलंब की लंबाई $=\frac{32 \sqrt{2}}{5}$

$\frac{2 b^{2}}{a}=\frac{32 \sqrt{2}}{5}$

$b^{2}=\frac{16 \sqrt{2}}{5} \mathrm{a}$

समिकरण (iii) से, 

$\frac{25}{a^{2}}-\frac{16}{\frac{16 \sqrt{2} a}{5}}=1$

$\frac{25}{a^{2}}-\frac{5}{\sqrt{2} a}=1$

$\frac{25 \sqrt{2}-5 a}{\sqrt{2 a^{2}}}=1$

$\sqrt{2} a^{2}=25 \sqrt{2}-5 a$

$\sqrt{2} a^{2}+5 a-25 \sqrt{2}=0$

$\sqrt{2 }a^{2}+10 a-5 a-25 \sqrt{2}=0$

$\sqrt{2} a(a+5 \sqrt{2})-5(a+5 \sqrt{2})=0$

$(a+5 \sqrt{2})(\sqrt{2} a-5)=0$

$\begin{array}{l|l}a+5 \sqrt{2}=0 & \sqrt{2}a=5 \\ a=-5\sqrt{2} & a=\frac{5}{\sqrt{2}} \end{array}$

∵$a=\frac{5}{\sqrt{2}}$

∴$b^{2}=\frac{16\sqrt{2}}{5} \times \frac{5}{\sqrt{2}}$

b=4

Question 23

अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 .$ पर किसी बिन्दु P का कोटि PN है। यदि Q, AP, को $a^{2}: b^{2}$ के अनुपात में बँटती है तो दिखाएं कि NQ,AP पर लम्ब है जहाँ $\mathrm{AA}^{\prime}$ अतिपरवलय का अनुप्रस्थ अक्ष है।

Sol :

माना बिन्दु P का निर्देशांक =(x,y)

माना Q, AP का मंध्य बिन्दु हो Q का निर्देशांक $=\left(\frac{a+x}{2}, \frac{y}{2}\right)$ (यदि संभव हो तो)

∵Q, AP को $a^{2}: 6^{2}$ के अनुपात मे बाटता है 

Q का निर्देशांक $=\left(\frac{a^{2} \cdot x+b^{2} \cdot a}{a^{2}+b^{2}}, \frac{a^{2} \cdot y+b^{2} \cdot 0}{a^{2}+b^{2}}\right)$

$=\left(\frac{a^{2} x+a b^{2}}{a^{2}+b^{2}}, \frac{a^{2} y}{a^{2}+b^{2}}\right)$

y के नियामंको को बराबर करने पर

$\frac{y}{2}=\frac{a^{2} y}{a^{2}+b^{2}}$

$2 a^{2}=a^{2}+b^{2}$

$a^{2}=b^{2}$

a=b

यदि a=b , तो Q, AP को दो बराबर भागो मे बाटता है।