Exercise 28.1
Question 1
निम्नलिखित आंकड़ो के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए :
(i) 30,40,70,60,20,10,50
Sol :
10,20,30,40,50,60,70
माध्य$(\overline{{x}})=\frac{10+20+30+40+50+60+70}{7}$ $=\frac{280}{7}$
माध्य विचलन$\left(\overline{x}\right)=\frac{|10-40|+|20-40|+|30-40|+|40-40|+|50-
40|+|60-40|+|70-40|}{7}$
$=\frac{30+20+10+0+10+20+30}{7}=\frac{120}{7}$
=17.1
(ii) 4,7,8,9,10,12,13,17
Sol :
माध्य$(\overline{{x}})=\frac{4+7+8+9+10+12+13+17}{8}$
$=\frac{80}{8}=10$
माध्य विचलन$\left(\overline{x}\right)=\frac{|4-10|+|7-10|+|8-10|+|9-10|+|10-10|+|12-10|+|13-10|+|17-10|}{8}$
$=\frac{6+3+2+1+0+2+3+7}{8}$
Question 2
निम्नलिखित आँकडों के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए :[Find the mean deviation from the median for the following data :]
(i) 22, 24, 30, 27, 29, 31, 25, 41, 42
Sol :
22, 24, 25, 27 , 29 , 30 , 31 , 41 , 42
माध्यिका (M)=29
माध्य विचलन
(δM)$=\frac{|22-29|+|24-29|+|25-29|+|27-29|+|29-29|+|30-29|+|31-29|+|41-29|+|42-29|}{9}$
$=\frac{7+5+4+2+0+1+2+12+13}{9}=\frac{46}{9}$
=5.1
(ii) 13, 17, 16, 14 , 11, 13 ,10 ,16 ,11 ,18 ,12 ,17
Sol :
Sol :
10,11,11,12,13,13,14,16,16,17,17,18
माध्यिका $=\frac{13+14}{2}=\frac{27}{2}$
M=13.5
माध्य विचलन (δM)
$=\frac{|10-12.5|+|11-13.5|+|11-13.5|+|12-13.5|+|13-13.5|+|13-13.5|+|14-13.5|+|16-13.5|+|16-13.5|+|17-13.5|+|17-13.5|+|18-13.5|}{12}$
$=\frac{3.5+2.5+2.5+1.5+0.5+0.5+0.5+2.5+2.5+3.5+3.5+4.5}{12}$
$=\frac{28}{12}$
=2.33
Question 3
6,8,5,7, x तथा 4 का माध्य 7 है इन अवलोकनों का माध्यिका के परित: माध्य
विचलन निकालें।
Sol :
6,8,5,7, x तथा 4 का माध्य = 7
$\frac{6+8+5+7+x+4}{6}=7$
30+x=42
x=12
वंटन : 6 , 8 , 5 , 7 ,12 ,4
⇒4,5,6,7,8,12
माध्यिका$=\frac{6+7}{2}=\frac{13}{2}$
=6.5
माध्य विचलन (δM)
$=\frac{|4-6.5|+|5-6.5|+|6-6.5|+|7-6.5|+|8-6.5|+|12-6.5|}{6}$
$=\frac{2.5+1.5+0.5+0.5+1.5+5.5}{6}=\frac{12}{6}$
=2
Question 4
किसी दुकान में 10 दंडों की लंबाई सेमी में नीचे दिए गए है :
420, 52.3 ,55.2, 729, 528 , 790 , 32.5 , 15.2 , 279 , 30.2
(i) माध्यका से माध्य विचलन निकालें
(ii) माध्य से माध्य विचलन निकालें
Sol :
10 दंड़ो की लंम्बाई : 15.2, 27.9 , 20.2, 32.5, 42, 52.3, 52.8, 55.2, 72.9,
79
माध्य
$(\overline{x})=\frac{15.2+27.9+30.2+32.5+42+52.3+52.8+55.2+72.9+79}{10}$
$=\frac{460}{10}=46$
माध्यिका $=\frac{42+52.3}{2}=\frac{94.3}{2}$
=47.15
(i) माध्य विचलन (δM)
$=\frac{|15.2-47.15|+|27.9-47.15|+|30.2-47.15|+|32.5-74.15|+|42-47.15|+|52.3-47.15|+|52.8-47.15|+|55.2-47.15|+|55.2-47.15|+|72.9-47.15|+|79-49.15|}{10}$
$=\frac{31.95+19.25+16.95+14.65+5.15+5.15+5.65+8.05+25.75+31.85}{10}$
$=\frac{164.4}{10}$
=16.44
माध्यिका (M)
$=\frac{42+52.3}{2}=\frac{94.3}{2}$
=47.15
माध्य विचलन (δM)
$=\frac{|15.2-46|+|27.9-46|+|30.2-46|+|32.5-46|+|42-46|+|52.3-46|+|52.8-46|+|55.2-46|+|72.9-46|+|79-46|}{10}$
$=\frac{30.8+18.1+15.8+13.5+4+6.3+6.8+9.2+26.9+33}{10}$
$=\frac{164.4}{10}$
=16.44
Question 5
निम्नलिखित प्रन्नों में दिए गए आँकड़ो का माध्य से माध्य विचलन
निकाले
[Find the mean deviation from the mean for the data in the following
questions :
(i)
| xi | 5 | 7 | 9 | 10 | 12 | 15 |
| fi | 8 | 6 | 2 | 2 | 2 | 6 |
Sol :
$MD~\left(\delta_{\overline{x}}\right)=\frac{\sum_{i=1}^{n}
f_{i}\left|x_{i}-\bar{x}\right|}{\sum_{i=1}^{n} f_i}$
| xi | fi | fixi | |xi-$\bar{x}$| | fixi$\bar{x}$ |
|---|---|---|---|---|
| 5 | 8 | 40 | 4 | 32 |
| 7 | 6 | 42 | 2 | 12 |
| 9 | 2 | 181 | 0 | 0 |
| 10 | 2 | 20 | 1 | 2 |
| 12 | 2 | 24 | 3 | 6 |
| 15 | 6 | 90 | 6 | 36 |
| $\sum_{i=1}^{n}f_i=26$ | $\sum_{i=1}^{n}f_i x_i=234$ | $\sum_{i=1}^{n}|x_i -\bar{x}|=88$ |
माध्य $(\bar{x})=\frac{\sum_{i=1}^{n}f_i x_i}{\sum_{i=1}^{n}f_i}$
$=\frac{234}{26}$
=9
(ii)
| xi | 2 | 5 | 6 | 8 | 10 | 12 |
| fi | 2 | 8 | 10 | 7 | 8 | 5 |
Sol :
| xi | fi | fixi | |xi-$\bar{x}$| | fixi$\bar{x}$ |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 4 | 5.5 | 11 |
| 5 | 8 | 40 | 2.5 | 20 |
| 6 | 10 | 60 | 1.5 | 15 |
| 8 | 7 | 56 | 0.5 | 3.5 |
| 10 | 8 | 80 | 2.5 | 20 |
| 12 | 5 | 60 | 4.5 | 22.5 |
| $\sum_{i=1}^{n}f_i=40$ | $\sum_{i=1}^{n}f_i x_i=300$ | $\sum_{i=1}^{n}|x_i -\bar{x}|=92$ |
माध्य $\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$
$=\frac{300}{40}=7.5$
M.D$\delta _{\bar{x}}=\frac{\sum f_i |x_i-\bar{x}|}{\sum f_i}$
$=\frac{92}{40}=2.3$
Question 6
निम्निखित अवलोकनों के समूह का माध्यिका से माध्य विचलन निकालें
[Find the mean deviation from median for the following set of
observations]
(i)
| xi | 15 | 21 | 27 | 30 | 35 |
| fi | 3 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Sol :
| xi | fi | cf | |xi-M| | fi|xi-M| |
|---|---|---|---|---|
| 15 | 3 | 3 | 15 | 45 |
| 21 | 5 | 8 | 9 | 45 |
| 27 | 6 | 14 | 3 | 8 |
| 30 | 7 | 21 | 0 | 0 |
| 35 | 8 | 29 | 5 | 40 |
| n=29 | $\sum f_i x_i |x_i-M|=148$ |
माध्यिका (M)$=\frac{n+1}{2}$वाँ पद
$=\frac{29+1}{2}$ वाँ पद
$=\frac{30}{2}$ वाँ पद
=15 वाँ पद
M=30
MD$\delta _{m}=\frac{\sum f_i |x_i-m|}{\sum f_i}$
$=\frac{148}{29}$
=5.1
(ii)
| xi | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 |
| fi | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 8 |
Sol :
| xi | fi | cf | |xi-M| | fi|xi-M| |
|---|---|---|---|---|
| 5 | 2 | 2 | 8 | 16 |
| 7 | 4 | 6 | 6 | 24 |
| 9 | 6 | 12 | 4 | 24 |
| 11 | 8 | 20 | 2 | 16 |
| 13 | 10 | 30 | 0 | 0 |
| 15 | 12 | 42 | 2 | 24 |
| 17 | 8 | 50 | 4 | 32 |
| n=50 | $\sum f_i x_i |x_i-M|=136$ |
माध्यिका $=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{n}{2}\right)\text{वाँ
पद}+\left(\frac{n}{2}+1\right)\text{वाँ पद}\right]$
$=\frac{1}{2}\left[\frac{50}{2}\text{वाँ
पद}+\left(\frac{50}{2}+1\right)\text{वाँ पद}\right]$
$=\frac{1}{2}[13+13]$
$=\frac{1}{2}\times 26$
m=13
MD $\delta_{m}=\frac{\sum f_i |x_i-m|}{\sum f_i}$
$=\frac{136}{50}$
=2.72
Question 7
निम्नलिखित बारंबारता वितरण के लिए माध्यका से माध्य विचलन निकालें
| आयु (Age) | 15 | 13 | 17 | 16 | 18 | 20 |
| विद्यार्थियो की संख्या(No. of students) | 4 | 5 | 4 | 2 | 6 | 3 |
Sol :
| (आयु) xi | (विद्यार्थियो की संख्या) fi | cf | |xi-M| | fi|xi-M| |
|---|---|---|---|---|
| 13 | 5 | 5 | 4 | 20 |
| 15 | 4 | 9 | 2 | 8 |
| 16 | 2 | 11 | 1 | 2 |
| 17 | 4 | 15 | 0 | 0 |
| 18 | 6 | 21 | 1 | 6 |
| 20 | 3 | 24 | 3 | 9 |
| n=24 | $\sum f_i x_i |x_i-M|=45$ |
माध्यिका $=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{n}{2}\right)\text{वाँ
पद}+\left(\frac{n}{2}+1\right)\text{वाँ पद}\right]$
$=\frac{1}{2}\left[\frac{24}{2}+\left(\frac{24}{2}+1\right)\right]$
$=\frac{1}{2}[17+17]$
$=\frac{1}{2}$
MD $\delta_{m}=\frac{\sum f_i |x_i-m|}{\sum f_i}$
$=\frac{45}{24}$
=1.8
Question 8
निम्नलिखित्वि माध्यिका से माध्य विचलन की गणना करें
[Compute the mean deviation from the median of the following
distribution]
| वर्ग (Class) | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 |
| बारंबारता (Frequency) | 6 | 7 | 15 | 16 | 4 | 2 |
Sol :
| वर्ग | (बारंबारता) fi | संचची बारंबारता | xi | |xi-M| | fi|xi-M| |
|---|---|---|---|---|---|
| 0-10 | 6 | 6 | 5 | 23 | 138 |
| 10-20 | 7 | 13 | 15 | 13 | 91 |
| 20-30 | 15 | 28 | 25 | 3 | 45 |
| 30-40 | 16 | 44 | 35 | 7 | 112 |
| 40-50 | 4 | 48 | 45 | 17 | 68 |
| 50-60 | 2 | 50 | 55 | 27 | 54 |
| n=50 | $\sum f_i x_i |x_i-M|=50$ |
$\frac{n}{2}=\frac{50}{2}$
=25 से ठीक बड़ी संचची बारंबरता वाले को माधियका वर्ग करलाता है।
माध्यिका वर्ग=20-30
l=20 , cf=13 ,
f=15 , h=10
माध्यिका (M)$=l+\left(\dfrac{\frac{n}{2}-c}{f}\right)\times h$
$=20+\left(\frac{25-13}{15}\right) \times 10$
$=20+\frac{12}{15}\times 10$
M=28
MD $(\delta_{m})=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}f_i |x_i-m| }{\sum_{i=1}^{n}f_i}$
$=\frac{508}{50}$
=10.16
Question 9
निम्नलिखित वितरण के लिए माध्य से माध्य विचलन तथा माध्य विचलन गुणांक
निकालें।
| वर्ग (Class) | 1-5 | 6-10 | 11-15 | 16-20 | 21-25 |
| बारंबारता (Frequency) | 8 | 5 | 20 | 7 | 10 |
Sol :
| वर्ग | (बारंबारता) fi | xi | fi xi | |xi-M| | fi|xi-M| |
|---|---|---|---|---|---|
| 1-5 | 8 | 3 | 24 | 10.6 | 84.8 |
| 6-10 | 5 | 8 | 40 | 5.6 | 28 |
| 11-15 | 20 | 13 | 260 | 0.6 | 12 |
| 16-20 | 7 | 18 | 126 | 4.4 | 30.8 |
| 21-25 | 10 | 23 | 230 | 9.4 | 94 |
| $\sum_{i=1}^{n}=50$ | $\sum_{i=1}^{n}f_i x_i=680$ | $\sum f_i x_i |x_i-M|=249.6$ |
माध्य $(\bar{x})=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}f_i x_i}{\sum_{i=1}^{n}f_i}$
$=\frac{680}{50}=13.6$
MD $(\delta _{\bar{x}})=\frac{\sum_{i=1}^{n}f_i
|x_i-{\bar{x}}|}{\sum_{i=1}^{n}f_i}$
$=\frac{249.6}{50}$
=4.992
MD गुणांक $=\frac{\delta_{\bar{x}}}{\bar{x}}=\frac{4.992}{13.6}$
Question 10
निम्निखित अवलोंकनों के लिए माध्य से माध्य विचलन निकालें
[Find the mean deviation from the mean for the following observations]:
| वर्ग (Class) | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | 60-70 | 70-80 |
| बारंबारता (Frequency) | 2 | 3 | 8 | 14 | 8 | 3 | 2 |
Sol :
| वर्ग | (बारंबारता) fi | xi | fi xi | |xi-$\bar{x}$| | fi|xi-$\bar{x}$| |
|---|---|---|---|---|---|
| 10-20 | 2 | 15 | 30 | 30 | 60 |
| 20-30 | 3 | 25 | 75 | 20 | 60 |
| 30-40 | 8 | 35 | 280 | 10 | 80 |
| 40-50 | 14 | 45 | 630 | 0 | 0 |
| 50-60 | 8 | 55 | 440 | 10 | 80 |
| 60-70 | 3 | 65 | 195 | 20 | 60 |
| 70-80 | 2 | 75 | 150 | 30 | 60 |
| $\sum_{i=1}^{n}=40$ | $\sum_{i=1}^{n}f_i x_i=1800$ | $\sum f_i x_i |x_i-M|=400$ |
माध्य $(\bar{x})=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}f_i x_i}{\sum_{i=1}^{n}f_i}$
$=\frac{1800}{40}=45$
MD $(\delta _{\bar{x}})=\frac{\sum_{i=1}^{n}f_i
|x_i-{\bar{x}}|}{\sum_{i=1}^{n}f_i}$
$=\frac{400}{40}$
=10
Question 11
निम्नलिखित वितरण के माध्यिका से माध्य विचलन निकाले।
[Find the mean deviation from the median of the following distribution]
| वर्ग (Class) | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | 60-70 |
| बारंबारता (Frequency) | 3 | 8 | 12 | 9 | 8 |
Sol :
| वर्ग | (बारंबारता) fi | संचची बारंबारता | xi | |xi-M| | fi|xi-M| |
|---|---|---|---|---|---|
| 20-30 | 3 | 3 | 25 | 22.5 | 67.5 |
| 30-40 | 8 | 11 | 35 | 12.5 | 100 |
| 40-50 | 12 | 23 | 45 | 2.5 | 30 |
| 50-60 | 9 | 32 | 55 | 7.5 | 67.5 |
| 60-70 | 8 | 40 | 65 | 17.5 | 140 |
| n=40 | $\sum f_i |x_i-M|=405$ |
$\frac{n}{2}=\frac{40}{2}$=20 से ठीक बड़ी संचची बारंबारता वाला वर्ग
माध्यिका वर्ग होगा।
माध्यिका वर्ग=40-50
l=40 , cf=11 ,
f=12 , h=10
माध्यिका(M)$=l+\frac{\left(\frac{n}{2}-cf\right)}{f} \times f$
$=40+\frac{(20-11)}{12} \times 10$
$=40+\frac{9}{12}\times 10$
$=40+\frac{15}{2}$
=40+7.5=47.5
MD $(\delta_{m})=\frac{\sum_{i=1}^{n}f_i |x_i -m|}{\sum_{i=1}^{n}f_i}$
$=\frac{405}{40}$
=10.125
(ii) निमलिखित वितरण कें माध्यका से माध्य विचलन निकालें
[Find the mean deviation from the median of the following distribution]:
| वर्ग (Class) | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 |
| बारंबारता (Frequency) | 6 | 7 | 15 | 16 | 4 | 2 |
Sol :
| प्राप्तांक |
विद्यार्थियो की संख्या (बारंबारता) fi |
संचची बारंबारता | xi | |xi-M| | fi|xi-M| |
|---|---|---|---|---|---|
| 0-10 | 6 | 6 | 5 | 22.86 | 137.16 |
| 10-20 | 8 | 14 | 15 | 12.86 | 102.88 |
| 20-30 | 14 | 28 | 25 | 2.86 | 40.04 |
| 30-40 | 16 | 44 | 35 | 7.14 | 114.24 |
| 40-50 | 4 | 48 | 45 | 17.14 | 68.56 |
| 50-60 | 2 | 50 | 55 | 27.14 | 54.28 |
| n=50 | $\sum f_i x_i |x_i-M|=517.16$ |
$\frac{n}{2}=\frac{50}{2}$
=25 से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता वाला वर्ग माधियका वर्ग है।
माध्यिका वर्ग=20-30
l=20, cf=14
f=14 , h=10
माध्यिका (m) $=l+\dfrac{\left(\frac{n}{2}-cf\right)}{f}\times h$
$=20+\frac{25-14}{14} \times 10$
$=20+\frac{11}{14} \times 10$
=20+7.86
MD$(\delta_{m})=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}f_i|x_i-m|}{\sum_{i=1}^{n}}$
$=\frac{517.16}{50}$
=10.3432
Question 12
100 विद्यार्थियों के ऊँचाई का वितरण निम्नलिखित हैं
[The height distribution of 100 children is as follows]:
| ऊचाई (Height) | 95-105 | 105-110 | 115-125 | 125-135 | 135-145 | 145-155 |
| विद्यार्थियो की संख्या (Frequency) | 9 | 13 | 26 | 30 | 12 | 10 |
[Calculate the mean deviation from the mean height.]
Sol :
| ऊँचाई | fi | xi | fi xi | |xi-$\bar{x}$| | fi|xi-$\bar{x}$| |
|---|---|---|---|---|---|
| 95-105 | 9 | 100 | 900 | 25.3 | 227.7 |
| 105-115 | 13 | 110 | 1430 | 15.3 | 198.9 |
| 115-125 | 26 | 120 | 3120 | 5.3 | 137.8 |
| 125-135 | 30 | 130 | 3900 | 4.7 | 141 |
| 135-145 | 12 | 140 | 1680 | 14.7 | 176.4 |
| 145-155 | 10 | 150 | 1500 | 24.7 | 247 |
| $\sum_{i=1}^{n}=100$ | $\sum_{i=1}^{n}f_i x_i=1253$ | $\sum f_i |x_i-$\bar{x}$|=1128.8$ |
माध्य $(\bar{x})=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}f_i x_i}{\sum_{i=1}^{n}f_i}$
MD$(\delta_{\bar{x}})=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}f_i
|x_i-\bar{x}|}{\sum_{i=1}^{n}f_i}$
$=\frac{1128.8}{100}$
=11.288
Question 13
नीचे दिए गए 100 व्यक्तियों की आयु के बंटन की माध्यका आयु के सापेक्ष माध्य
विचलन की गणना कीजिए।
| आयु (Age) | 16-20 | 21-25 | 26-30 | 31-35 | 36-40 | 41-45 | 46-50 | 51-55 |
| संख्या (Number) | 5 | 6 | 12 | 14 | 26 | 12 | 16 | 9 |
Sol :
| आयु | fi | संचयी बारंबारता | xi | |xi-M| | fi|xi-M| |
|---|---|---|---|---|---|
| 15.5-20.5 | 5 | 5 | 18 | 20 | 100 |
| 20.5-25.5 | 6 | 11 | 23 | 15 | 90 |
| 25.5-30.5 | 12 | 23 | 28 | 10 | 120 |
| 30.5-35.5 | 14 | 37 | 33 | 5 | 70 |
| 35.5-40.5 | 26 | 63 | 38 | 0 | 0 |
| 40.5-45.5 | 12 | 75 | 43 | 5 | 60 |
| 45.5-50.5 | 16 | 91 | 48 | 10 | 160 |
| 50.5-55.5 | 9 | 100 | 53 | 15 | 135 |
| n=100 | $\sum f_i x_i |x_i-M|=735$ |
अच्च सीमा मे 0.5 जोड़ने पर $\frac{n}{2}=\frac{100}{2}$
=50 से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता वाला वर्ग माध्यिका वर्ग है।
माध्यिका वर्ग = 35.5-40.5
l=35.5, cf=37
f=26 , h=5
$m=l+\dfrac{\left(\frac{n}{2}-cf\right)}{f}\times h$
$=35.5+\frac{(50-37)}{26} \times 5$
$=35.5+\frac{13}{26} \times 5$
=35.5+2.5=38
MD $(\delta_{m})=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}f_i|x_i-m|}{\sum_{i=1}^{n}f_i}$
$=\frac{735}{100}$
=7.35
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