KC Sinha Solution Class 11 Chapter 28 विक्षेपण की माप (Measures of Dispersion) Exercise 28.1

Exercise 28.1

Question 1

निम्नलिखित आंकड़ो के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए :

(i) 30,40,70,60,20,10,50

Sol :

10,20,30,40,50,60,70

माध्य $(\overline{{x}})=\frac{10+20+30+40+50+60+70}{7}$ $=\frac{280}{7}$

माध्य विचलन$\left(\overline{x}\right)=\frac{|10-40|+|20-40|+|30-40|+|40-40|+|50-

40|+|60-40|+|70-40|}{7}$

$=\frac{30+20+10+0+10+20+30}{7}=\frac{120}{7}$

=17.1

(ii) 4,7,8,9,10,12,13,17

Sol :

माध्य $(\overline{{x}})=\frac{4+7+8+9+10+12+13+17}{8}$

$=\frac{80}{8}=10$

माध्य विचलन $\left(\overline{x}\right)=\frac{|4-10|+|7-10|+|8-10|+|9-10|+|10-10|+|12-10|+|13-10|+|17-10|}{8}$

$=\frac{6+3+2+1+0+2+3+7}{8}$

Question 2

निम्नलिखित आँकडों के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए :
[Find the mean deviation from the median for the following data :]

(i) 22, 24, 30, 27, 29, 31, 25, 41, 42

Sol :

22, 24, 25, 27 , 29 , 30 , 31 , 41 , 42

माध्यिका (M)=29

माध्य विचलन (δM)

$=\frac{|22-29|+|24-29|+|25-29|+|27-29|+|29-29|+|30-29|+|31-29|+|41-29|+|42-29|}{9}$

$=\frac{7+5+4+2+0+1+2+12+13}{9}=\frac{46}{9}$

=5.1

(ii) 13, 17, 16, 14 , 11, 13 ,10 ,16 ,11 ,18 ,12 ,17
Sol :

10,11,11,12,13,13,14,16,16,17,17,18

माध्यिका

$=\frac{13+14}{2}=\frac{27}{2}$

M=13.5

माध्य विचलन (δ_M)

$=\frac{|10-12.5|+|11-13.5|+|11-13.5|+|12-13.5|+|13-13.5|+|13-13.5|+|14-13.5|+|16-13.5|+|16-13.5|+|17-13.5|+|17-13.5|+|18-13.5|}{12}$

$=\frac{3.5+2.5+2.5+1.5+0.5+0.5+0.5+2.5+2.5+3.5+3.5+4.5}{12}$

$=\frac{28}{12}$

=2.33

Question 3

6,8,5,7, x तथा 4 का माध्य 7 है इन अवलोकनों का माध्यिका के परित: माध्य विचलन निकालें।

Sol :

6,8,5,7, x तथा 4 का माध्य = 7

$\frac{6+8+5+7+x+4}{6}=7$

30+x=42

x=12

वंटन : 6 , 8 , 5 , 7 ,12 ,4

⇒4,5,6,7,8,12

माध्यिका

$=\frac{6+7}{2}=\frac{13}{2}$

=6.5

माध्य विचलन (δ_M)

$=\frac{|4-6.5|+|5-6.5|+|6-6.5|+|7-6.5|+|8-6.5|+|12-6.5|}{6}$

$=\frac{2.5+1.5+0.5+0.5+1.5+5.5}{6}=\frac{12}{6}$

Question 4

किसी दुकान में 10 दंडों की लंबाई सेमी में नीचे दिए गए है :

420, 52.3 ,55.2, 729, 528 , 790 , 32.5 , 15.2 , 279 , 30.2

(i) माध्यका से माध्य विचलन निकालें

(ii) माध्य से माध्य विचलन निकालें

Sol :

10 दंड़ो की लंम्बाई : 15.2, 27.9 , 20.2, 32.5, 42, 52.3, 52.8, 55.2, 72.9, 79

माध्य

$(\overline{x})=\frac{15.2+27.9+30.2+32.5+42+52.3+52.8+55.2+72.9+79}{10}$

$=\frac{460}{10}=46$

माध्यिका

$=\frac{42+52.3}{2}=\frac{94.3}{2}$

=47.15

(i) माध्य विचलन (δ_M)

$=\frac{|15.2-47.15|+|27.9-47.15|+|30.2-47.15|+|32.5-74.15|+|42-47.15|+|52.3-47.15|+|52.8-47.15|+|55.2-47.15|+|55.2-47.15|+|72.9-47.15|+|79-49.15|}{10}$

$=\frac{31.95+19.25+16.95+14.65+5.15+5.15+5.65+8.05+25.75+31.85}{10}$

$=\frac{164.4}{10}$

=16.44

माध्यिका (M)

$=\frac{42+52.3}{2}=\frac{94.3}{2}$

=47.15

माध्य विचलन (δ_M)

$=\frac{|15.2-46|+|27.9-46|+|30.2-46|+|32.5-46|+|42-46|+|52.3-46|+|52.8-46|+|55.2-46|+|72.9-46|+|79-46|}{10}$

$=\frac{30.8+18.1+15.8+13.5+4+6.3+6.8+9.2+26.9+33}{10}$

$=\frac{164.4}{10}$

=16.44

Question 5

निम्नलिखित प्रन्नों में दिए गए आँकड़ो का माध्य से माध्य विचलन निकाले

[Find the mean deviation from the mean for the data in the following questions :

(i)

x_i	5	7	9	10	12	15
f_i	8	6	2	2	2	6

Sol :

$MD~\left(\delta_{\overline{x}}\right)=\frac{\sum_{i=1}^{n} f_{i}\left|x_{i}-\bar{x}\right|}{\sum_{i=1}^{n} f_i}$

x_i	f_i	f_ix_i	\|x_i- $\bar{x}$ \|	f_ix_i $\bar{x}$
5	8	40	4	32
7	6	42	2	12
9	2	181	0	0
10	2	20	1	2
12	2	24	3	6
15	6	90	6	36
	$\sum_{i=1}^{n}f_i=26$	$\sum_{i=1}^{n}f_i x_i=234$		$\sum_{i=1}^{n}\|x_i -\bar{x}\|=88$

माध्य

$(\bar{x})=\frac{\sum_{i=1}^{n}f_i x_i}{\sum_{i=1}^{n}f_i}$

$=\frac{234}{26}$

(ii)

x_i	2	5	6	8	10	12
f_i	2	8	10	7	8	5

Sol :

x_i	f_i	f_ix_i	\|x_i- $\bar{x}$ \|	f_ix_i $\bar{x}$
2	2	4	5.5	11
5	8	40	2.5	20
6	10	60	1.5	15
8	7	56	0.5	3.5
10	8	80	2.5	20
12	5	60	4.5	22.5
	$\sum_{i=1}^{n}f_i=40$	$\sum_{i=1}^{n}f_i x_i=300$		$\sum_{i=1}^{n}\|x_i -\bar{x}\|=92$

माध्य

$\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$

$=\frac{300}{40}=7.5$

M.D

$\delta _{\bar{x}}=\frac{\sum f_i |x_i-\bar{x}|}{\sum f_i}$

$=\frac{92}{40}=2.3$

Question 6

निम्निखित अवलोकनों के समूह का माध्यिका से माध्य विचलन निकालें

[Find the mean deviation from median for the following set of observations]

(i)

x_i	15	21	27	30	35
f_i	3	5	6	7	8

Sol :

x_i	f_i	cf	\|x_i-M\|	f_i\|x_i-M\|
15	3	3	15	45
21	5	8	9	45
27	6	14	3	8
30	7	21	0	0
35	8	29	5	40
	n=29			$\sum f_i x_i \|x_i-M\|=148$

माध्यिका (M)

$=\frac{n+1}{2}$ वाँ पद

$=\frac{29+1}{2}$ वाँ पद

$=\frac{30}{2}$ वाँ पद

=15 वाँ पद

M=30

$\delta _{m}=\frac{\sum f_i |x_i-m|}{\sum f_i}$

$=\frac{148}{29}$

=5.1

(ii)

x_i	5	7	9	11	13	15	17
f_i	2	4	6	8	10	12	8

Sol :

x_i	f_i	cf	\|x_i-M\|	f_i\|x_i-M\|
5	2	2	8	16
7	4	6	6	24
9	6	12	4	24
11	8	20	2	16
13	10	30	0	0
15	12	42	2	24
17	8	50	4	32
	n=50			$\sum f_i x_i \|x_i-M\|=136$

माध्यिका

$=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{n}{2}\right)\text{वाँ पद}+\left(\frac{n}{2}+1\right)\text{वाँ पद}\right]$

$=\frac{1}{2}\left[\frac{50}{2}\text{वाँ पद}+\left(\frac{50}{2}+1\right)\text{वाँ पद}\right]$

$=\frac{1}{2}[13+13]$

$=\frac{1}{2}\times 26$

m=13

$\delta_{m}=\frac{\sum f_i |x_i-m|}{\sum f_i}$

$=\frac{136}{50}$

=2.72

Question 7

निम्नलिखित बारंबारता वितरण के लिए माध्यका से माध्य विचलन निकालें

आयु (Age)	15	13	17	16	18	20
विद्यार्थियो की संख्या(No. of students)	4	5	4	2	6	3

Sol :

(आयु) x_i	(विद्यार्थियो की संख्या) f_i	cf	\|x_i-M\|	f_i\|x_i-M\|
13	5	5	4	20
15	4	9	2	8
16	2	11	1	2
17	4	15	0	0
18	6	21	1	6
20	3	24	3	9
	n=24			$\sum f_i x_i \|x_i-M\|=45$

माध्यिका

$=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{n}{2}\right)\text{वाँ पद}+\left(\frac{n}{2}+1\right)\text{वाँ पद}\right]$

$=\frac{1}{2}\left[\frac{24}{2}+\left(\frac{24}{2}+1\right)\right]$

$=\frac{1}{2}[17+17]$

$=\frac{1}{2}$

$\delta_{m}=\frac{\sum f_i |x_i-m|}{\sum f_i}$

$=\frac{45}{24}$

=1.8

Question 8

निम्नलिखित्वि माध्यिका से माध्य विचलन की गणना करें

[Compute the mean deviation from the median of the following distribution]

वर्ग (Class)	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60
बारंबारता (Frequency)	6	7	15	16	4	2

Sol :

वर्ग	(बारंबारता) f_i	संचची बारंबारता	x_i	\|x_i-M\|	f_i\|x_i-M\|
0-10	6	6	5	23	138
10-20	7	13	15	13	91
20-30	15	28	25	3	45
30-40	16	44	35	7	112
40-50	4	48	45	17	68
50-60	2	50	55	27	54
		n=50			$\sum f_i x_i \|x_i-M\|=50$

$\frac{n}{2}=\frac{50}{2}$

=25 से ठीक बड़ी संचची बारंबरता वाले को माधियका वर्ग करलाता है।

माध्यिका वर्ग=20-30

l=20 , cf=13 ,

f=15 , h=10

माध्यिका (M)

$=l+\left(\dfrac{\frac{n}{2}-c}{f}\right)\times h$

$=20+\left(\frac{25-13}{15}\right) \times 10$

$=20+\frac{12}{15}\times 10$

M=28

$(\delta_{m})=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}f_i |x_i-m| }{\sum_{i=1}^{n}f_i}$

$=\frac{508}{50}$

=10.16

Question 9

निम्नलिखित वितरण के लिए माध्य से माध्य विचलन तथा माध्य विचलन गुणांक निकालें।

वर्ग (Class)	1-5	6-10	11-15	16-20	21-25
बारंबारता (Frequency)	8	5	20	7	10

Sol :

वर्ग	(बारंबारता) f_i	x_i	f_i x_i	\|x_i-M\|	f_i\|x_i-M\|
1-5	8	3	24	10.6	84.8
6-10	5	8	40	5.6	28
11-15	20	13	260	0.6	12
16-20	7	18	126	4.4	30.8
21-25	10	23	230	9.4	94
	$\sum_{i=1}^{n}=50$		$\sum_{i=1}^{n}f_i x_i=680$		$\sum f_i x_i \|x_i-M\|=249.6$

माध्य

$(\bar{x})=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}f_i x_i}{\sum_{i=1}^{n}f_i}$

$=\frac{680}{50}=13.6$

$(\delta _{\bar{x}})=\frac{\sum_{i=1}^{n}f_i |x_i-{\bar{x}}|}{\sum_{i=1}^{n}f_i}$

$=\frac{249.6}{50}$

=4.992

MD गुणांक

$=\frac{\delta_{\bar{x}}}{\bar{x}}=\frac{4.992}{13.6}$

Question 10

निम्निखित अवलोंकनों के लिए माध्य से माध्य विचलन निकालें

[Find the mean deviation from the mean for the following observations]:

वर्ग (Class)	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80
बारंबारता (Frequency)	2	3	8	14	8	3	2

Sol :

वर्ग	(बारंबारता) f_i	x_i	f_i x_i	\|x_i- $\bar{x}$ \|	f_i\|x_i- $\bar{x}$ \|
10-20	2	15	30	30	60
20-30	3	25	75	20	60
30-40	8	35	280	10	80
40-50	14	45	630	0	0
50-60	8	55	440	10	80
60-70	3	65	195	20	60
70-80	2	75	150	30	60
	$\sum_{i=1}^{n}=40$		$\sum_{i=1}^{n}f_i x_i=1800$		$\sum f_i x_i \|x_i-M\|=400$

माध्य

$(\bar{x})=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}f_i x_i}{\sum_{i=1}^{n}f_i}$

$=\frac{1800}{40}=45$

$(\delta _{\bar{x}})=\frac{\sum_{i=1}^{n}f_i |x_i-{\bar{x}}|}{\sum_{i=1}^{n}f_i}$

$=\frac{400}{40}$

=10

Question 11

निम्नलिखित वितरण के माध्यिका से माध्य विचलन निकाले।

[Find the mean deviation from the median of the following distribution]

वर्ग (Class)	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70
बारंबारता (Frequency)	3	8	12	9	8

Sol :

वर्ग	(बारंबारता) f_i	संचची बारंबारता	x_i	\|x_i-M\|	f_i\|x_i-M\|
20-30	3	3	25	22.5	67.5
30-40	8	11	35	12.5	100
40-50	12	23	45	2.5	30
50-60	9	32	55	7.5	67.5
60-70	8	40	65	17.5	140
	n=40				$\sum f_i \|x_i-M\|=405$

$\frac{n}{2}=\frac{40}{2}$ =20 से ठीक बड़ी संचची बारंबारता वाला वर्ग माध्यिका वर्ग होगा।

माध्यिका वर्ग=40-50

l=40 , cf=11 ,

f=12 , h=10

माध्यिका(M)

$=l+\frac{\left(\frac{n}{2}-cf\right)}{f} \times f$

$=40+\frac{(20-11)}{12} \times 10$

$=40+\frac{9}{12}\times 10$

$=40+\frac{15}{2}$

=40+7.5=47.5

$(\delta_{m})=\frac{\sum_{i=1}^{n}f_i |x_i -m|}{\sum_{i=1}^{n}f_i}$

$=\frac{405}{40}$

=10.125

(ii) निमलिखित वितरण कें माध्यका से माध्य विचलन निकालें

[Find the mean deviation from the median of the following distribution]:

वर्ग (Class)	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60
बारंबारता (Frequency)	6	7	15	16	4	2

Sol :

प्राप्तांक	विद्यार्थियो की संख्या (बारंबारता) f_i	संचची बारंबारता	x_i	\|x_i-M\|	f_i\|x_i-M\|
0-10	6	6	5	22.86	137.16
10-20	8	14	15	12.86	102.88
20-30	14	28	25	2.86	40.04
30-40	16	44	35	7.14	114.24
40-50	4	48	45	17.14	68.56
50-60	2	50	55	27.14	54.28
	n=50				$\sum f_i x_i \|x_i-M\|=517.16$

$\frac{n}{2}=\frac{50}{2}$

=25 से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता वाला वर्ग माधियका वर्ग है।

माध्यिका वर्ग=20-30

l=20, cf=14

f=14 , h=10

माध्यिका (m)

$=l+\dfrac{\left(\frac{n}{2}-cf\right)}{f}\times h$

$=20+\frac{25-14}{14} \times 10$

$=20+\frac{11}{14} \times 10$

=20+7.86

$(\delta_{m})=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}f_i|x_i-m|}{\sum_{i=1}^{n}}$

$=\frac{517.16}{50}$

=10.3432

Question 12

100 विद्यार्थियों के ऊँचाई का वितरण निम्नलिखित हैं

[The height distribution of 100 children is as follows]:

ऊचाई (Height)	95-105	105-110	115-125	125-135	135-145	145-155
विद्यार्थियो की संख्या (Frequency)	9	13	26	30	12	10

माध्य ऊँचाई से माध्य विचलन निकालें

[Calculate the mean deviation from the mean height.]

Sol :

ऊँचाई	f_i	x_i	f_i x_i	\|x_i- $\bar{x}$ \|	f_i\|x_i- $\bar{x}$ \|
95-105	9	100	900	25.3	227.7
105-115	13	110	1430	15.3	198.9
115-125	26	120	3120	5.3	137.8
125-135	30	130	3900	4.7	141
135-145	12	140	1680	14.7	176.4
145-155	10	150	1500	24.7	247
	$\sum_{i=1}^{n}=100$		$\sum_{i=1}^{n}f_i x_i=1253$	$\sum f_i \|x_i-$ \bar{x} $\|=1128.8$

माध्य

$(\bar{x})=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}f_i x_i}{\sum_{i=1}^{n}f_i}$

$(\delta_{\bar{x}})=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}f_i |x_i-\bar{x}|}{\sum_{i=1}^{n}f_i}$

$=\frac{1128.8}{100}$

=11.288

Question 13

नीचे दिए गए 100 व्यक्तियों की आयु के बंटन की माध्यका आयु के सापेक्ष माध्य विचलन की गणना कीजिए।

आयु (Age)	16-20	21-25	26-30	31-35	36-40	41-45	46-50	51-55
संख्या (Number)	5	6	12	14	26	12	16	9

Sol :

आयु	f_i	संचयी बारंबारता	x_i	\|x_i-M\|	f_i\|x_i-M\|
15.5-20.5	5	5	18	20	100
20.5-25.5	6	11	23	15	90
25.5-30.5	12	23	28	10	120
30.5-35.5	14	37	33	5	70
35.5-40.5	26	63	38	0	0
40.5-45.5	12	75	43	5	60
45.5-50.5	16	91	48	10	160
50.5-55.5	9	100	53	15	135
	n=100				$\sum f_i x_i \|x_i-M\|=735$

अच्च सीमा मे 0.5 जोड़ने पर

$\frac{n}{2}=\frac{100}{2}$

=50 से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता वाला वर्ग माध्यिका वर्ग है।

माध्यिका वर्ग = 35.5-40.5

l=35.5, cf=37

f=26 , h=5

$m=l+\dfrac{\left(\frac{n}{2}-cf\right)}{f}\times h$

$=35.5+\frac{(50-37)}{26} \times 5$

$=35.5+\frac{13}{26} \times 5$

=35.5+2.5=38

$(\delta_{m})=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}f_i|x_i-m|}{\sum_{i=1}^{n}f_i}$

$=\frac{735}{100}$

=7.35