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KC Sinha Solution Class 11 Chapter 28 विक्षेपण की माप (Measures of Dispersion) Exercise 28.2

 Exercise 28.2

Question 1

निम्नलिखित के माध्य तथा प्रसरण निकालें
[Find the mean and variance of the following]
(i) 6 ,7 ,10 ,12 ,13 ,4 ,8 ,12
(ii) 65, 58 ,68 ,44 ,48 ,45 ,60 ,62 ,60 ,50
Sol :
(i) 6 ,7 ,10 ,12 ,13 ,4 ,8 ,12
माध्य (\bar{x})=\frac{6+7+10+12+13+4+8+12}{8}=\frac{72}{8}
=9

माध्य=9

प्रसरण=\frac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n}
=\frac{(6-9)^2+(7-9)^2+(10-9)^2+(12-9)^2+(13-9)^2+(4-9)^2+(8-9)^2+(12-9)^2}{8}
=\frac{(-3)^{2}+(-2)^{2}+1^{2}+3^{2}+4^{2}+(-5)^{2}+(-1)^{2}+3^{2}}{8}
=\frac{9+4+1+9+16+25+1+9}{8}
=\frac{74}{8}-=\frac{37}{4}
=9.25

(ii) 65, 58 ,68 ,44 ,48 ,45 ,60 ,62 ,60 ,50
माध्य (\bar{x})=\frac{65+58+67+44+48+45+60+62+60+50}{10}
=\frac{560}{10}=56

प्रसरण =\frac{\sum\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{n}
=\frac{(65-56)^{2}+(58-56)^{2}+(68-56)^{2}+(44-56)^{2}+(48-56)^{2}++(45-56)^{2}+(60-56)^{2}+(62-56)^{2}+(60-54)^{2}+(50-56)^{2}}{10}

=\frac{9^{2}+2^{2}+12^{2}+(-12)^{2}+(-8)^{2}+(-11)^{2}+4^{2}+6^{2}+4^{2}+(-6)^{2}}{10}

=\frac{81+4+144+144+64+121+16+36+16+36}{10}


=\frac{662}{10}
=66.2

Question 2

10 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त निम्नलिखित अंकों का माध्य तथा मानक विचलन निकालें :
[Find the mean, variance and standard deviation of the following marks scored by 10 students]
45 , 70,  62 , 60 , 50 , 48 , 67 , 34 , 65 , 58
Sol :
माध्य (\bar{x})=\frac{45+70+62+60+50+48+67+34+65+58}{10}
=\frac{559}{10}=55.9

प्रसरज \sigma^{2}=\frac{\sum\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{n}
=\frac{(45-55.9)^{2}+(70-55.9)^{2}+(62-55.9)^{2}+(60-55.9)^{2}+(50-55.9)^{2}+(48-55.9)^{2}+(67-55.9)^{2}+(34-55.9)^{2}+(65-55.9)^{2}+(58-55.9)^{2}}{10}

=\frac{(-10 \cdot 9)^{2}+(14.1)^{2}+(6.1)^{2}+(4.1)^{2}+(-5.9)^{2}+(-7.9)^{2}+(11.1)^{2}+(-21.9)^{2}+(9.1)^{2}+(2.1)^{2}}{10}

=\frac{118.81+198.81+37.21+16.81+34.81+62.41+123.21+479.61+82.81+4.41}{10}
=\frac{1158.9}{10}
=115.89

मानक विचलन , 𝝈=√प्रसरण
=√115.89
=10.7652
=10.77

Question 3

आठ प्रेक्षणो का माध्य तथा प्रसरण क्रमश: 9 और 9.25 हैं। यदि इनमें से छ: प्रेक्षण 6,7,10,12 और 13 है, तो शेष दो प्रेक्षण ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना शेष दो प्रेक्षण x तथा y है।
माध्य, \bar{x}=9
\frac{6+7+10+12+12+13+x+y}{8}=9
60+x+y=72
x+y=12...(i)

∵प्रसरण = 9.25
\frac{\sum\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{n}=9.95

=\frac{(6-9)^{2}+(7-9)^{2}+(10-9)^{2}+(12-9)^{2}+(12-9)^{2}+(13-9)^{2}+(x-9)^{2}+(y-9)^{2}}{8}


=\frac{(-3)^{2}+(-2)^{2}+1^{2}+3^{2}+3^{2}+4^{2}+(x-9)^{2}+(12-x-9)^{2}}{8}=9.25


9+4+1+9+9+16+x^{2}-2.x.9+9^{2}+3^{2}-2.3.x+x^2=74

139+2 x^{2}-24 x-74=0
2 x^{2}-24 x+64=0
2\left(x^{2}-12 x+32\right)=0
x^{2}-12 x+32=0
x^{2}-8 x-4 x+32=0

x(x-8)-4(x-8)=0
(x-8)(x-4)=0

\begin{array}{l|l}x-8=0 & x-4=0\\x=8 & x=4 \end{array}


Case-I : x=8 , y=12-8=4

Case-II : x=4 , y=12-4=8

Question 5

x के संभव मानों को निकालें यदि संख्याएँ 2,3,2x तथा 11 का मानक विचलन 3.5 है।
Sol :
मानक निचलन=3.5

माध्य \bar{x}=\frac{2+3+2 x+11}{4}=\frac{2 x+16}{4}

=\frac{x(x+8)}{4}=\frac{x+8}{2}


मानक विचलन , 𝝈=3.5
प्रसरण , \sigma^{2}=12.25
\frac{\sum\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{n}=12.25
\frac{1}{4}\left[\left(2-\frac{x+8}{2}\right)^{2}+\left(3-\frac{x+8}{2}\right)^{2}+\left(2 x-\frac{x+8}{2}\right)^{2}+\left(11-\frac{x+8}{2}\right)\right]=12.25

\left(\frac{4-x-8}{2}\right)^{2}+\left(\frac{6-x-8}{2}\right)^{2}+\left(\frac{4 x-x-8}{2}\right)^{2}+\left(\frac{22-x-8}{2}\right)^{2}=49

\left(\frac{-x-4}{2}\right)^{2}+\left(\frac{-x-2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{3 x-8}{2}\right)^{2}+\left(\frac{14-x}{2}\right)^{2}=49

\frac{x^{2}+8 x+16}{4}+\frac{x^{2}+4 x+4}{4}+\frac{9 x^{2}-48 x+64}{4}+\frac{196-28x+x^{2}}{4}=49

\frac{x^{2}+8 x+16+x^{2}+4 x+4+9 x^{2}-48 x+64+156-28 x+x^{2}}{4}=49

\frac{12 x^{2}-64 x+280}{4}=49

4 \left(\frac{3 x^{2}-16 x+70}{4}\right)=49
3 x^{2}-16 x+70-49=0
3 x^{2}-16 x+21=0
3 x^{2}-7 x-9x+21=0
x(3x-7)-3(3x-7)=0
(3x-7)(x-3)=0

\begin{array}{l|l}3x-7=0 & x-3=0 \\ 3x=7 & x=3 \\ x=\frac{7}{3} & \end{array}

Question 6

20 प्रेक्षणो का प्रसरण 5 है। यदि प्रत्येक प्रेक्षण को 2 से गुणा किया गया हो तो प्राप्त प्रेसणों का प्रक्षरण ज्ञात कीजिए ।
Sol :
माना x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots~x_{20} प्रेक्षण है, जिनका प्राध्य \bar{x} है।

\frac{\sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{20}=5
\sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=100

∵प्रत्येक प्रेक्षण मे 2 से गुणा करना है।
∴माध्य भी 2 गुणा हो जाएगा ।

नया प्रसरण =\frac{\sum_{i=1}^{20}\left(2 x_{i}-2 \bar{x}\right)^{2}}{20}

=\frac{\sum_{i=1}^{20} 4\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{20}

=\frac{4 \sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{20}

=\frac{4 \times 100}{20}
=20

Question 7

छ: प्रेक्षणों का माध्य तथा मानक विचलन क्रमश: 8 तथा 4 हैं। यदि प्रत्येक प्रेक्षण को तीन से गुणा कर दिया जाए तो परिणामी प्रेक्षणों का माध्य व मानक विचलन ज्ञात कीजिए ।
Sol :
माना x_{1}, x_{2}, x_{3},\ldots, x_{6} प्रक्षेण है, जिसका माध्य \bar{x}=8 है।

मानक निचलन , 𝜎 =4
\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{6}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{6}}=4

दोनो तरफ वर्ग करने पर
\frac{\sum_{i=1}^{6}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{6}=16

\sum_{i=1}^{6}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=96

प्रत्येक प्रेक्षण 3 से गुणा करना है।
∴माध्य तीन गुणा बढ जाएगा।
माध्य = 8×3 =24

नया मानक विचलन  , 𝛔=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{6}\left(3 x_{i}-3 \bar{x}\right)^{2}}{6}}

=\sqrt{\frac{9 \sum_{i=1}^{6}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{6}}

=\sqrt{9 \times \frac{96}{6}}

=3×4=12 

Question 8

100 पदों का माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः 50 तथा 4 है। सभी पदों का योग तथा उनके वगौ का योग निकालें ।
Sol :
माना x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{100} कुल 100 पद है।

माध्य \bar{x}=50, मानक विचलन, 𝝈=4

\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ldots+x_{100}}{100}=50

x_{1}+x_{2}+x_{3}+-x+x_{100}=5000

मानक विचलन , 𝝈 = 4

\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{100}\left(x_{i}-50\right)^{2}}{100}}=4

दोनो तरफ वर्ग करने पर
\frac{\sum_{i=1}^{100}\left(x_{i}-50\right)^{2}}{100}=16
\left(x_{1}-50\right)^{2}+\left(x_{2}-50\right)^{2}+\left(x_{3}-50\right)^{2}+\ldots+\left(x_{10}-50\right)^{2}=1600
x_{1}^{2}-2 \cdot x_{1} \cdot 50+50^{2}+{x_{2}}^{2}-2 \cdot x_{2} \cdot 50+50^{2}+{x_{2}}^{2}-2 x_{3} \cdot 50+{50}^{2}+\dots +{x_{100}}^2-2.x_{100}.50+50^2=1600

x_{1}{ }^{2}+x_{2}{ }^{2}+{x_{3}}^{2}+\cdots-{x_{100}}^{2} -100\left(x_{1}+x_{2}+x_{1}+\ldots+x_{100}\right) +100 \times 50^{2}=1600

{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2}+\dots +x_{100}^2-100\times 5000+100\times 2500=1600

{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2}+\dots {x_{100}}^{2}-250000=1600

{x_{1}}^{2}+x_{2}{ }^{2}+x_{3}{ }^{2}+\dots +{x_{100}}^{2}=251600

Question 9

10 प्रेक्षणों का माध्य तथा प्रसरण निकालते समय एक विद्यार्थी ने 25 की जगह गलती से 52 का प्रयोंग कर दिया। उसके द्वारा प्राप्त माध्य तथा प्रसरण का मान क्रमश: 45 तथा 16 था। सही माध्य तथा प्रसरण निकालें।
Sol :
सही माध्य =\frac{45 \times 10-52+25}{10}=\frac{450-27}{10}
=\frac{423}{10}
=42.3

गलत प्रसरण =16
\frac{{\sum x_{i}}^{2}}{10}-45^{2}=16
\frac{{\sum x_{i}}^{2}}{10}=2041
\sum x_{i}{ }^{2}=20410

सभी प्रेसरणो के वर्ग का योग 
=20410-52^{2}+25^{2}
=20410-2704+625
=18331

सही प्रसरण 
=\frac{\sum x_{i}{ }^{2}}{n}-\bar{x}^{2}
=\frac{18331}{10}-(42.3)^{2}
=1833.1-1789.29
=43.81

Question 10

200 पदो का समांतर माध्य एवं विचलन क्रमशः 60 तथा 20 पाया जाता है । यदि गणना के समय दो पद गलती से 18 और 17 की जगह क्रमशः 3 तथा 67 ले लिए गए तो सही माध्य तथा मानक विचलन निकाले।
Sol :
सही माध्य =\frac{200 \times 60-3-67+18+17}{200}
=\frac{12000-70+35}{200}=\frac{11965}{200}
=59.825
=59.8

गलत मानक विचलन = 20
गलत प्रसरण = 400

\frac{\sum x_{i}{ }^{2}}{200}-60^{2}=400

\frac{{\sum x_{i}}^{2}}{200}-3600=400

\sum x_{i}{ }^{2}=4000 \times 200

\sum {x_{i}}^{2}=800000 (गलत)


सही \sum {x_{i}}^{2}=800000-3^{2}-67^{2}+17^{2}+18^{2}
=800000-9-4489+289+324
=800000-4498+613
=796115

सही मानक विचलन
=\sqrt{\frac{\sum {x_{i}}^{2}}{n}-\bar{x}^{2}}
=\sqrt{\frac{796115}{200}-(59.8)^{2}}
=√3980.575-3576.04
=√404.535
=20.11

Question 11

यदि किसी बंटन के लिए \Sigma(x-5)=3, \Sigma(x-5)^{2}=43 तथा कुल पदों की संख्या N=18, तो माध्य तथा मानक विचलन निकालें।
Sol :
\sum_{i=1}^{18}\left(x_{i}-5\right)=3

\sum_{i=1}^{18} x_{i}-\sum_{i=1}^{18} 5=3

\sum_{z=1}^{18} x_{i}-18 \times 5=3

\sum_{i=1}^{18} x_{i}=93

माध्य=\frac{93}{18}
=5.16....
=5.17

\sum_{i=1}^{18}\left(x_{i}-5\right)^{2}=43

\sum_{i=1}^{18}\left({x_{1}}^{2}-2 \cdot x_{i} 5+5^{2}\right)=43

\sum_{i=1}^{18} {x_{i}}^{2}-10 \sum_{i=1}^{18} x_{i}+\sum_{i=1}^{18} 25=43

\sum_{i=1}^{18} {x_{i}}^{2}-10 \times 93+25 \times 18=43

\sum_{i=1}^{18} {x_{i}}^{2}-930+450=43

\sum_{i=1}^{18} x_{i}{ }^{2}-480=43

\sum_{i=1}^{18} x_{i}^{2}=523

मानक विचलन 
=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{18} {x_{i}}^{2}}{18}-\bar{x}^{2}}
=\sqrt{\frac{523}{18}-(5.17)^{2}}
=√29.06-26.72
=√2.34
=1.52

Question 12

माना लीजिए कि चर x और y के समांतर माध्य क्रमशः \bar{x} तथा \bar{y} है और 6x तथा 6y उनके मानक विचलन हैं। यदि चर x तथा y,  m y=n x+k , जहाँ m, n, k अचर हैं, से सम्बन्धित हो तो दिखाइए कि
(i) m \bar{y}=n \bar{x}+k
(ii) m^{2} \sigma_{y}^{2}=n^{2} \sigma_{x}^{2}
Sol :
(i)
LHS
m \bar{y}=m \cdot \frac{\sum y}{f} , जहाँ f कुल वारंवारता है

=\frac{m \cdot \sum \frac{n x+k}{m}}{f}  [my=nx+k ,y=\frac{nx+k}{m} ]

=\frac{m}{m} \frac{\sum n x+k}{f}

=\frac{\sum n x}{f}+\frac{\sum k}{f}

=n \frac{\sum x}{f}+\frac{\sum k}{f}

=n \bar{x}+\frac{k f}{f}

=n \bar{x}+k



(ii)
LHS
m^{2} \sigma_{y}^{2}=m^{2}\left[\sqrt{\frac{\sum(y-\bar{y})^{2}}{f}}\right]^{2} , जहाँ f कुल वारंवारता है।
=\frac{m^{2} \sum(y-\bar{y})^{2}}{f}=\frac{\sum(m y-m \bar{y})^{2}}{f}

=\frac{\sum\left[n x+k-(n \bar{x}+k)\right]^z}{f}

=\frac{\sum[mx+k-n \bar{x}-k]^{2}}{f}

=n^{2} \frac{\sum(x-\bar{x})^{2}}{f}

=n^{2} \cdot \sigma_{x}^{2}

Question 13

निम्नलिखित वितरण के लिए माध्य तथा मानक विचलन निकालें :
(Find the mean and standard deviation of the following distribution)
प्राप्तांक (Marks) 10 20 30 40 50 60 70
विद्यार्थियो की संख्या (No. of students) 1 5 12 22 17 9 4
Sol :
प्राप्तांक (xi) fi fi xi xi-\bar{x} (x_i-\bar{x})^2 f_i(x_i-\bar{x})^2
10 1 10 -33.14 1098.2596 1098.2596
20 5 100 -23.14 535.45% 2677.298
30 12 360 -13.14 172.6596 2071.9152
40 22 880 -3.14 9.8596 216.9112
50 17 850 6.86 47.0596 800.0132
60 9 540 16.86 284.2596 2558.3364
70 4 280 26.86 721.4596 2885.8384

\sum f_i=70 \sum f_i x_i=3020 \sum f_i (x)i-\bar{x})^2=12308.572

माध्य (\bar{x})=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}
=\frac{3020}{70}
\bar{x}=43.14

मानक विचलन  , 𝝈=\sqrt{\frac{\sum f_{1}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{\sum f_{1}}}
=\sqrt{\frac{12308.572}{70}}
=√175.83
=13.26

Question 14

निम्नलिखित आँकड़ों के लिए माध्य तथा मानक विचलन निकालें :
[Find the mean and standard deviation for the following data]
xi 92 93 97 98 102 104 109
fi 3 2 3 2 6 3 3
Sol :
xi fi fxi xi2 fxi2
92 3 276 8464 25392
93 2 186 8649 17298
97 3 291 9469 28227
98 2 196 9604 28227
102 6 612 10404 62424
104 3 312 10816 32448
109 3 327 11881 35643
\sum f_i=22 \sum f_i x_i=2200 \sum f_i {x_i}^2=220640

माध्य (\bar{x})=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}=\frac{2200}{22}
=100

मानक विचलन \sqrt{ \frac{\sum f_i x_{i}^{2}}{h}-\bar{x}^{2}}
=\sqrt{\frac{220640}{22}-(100)^{2}}
=√10029.09-10000
=√29.09=5.39

Question 15

(i) निम्नलिखित आँकड़ों के लिए प्रसरण तथा मानक विचलन निकालें 
[Find the variance and standard deviation for the following data]

xi 4 8 11 17 20 24 32
fi 3 5 9 5 4 3 1
Sol :
xi fi fxi (x_i-\bar{x}) \left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} f_i (x_i-\bar{x})^2
4 3 12 -10 100 300
8 5 40 -6 36 180
11 9 99 -3 9 81
17 5 85 3 9 45
20 4 80 6 36 144
24 3 72 10 100 300
32 1 32 18 324 324
\sum f_i=30 \sum f_i x_i=420
\sum f_i (x_i-\bar{x})^2=137
माध्य (\bar{x})=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}=\frac{420}{30}
=14

प्रसरण =\frac{\sum f_{i}\left(x_{i}-\bar{x}\right)}{\sum {f i}}
=\frac{1374}{30}
=45.8

मानक विचलन =√45.8=6.7675....
=6.77

Question 16

निम्नलिखित बारम्बारता सारणी किसी जन्मदिन की पार्टी में आमत्रित 50 बच्चो के एक समूह की आयु देती है। बंटन का माध्य तथा मानक विचलन निकालें

Age(in years)  5-7 7-9 9-11 11-13 13-15
Frequency 16 13 10 6 5
Sol :
Age (in years) fi xi fxi {x_i}^2 {f_i x_i}^2 
5-7 16 6 96 36 576
7-9 13 8 104 64 832
9-11 10 10 100 100 1000
11-13 6 12 72 144 864
13-15 5 14 70 196 980

\sum f_i =90 \sum f_i x_i=442 \sum {f_i x_i}^2=4252

माध्य (\bar{x})=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}=\frac{442}{50}
=8.84

मानक विचलन
=\sqrt{\frac{\sum f_{i} x_{i}{ }^{2}}{h}-(\bar{x})^{2}}
=\sqrt{\frac{4252}{50}-(8.84)^{2}}
=√85.04-78.1456
=√6.8944
=2.62


Question 18

(i) लघु विधि द्वारा माध्य, प्रसरण और मानक विचलन निकालें 
[Find the mean, variance and S.D. using short-cut-method]:
वर्ग अंतराल 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100
बारंबारता  3 4 7 7 15 9 6 6 3

Sol :
C.I fi xi di=xi-55 fidi {d_i}^2 f_i {d_i}^2
10-20 3 15 -40 -120 1600 4800
20-30 4 25 -30 -120 900 3600
30-40 7 35 -20 -140 400 2800
40-50 7 45 -10 -70 100 700
50-60 15 55=a 0 0 0 0
60-70 9 65 10 90 100 900
70-80 6 75 20 120 400 2400
80-90 6 85 30 180 900 5400
90-100 3 95 40 120 1600 4800
\sum f_i=60 \sum f_i d_i=60 \sum f_i {d_i}^2

माध्य (\bar{x})=a+\frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}
=55+\frac{60}{60}
=56

प्रसरण=\frac{\sum f_{i} {d_{i}}^{2}}{n}-\left(\frac{\sum f_{i} d_{i}}{n}\right)^{2}
=\frac{254000}{60}-\left(\frac{60}{60}\right)^{2}
=423.33-1
=422.33

मान्क विचलन=√422.33
=20.55

Question 19

(i) निम्नलिखित वितरण के लिए माध्य तथा प्रसरण ज्ञात कीजिए 
[Find the mean and variance of the following distribution]:

वर्ग 0-30 30-60 60-90 90-120 120-150 150-180 180-210
बारंबारता 2 3 5 10 3 5 2
Sol :
C.I fi xi d_i=x_i-105 fdi {d_i}^2 f_i{d_i }^2
0-30 2 15 -90 -180 8100 16200
30-60 3 45 -60 -180 3600 10800
60-90 5 75 -30 -150 900 4500
90-120 10 105=a 0 0 0 0
120-150 3 135 30 90 900 2700
150-180 5 165 60 300 3600 1800
180-210 2 195 90 180 8100 16200
\sum f_i=30 \sum f_i x_i=420
\sum f_i (x_i-\bar{x})^2=137
माध्य (\bar{x})=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}=105+\frac{60}{30}
=107

प्रसरण =\frac{\sum f_i {d_i}^2}{n}-\left(\frac{\sum f_i d_i}{n}\right)^2
=\frac{68400}{30}-\left(\frac{60}{80}\right)
=2280-4
=2276

Question 20

किसी कक्षा के वार्षिक परीक्षा मे 200 छात्रो के प्राप्तांको का विवरण निम्न सारणी मे दिया गया है । इन अंको का माध्य तथा मानक विचलन निकाले ।
प्राप्तांक 1-10 11-20 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-8081-9091-100
छोत्रो की संख्या  2 3 10 19 30 47 54 28 5 2
Sol :

Question 21

निम्नलिखित आँकडों का मानक विचलन निकालें 
[Find the S.D. of the following data]
(उम्र) से कम1-1011-2021-3031-4041-5051-6061-7071-8081-9091-100
छोत्रो की संख्या 2310193047542852
Sol :




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