KC Sinha Mathematics Solution Class 10 Chapter 10 निर्देशांक ज्यामिति (coordinate geometry) Exercise 10.1

 Exercise 10.1

TYPE 1: वृत्त के किसी बिन्दु पर खींची गई स्पर्श रेखा के उस बिन्दु से केन्द्र को मिलाने वाली रेखा (त्रिज्या) पर लम्ब होने पर आधारित प्रश्न :

लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Question)

Question 1

वृत्त के केन्द्र से 5 cm दूर स्थित बिन्दु A से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई 4 cm है । वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करें।

Sol :

माना O केन्द्र वाला एक वृत्त है।

जिसके बाहर A बिन्दु से AB

स्पर्श रेखा खीची गई है।

AO=5 cm, AB=4 cm, BO=?

∵AO वृत्त की त्रिज्या तथा AB स्पर्श रेखा है।

∴∠B=90°

अतः ABO एक समकोण त्रिभुज है।

AO²=AB²+OB² (पाइथागोरस प्रमेय से)

5²=4²+OB² 
OB²=25-16=9
OB=√9=3

अतः वृत्त की त्रिज्या =3 cm

Question 2

राजेश एक वृत्ताकार पुष्प क्यारी के केन्द्र से 29 m दूर है । स्पर्शीय पथ पर चलकर उसे पुष्प क्यारी तक पहुँचने में तय की गई दूरी ज्ञात करें यदि पुष्प क्यारी की त्रिज्या 20 m है।

Sol :

Question 3

एक 3 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केन्द्र से 5 cm दूरी पर स्थित एक बिन्दु से वृत्त की खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई ज्ञात कीजिए ।

Sol :

Question 4

वृत्त के केन्द्र से 13 cm दूर एक बिन्दु P है । P से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई 12 cm है । वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करें ।

Sol :

Question 5

यदि $d_{1}, d_{2},\left(d_{2}>d_{1}\right)$ दो संकेन्द्रीय वृतों के व्यास हों और एक वृत्त की जीवा जिसकी लम्बाई C हैं, दूसरे वृत्त पर स्पर्श रेखा हो, तो तो सिद्ध कीजिए कि $d_{2}^{2}=\mathrm{C}^{2}+d_{1}^{2}$

Sol :

माना $d_1,d_2$ व्यास वाले दो सकेंद्रीय वृत्त है।

जिसमें $d_2>d_1$ तथा AB एक वृत्त का स्पर्श रेखा और दुसरे वृत्त की जीवा है।

छोटे वृत्त की त्रिज्या $r_1=\frac{d_1}{2}$

बड़े वृत्त की त्रिज्या $r_2=\frac{d_2}{2}$

हम जानते है कि वृत्त की त्रिज्या स्पर्श रेखा को लम्बसमद्विभाजित करती है

∴∠OCB=∠OCA=90°

AC=BC$=\frac{AB}{2}=\frac{C}{2}$

अतः OCB एक समकोण त्रिभुज है।

∴OB²=OC²+BC² (पाइथागोरस प्रमेय से)

$\left(\frac{d_{2}}{2}\right)^{2}=\left(\frac{d_{1}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{c}{2}\right)^{2}$

$\frac{(d_{2})^{2}}{4}=\frac{(d_{1})^{2}}{4}+\frac{c^{2}}{4}$

$\frac{(d_2)^2}{4}=\frac{(d_1)^2+c^2}{4}$

$(d_2)^2=(d_1)^{2}+c^2$

TYPE-II : वृत्त के किसी बाह्य वृत्त से खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई पर आधारित प्रश्न :

Question 6

सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त की दो समान्तर स्पर्श रेखाओं के स्पर्श बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखाखण्ड, वृत्त का व्यास होता है ।

Sol :

O केन्द्र वाला एक वृत्त की दो स्पर्श रेखाए AB तथा CD वृत्त को E तथा F बिन्दु पर स्पर्श करती है और AB||CD है।

सिद्ध करना है: EF वृत्त का व्यास है। 

प्रमाण : वृत्त के केन्द्र से स्पर्श रेखाओं के स्पर्श बिन्दु पर खीची गई त्रिज्या लम्ब होती है।

OE⟂AB

OF⟂CD

∠BEO=90°, ∠DFO=90°

∠BEO=∠DFO=90°

∴EF एक ही रेखा है जो वृत्त के केन्द्र O से होकर जा रहा है।

अतः EF वृत्त का व्यास है।

Question 7

सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिन्दु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लम्ब वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है । 

Sol :

Question 8

दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 10 cm और 6 cm हैं । बड़े वृत्त की उस जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हैं ।

Sol :

Question 9

(i) ΔABC में एक अन्तः वृत्त खींचा गया है । त्रिभुज की भुजाएँ BC, CA और AB कमशः 16 cm, 20 cm और 24 cm हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है ।AD, BE और CF ज्ञात कीजिए।

Sol :

(ii) यदि AF=4 cm, BF=3 cm, AC=11cm, तो BC ज्ञात करें।

Sol :

Question 10

दिये गये चित्र में ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें ∠D=90° । एक वृत्त C(O, r) भुजाओं AB, BC, CD तथा DA को क्रमशः P,Q,R,S पर स्पर्श करती है। यदि BC=38 cm, CD=25 cm और BP=27 cm तो 'r' का मान ज्ञात कीजिए ।

Sol :

Question 11

दिये गये चित्र में O दो संकेन्द्रीय वृत्तों का केन्द्र है जिनकी त्रिज्याएँ 4 cm और 6 cm हैं। PA और PB क्रमशः बाह्य और अन्तः वृत्तों की स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि PA=10 cm तो PB की लम्बाई दशमलव के एक अंक तक ज्ञात करें।

Sol :

Question 12

दिखाइये कि वृत्त की किसी जीवा के अन्त (extreme) बिन्दुओं से खींची गई स्पर्श रेखाएँ, जीवा से समान कोण बनाती हैं।

Sol :

Question 13

दिये गये चित्र में एक वृत्त चतुर्भुज ABCD की चारों भुजाओं को स्पर्श करती है। यदि चतुर्भुज की तीन भुजाएँ AB=6 cm, BC=7 cm और CD=4 cm है, तो AD ज्ञात करें ।

Sol :

Question 14

(i) O केन्द्र वाले वृत्त के किसी बाह्य बिन्दु P से PA और PB दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई है। यदि CD, वृत्त के E बिन्दु पर स्पर्श रेखा हो, और PA=14 cm, तब ΔPCD का परिमाप ज्ञात करें ।

Sol :

(ii) यदि PA=11 cm, PD=7 cm, तो DE की लम्बाई ज्ञात करें।

Sol :

Question 15

सिद्ध करें कि दो संकेन्द्रीय वृत्तों में बाहा वृत्त की सभी जीवायें जो अन्त: वृत्त को स्पर्श करती हैं, समान लम्बाई की होती हैं ।

Sol :

AB और CD वृत्त की दो जीवायें है, जो अन्तः वृत को क्रमशः P और Q बिन्दुओं पर स्पर्श करती हैं।

रचना : OB तथा OD को मिलाया

उपपत्ति : चूँकि AB और CD छोटे वृत की स्पर्श रेखायें हैं (छोटे वृत्त की त्रिज्या)

∴OP=OQ=r (मान लें)

समकोण ΔOPB और ΔOQD में,

OB=OD [बड़े वृत्त की त्रिज्या]

OP=OQ [छोटे वृत्त की त्रिज्या]

∠OPB=∠OQD=90°

[RHS सर्वागसमता से]

∴ΔOPB≅ΔOQD

∴PB=QD

⇒2PB=2QD

⇒AB=CD