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KC Sinha Mathematics Solution Class 10 Chapter 8 त्रिकोणमितीय अनुपात एवम सर्वसमिकाए ( Trigonometry Ratios and Identities ) Exercise 8.1 (Q1-Q10)

 Exercise 8.1

TYPE-I : किसी समकोण त्रिभुज की भुजायें ज्ञात रहने पर उसके किसी न्यूनकोण के त्रिकोणमितीय अनुपातों को ज्ञात करने पर आधारित प्रश्न:

Question 1

दिए गये चित्र से निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:







(i) sin C
Sol :
sin C = लम्ब/कर्ण =\frac{AB}{AC}=\frac{3}{5}

(ii) sin A
Sol :
sin A=लम्ब/कर्ण =\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{4}{5}

(iii) cos C
Sol :
cos C= आधार/कर्ण
=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{5}

(iv) cos A
Sol :
cos A= आधार/कर्ण
=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{3}{5}

(v) tan C
Sol :
tan C=लम्ब/आधार
=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{4}

(vi) tan A
Sol :
tan A=लम्ब/आधार
=\frac{B C}{A C}=\frac{4}{3}

Question 2

दिए गये चित्र से निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :







(i) tan θ

Sol :

tan θ=लम्ब/आधार

 =\frac{A B}{B C}=\frac{4}{3}


(ii) cos C

Sol :

cos C=आधार/कर्ण

=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{5}


Question 3

दिए गये चित्र से निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :

(i) sin θ

Sol :

=\frac{B C}{A C}=\frac{5}{13}


(ii) tan θ

Sol :

=\frac{B C}{A B}=\frac{5}{12}


(iii) tan A-cot C

Sol :

=\frac{B C}{A B}-\frac{B C}{A B}

=\frac{5}{12}-\frac{5}{12}=\frac{5-5}{12}=\frac{0}{12}=0


Question 4

(i) ΔABC का ∠B समकोण है। AB=24 cm, BC=7 cm तो निम्न का मान ज्ञात करें ।

(a) sin A , cos A

Sol :







कोण A लेने पर,

AB=आधार

BC=लम्ब

AC=कर्ण

sin A=लम्ब/कर्ण=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}

cos A=आधार/कर्ण $=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}


AC=\sqrt{\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}}

AC=\sqrt{(24)^{2}+(7)^{2}}

AC=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}

AC=25

∴sin A=\frac{7}{25} ,cos A=\frac{24}{25}


(b) sin C , cos C

Sol :











कोण C लेने पर,
BC=आधार
AB=लम्ब
AC=कर्ण

sin C=लम्ब/कर्ण=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}

cos C=आधार/कर्ण=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}

AC=\sqrt{A B^{2}+B C^{2}}

AC=\sqrt{(24)^{2}+(7)^{2}}

AC=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}

AC=25


sin C=\frac{24}{25}

cos C=\frac{7}{25}


(ii) ΔABC में ∠C=90° , AB=29 इकाई , BC=21 इकाई और ∠ABC=θ तो निम्नलिखित के मान बताइये।

(a) cos3 θ-sin2 θ

Sol :











cos θ=आधार/कर्ण
sin θ=लम्ब/कर्ण

\left(\frac{B C}{A B}\right)^{2}+\left(\frac{A C}{A B}\right)^{2}

AC=\sqrt{A B^{2}-B C^{2}}
AC=\sqrt{(29)^{2}-(21)^{2}}
AC=\sqrt{841-441}=\sqrt{400}
AC=20

\frac{(21)^{2}}{(29)^{2}}+\frac{(20)^{2}}{(29)^{2}}

\frac{441}{841}+\frac{400}{841}=\frac{441+400}{841}=\frac{841}{841}

=1


(b) cos2 θ-sin2 θ

Sol :











cos θ=आधार/कर्ण
sin θ=लम्ब/कर्ण

\left(\frac{B C}{A B}\right)^{2}-\left(\frac{A C}{A B}\right)^{2}

AC=\sqrt{A B^{2}-B C^{2}}
AC=\sqrt{(29)^{2}-(21)^{2}}
AC=\sqrt{841-441}=\sqrt{400}
AC=20

=\frac{(21)^{2}}{(29)^{2}}-\frac{(20)^{2}}{(29)^{2}}

=\frac{441}{841}-\frac{400}{841}=\frac{441-400}{841}=\frac{41}{841}


(iii) ΔABC में ∠A=90°, तब sin B, cos C तथा tan B के मान निम्नलिखित में प्रत्येक में बताइए।

(a) AB=12 , AC=5, BC=13

Sol :










कोण B लेने पर,
AB=आधार
AC=लम्ब
BC=कर्ण

sin B=लम्ब/कर्ण=\frac{AC}{BC}=\frac{13}{5}
tan B=लम्ब/आधार=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{5}{12}

कोण C लेने पर,
AB=लम्ब
AC=आधार
BC=कर्ण

cos C=आधार/कर्ण\frac{AC}{BC}=\frac{5}{13}

(b) AB=20, AC=21, BC=29

Sol :







कोण B लेने पर,

AB=आधार

AC=लम्ब

BC=कर्ण

sin b=लम्ब/कर्ण=\frac{A C}{B C}=\frac{21}{29}

tan b=लम्ब/आधार=\frac{A C}{A B}=\frac{21}{20}


कोण C लेने पर

AC=लम्ब

AC=आधार

BC=कर्ण

cos c=आधार/कर्ण=\frac{A C}{B C}=\frac{21}{29}


(c) BC=√2, AB=AC=1

Sol :

कोण B लेने पर
AB=आधार
AC=लम्ब
BC=कर्ण
sin b=लम्ब/कर्ण=\frac{A C}{B C}=\frac{1}{\sqrt{2}}
tan b=लम्ब/आधार=\frac{A C}{A B}=\frac{1}{1}

कोण C लेने पर
AB=लम्ब
AC=आधार
BC=कर्ण

cos c=आधार/कर्ण=\frac{A C}{B C}=\frac{1}{\sqrt{2}}


TYPE-II : किसी न्यूनकोण का एक त्रिकोणमितीय अनुपात दिए रहने पर अन्य त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान ज्ञात करने पर आधारित प्रश्न :


Question 5

नीचे दिए गये चित्र से

(i)







(ii)






(a) sin θ

(b) cos θ

(c) tan θ 

के मान ज्ञात करें।

Sol :

(i)

हम जानते है कि समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष से आधार पर खिंचा गया लंब आधार को समद्विभाजित करता है।

B D=C D=\frac{1}{2} B C

=\frac{1}{2} \times 10

=5


BD=5

A D=\sqrt{A B^{2}-B D^{2}}=\sqrt{(13)^{2}-(5)^{2}}

=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}

AD=12

(a) sin θ =लम्ब/कर्ण =\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{12}{13}

(b) cos θ =आधार/कर्ण =\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AB}}=\frac{5}{13}

(c) tan θ =लम्ब/आधार =\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}=\frac{12}{5}


(ii)

कोण XMZ में 

XM=\sqrt{(\mathrm{XZ})^{2}-(\mathrm{MZ})^{2}}

=\sqrt{(20)^{2}-(16)^{2}}

=\sqrt{400-256}=\sqrt{144}


XM=12

कोण XYM में,

XY=\sqrt{(XM)^{2}-(MY)^{2}}

=\sqrt{(12)^{2}-(5)^{2}}

=\sqrt{144-25}=\sqrt{169}


XY=13

(a) sin θ=लम्ब/कर्ण =\frac{y m}{x y}=\frac{5}{13}

(b) cos θ=आधार/कर्ण =\frac{x m}{x y}=\frac{12}{13}

(c) tan θ =लम्ब/आधार =\frac{y m}{x m}=\frac{5}{12}


Question 6

ΔPQR में ∠Q एक समकोण है, PQ=3 , QR=4 . यदि ∠P=⍺ और ∠R=ꞵ , तब निम्नलिखित के मान ज्ञात करें।











(i) sin ⍺
(ii) cos ⍺
(iii) tan ⍺
(iv) sin ꞵ
(v) cos ꞵ
(vi) tan ꞵ
Sol :
PR=\sqrt{(P Q)^{2}+(Q R)^{2}}

=\sqrt{(3)^{2}+(4)^{2}}

=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}

=5


कोण ⍺ लेने पर

AB=आधार
BC=लम्ब
AC=कर्ण

(i) sin ⍺=लम्ब/कर्ण=\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{PR}}=\frac{4}{5}

(ii) cos ⍺=आधार/कर्ण=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}=\frac{3}{5}

(iii) tan ⍺=लम्ब/आधार=\frac{Q R}{P Q}=\frac{4}{3}


कोण β लेने पर

BC=आधार
AB=लम्ब
AC=कर्ण

(iv) sin ꞵ=लम्ब/कर्ण=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}=\frac{3}{5}

(v) cos ꞵ=आधार/कर्ण=\frac{Q R}{P R}=\frac{4}{5}

(vi) tan ꞵ=लम्ब/आधार=\frac{P Q}{Q R}=\frac{3}{4}



Question 7

(i) यदि \sin \theta=\frac{4}{5}, तो cos θ और tan θ के मान ज्ञात करें ।

Sol :











sin θ=लम्ब/कर्ण=\frac{4}{5}=\frac{AB}{AC}

B C=\sqrt{(A C)^{2}-(A B)^{2}}
B C=\sqrt{(5)^{2}-(4)^{2}}
B C=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}
BC=3

cos θ=आधार/कर्ण=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{3}{5}

tan θ=लम्ब/आधार=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{4}{3}


(ii) यदि \sin \mathrm{A}=\frac{3}{4}. तो cos A और tan A का मान परिकलित करें।

Sol :







sin A=लम्ब /कर्ण =\frac{3}{4}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}

BA=\sqrt{(A C)^{2}-(B C)^{2}}

BA=\sqrt{(4)^{2}-(3)^{2}}

BA=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}


cos A=आधार/कर्ण=\frac{B A}{A C}=\frac{\sqrt{7}}{4}

tan A=लम्ब/आधार=\frac{B C}{B A}=\frac{3}{\sqrt{7}}


Question 8

यदि \sin \theta=\frac{3}{5}, तो cos θ और tan θ के मान ज्ञात करें।

Sol :

sin θ=लम्ब /कर्ण =\frac{3}{5}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}

B C=\sqrt{(A C)^{2}-(A B)^{2}}

B C=\sqrt{(5)^{2}-(3)^{2}}

B C=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}

BC=4

cos θ=आधार/कर्ण=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{4}{5}

tan θ=लम्ब/आधार=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{3}{4}


Question 9

यदि \cos \theta=\frac{4}{5}, तो tan θ की गणना करें।

Sol :











cos θ=आघार/कर्ण =\frac{4}{5}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}

A B=\sqrt{(A C)^{2}-(B C)^{2}}
A B=\sqrt{(5)^{2}-(4)^{2}}
A B=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}
AB=3

tan θ=लम्ब/आधार=\frac{A B}{B C}=\frac{3}{4}


Question 10

(i) यदि \tan \theta=\frac{3}{4}, तो cos θ और sin θ के मान ज्ञात करें।

Sol :







tan θ=लम्ब/आधार=\frac{3}{4}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}

A C=\sqrt{(A B)^{2}+(B C)^{2}}

A C=\sqrt{(3)^{2}+(4)^{2}}

A C=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}

AC=5

cos θ=आधार/कर्ण=\frac{B C}{A C}=\frac{4}{5}

sin θ=लम्ब/कर्ण=\frac{A B}{A C}=\frac{3}{5}


(ii) यदि \tan \mathrm{A}=\frac{4}{3}, तो कोण A की अन्य त्रिकोणमितीय अनुपातों को ज्ञात करें

Sol :











tan A=लम्ब/आधार=\frac{4}{3}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}

A C=\sqrt{(A B)^{2}+(B C)^{2}}

A C=\sqrt{(3)^{2}+(4)^{2}}

A C=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}

AC=5


cos A=आधार/कर्ण =\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{3}{5}

sin A=लम्ब/कर्ण =\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{4}{5}

cot A=आधार / तम्ब =\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{3}{4}

cosec A=कर्ग /लम्ब =\frac{A C}{B C}=\frac{5}{4}

sec A=कर्ण /आधार =\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{5}{3}

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