KC Sinha Mathematics Solution Class 10 Chapter 8 त्रिकोणमितीय अनुपात एवम सर्वसमिकाए ( Trigonometry Ratios and Identities ) Exercise 8.1 (Q1-Q10)

 Exercise 8.1

TYPE-I : किसी समकोण त्रिभुज की भुजायें ज्ञात रहने पर उसके किसी न्यूनकोण के त्रिकोणमितीय अनुपातों को ज्ञात करने पर आधारित प्रश्न:

Question 1

दिए गये चित्र से निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:

(i) sin C
Sol :
sin C = लम्ब/कर्ण $=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{5}$

(ii) sin A
Sol :
sin A=लम्ब/कर्ण $=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{4}{5}$

(iii) cos C
Sol :
cos C= आधार/कर्ण
$=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{5}$

(iv) cos A
Sol :

cos A= आधार/कर्ण

$=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{3}{5}$

(v) tan C
Sol :
tan C=लम्ब/आधार

$=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{4}$

(vi) tan A
Sol :
tan A=लम्ब/आधार

$=\frac{B C}{A C}=\frac{4}{3}$

Question 2

दिए गये चित्र से निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :

(i) tan θ

Sol :

tan θ=लम्ब/आधार

 $=\frac{A B}{B C}=\frac{4}{3}$

(ii) cos C

Sol :

cos C=आधार/कर्ण

$=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{5}$

Question 3

दिए गये चित्र से निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :

(i) sin θ

Sol :

$=\frac{B C}{A C}=\frac{5}{13}$

(ii) tan θ

Sol :

$=\frac{B C}{A B}=\frac{5}{12}$

(iii) tan A-cot C

Sol :

$=\frac{B C}{A B}-\frac{B C}{A B}$

$=\frac{5}{12}-\frac{5}{12}=\frac{5-5}{12}=\frac{0}{12}=0$

Question 4

(i) ΔABC का ∠B समकोण है। AB=24 cm, BC=7 cm तो निम्न का मान ज्ञात करें ।

(a) sin A , cos A

Sol :

कोण A लेने पर,

AB=आधार

BC=लम्ब

AC=कर्ण

sin A=लम्ब/कर्ण$=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}$

cos A=आधार/कर्ण $=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}

AC$=\sqrt{\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}}$

AC$=\sqrt{(24)^{2}+(7)^{2}}$

AC$=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}$

AC=25

∴sin A$=\frac{7}{25}$ ,cos A$=\frac{24}{25}$

(b) sin C , cos C

Sol :

कोण C लेने पर,

BC=आधार

AB=लम्ब

AC=कर्ण

sin C=लम्ब/कर्ण$=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}} $

cos C=आधार/कर्ण$=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}$

AC$=\sqrt{A B^{2}+B C^{2}}$

AC$=\sqrt{(24)^{2}+(7)^{2}}$

AC$=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}$

AC=25

sin C$=\frac{24}{25}$

cos C$=\frac{7}{25}$

(ii) ΔABC में ∠C=90° , AB=29 इकाई , BC=21 इकाई और ∠ABC=θ तो निम्नलिखित के मान बताइये।

(a) cos³ θ-sin² θ

Sol :

cos θ=आधार/कर्ण

sin θ=लम्ब/कर्ण

$\left(\frac{B C}{A B}\right)^{2}+\left(\frac{A C}{A B}\right)^{2}$

AC$=\sqrt{A B^{2}-B C^{2}}$

AC$=\sqrt{(29)^{2}-(21)^{2}}$

AC$=\sqrt{841-441}=\sqrt{400}$

AC=20

$\frac{(21)^{2}}{(29)^{2}}+\frac{(20)^{2}}{(29)^{2}}$

$\frac{441}{841}+\frac{400}{841}=\frac{441+400}{841}=\frac{841}{841}$

=1

(b) cos² θ-sin² θ

Sol :

cos θ=आधार/कर्ण

sin θ=लम्ब/कर्ण

$\left(\frac{B C}{A B}\right)^{2}-\left(\frac{A C}{A B}\right)^{2}$

AC$=\sqrt{A B^{2}-B C^{2}}$

AC$=\sqrt{(29)^{2}-(21)^{2}}$

AC$=\sqrt{841-441}=\sqrt{400}$

AC=20

$=\frac{(21)^{2}}{(29)^{2}}-\frac{(20)^{2}}{(29)^{2}}$

$=\frac{441}{841}-\frac{400}{841}=\frac{441-400}{841}=\frac{41}{841}$

(iii) ΔABC में ∠A=90°, तब sin B, cos C तथा tan B के मान निम्नलिखित में प्रत्येक में बताइए।

(a) AB=12 , AC=5, BC=13

Sol :

कोण B लेने पर,

AB=आधार

AC=लम्ब

BC=कर्ण

sin B=लम्ब/कर्ण$=\frac{AC}{BC}=\frac{13}{5}$

tan B=लम्ब/आधार$=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{5}{12}$

कोण C लेने पर,

AB=लम्ब

AC=आधार

BC=कर्ण

cos C=आधार/कर्ण$\frac{AC}{BC}=\frac{5}{13}$

(b) AB=20, AC=21, BC=29

Sol :

कोण B लेने पर,

AB=आधार

AC=लम्ब

BC=कर्ण

sin b=लम्ब/कर्ण$=\frac{A C}{B C}=\frac{21}{29}$

tan b=लम्ब/आधार$=\frac{A C}{A B}=\frac{21}{20}$

कोण C लेने पर

AC=लम्ब

AC=आधार

BC=कर्ण

cos c=आधार/कर्ण$=\frac{A C}{B C}=\frac{21}{29}$

(c) BC=√2, AB=AC=1

Sol :

कोण B लेने पर

AB=आधार

AC=लम्ब

BC=कर्ण

sin b=लम्ब/कर्ण$=\frac{A C}{B C}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

tan b=लम्ब/आधार$=\frac{A C}{A B}=\frac{1}{1}$

कोण C लेने पर

AB=लम्ब

AC=आधार

BC=कर्ण

cos c=आधार/कर्ण$=\frac{A C}{B C}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

TYPE-II : किसी न्यूनकोण का एक त्रिकोणमितीय अनुपात दिए रहने पर अन्य त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान ज्ञात करने पर आधारित प्रश्न :

Question 5

नीचे दिए गये चित्र से

(i)

(ii)

(a) sin θ

(b) cos θ

(c) tan θ 

के मान ज्ञात करें।

Sol :

(i)

हम जानते है कि समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष से आधार पर खिंचा गया लंब आधार को समद्विभाजित करता है।

$B D=C D=\frac{1}{2} B C$

$=\frac{1}{2} \times 10$

=5

BD=5

$A D=\sqrt{A B^{2}-B D^{2}}=\sqrt{(13)^{2}-(5)^{2}}$

$=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}$

AD=12

(a) sin θ =लम्ब/कर्ण $=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{12}{13}$

(b) cos θ =आधार/कर्ण $=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AB}}=\frac{5}{13}$

(c) tan θ =लम्ब/आधार $=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}=\frac{12}{5}$

(ii)

कोण XMZ में 

XM$=\sqrt{(\mathrm{XZ})^{2}-(\mathrm{MZ})^{2}}$

$=\sqrt{(20)^{2}-(16)^{2}}$

$=\sqrt{400-256}=\sqrt{144}$

XM=12

कोण XYM में,

$XY=\sqrt{(XM)^{2}-(MY)^{2}}$

$=\sqrt{(12)^{2}-(5)^{2}}$

$=\sqrt{144-25}=\sqrt{169}$

XY=13

(a) sin θ=लम्ब/कर्ण $=\frac{y m}{x y}=\frac{5}{13}$

(b) cos θ=आधार/कर्ण $=\frac{x m}{x y}=\frac{12}{13}$

(c) tan θ =लम्ब/आधार $=\frac{y m}{x m}=\frac{5}{12}$

Question 6

ΔPQR में ∠Q एक समकोण है, PQ=3 , QR=4 . यदि ∠P=⍺ और ∠R=ꞵ , तब निम्नलिखित के मान ज्ञात करें।

(i) sin ⍺
(ii) cos ⍺
(iii) tan ⍺
(iv) sin ꞵ
(v) cos ꞵ
(vi) tan ꞵ
Sol :
PR$=\sqrt{(P Q)^{2}+(Q R)^{2}}$

$=\sqrt{(3)^{2}+(4)^{2}}$

$=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}$

=5

कोण ⍺ लेने पर

AB=आधार

BC=लम्ब

AC=कर्ण

(i) sin ⍺=लम्ब/कर्ण$=\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{PR}}=\frac{4}{5}$

(ii) cos ⍺=आधार/कर्ण$=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}=\frac{3}{5}$

(iii) tan ⍺=लम्ब/आधार$=\frac{Q R}{P Q}=\frac{4}{3}$

कोण β लेने पर

BC=आधार

AB=लम्ब

AC=कर्ण

(iv) sin ꞵ=लम्ब/कर्ण$=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}=\frac{3}{5}$

(v) cos ꞵ=आधार/कर्ण$=\frac{Q R}{P R}=\frac{4}{5}$

(vi) tan ꞵ=लम्ब/आधार$=\frac{P Q}{Q R}=\frac{3}{4}$

Question 7

(i) यदि $\sin \theta=\frac{4}{5}$, तो cos θ और tan θ के मान ज्ञात करें ।

Sol :

sin θ=लम्ब/कर्ण$=\frac{4}{5}=\frac{AB}{AC}$

$B C=\sqrt{(A C)^{2}-(A B)^{2}}$

$B C=\sqrt{(5)^{2}-(4)^{2}}$

$B C=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}$

BC=3

cos θ=आधार/कर्ण$=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{3}{5}$

tan θ=लम्ब/आधार$=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{4}{3}$

(ii) यदि $\sin \mathrm{A}=\frac{3}{4}$. तो cos A और tan A का मान परिकलित करें।

Sol :

sin A=लम्ब /कर्ण $=\frac{3}{4}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}$

$BA=\sqrt{(A C)^{2}-(B C)^{2}}$

$BA=\sqrt{(4)^{2}-(3)^{2}}$

$BA=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$

cos A=आधार/कर्ण$=\frac{B A}{A C}=\frac{\sqrt{7}}{4}$

tan A=लम्ब/आधार$=\frac{B C}{B A}=\frac{3}{\sqrt{7}}$

Question 8

यदि $\sin \theta=\frac{3}{5}$, तो cos θ और tan θ के मान ज्ञात करें।

Sol :

sin θ=लम्ब /कर्ण $=\frac{3}{5}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$

$B C=\sqrt{(A C)^{2}-(A B)^{2}}$

$B C=\sqrt{(5)^{2}-(3)^{2}}$

$B C=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}$

BC=4

cos θ=आधार/कर्ण$=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{4}{5}$

tan θ=लम्ब/आधार$=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{3}{4}$

Question 9

यदि $\cos \theta=\frac{4}{5}$, तो tan θ की गणना करें।

Sol :

cos θ=आघार/कर्ण $=\frac{4}{5}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}$

$A B=\sqrt{(A C)^{2}-(B C)^{2}}$

$A B=\sqrt{(5)^{2}-(4)^{2}}$

$A B=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}$

AB=3

tan θ=लम्ब/आधार$=\frac{A B}{B C}=\frac{3}{4}$

Question 10

(i) यदि $\tan \theta=\frac{3}{4}$, तो cos θ और sin θ के मान ज्ञात करें।

Sol :

tan θ=लम्ब/आधार$=\frac{3}{4}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$

$A C=\sqrt{(A B)^{2}+(B C)^{2}}$

$A C=\sqrt{(3)^{2}+(4)^{2}}$

$A C=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}$

AC=5

cos θ=आधार/कर्ण$=\frac{B C}{A C}=\frac{4}{5}$

sin θ=लम्ब/कर्ण$=\frac{A B}{A C}=\frac{3}{5}$

(ii) यदि $\tan \mathrm{A}=\frac{4}{3}$, तो कोण A की अन्य त्रिकोणमितीय अनुपातों को ज्ञात करें

Sol :

tan A=लम्ब/आधार$=\frac{4}{3}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}$

$A C=\sqrt{(A B)^{2}+(B C)^{2}}$

$A C=\sqrt{(3)^{2}+(4)^{2}}$

$A C=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}$

AC=5

cos A=आधार/कर्ण $=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{3}{5}$

sin A=लम्ब/कर्ण $=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{4}{5}$

cot A=आधार / तम्ब $=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{3}{4}$

cosec A=कर्ग /लम्ब $=\frac{A C}{B C}=\frac{5}{4}$

sec A=कर्ण /आधार $=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{5}{3}$