Exercise 26.1
Question 1
सदिश \vec{a} तथा \vec{b} का अदिश गुणनफल ज्ञात करें, जहाँ
[Find the
scalar product of vectors \vec{a} and \vec{b}, where]
(i)
\hat{a}=2 \hat{\imath}+4 \hat{k}, \hat{b}=3 \hat{j}-2 \hat{k}
Sol :
\vec{a} \cdot \vec{b}=2 \times 0+0 \times 3+4 \times(-2)=-8
(ii) \vec{a}=2 \hat{i}-3 \hat{k}, \vec{b}=3 \hat{i}+4 \hat{j}
Sol :
\vec{a} \cdot \vec{b}=2 \times 3+0 \times 4+(-3) \times 0
Question 2
यदि (If) \vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j} तथा (and) \vec{c}=3 \hat{j}+\hat{k} तो निम्नलिखित को सत्यापित करें।(then verify the following)
(i) \vec{a} \cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{c}
Sol :
LHS
=(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{j}+\vec{k})
=2+2+1=5
RHS
=(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) \cdot(2 \hat{i}-\hat{j})+(\hat{\imath}+\hat{j}+\hat{k}) \cdot(3 \hat{j}+\hat{k})
=2-1+3+1=5
\vec{a} \cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{c}
(ii) (\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=a^{2}-b^{2}
Sol :
LHS
=(3 \hat{i}+\hat{k}) \cdot(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})
=-1+1=-2
RHS
=\left(\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}\right)^{2}-\left(\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}\right)^{2}
=(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{5})^{2}
=3-5=-2
Question 3
(i) 1 और 2 इकाई परिमाण वाले दो सदिशों \vec{a} और \vec{b} के बीच का कोण ज्ञात कीजिए यदि \vec{a} \cdot \vec{b}=1
[Find the angle between two vectors \vec{a} and \vec{b} with magnitudes and 2 respectively if \vec{a} \cdot \vec{b}=1 ]
Sol :
|\vec{a}|=1, |\vec{b}|=2
\vec{a} \cdot \vec{b}=1
\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}
\operatorname{cos} \theta=\frac{1}{1 \times 2}
\cos \theta=\frac{1}{2} \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{3}
(ii) यदि \vec{a} \cdot \vec{a}=0 और \vec{a} \cdot \vec{b}=0, तो सदिश \vec{b} के बारे में क्या निष्कर्ष निकल सकता है ?
[If \vec{a} \cdot \vec{a}=0 and \vec{a} \cdot \vec{b}=0, then what conclusion can be drawn about vector \vec{b} ?]
Sol :
\vec{a} \cdot \vec{a}=0
\Rightarrow \vec{a}=\overrightarrow{0}
तथा \vec{a} \cdot \vec{b}=0
∴ \vec{b} कोई भी सदिश हो सकता है।
(iii) यदि \vec{a}=\overrightarrow{0} अथवा \vec{b}=\overrightarrow{0} तब \vec{a} \cdot \vec{b}=0 परंतु विलोम का सत्य होना आवश्यक नही है। एक उदाहरण द्वारा अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
[If \vec{a}=\overrightarrow{0} or \vec{b}=\overrightarrow{0} then \vec{a} \cdot \vec{b}=0, but it is not necessary that its converse is true. Justify your answer by example.]
Sol :
Let
\vec{a}=2 \hat{\imath}-\hat{j}+\hat{k}
\vec{b}=\hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k}
\vec{a} \cdot \vec{b}=2-4+2=0
\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}
(iv) दो शून्येत्तर सदिशों \vec{a} तथा \vec{b} के लिए
|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}| कब वैध हो
[For two non-zero
vectors \vec{a} and \vec{b} when |\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|
\vec{b}| holds]
Sol :
|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|
दोनो तरफ वर्ग करने पर,
|\vec{a}+\vec{b}|^{2}=(|\vec{a}|+|\vec{b}|)^{2}
(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+2|\vec{a}||\vec{b}|
\vec{a} \cdot \vec{a}+\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{b}=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+2|\vec{a}||\vec{b}|
|\vec{a}|^{2}+\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b}. \vec{a}+|\vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+2|\vec{a}||\vec{b}|
2\vec{a}.\vec{b}=2|\vec{a}||\vec{b}|
\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|
\therefore \vec{a} \| \vec{b}
Question 4
निम्नलिखित सदिशों के युग्म के बीच का कोण ज्ञात करें।[Find the angles between the following pairs of vectors]
Let
\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}
\cos \theta=\frac{7}{\sqrt{14} \times \sqrt{14}}
\cos \theta=\frac{7}{14}
\theta=\frac{\pi}{3}
\cos \theta=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}||\vec{b}|}
\cos \theta=\frac{-1}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}
Question 5
\vec{a}=2 \hat{\imath}-\hat{\jmath}+\hat{k}
\vec{b}=\hat{i}-3 \hat{\jmath}-5 \hat{k}
Question 6
Question 7
\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}
\cos \theta=\frac{12}{5 \sqrt{2} \times \sqrt{3}}
Question 8
\vec{a}=6 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}
\vec{b}=2 \hat{i}-6 \hat{j}+3 \hat{k}
\vec{c}=-3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 k
Question 9
\vec{a}+\vec{b}=4 \hat{i}+(2+\lambda) \hat{j}+12 \hat{k}
\vec{a}-\vec{b}=2 \hat{i}+(2-\lambda) \hat{j}+6 \hat{k}
8+\left(2^{2}-\lambda^{2}\right)+72=0
8+4-\lambda^{2}+72=0
84-\lambda^{2}=2
Question 10
\vec{a}+\vec{b}=9 \hat{i}+4 \hat{j}-4 \hat{k}
\vec{a}-\vec{b}=-\hat{i}+2 \hat{k}
\cos \theta=\frac{-17}{\sqrt{113} \times \sqrt{5}}
\cos \theta=\frac{-17}{\sqrt{565}}
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