KC Sinha Mathematics Solution Class 12 Chapter 26 दो सदिशों का अदिश गुणनफल (Scalar or Dot Product of Two Vectors) Exercise 26.1 (Q1-Q10)

Exercise 26.1

Type I: दो सदिशों के अदिश गुणनफल की परिभाषा तथा $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ के पदों में व्यक्त दो सदिशों के अदिश गुणनफल पर आधारित प्रश्न :

Question 1

सदिश $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ का अदिश गुणनफल ज्ञात करें, जहाँ
[Find the scalar product of vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$, where]

(i) $\hat{a}=2 \hat{\imath}+4 \hat{k}, \hat{b}=3 \hat{j}-2 \hat{k}$

Sol :

$\vec{a} \cdot \vec{b}=2 \times 0+0 \times 3+4 \times(-2)=-8$

(ii) $\vec{a}=2 \hat{i}-3 \hat{k}, \vec{b}=3 \hat{i}+4 \hat{j}$

Sol :

$\vec{a} \cdot \vec{b}=2 \times 3+0 \times 4+(-3) \times 0$

Question 2

यदि (If) $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}$ तथा (and) $\vec{c}=3 \hat{j}+\hat{k}$ तो निम्नलिखित को सत्यापित करें।(then verify the following)

(i) $\vec{a} \cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{c}$

Sol :

LHS

$=(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{j}+\vec{k})$

=2+2+1=5

RHS

$=(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) \cdot(2 \hat{i}-\hat{j})+(\hat{\imath}+\hat{j}+\hat{k}) \cdot(3 \hat{j}+\hat{k})$

=2-1+3+1=5

$\vec{a} \cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{c}$

(ii) $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=a^{2}-b^{2}$

Sol :

LHS

$=(3 \hat{i}+\hat{k}) \cdot(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})$

=-1+1=-2

RHS

$=\left(\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}\right)^{2}-\left(\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}\right)^{2}$

$=(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{5})^{2}$

=3-5=-2

Question 3

(i) 1 और 2 इकाई परिमाण वाले दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए यदि $\vec{a} \cdot \vec{b}=1$

[Find the angle between two vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$ with magnitudes and 2 respectively if $\vec{a} \cdot \vec{b}=1$ ]

Sol :

$|\vec{a}|=1, |\vec{b}|=2$

$\vec{a} \cdot \vec{b}=1$

$\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

$\operatorname{cos} \theta=\frac{1}{1 \times 2}$

$\cos \theta=\frac{1}{2} \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{3}$

(ii) यदि $\vec{a} \cdot \vec{a}=0$ और $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$, तो सदिश $\vec{b}$ के बारे में क्या निष्कर्ष निकल सकता है ?

[If $\vec{a} \cdot \vec{a}=0$ and $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$, then what conclusion can be drawn about vector $\vec{b}$ ?]

Sol :

$\vec{a} \cdot \vec{a}=0$

$\Rightarrow \vec{a}=\overrightarrow{0}$

तथा $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$

∴ $\vec{b}$ कोई भी सदिश हो सकता है।

(iii) यदि $\vec{a}=\overrightarrow{0}$ अथवा $\vec{b}=\overrightarrow{0}$ तब $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$ परंतु विलोम का सत्य होना आवश्यक नही है। एक उदाहरण द्वारा अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

[If $\vec{a}=\overrightarrow{0}$ or $\vec{b}=\overrightarrow{0}$ then $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$, but it is not necessary that its converse is true. Justify your answer by example.]

Sol :

Let

$\vec{a}=2 \hat{\imath}-\hat{j}+\hat{k}$

$\vec{b}=\hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k}$

$\vec{a} \cdot \vec{b}=2-4+2=0$

$\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}$

(iv) दो शून्येत्तर सदिशों $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ के लिए $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$ कब वैध हो
[For two non-zero vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$ when $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+| \vec{b}|$ holds]

Sol :

$|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$

दोनो तरफ वर्ग करने पर,

$|\vec{a}+\vec{b}|^{2}=(|\vec{a}|+|\vec{b}|)^{2}$

$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+2|\vec{a}||\vec{b}|$

$\vec{a} \cdot \vec{a}+\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{b}=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+2|\vec{a}||\vec{b}|$

$|\vec{a}|^{2}+\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b}. \vec{a}+|\vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+2|\vec{a}||\vec{b}|$

$2\vec{a}.\vec{b}=2|\vec{a}||\vec{b}|$

$\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|$

$\therefore \vec{a} \| \vec{b}$

Question 4

निम्नलिखित सदिशों के युग्म के बीच का कोण ज्ञात करें।
[Find the angles between the following pairs of vectors]

(i) $3 \hat{i}+2 \hat{j}-6 \hat{k}, 4 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$

Sol :

Let $\vec{a}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-6 \hat{k}, \vec{b}=4 \hat{i}-3 \hat{j}+k$

$\vec{a} \cdot \vec{b}=12-6-6=0$

∴दोनो सदिशों के बीच का कोण=90° या $\frac{\pi}{2}$

(ii) $2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}, 3 \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}$

Sol :
Let

$\vec{a}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+\vec{k}$

$\vec{b}=3 \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}$

$\vec{a} \cdot \vec{b}=6+3-2=7$

$|\vec{a}|=\sqrt{2^{2}+(3)^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}$

$|\vec{b}|=\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}$

$\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

$\cos \theta=\frac{7}{\sqrt{14} \times \sqrt{14}}$

$\cos \theta=\frac{7}{14}$

$\theta=\frac{\pi}{3}$

(iii) $\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ तथा $\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$

Sol :

Let

$\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$

$\vec{b}=\hat{\imath}-\hat{j}+\hat{k}$

$\vec{a} \cdot \vec{b}=1-1-1=-1$

$|\vec{a}|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{3}$

$|\vec{b}|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{3}$

$\cos \theta=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

$\cos \theta=\frac{-1}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}$

$\cos \theta=\frac{-1}{3}$

$\theta=\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right)$

$=\pi-\cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$

(iv) $\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$ तथा $3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$

Sol :

Question 5

साबित करें कि निम्नलिखित सदिश परस्पर लम्ब हैं।

[Prove that the following vectors are at right angles.]

(i) $2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$

Sol :

Let

$\vec{a}=2 \hat{\imath}-\hat{\jmath}+\hat{k}$

$\vec{b}=\hat{i}-3 \hat{\jmath}-5 \hat{k}$

$\vec{a} \cdot \vec{b}=2+3-5=0$

∴$\vec{a} \perp \vec{b}$

(ii) $2 \hat{i}+5 \hat{j}+\hat{k}, 3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$

Sol :

Question 6

सदिशों $3 \hat{\imath}+4 \hat{j}$ तथा $2 \hat{j}-5 \hat{k}$ के बीच का कोण ज्ञात करें।

[Find the angle between the vectors $3 \hat{i}+4 \hat{j}$ and $2 \hat{j}-5 \hat{k}$]

Sol :

Let

$\vec{a}=3 \hat{i}+4 \hat{j}, \vec{b}=2 \hat{j}-5 \hat{k}$

$\vec{a} \cdot \vec{b}=3 \times 0+4 \times 2+0 \times(-5)$

$|\vec{a}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5$

$|\vec{b}|=\sqrt{2^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$

$\cos \theta=\frac{\vec{a}. \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

$\cos \theta=\frac{8}{5 \sqrt{29}}$

$\theta=\cos ^{-1}\left(\frac{8}{5 \sqrt{29}}\right)$

Question 7

$3 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k}$ तथा $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ के बीच का कोण ज्ञात करें। साथ ही उनके बीच के कोण का ज्या निकालें।

[Find the angle between $3 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k}$ and $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ also find the sine of the angle between them]

Sol :

माना

$\vec{a}=3 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k}$

$\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$

$\vec{a} \cdot \vec{b}=3 \times 1+4 \times 1+5 \times 1$

=3+4+5=12

$|\vec{a}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}+5^{2}}=\sqrt{9+16+25}=\sqrt{50}=5 \sqrt{2}$

$|\vec{b}|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}$

$\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

$\cos \theta=\frac{12}{5 \sqrt{2} \times \sqrt{3}}$

$\cos \theta=\frac{12}{5 \sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

$\cos \theta=\frac{12\sqrt{6}}{5 \times 6}$

$\cos \theta=\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

$\theta=\cos ^{-1}\left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)$

$\begin{aligned} \sin \theta &=\sqrt{1-\cos ^{2} \theta} \\ &=\sqrt{1-\left(\frac{2 \sqrt{6}}{5}\right)^{2}} \\ &=\sqrt{1-\frac{24}{25}}\\&=\sqrt{\frac{25-24}{25}} \end{aligned}$

$\sin \theta=\frac{1}{5}$

Question 8

साबित करें कि निम्नलिखित सदिश परस्पर लम्ब हैं।

[Show that the following vectors are perpendicular to each other.]

(i) $6 \hat{i}+3 \hat{\jmath}+2 \hat{k}, 2 \hat{i}-6 \hat{\jmath}+3 \hat{k},-3 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}+6 \hat{k}$

Sol :

Let

$\vec{a}=6 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$

$\vec{b}=2 \hat{i}-6 \hat{j}+3 \hat{k}$

$\vec{c}=-3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 k$

$\vec{a} \cdot \vec{b}=12-18+6=0$

$\vec{b} \cdot \vec{c}=-6-12+18=0$

$\vec{c} \cdot \vec{a}=-18+6+12=0$

∴तीनों सदिश परस्पर लंब है।

Question 9

यदि $\vec{a}=3 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}+9 \hat{k}$ तथा $\vec{b}=\hat{\imath}+\lambda \hat{\jmath}+3 \hat{k}$, तो λ का मान ज्ञात करें ताकि $\vec{a}+\vec{b}, \vec{a}-\vec{b}$ पर लम्ब हो ।

Sol :

$\vec{a}+\vec{b}=4 \hat{i}+(2+\lambda) \hat{j}+12 \hat{k}$

$\vec{a}-\vec{b}=2 \hat{i}+(2-\lambda) \hat{j}+6 \hat{k}$

$\because(\vec{a}+\vec{b})+(\vec{a}-\vec{b})$

$\therefore(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=0$

$8+\left(2^{2}-\lambda^{2}\right)+72=0$

$8+4-\lambda^{2}+72=0$

$84-\lambda^{2}=2$

$\lambda^{2}=84$

$\lambda=\pm \sqrt{84}$

$=\pm 2\sqrt{2}$

Question 10

यदि $\vec{a}=4 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}-\hat{k}$ तथा $\vec{b}=5 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}-3 \hat{k}$, तो सदिशों $\vec{a}+\vec{b}$ तथा $\vec{a}-\vec{b}$ के बीच का कोण ज्ञात करें।

Sol :

$\vec{a}=4 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}, \vec{b}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{b}$

$\vec{a}+\vec{b}=9 \hat{i}+4 \hat{j}-4 \hat{k}$

$\vec{a}-\vec{b}=-\hat{i}+2 \hat{k}$

$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=-9-8=-17$

$|\vec{a}+\vec{\jmath}|=\sqrt{9^{2}+4^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{81+16+16}=\sqrt{113}$

$|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$

$\vec{a}+\vec{b}$ तथा $ \vec{a}-\vec{b}$ के बीच का कोण

$\cos \theta=\frac{(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b}\rangle}{|\vec{a}+\vec{b}||\vec{a}-\vec{b}|}$

$\cos \theta=\frac{-17}{\sqrt{113} \times \sqrt{5}}$

$\cos \theta=\frac{-17}{\sqrt{565}}$

$\theta=\cos ^{-1}\left(\frac{-17}{\sqrt{565}}\right)$