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KC Sinha Mathematics Solution Class 12 Chapter 26 दो सदिशों का अदिश गुणनफल (Scalar or Dot Product of Two Vectors) Exercise 26.1 (Q1-Q10)

 Exercise 26.1

Type I: दो सदिशों के अदिश गुणनफल की परिभाषा तथा \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} के पदों में व्यक्त दो सदिशों के अदिश गुणनफल पर आधारित प्रश्न :

Question 1

सदिश \vec{a} तथा \vec{b} का अदिश गुणनफल ज्ञात करें, जहाँ
[Find the scalar product of vectors \vec{a} and \vec{b}, where]

(i) \hat{a}=2 \hat{\imath}+4 \hat{k}, \hat{b}=3 \hat{j}-2 \hat{k}

Sol :

\vec{a} \cdot \vec{b}=2 \times 0+0 \times 3+4 \times(-2)=-8


(ii) \vec{a}=2 \hat{i}-3 \hat{k}, \vec{b}=3 \hat{i}+4 \hat{j}

Sol :

\vec{a} \cdot \vec{b}=2 \times 3+0 \times 4+(-3) \times 0


Question 2

यदि (If) \vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j} तथा (and) \vec{c}=3 \hat{j}+\hat{k} तो निम्नलिखित को सत्यापित करें।(then verify the following)

(i) \vec{a} \cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{c}

Sol :

LHS

=(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{j}+\vec{k})

=2+2+1=5

RHS

=(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) \cdot(2 \hat{i}-\hat{j})+(\hat{\imath}+\hat{j}+\hat{k}) \cdot(3 \hat{j}+\hat{k})

=2-1+3+1=5

\vec{a} \cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{c}


(ii) (\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=a^{2}-b^{2}

Sol :

LHS

=(3 \hat{i}+\hat{k}) \cdot(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})

=-1+1=-2

RHS

=\left(\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}\right)^{2}-\left(\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}\right)^{2}

=(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{5})^{2}

=3-5=-2


Question 3

(i) 1 और 2 इकाई परिमाण वाले दो सदिशों \vec{a} और \vec{b} के बीच का कोण ज्ञात कीजिए यदि \vec{a} \cdot \vec{b}=1

[Find the angle between two vectors \vec{a} and \vec{b} with magnitudes and 2 respectively if \vec{a} \cdot \vec{b}=1 ]

Sol :

|\vec{a}|=1, |\vec{b}|=2

\vec{a} \cdot \vec{b}=1

\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}

\operatorname{cos} \theta=\frac{1}{1 \times 2}

\cos \theta=\frac{1}{2} \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{3}


(ii) यदि \vec{a} \cdot \vec{a}=0 और \vec{a} \cdot \vec{b}=0, तो सदिश \vec{b} के बारे में क्या निष्कर्ष निकल सकता है ?

[If \vec{a} \cdot \vec{a}=0 and \vec{a} \cdot \vec{b}=0, then what conclusion can be drawn about vector \vec{b} ?]

Sol :

\vec{a} \cdot \vec{a}=0

\Rightarrow \vec{a}=\overrightarrow{0}

तथा \vec{a} \cdot \vec{b}=0

\vec{b} कोई भी सदिश हो सकता है।


(iii) यदि \vec{a}=\overrightarrow{0} अथवा \vec{b}=\overrightarrow{0} तब \vec{a} \cdot \vec{b}=0 परंतु विलोम का सत्य होना आवश्यक नही है। एक उदाहरण द्वारा अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

[If \vec{a}=\overrightarrow{0} or \vec{b}=\overrightarrow{0} then \vec{a} \cdot \vec{b}=0, but it is not necessary that its converse is true. Justify your answer by example.]

Sol :

Let 

\vec{a}=2 \hat{\imath}-\hat{j}+\hat{k}

\vec{b}=\hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k}

\vec{a} \cdot \vec{b}=2-4+2=0

\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}



(iv) दो शून्येत्तर सदिशों \vec{a} तथा \vec{b} के लिए |\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}| कब वैध हो
[For two non-zero vectors \vec{a} and \vec{b} when |\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+| \vec{b}| holds]

Sol :

|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|

दोनो तरफ वर्ग करने पर,

|\vec{a}+\vec{b}|^{2}=(|\vec{a}|+|\vec{b}|)^{2}

(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+2|\vec{a}||\vec{b}|

\vec{a} \cdot \vec{a}+\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{b}=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+2|\vec{a}||\vec{b}|

|\vec{a}|^{2}+\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b}. \vec{a}+|\vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+2|\vec{a}||\vec{b}|

2\vec{a}.\vec{b}=2|\vec{a}||\vec{b}|

\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|

\therefore \vec{a} \| \vec{b}


Question 4

निम्नलिखित सदिशों के युग्म के बीच का कोण ज्ञात करें।
[Find the angles between the following pairs of vectors]

(i) 3 \hat{i}+2 \hat{j}-6 \hat{k}, 4 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}
Sol :
Let \vec{a}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-6 \hat{k}, \vec{b}=4 \hat{i}-3 \hat{j}+k
\vec{a} \cdot \vec{b}=12-6-6=0
∴दोनो सदिशों के बीच का कोण=90° या \frac{\pi}{2}


(ii) 2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}, 3 \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}
Sol :
Let
\vec{a}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+\vec{k}
\vec{b}=3 \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}

\vec{a} \cdot \vec{b}=6+3-2=7

|\vec{a}|=\sqrt{2^{2}+(3)^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}
|\vec{b}|=\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}

\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}

\cos \theta=\frac{7}{\sqrt{14} \times \sqrt{14}}

\cos \theta=\frac{7}{14}

\theta=\frac{\pi}{3}



(iii) \hat{i}+\hat{j}-\hat{k} तथा \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}
Sol :
Let
\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}
\vec{b}=\hat{\imath}-\hat{j}+\hat{k}

\vec{a} \cdot \vec{b}=1-1-1=-1

|\vec{a}|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{3}
|\vec{b}|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{3}

\cos \theta=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}||\vec{b}|}

\cos \theta=\frac{-1}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}


\cos \theta=\frac{-1}{3}

\theta=\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right)

=\pi-\cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)


(iv) \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k} तथा 3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}
Sol :



Question 5

साबित करें कि निम्नलिखित सदिश परस्पर लम्ब हैं।  
[Prove that the following vectors are at right angles.]

(i) 2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}
Sol :
Let

\vec{a}=2 \hat{\imath}-\hat{\jmath}+\hat{k}

\vec{b}=\hat{i}-3 \hat{\jmath}-5 \hat{k}


\vec{a} \cdot \vec{b}=2+3-5=0

\vec{a} \perp \vec{b}


(ii) 2 \hat{i}+5 \hat{j}+\hat{k}, 3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}
Sol :


Question 6

सदिशों 3 \hat{\imath}+4 \hat{j} तथा 2 \hat{j}-5 \hat{k} के बीच का कोण ज्ञात करें।
[Find the angle between the vectors 3 \hat{i}+4 \hat{j} and 2 \hat{j}-5 \hat{k}]

Sol :
Let 
\vec{a}=3 \hat{i}+4 \hat{j}, \vec{b}=2 \hat{j}-5 \hat{k}

\vec{a} \cdot \vec{b}=3 \times 0+4 \times 2+0 \times(-5)
=8

|\vec{a}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5
|\vec{b}|=\sqrt{2^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}

\cos \theta=\frac{\vec{a}. \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}

\cos \theta=\frac{8}{5 \sqrt{29}}

\theta=\cos ^{-1}\left(\frac{8}{5 \sqrt{29}}\right)

Question 7

3 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k} तथा \hat{i}+\hat{j}+\hat{k} के बीच का कोण ज्ञात करें। साथ ही उनके बीच के कोण का ज्या निकालें।
[Find the angle between 3 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k} and \hat{i}+\hat{j}+\hat{k} also find the sine of the angle between them]
Sol :
माना 
\vec{a}=3 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k}
\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}

\vec{a} \cdot \vec{b}=3 \times 1+4 \times 1+5 \times 1
=3+4+5=12

|\vec{a}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}+5^{2}}=\sqrt{9+16+25}=\sqrt{50}=5 \sqrt{2}

|\vec{b}|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}

\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}


\cos \theta=\frac{12}{5 \sqrt{2} \times \sqrt{3}}


\cos \theta=\frac{12}{5 \sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}

\cos \theta=\frac{12\sqrt{6}}{5 \times 6}

\cos \theta=\frac{2 \sqrt{6}}{5}

\theta=\cos ^{-1}\left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)


\begin{aligned} \sin \theta &=\sqrt{1-\cos ^{2} \theta} \\ &=\sqrt{1-\left(\frac{2 \sqrt{6}}{5}\right)^{2}} \\ &=\sqrt{1-\frac{24}{25}}\\&=\sqrt{\frac{25-24}{25}} \end{aligned}

\sin \theta=\frac{1}{5}


Question 8

साबित करें कि निम्नलिखित सदिश परस्पर लम्ब हैं।
[Show that the following vectors are perpendicular to each other.]

(i) 6 \hat{i}+3 \hat{\jmath}+2 \hat{k}, 2 \hat{i}-6 \hat{\jmath}+3 \hat{k},-3 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}+6 \hat{k}
Sol :
Let

\vec{a}=6 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}

\vec{b}=2 \hat{i}-6 \hat{j}+3 \hat{k}

\vec{c}=-3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 k


\vec{a} \cdot \vec{b}=12-18+6=0
\vec{b} \cdot \vec{c}=-6-12+18=0
\vec{c} \cdot \vec{a}=-18+6+12=0

∴तीनों सदिश परस्पर लंब है।

Question 9

यदि \vec{a}=3 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}+9 \hat{k} तथा \vec{b}=\hat{\imath}+\lambda \hat{\jmath}+3 \hat{k}, तो λ का मान ज्ञात करें ताकि \vec{a}+\vec{b}, \vec{a}-\vec{b} पर लम्ब हो ।
Sol :

\vec{a}+\vec{b}=4 \hat{i}+(2+\lambda) \hat{j}+12 \hat{k}

\vec{a}-\vec{b}=2 \hat{i}+(2-\lambda) \hat{j}+6 \hat{k}


\because(\vec{a}+\vec{b})+(\vec{a}-\vec{b})

\therefore(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=0

8+\left(2^{2}-\lambda^{2}\right)+72=0

8+4-\lambda^{2}+72=0

84-\lambda^{2}=2

\lambda^{2}=84
\lambda=\pm \sqrt{84}
=\pm 2\sqrt{2}

Question 10

यदि \vec{a}=4 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}-\hat{k} तथा \vec{b}=5 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}-3 \hat{k}, तो सदिशों \vec{a}+\vec{b} तथा \vec{a}-\vec{b} के बीच का कोण ज्ञात करें।
Sol :
\vec{a}=4 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}, \vec{b}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{b}

\vec{a}+\vec{b}=9 \hat{i}+4 \hat{j}-4 \hat{k}

\vec{a}-\vec{b}=-\hat{i}+2 \hat{k}


(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=-9-8=-17

|\vec{a}+\vec{\jmath}|=\sqrt{9^{2}+4^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{81+16+16}=\sqrt{113}

|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}

\vec{a}+\vec{b} तथा \vec{a}-\vec{b} के बीच का कोण 

\cos \theta=\frac{(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b}\rangle}{|\vec{a}+\vec{b}||\vec{a}-\vec{b}|}

\cos \theta=\frac{-17}{\sqrt{113} \times \sqrt{5}}


\cos \theta=\frac{-17}{\sqrt{565}}


\theta=\cos ^{-1}\left(\frac{-17}{\sqrt{565}}\right)

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