KC Sinha Mathematics Solution Class 10 Chapter 8 त्रिकोणमितीय अनुपात एवम सर्वसमिकाए ( Trigonometry Ratios and Identities ) Exercise 8.1 (Q11-Q20)

 Exercise 8.1

Question 11

यदि $\cot \theta=\frac{12}{5}$, तब sin θ के मान ज्ञात कीजिए ।

Sol :

cot θ=आधार/लम्ब$\frac{12}{5}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}$

$A C=\sqrt{(A B)^{2}+(B C)^{2}}$

$A C=\sqrt{(5)^{2}+(12)^{2}}$

$A C=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}$

AC=13

sin θ=लम्ब /कर्ण $=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{5}{13}$

Question 12

यदि $\tan \theta=\frac{5}{12}$, तब cos θ के मान बताइये।

Sol :

tan θ=लम्ब/आधार$=\frac{5}{12}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$

$A C=\sqrt{(A B)^{2}+(B C)^{2}}$

$A C=\sqrt{(5)^{2}+(12)^{2}}$

$A C=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}$

AC=13

cos θ=आपर / कर्ण $=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{12}{13}$

Question 13

यदि $\sin \theta=\frac{12}{13}$ तब cos θ और tan θ के मान ज्ञात करें ।

Sol :

sin θ=लम्ब/कर्ण$=\frac{12}{13}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$

$B C=\sqrt{(A C)^{2}-(A B)^{2}}$

$B C=\sqrt{(13)^{2}-(12)^{2}}$

$B C=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}$

BC=5

cos θ=आधार/कर्ण $=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{5}{13}$

tan θ=लम्ब/आधार $=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{12}{5}$

Question 14

यदि tan θ=0.75, तब sin θ के मान की गणना कीजिए ।

Sol :

tan θ=लम्ब/आधार$=\frac{0.75}{1}=\frac{75}{100}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$

$A C=\sqrt{(A B)^{2}+(B C)^{2}}$

$A C=\sqrt{(75)^{2}+(100)^{2}}$

$A C=\sqrt{5625+10000}=\sqrt{15625}$

AC=125

sin θ=लम्ब/कर्ण$=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{75}{125}$=0.6

Question 15

यदि tan B=√3  , तब sin B और cos B के मान परिकलित करें ।

Sol :

tan B=√3=लम्ब/आधार$=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}$

$A B=\sqrt{(A C)^{2}+(B C)^{2}}$

$A B=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(1)^{2}}$

$A B=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}$

AB=2

sin B=लम्ब/कर्ण$=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

cos B=आधार/कर्ण$=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{1}{2}$

Question 16

यदि $\tan \theta=\frac{m}{n}$, तब cos θ और sin θ के मान ज्ञात करें ।

Sol :

tan θ=लम्ब/आधार$=\frac{m}{n}=\frac{AB}{BC}$

$A C=\sqrt{(A B)^{2}+(B C)^{2}}$

$A C=\sqrt{(m)^{2}+(n)^{2}}$

sin θ=लम्ब/कर्ण$=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{m}}{\sqrt{\mathrm{m}^{2}+\mathrm{n}^{2}}}$

cos θ=आधार/कर्ण$=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{n}}{\sqrt{\mathrm{m}^{2}+\mathrm{n}^{2}}}$

Question 17

यदि $\sin \theta=\sqrt{3} \cos \theta$, तब sin θ और cos θ के मान बताइये ।

Sol :

$\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\sqrt{3}$

tan θ=लम्ब/आधार$=\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$

$A C=\sqrt{(A B)^{2}+(B C)^{2}}$

$A C=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(1)^{2}}$

$A C=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}$

AC=2

sin θ=लम्ब/कर्ण$=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

cos B=आधार/कर्ण$=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{1}{2}$

Question 18

(i) यदि $\cot \theta=\frac{21}{20}$, तब cos θ और sin θ के मान अभिकलित करें।

Sol :

cot θ=आधार/लम्ब$=\frac{21}{20}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}$

$\begin{aligned} A C &=\sqrt{(A B)^{2}+(B C)^{2}} \\ A C &=\sqrt{(20)^{2}+(21)^{2}} \\ A C &=\sqrt{400+441}=\sqrt{841} \end{aligned}$

AC=29

cos θ=आधार/कर्ण$=\frac{B C}{A C}=\frac{21}{29}$

sin θ=लम्ब/कर्ण$=\frac{A B}{A C}=\frac{20}{29}$

(ii) यदि 15 cot A=8, तब sin A और sec A के मान निकालें।

Sol :

cot A=आधार/लम्ब$=\frac{8}{15}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$

$\begin{aligned} A C &=\sqrt{(A B)^{2}+(B C)^{2}} \\ A C &=\sqrt{(8)^{2}+(15)^{2}} \\ A C &=\sqrt{64+225}=\sqrt{289} \end{aligned}$
AC=17

sin A=लम्ब/कर्ण$=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{15}{17}$

sec A=कर्ण/आधार$=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BA}}=\frac{17}{8}$

Question 19

यदि sin θ=cos θ और 0°<θ<90° , तब sin θ और cos θ के मान बतायें।

Sol :

$\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=1$

tan θ=लम्ब/आधार$=\frac{1}{1}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$

$A C=\sqrt{(A B)^{2}+(B C)^{2}}$

$A C=\sqrt{(1)^{2}+(1)^{2}}$

$A C=\sqrt{1+1}$

$A C=\sqrt{2}$

sin θ=लम्ब/कर्ण$=\frac{A B}{A C}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

cos θ=आधार/कर्ण$=\frac{B C}{A C}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Question 20

यदि $\sin \theta=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}$, तब cos θ और $\frac{1}{\tan \theta}$ के मान की गणना करें ।

Sol :

sin θ=लम्ब/कर्ण$=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$

$\mathrm{BC}=\sqrt{(\mathrm{AC})^{2}-(\mathrm{AB})^{2}}$

$\mathrm{BC}=\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}-\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}}$

$\mathrm{BC}=\sqrt{\left(x^{2}\right)^{2}+\left(y^{2}\right)^{2}+2 \cdot x^{2} y^{2}-\left(x^{2}\right)^{2}+\left(y^{2}\right)^{2}-2 \cdot x^{2} y^{2}}$

$\mathrm{BC}=\sqrt{\left(x^{2}\right)^{2}+\left(y^{2}\right)^{2}+2 \cdot x^{2} y^{2}-\left(x^{2}\right)^{2}-\left(y^{2}\right)^{2}+2 \cdot x^{2} y^{2}}$

$\mathrm{BC}=\sqrt{4 x^{2}-y^{2}}$

BC=2xy

cos θ=आधार/कर्ण$=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}}$

$\frac{1}{\tan \theta}$=1/(लम्ब /आधार) $=\frac{1}{\frac{A B}{B C}}=\frac{1}{\frac{x^{2}-y^{2}}{2 x y}}=\frac{2 x y}{x^{2}-y^{2}}$