KC Sinha Mathematics Solution Class 10 Chapter 8 त्रिकोणमितीय अनुपात एवम सर्वसमिकाए ( Trigonometry Ratios and Identities ) Exercise 8.1 (Q21-30)

 Exercise 8.1

Question 21

यदि $\tan \theta=\frac{\sqrt{m^{2}-n^{2}}}{n}$, तब sin θ और cos θ के मान ज्ञात करें ।

Sol :

tan θ=लम्ब/आधार$=\frac{\sqrt{m^{2}-n^{2}}}{n}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$

$A C=\sqrt{(A B)^{2}+(B C)^{2}}$

$A C=\sqrt{\left(\sqrt{m^{2}-n^{2}}\right)^{2}+(n)^{2}}$

$A C=\sqrt{m^{2}-n^{2}+n^{2}}=\sqrt{m^{2}}$

AC=m

sin θ=लम्ब/कर्ण$=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AC}}=\frac{\sqrt{m^{2}-n^{2}}}{m}$

cos θ=आधार/कर्ण$=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{n}{m}$

Question 22

(i) यदि sec θ=2, तब θ के अन्य त्रिकोणमितीय अनुपातों को परिकलित करें। 

Sol :

sec θ=कर्ण/आधार$=\frac{2}{1}=\frac{\text { AC }}{\text { BC }}$

$A B=\sqrt{(A C)^{2}+(B C)^{2}}$

$A B=\sqrt{(2)^{2}-(1)^{2}}$

$A B=\sqrt{4-1}$

$A B=\sqrt{3}$

sin θ=लम्ब/कर्ण$=\frac{A B}{A C}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

cos θ=आधार/कर्ण$=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{1}{2}$

tan θ=लम्ब/आधार$=\frac{A B}{B C}=\frac{\sqrt{3}}{1}$

cosec θ=कर्ण/लम्ब$=\frac{A C}{A B}=\frac{2}{\sqrt{3}}$

cot θ=आधार/लम्ब$=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

(ii) दिया है $\sec \theta=\frac{13}{12}$, तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों की गणना करें ।

Sol :

sec θ=कर्ण/आधार$=\frac{13}{12}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}$

$A B=\sqrt{(A C)^{2}-(A B)^{2}}$

$A B=\sqrt{(13)^{2}-(12)^{2}}$

$A B=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}$

AB=5

sin θ=लम्ब/कर्ण$=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{5}{13}$

cos θ=आधार/कर्ण$=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{12}{13}$

tan θ=लम्ब/आधार$=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{5}{12}$

cosec θ=कर्ण/लम्ब$=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{13}{5}$

cot θ=आधार/लम्ब$=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{12}{5}$

Question 23

यदि cosec θ=√10 , तब θ के अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को ज्ञात करें ।

Sol :

cosec θ=कर्ण/लम्ब$=\frac{\sqrt{10}}{1}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}$

$B C=\sqrt{(A C)^{2}-(A B)^{2}}$

$B C=\sqrt{(\sqrt{10})^{2}-(1)^{2}}=\sqrt{10-1}$

BC=9

sin θ=लम्ब/कर्ण$=\frac{A B}{A C}=\frac{1}{\sqrt{10}}$

cos θ=आधार/कर्ण$=\frac{B C}{A C}=\frac{9}{\sqrt{10}}$

tan θ=लम्ब/आधार$=\frac{A B}{B C}=\frac{1}{9}$

sec θ=कर्ण/आधार$=\frac{A C}{B C}=\frac{\sqrt{10}}{9}$

cot θ=आधार/लम्ब$=\frac{B C}{A B}=9$

TYPE-III : त्रिकोणमितीय अनुपात को निकाल कर उनके मानों के प्रयोग पर आधारित प्रश्न :

Question 24

(i) यदि $\tan \mathrm{A}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, तब sin A+cos A का मान ज्ञात करें। 

Sol :

tan A=लम्ब/आधार$=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}$

$A C=\sqrt{(B C)^{2}+(A B)^{2}}$

$A C=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(2)^{2}}$

$A C=\sqrt{3+4}=\sqrt{7}$

sin A=लम्ब/कर्ण$=\frac{B C}{A C}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

cos A=आधार/कर्ण$=\frac{B A}{A C}=\frac{2}{\sqrt{7}}$

sin A+cos A

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}+\frac{2}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{7}}$

(ii) यदि $\sin \theta=\sqrt{3} \cos \theta$, तब cos θ-sin θ के मान ज्ञात करें। 

Sol :

$\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\sqrt{3}$

tan θ=लम्ब/आधार$=\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$

$A C=\sqrt{(A B)^{2}+(B C)^{2}}$

$A C=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(1)^{2}}$

$A C=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}$

AC=2

sin θ=लम्ब/कर्ण$=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

cos θ=आधार/कर्ण$=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{1}{2}$

cos θ-sin θ

$=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$

(iii) यदि $\tan \theta=\frac{8}{15}$, तब $1+\cos ^{2} \theta$ का मान ज्ञात करें ।

Sol :

tan θ=लम्ब/आधार$=\frac{8}{15}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$

$A C=\sqrt{(A B)^{2}+(B C)^{2}}$

$A C=\sqrt{(8)^{2}+(15)^{2}}$

$A C=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}$

AC=17

cos θ=आधार/कर्ण$=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{15}{17}$

$1+\cos ^{2} \theta=1+\left(\frac{15^{2}}{17^{2}}\right)$

$=1+\frac{225}{289}$

$=\frac{289+225}{289}$

$=\frac{514}{289}$

Question 25

यदि $\cot \theta=\frac{7}{8}$ तो 

(i) $\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}$

(ii) $\cot ^{2} \theta$ का मान ज्ञात करें।

Sol :

cot θ=आधार/लम्ब$=\frac{7}{8}=\frac{B C}{A B}$

$A C=\sqrt{(A B)^{2}+(B C)^{2}}$

$A C=\sqrt{(8)^{2}+(7)^{2}}$

$A C=\sqrt{64+49}$

$A C=\sqrt{113}$

sin θ=लम्ब/कर्ण$=\frac{A B}{A C}=\frac{8}{\sqrt{113}}$

cos θ=आधार/कर्ण$=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{7}{\sqrt{113}}$

(i)

$\frac{(1+\sin )(1-\sin)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}=\frac{\left(1+\frac{8}{\sqrt{113}}\right)}{\left(1+\frac{7}{\sqrt{113}}\right)}\left(1-\frac{8}{\sqrt{113}}\right)$

$\frac{\left(\frac{\sqrt{113}+8}{\sqrt{113}}\right) \times\left(\frac{\sqrt{113}-8}{\sqrt{113}}\right)}{\left(\frac{\sqrt{113}+7}{\sqrt{113}}\right) \times\left(\frac{\sqrt{113}-7}{\sqrt{113}}\right)}$

$=\frac{\frac{113-8 \sqrt{113}+8 \sqrt{113}-64}{113}}{\frac{113-7 \sqrt{113}+7 \sqrt{113}-49}{113}}$

$=\frac{113-64}{113-49}=\frac{49}{64}$

(ii)

cot θ=आधार/लम्ब$=\frac{B C}{A B}=\frac{7}{8}$

$\cot ^{2} \theta=\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$

Question 26

(i) यदि 3cotA=4, जाँच करें कि $\frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}=\cos ^{2} A-\sin ^{2} A$ है या नहीं।

Sol :

cot A=आधार/लम्ब$=\frac{3}{4}=\frac{A B}{B C

$A C=\sqrt{(B C)^{2}+(A B)^{2}}$

$A C=\sqrt{(3)^{2}+(4)^{2}}$

$A C=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}$

AC=5

tan A=लम्ब/आधार$=\frac{B C}{A B}=\frac{3}{4}$

sin A=लम्ब/कर्ण$=\frac{B C}{A C}=\frac{3}{5}$

cos A=आधार/कर्ण$=\frac{A B}{A C}=\frac{4}{5}$

LHS

$\frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}=\cos ^{2} A-\sin ^{2} A$

$\frac{1-\left(\frac{3}{4}\right)^{2}}{1+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}}=\left(\frac{4}{5}\right)^{2}-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$

$\frac{1-\frac{9}{16}}{1+\frac{9}{16}}=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}$

$\frac{16-9}{\frac{16}{16+9}}=\frac{16-9}{25}$

$\frac{7}{25}=\frac{7}{25}$

LHS=RHS

(ii) समकोण ΔABC में ∠B=90° , यदि tan A=1 . तब सत्यापित करें कि 2sinAcosA=1

Sol :

tan A=लम्ब/आधार$=\frac{1}{1}=\frac{B C}{A B}$

$\mathrm{AC}=\sqrt{(A B)^{2}+(B C)^{2}}$

$\mathrm{AC}=\sqrt{(1)^{2}+(1)^{2}}$

$\mathrm{AC}=\sqrt{1+1}$

$\mathrm{AC}=\sqrt{2}$

sin A=लम्ब/कर्ण$=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{B C}{A C}$

cos Aआधार/कर्ण$=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{A B}{A C}$

LHS

2sin A cos A=1

$2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}=1$

$2 \times \frac{1}{2}=1$

LHS=RHS

Question 27

यदि 4sin²θ=3 और 0°<θ<90° , तब 1+cosθ का मान मालूम करें।

Sol :

$\sin ^{2} \theta=\frac{3}{4}$

sin θ$=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{A B}{A C}$

$\mathrm{BC}=\sqrt{(A C)^{2}-(A B)^{2}}$

$\mathrm{BC}=\sqrt{(2)^{2}-(\sqrt{3})^{2}}$

$\mathrm{BC}=\sqrt{4-3}$

$\mathrm{BC}=\sqrt{1}$

cos θ=आधार/कर्ण$=\frac{1}{2}=\frac{B C}{A C}$

$1+\cos \theta=1+\frac{1}{2}$

$\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}$

Question 28

यदि $\tan \theta=\frac{p}{q}$, तब $\frac{p \sin \theta-q \cos \theta}{p \sin \theta+q \cos \theta}$ का मान ज्ञात करें।

Sol :

tan θ=लम्ब/आधार$=\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$

$A C=\sqrt{(A B)^{2}+(B C)^{2}}$

$A C=\sqrt{p^{2}+q^{2}}$

sin θ=लम्ब/कर्ण$=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{p}}{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}$

cos θ=आधार/कर्ण$=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{q}}{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}$

$\frac{p \sin -q \cos \theta}{p \sin +q \cos \theta}=\frac{p \times \frac{p}{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}-q \times \frac{q}{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}}{p \times \frac{p}{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}+q \times \frac{q}{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}}$

$=\frac{\frac{p^{2}}{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}-\frac{q^{2}}{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}}{\frac{p^{2}}{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}+\sqrt{\frac{q^{2}}{p^{2}+q^{2}}}}$

$=\frac{\frac{p^{2}-q^{2}}{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}}{\frac{p^{2}+q^{2}}{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}}=\frac{p^{2}-q^{2}}{p^{2} q^{2}}$

Question 29

(i) यदि 13cosθ=5 , तब $\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sin \theta-\cos \theta}$ का मान निकालिए।

Sol :

cos θ=आधार/कर्ण

$\cos \theta=\frac{5}{13}=\frac{BC}{AC}$

$AB=\sqrt{(AC)^{2}-(BC)^{2}}$

$AB\sqrt{(13)^{2}-(5)^{2}}$

$AB=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}$

AB=12

sin θ=लम्ब/कर्ण$=\frac{AB}{AC}=\frac{12}{13}$

cos θ=आधार/कर्ण$=\frac{BC}{AC}=\frac{5}{13}$

$\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sin \theta-\cos \theta}=\frac{\frac{12}{13}+\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}-\frac{5}{13}}$

$=\frac{\frac{12+5}{13}}{\frac{12-5}{13}}=\frac{\frac{17}{13}}{\frac{7}{13}}=\frac{17}{7}$

(ii) यदि 4tanθ=5 , तो $\frac{5 \cos \theta-3 \sin \theta}{\cos \theta+2 \sin \theta}$ मान ज्ञात करें।

Sol :

tan θ=लम्ब/आधार$=\frac{5}{4}=\frac{AB}{BC}$

$AC=\sqrt{(AB)^{2}-(BC)^{2}}$

$AC=\sqrt{(5)^{2}-(4)^{2}}=\sqrt{25+16}$

$AC=\sqrt{41}$

sin θ=लम्ब/कर्ण$=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{\sqrt{41}}$

cos θ=आधार/कर्ण$=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{\sqrt{41}}$

$\frac{5 \cos \theta-3 \sin \theta}{\cos \theta+2 \sin \theta}=\frac{5 \times \frac{4}{\sqrt{41}}-3 \times \frac{5}{\sqrt{41}}}{\frac{4}{\sqrt{41}}+2 \times \frac{5}{\sqrt{41}}}$

$=\frac{\frac{20}{\sqrt{41}}-\frac{15}{\sqrt{41}}}{\frac{4}{\sqrt{41}}+\frac{10}{\sqrt{41}}}=\frac{\frac{20-15}{\sqrt{41}}}{\frac{4+10}{\sqrt{41}}}$

$\frac{\frac{5}{\sqrt{41}}}{\frac{14}{\sqrt{41}}}=\frac{5}{14}$

Question 30

यदि $\sec \theta=\frac{13}{5}$ , तो दर्शायें कि $\frac{2 \sin \theta-3 \cos \theta}{4 \sin \theta-9 \cos \theta}=3$

Sol :

sec θ=कर्ण/आधार$=\frac{13}{5}=\frac{AC}{BC}$

$AB=\sqrt{(AC)^{2}-(BC)^{2}}$

$AB=\sqrt{(13)^{2}-(5)^{2}}=\sqrt{169+25}$

$AB=\sqrt{12}$

sin θ=लम्ब/कर्ण$=\frac{AB}{AC}=\frac{12}{13}$

cos θ=आधार/कर्ण$=\frac{BC}{AC}=\frac{5}{13}$

LHS

$\frac{2 \sin \theta-3 \cos \theta}{4 \sin \theta-9 \cos \theta}=\frac{2 \times \frac{12}{13}-3 \times \frac{5}{13}}{4 \times \frac{12}{13}-9 \times \frac{5}{13}}$

$=\frac{\frac{24}{13}-\frac{15}{13}}{\frac{48}{13}-\frac{45}{13}}=\frac{\frac{24-15}{13}}{\frac{48-45}{13}}$

$=\frac{9}{3}=3$

LHS=RHS